中考数学二轮复习平行四边形复习题及答案

中考数学二轮复习平行四边形复习题及答案
一、解答题
1．在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使点B 落在边AD （含端点）上，落点记为E ，这时折痕与边BC 或者边CD （含端点）交于点F （如图1和图2），然后展开铺平，连接BE ，EF ． （1）操作发现：
①在矩形ABCD 中，任意折叠所得的△BEF 是一个 三角形； ②当折痕经过点A 时，BE 与AE 的数量关系为 ． （2）深入探究：
在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝23． ①当△BEF 是等边三角形时，求出BF 的长；
②△BEF 的面积是否存在最大值，若存在，求出此时EF 的长；若不存在，请说明理由．
2．已知在平行四边形ABCD 中，AB BC ≠，将ABC 沿直线AC 翻折，点B 落在点尽处，AD 与CE 相交于点O ，联结DE ． （1）如图1，求证：//AC DE ；
（2）如图2，如果90B ∠=︒，3AB =，6=
BC ，求OAC 的面积；
（3）如果30B ∠=︒，23AB =，当AED 是直角三角形时，求BC 的长．
3．如图，矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，∠A 的角平分线交边CD 于点E ．点P 从点A 出发沿射线AE 以每秒2个单位长度的速度运动，Q 为AP 的中点，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ，在射线AE 的下方作平行四边形PQHM （点M 在点H 的右侧），设P 点运动时间为t 秒．
（1）直接写出AQH 的面积（用含t 的代数式表示）． （2）当点M 落在BC 边上时，求t 的值．
（3）在运动过程中，整个图形中形成的三角形是否存在全等三角形？若存在，请写出所有全等三角形，并求出对应的t 的值；若不存在请说明理由（不能添加辅助线）． 4．已知，如图，在三角形ABC ∆中，20AB AC cm ==，BD AC ⊥于D ，且
16BD cm =．点M 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动，速度为4/cm s ；同时点P 由B
点出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1/cm s ，过点P 的动直线//PQ AC ，交BC 于点
Q ，连结PM ，设运动时间为()t s ()05t <<，解答下列问题：
（1）线段AD =_________cm ； （2）求证：PB PQ =；
（3）当t 为何值时，以P Q D M 、、、为顶点的四边形为平行四边形？
5．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边所在直线上一动点（不与点B 、C 重合），过点B 作BF ⊥DE ，交射线DE 于点F ，连接CF ．
（1）如图，当点E 在线段BC 上时，∠BDF=α． ①按要求补全图形；
②∠EBF =______________（用含α的式子表示）； ③判断线段 BF ，CF ，DF 之间的数量关系，并证明．
（2）当点E 在直线BC 上时，直接写出线段BF ，CF ，DF 之间的数量关系，不需证明． 6．如图1，在正方形ABCD （正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB ＝8，P 为线段BC 上一点，连接AP ，过点B 作BQ ⊥AP ，交CD 于点Q ，将△BQC 沿BQ 所在的直线对折得到△BQC ′，延长QC ′交AD 于点N ．
（1）求证：BP ＝CQ ； （2）若BP ＝
1
3
PC ，求AN 的长； （3）如图2，延长QN 交BA 的延长线于点M ，若BP ＝x （0＜x ＜8），△BMC '的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式．
7．如图，点A 的坐标为(6,6)-，AB x ⊥轴，垂足为B ，AC y ⊥轴，垂足为C ，点
,D E 分别是射线BO 、OC 上的动点，且点D 不与点B 、O 重合，45DAE ︒∠=.
（1）如图1，当点D 在线段BO 上时，求DOE ∆的周长；
（2）如图2，当点D 在线段BO 的延长线上时，设ADE ∆的面积为1S ，DOE ∆的面积为2S ，请猜想1S 与2S 之间的等量关系，并证明你的猜想.
8．如图，四边形ABCD 是边长为3的正方形，点E 在边AD 所在的直线上，连接CE ，以CE 为边，作正方形CEFG （点C 、E 、F 、G 按逆时针排列），连接BF.
（1）如图1,当点E 与点D 重合时，BF 的长为 ；
（2）如图2，当点E 在线段AD 上时，若AE=1，求BF 的长；（提示：过点F 作BC 的垂线，交BC 的延长线于点M ，交AD 的延长线于点N.） （3）当点E 在直线AD 上时，若AE=4，请直接写出BF 的长.
9．如图1，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD ，且交AC 于点E ，交BC 于点F ，连接BE 、DF ，且BE 平分∠ABD .
（1）①求证：四边形BFDE 是菱形；②求∠EBF 的度数．
（2）把（1）中菱形BFDE 进行分离研究，如图2，G ，I 分别在BF ，BE 边上，且BG =BI ，连接GD ，H 为GD 的中点，连接FH ，并延长FH 交ED 于点J ，连接IJ ，IH ，IF ，IG ．试探究线段IH 与FH 之间满足的数量关系，并说明理由；
（3）把（1）中矩形ABCD 进行特殊化探究，如图3，矩形ABCD 满足AB =AD 时，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，作EF ⊥DE ，垂足为点E ，交AB 于点F ，连接DF ，交AC 于点G ．请直接写出线段AG ，GE ，EC 三者之间满足的数量关系． 10．问题背景
若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角的和是180°，则称这两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点． 如图1，四边形ABCD 中，BC 是一条对角线，AB AC =，DB DC =，则点A 与点D 关于BC 互为顶针点；若再满足180A D +=︒∠∠，则点A 与点D 关于BC 互为勾股顶针点．
初步思考
(1)如图2，在ABC 中，AB AC =，30ABC ∠=︒，D 、E 为ABC 外两点，
EB EC =，45EBC ∠=︒，DBC △为等边三角形． ①点A 与点______关于BC 互为顶针点；
②点D 与点______关于BC 互为勾股顶针点，并说明理由． 实践操作
(2)在长方形ABCD 中，8AB =，10AD =．
①如图3，点E 在AB 边上，点F 在AD 边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点E 、F ，使得点E 与点C 关于BF 互为勾股顶针点．(不写作法，保留作图痕迹) 思维探究
②如图4，点E 是直线AB 上的动点，点P 是平面内一点，点E 与点C 关于BP 互为勾股顶针点，直线CP 与直线AD 交于点F ．在点E 运动过程中，线段BE 与线段AF 的长度是否会相等？若相等，请直接写出AE 的长；若不相等，请说明理由．
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一、解答题
1．（1）①等腰；②2BE =；（2）①2；②存在，3512
【分析】
（1）①由折叠的性质得EF ＝BF ，即可得出结论；
②当折痕经过点A 时，由折叠的性质得AF 垂直平分BE ，由线段垂直平分线的性质得AE ＝
BE，证出ABE是等腰直角三角形，即可得出BE AE；
（2）①由等边三角形的性质得BF＝BE，∠EBF＝60°，则∠ABE＝30°，由直角三角形的性
质得BE＝2AE，AB，则AE＝1，BE＝2，得BF＝2即可；
②当点F在边BC上时，得S△BEF≤1
2
S矩形ABCD，即当点F与点C重合时S△BEF最大，由折叠的
性质得CE＝CB＝EF＝
当点F在边CD上时，过点F作FH∥BC交AB于点H，交BE于点K，则S△EKF＝
1 2KF•AH≤
1
2
HF•AH＝
1
2
S矩形AHFD，S△BKF＝
1
2
KF•BH≤
1
2
HF•BH＝
1
2
S矩形BCFH，得S△BEF≤
1
2
S
矩形ABCD ＝3，即当点F为CD的中点时，BEF的面积最大，此时，DF＝
1
2
CD E
与点A重合，由勾股定理求出EF即可．
【详解】
解：（1）①由折叠的性质得：EF＝BF，
∴BEF是等腰三角形；
故答案为：等腰；
②当折痕经过点A时，
由折叠的性质得：AF垂直平分BE，
∴AE＝BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠A＝90°，
∴ABE是等腰直角三角形，
∴BE；
故答案为：BE；
（2）①当BEF是等边三角形时，BF＝BE，∠EBF＝60°，∴∠ABE＝90°﹣60°＝30°，
∵∠A＝90°，
∴BE＝2AE，AB
∴AE＝1，BE＝2，
∴BF＝2；
②存在，理由如下：
∵矩形ABCD中，CD＝AB BC＝
∴矩形ABCD的面积＝AB×BC6，
第一种情况：当点F在边BC上时，如图1所示：
此时可得：S △BEF ≤
1
2
S 矩形ABCD ， 即当点F 与点C 重合时S △BEF 最大，此时S △BEF ＝3， 由折叠的性质得：CE ＝CB ＝23， 即EF ＝23；
第二种情况：当点F 在边CD 上时，
过点F 作FH ∥BC 交AB 于点H ，交BE 于点K ，如图2所示： ∵S △EKF ＝
12KF •AH ≤12HF •AH ＝12S 矩形AHFD ，S △BKF ＝12KF •BH ≤12HF •BH ＝1
2
S 矩形BCFH ， ∴S △BEF ＝S △EKF +S △BKF ≤
1
2
S 矩形ABCD ＝3， 即当点F 为CD 的中点时，BEF 的面积最大， 此时，DF ＝
12CD ＝32
，点E 与点A 重合，BEF 的面积为3， ∴EF 22AD DF +＝
51
2
； 综上所述，BEF 的面积存在最大值，此时EF 的长为351． 【点睛】
此题考查的是矩形与折叠问题，此题难度较大，掌握矩形的性质、折叠的性质、等边三角形的性质和勾股定理是解决此题的关键． 2．（1）见解析；（2）92
8
；（3）4或6 【分析】
（1）由折叠的性质得ACB ACE ∠=∠，BC EC =，由平行四边形的性质得AD BC =，//AD BC ．则EC AD =，ACB CAD ∠=∠，得ACE CAD ∠=∠，证出OA OC =，则
OD OE =，由等腰三角形的性质得ODE OED ∠=∠，证出CAD ACE OED ODE ∠=∠=∠=∠，即可得出结论；
（2）证四边形ABCD 是矩形，则90CDO ∠=︒，==
CD AB AD BC ==
OA OC x ==
，则OD x ，在Rt OCD ∆中，由勾股定理得出方程，求出OA =
，由三角形面积公式即可得出答案；
（3）分两种情况：90EAD ∠=︒或90AED ∠=︒，需要画出图形分类讨论，根据含30角的直角三角形的性质，即可得到BC 的长． 【详解】
解：（1）证明：由折叠的性质得：ABC ∆≅△AEC ∆， ACB ACE ∴∠=∠，BC EC =，
四边形ABCD 是平行四边形，
AD BC ∴=，//AD BC ．
EC AD ∴=，ACB CAD ∠=∠， ACE CAD ∴∠=∠， OA OC ∴=， OD OE ∴=，
ODE OED ∴∠=∠， AOC DOE ∠=∠，
CAD ACE OED ODE ∴∠=∠=∠=∠，
//AC DE ∴；
（2）
平行四边形ABCD 中，90B ∠=︒，
∴四边形ABCD 是矩形，
90CDO ∴∠=︒
，==CD AB AD BC ==
由（1）得：OA OC =，
设OA OC x ==，则OD x =，
在Rt OCD ∆中，由勾股定理得：222)x x +=，
解得：4
x =，
OA ∴=
，
OAC ∴∆的面积112
28
OA CD =⨯=； （3）分两种情况：
①如图3，当90EAD ∠=︒时，延长EA 交BC 于G ，
AD BC =，BC EC =，
AD EC ∴=，
//AD BC ，90EAD ∠=︒，
90EGC ∴∠=︒， 30B ∠=︒，23AB
=， 30AEC ∴∠=︒，
11
22
GC EC BC ∴=
=， G ∴是BC 的中点，
在Rt ABG ∆中，3
3BG AB ==， 26BC BG ∴==；
②如图4，当90AED ∠=︒时
AD BC =，BC EC =，
AD EC ∴=，
由折叠的性质得：AE AB =，
AE CD ∴=，
在ACE ∆和CAD ∆中，AE CD CE AD AC CA =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，
()ACE CAD SSS ∴∆≅∆， ECA DAC ∴∠=∠，
OA OC ∴=，
OE OD ∴=，
OED ODE ∴∠=∠， AED CDE ∴∠=∠， 90AED ∠=︒， 90CDE ， //AE CD ∴， 又//AB CD ，
B ∴，A ，E 在同一直线上， 90BA
C EAC ∴∠=∠=︒，
Rt ABC ∆中，30B ∠=︒，23AB =
3
2AC AB ∴=
=，24BC AC ==； 综上所述，当AED ∆是直角三角形时，BC 的长为4或6．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握翻折变换的性质和平行四边形的性质是解题的关键． 3．（1）
2
14
t ；（2）22t =；（3）存在，如图2（见解析），当AHQ HBM ≅时，22t =3（见解析），当ADE AHE ≅时，32t =4（见解析），当
EGQ HBF ≅时，7
22
t =
【分析】
（1）先根据线段中点的定义可得1
2
AQ AP =
，再根据矩形的性质、角平分线的定义可得45HAQ ∠=︒，从而可得AQH 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可
得AH 的长，最后根据等腰直角三角形的面积公式即可得；
（2）先根据平行四边形的性质可得//HQ MP ，从而可得//HQ BP ，再根据三角形中位线定理可得HQ 是ABP △的中位线，从而可得1
22
AH AB =
=，然后与（1）所求的2
2
AH =
建立等式求解即可得； （3）分①当点H 是AB 的中点时，AHQ HBM ≅；②当点Q 与点E 重合时，
ADE AHE ≅；③当EG HB =时，EGQ HBF ≅三种情况，分别求解即可得．
【详解】
（1）由题意得：2AP t =， 点Q 为AP 的中点，
1
2
AQ AP t ∴=
=， 四边形ABCD 是矩形，
90B D BAD ∴∠=∠=∠=︒， AE ∵是BAD ∠的角平分线，
1452HAQ DAE BAD ∴∠=∠=∠=︒， QH AB ⊥，
AQH ∴是等腰直角三角形，
22AH HQ AQ t ∴===， 则AQH 的面积为
21124AH HQ t ⋅=； （2）如图1，四边形PQHM 是平行四边形，
//HQ MP ∴，
点M 在BC 边上，
//HQ BP ∴，
点Q 为AP 的中点，
HQ ∴是ABP △的中位线，
122
AH BH AB ∴===， 由（1）知，22AH t =
， 则22t =， 解得22t =；
（3）由题意，有以下三种情况：
①如图2，当点H 是AB 的中点时，则AH
HB =，
四边形PQHM 是平行四边形， //HM PQ ∴，
HAQ BHM ∴∠=∠，
在AHQ 和HBM △中，90HAQ BHM AH HB AHQ HBM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩
，
()AHQ HBM ASA ∴≅，
由（2）可知，此时
22t
=；
②如图3，当点Q 与点E 重合时，
在ADE 和AHE 中，9045D AHE DAE HAE AE AE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
()ADE AHE AAS ∴≅，
3AD AH ∴==，
则232
t =， 解得32t =；
③如图4，当EG HB =时，
四边形ABCD 是矩形，四边形PQHM 是平行四边形，
//,//CD AB HM PQ ∴，
,90GEQ HAQ BHF EGQ AHQ B ∴∠=∠=∠∠=∠=︒=∠，
在EGQ 和HBF 中，GEQ BHF EG HB EGQ B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
()EGQ HBF ASA ∴≅， 2,4AH t AB ==，
242HB AB AH t ∴=-=-
， 在Rt ADE △中，45,3DAE AD ∠=︒=，
Rt ADE ∴是等腰直角三角形，232AE AD ==，
32EQ AQ AE t ∴=-=-，
在Rt GEQ 中，45GEQ HAQ ∠=∠=︒，
Rt GEQ ∴是等腰直角三角形，22622t EG EQ -=
=， 则由EG HB =得：
2624t t -=-， 解得722
t =；
综上，如图2，当AHQ HBM ≅时，22t =；如图3，当ADE AHE ≅时，32t =4，当EGQ HBF ≅时，722
t =
【点睛】 本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分三种情况讨论并画出图
形是解题关键．
4．（1）12；（2）证明见详解；（3）
12
5
t s
=或t=4s．
【分析】
（1）由勾股定理求出AD即可；
（2）由等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠PBQ=∠PQB，再由等腰三角形的判定定理即可得出结论；
（3）分两种情况：①当点M在点D的上方时，根据题意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=12，得出MD=AD-AM=12-4t，由PQ∥MD，当PQ=MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可；
②当点M在点D的下方时，根据题意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=12，得出MD=AM-
AD=4t-12，由PQ∥MD，当PQ=MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可．
【详解】
（1）解：∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∴2222
201612
AD AB BD
=-=-=（cm），
（2）如图所示：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，即∠PBQ=∠C，
∵PQ∥AC，
∴∠PQB=∠C，
∴∠PBQ=∠PQB，
∴PB=PQ；
（3）分两种情况：
①当点M在点D的上方时，如图2所示：
根据题意得：PQ=BP=t ，AM=4t ，AD=12，
∴MD=AD-AM=12-4t ，
∵PQ ∥AC ，
∴PQ ∥MD ，
∴当PQ=MD 时，四边形PQDM 是平行四边形，
即：当t=12-4t ，时，四边形PQDM 是平行四边形， 解得：125
t =（s ）；
②当点M 在点D 的下方时，如图3所示：
根据题意得：PQ=BP=t ，AM=4t ，AD=12，
∴MD=AM-AD=4t-12，
∵PQ ∥AC ，
∴PQ ∥MD ，
∴当PQ=MD 时，四边形PQDM 是平行四边形，
即：当t=4t-12时，四边形PQDM 是平行四边形，
解得：t=4（s ）；
综上所述，当125
t s =
或t=4s 时，以P 、Q 、D 、M 为顶点的四边形为平行四边形． 【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定方法，进行分类讨论是解决问题（3）的关键．
5．（1）①详见解析；②45°-α；③2DF BF CF =+，详见解析；（2）2DF BF CF =，或2BF DF CF =，或2BF DF CF +=
【分析】
（1）①由题意补全图形即可；
②由正方形的性质得出1452DBE ABC ∠=∠=，由三角形的外角性质得出45BEF DBE BDF α∠=∠+∠=+，由直角三角形的性质得出
9045EBF BEF α∠=-∠=-即可；
③在DF 上截取DM=BF ，连接CM ，证明△CDM ≌△CBF ，得出CM=CF ， ∠DCM=∠BCF ，得出MF=2CF 即可得出结论；
（2）分三种情况：①当点E 在线段BC 上时，DF=BF+2CF ，理由同(1)③； ②当点E 在线段BC 的延长线上时，BF=DF+2CF ，在BF_上截取BM=DF ，连接CM ．同
(1)③得△CBM ≌△CDF 得出CM=CF ，∠BCM=∠DCF ，证明△CMF 是等腰直角三角形，得出MF=2CF ，即可得出结论；
③当点E 在线段CB 的延长线上时，BF+DF=2CF ，在DF 上截取DM=BF ，连接CM ，同
(1) ③得:ACDM ≌△CBF 得出CM=CF ，∠DCM=∠BCF ，证明△CMF 是等腰直角三角形，得出MF=2CF ，即可得出结论．
【详解】
解：（1）①如图，
②∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠ABC=90°，1452
DBE ABC ∠=∠=， ∴45BEF DBE BDF α∠=∠+∠=+，
∵BF ⊥DE,
∴∠BFE=90°，
∴9045EBF BEF α∠=-∠=-,
故答案为：45°-α；
③线段BF ，CF ，DF 之间的数量关系是2DF BF CF =+．
证明如下：在DF 上截取DM =BF ，连接CM ．如图2所示，
∵ 正方形ABCD ，
∴ BC =CD ，∠BDC =∠DBC =45°，∠BCD =90°
∴∠CDM =∠CBF =45°-α，
∴△CDM ≌△CBF （SAS ）．
∴ DM =BF ， CM =CF ，∠DCM =∠BCF ．
∴ ∠MCF =∠BCF+∠MCE
=∠DCM+∠MCE
=∠BCD =90°，
∴ MF =2CF ． ∴2.DF DM MF BF CF =+=+
（2）分三种情况：①当点E 在线段BC 上时，DF=BF+2CF ，理由同(1)③； ②当点E 在线段BC 的延长线上时，BF=DF+2CF ，理由如下：
在BF 上截取BM=DF ，连接CM ，如图3所示，
同(1) ③，得：△CBM ≌△CDF (SAS)，
∴CM=CF ， ∠BCM=∠DCF ．
∴∠MCF=∠DCF+∠MCD=∠BCM+∠MCD= ∠ BCD=90°，
∴△CMF 是等腰直角三角形，
∴MF=2CF ，
∴BF=BM+MF=DF+2CF ；
③当点E 在线段CB 的延长线上时，BF+DF=2CF ；理由如下：
在DF 上截取DM=BF ，连接CM ，如图4所示，
同（1）③得：△CDM ≌△CBF ，
∴CM=CF ，∠DCM=∠BCF ，
∴∠MCF=∠DCF+ ∠MCD= ∠DCF+∠BCF=∠BCD=90°，
∴△CMF 是等腰直角三 角形，
∴MF=2CF ,
即DM+DF=2CF ，
∴BF+DF=2CF ;
综上所述，当点E 在直线BC 上时，线段BF ，CF ，DF 之间的数导关系为：
2DF BF CF =+，或2BF DF CF =+，或2BF DF CF +=．
【点睛】
此题是四边形的一道综合题，考查正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，注意解题中分情况讨论避免漏解．
6．（1）见解析；（2）4.8；（3）
1282x x
- 【分析】
（1）证明△ABP ≌△BCQ 即可得到结论；
（2）证明Rt △ABN ≌△Rt △C 'BN 求出DQ ，设AN ＝NC '＝a ，则DN ＝8﹣a ，利用勾股定理即可求出a ；
（3）过Q 点作QG ⊥BM 于G ，设MQ ＝BM ＝y ，则MG ＝y ﹣x ，利用勾股定理求出MQ ，再根据面积相减得到答案.
【详解】
解：（1）证明：∵∠ABC ＝90°
∴∠BAP +∠APB ＝90°
∵BQ ⊥AP
∴∠APB +∠QBC ＝90°，
∴∠QBC ＝∠BAP ，
在△ABP 于△BCQ 中， ABP BCQ AB BC
BAP QBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△ABP ≌△BCQ （ASA ），
∴BP＝CQ，
（2）由翻折可知，AB＝BC'，
连接BN，在Rt△ABN和Rt△C'BN中，AB＝BC'，BN＝BN，
∴Rt△ABN≌△Rt△C'BN（HL），
∴AN＝NC'，
∵BP＝1
3
PC，AB＝8，
∴BP＝2＝CQ，CP＝DQ＝6，
设AN＝NC'＝a，则DN＝8﹣a，
∴在Rt△NDQ中，（8﹣a）2+62＝（a+2）2
解得：a＝4．8，
即AN＝4．8．
（3）解：过Q点作QG⊥BM于G，由（1）知BP＝CQ＝BG＝x，BM＝MQ．
设MQ＝BM＝y，则MG＝y﹣x，
∴在Rt△MQG中，y2＝82+（y﹣x）2，
∴
32
2
x
y
x
=+．
∴S△BMC′＝S△BMQ﹣S△BC'Q＝11
22
BM QG BC QC
''
⋅-⋅,
＝1321
()88 222
x
x
x
+⨯-⨯，
＝128
2x x
-．
【点睛】
此题考查正方形的性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理，正确理解题意画出图形辅助做题是解题的关键.
7．（1）12；（2）2S 1=36 +S 2.
【分析】
(1)根据已知条件证得四边形ABOC 是正方形，在点B 左侧取点G ，连接AG ，使AG=AE ，利用HL 证得Rt △ABG ≌Rt △ACE ，得到∠GAB=∠EAC,GB=CE ，再利用45DAE ︒∠=证得△GAD ≌△EAD ，得到DE=GB+BD ，由此求得DOE ∆的周长；
(2) 在OB 上取点F ，使AF=AE ，根据HL 证明Rt △ABF ≌Rt △ACE ，得到
∠FAE=∠ABC=90︒，再证明△ADE ≌△ADF ，利用面积相加关系得到四边形AEDF 的面积=S △ACE +S 四边形ACOF +S △ODE ，根据三角形全等的性质得到2S △ADE =S 正方形ABOC +S △OD E ，即可得到2S △ADE =36 +S △ODE .
【详解】
(1)∵点A 的坐标为(6,6)-，AB x ⊥轴，AC y ⊥轴，
∴AB=BO=AC=OC=6,
∴四边形ABOC 是菱形，
∵∠BOC=90︒，
∴四边形ABOC 是正方形，
在点B 左侧取点G ，连接AG ，使AG=AE ，
∵四边形ABOC 是正方形，
∴AB=AC ，∠ABG=∠ACE=90︒，
∴Rt △ABG ≌Rt △ACE ，
∴∠GAB=∠EAC,GB=CE ，
∵∠BAE+∠EAC=90︒，
∴∠GAB+∠BAE=90︒，
即∠GAE=90︒，
∵45DAE ︒∠=
∴∠GAD=45DAE ︒∠=,
又∵AD=AD,AG=AE ，
∴△GAD ≌△EAD ，
∴DE=GD=GB+BD,
∴DOE ∆的周长=DE+OD+OE=GB+BD+OD+OE=OB+OC=6+6=12
(2)2S1=36 +S2，理由如下：
在OB上取点F，使AF=AE，
∵AB=AC，∠ABF=∠ACE=90︒，
∴Rt△ABF≌Rt△ACE，
∴∠BAF=∠CAE,
∴∠FAE=∠ABC=90︒，
∵∠DAE=45︒，
∴∠DAF=∠DAE=45︒，
∵AD=AD，
∴△ADE≌△ADF，
∵四边形AEDF的面积=S△ACE+S四边形ACOF+S△ODE，
∴2S△ADE=S正方形ABOC+S△OD E，
∴2S△ADE=36 +S△ODE
.即：2S1=36 +S2
【点睛】
此题考查三角形全等的判定及性质，根据题中的已知条件证得三角形全等，即可利用性质得到边长相等，面积相等的关系，（2）中需根据面积的加减关系进行推导，这是此题的难点.
或
8．（1）35；（241；（353101
【分析】
（1）利用勾股定理即可求出.
（2）过点F作FH⊥AD交AD于的延长线于点H，作FM⊥AB于点M，证出≌，进而求得MF，BM的长，再利用勾股定理，即可求得.
∆∆
ECD FEH
（3）分两种情况讨论，同（2）证得三角形全等，再利用勾股定理即可求得.
【详解】
（1）由勾股定理得：22223635BF AB AF =+=+=
（2）过点F 作FH ⊥AD 交AD 于的延长线于点H ，作FM ⊥AB 于点M ，如图2所示：
则FM=AH ，AM=FH ∵四边形CEFG 是正方形 ∴EC=EF,∠FEC=90° ∴∠DEC+∠FEH=90°，
又∵四边形ABCD 是正方形 ∴∠ADC=90° ∴∠DEC+∠ECD=90°，∴∠ECD=∠FEH 又∵∠EDC=∠FHE=90°，∴ECD FEH ∆∆≌ ∴FH=ED EH=CD=3
∵AD=3,AE=1,ED=AD-AE=3-1=2,∴FH=ED=2
∴MF=AH=1+3=4，MB=FH+CD=2+3=5
在Rt △BFM 中，BF=22225441BM MF +=+=
（3）分两种情况：
①当点E 在边AD 的左侧时，过点F 作FM ⊥BC 交BC 的反向延长线于点M ，交DE 于点N.如图3所示：
同（2）得：ENF DEC ∆≅∆
∴EN=CD=3，FN=ED=7
∵AE=4∴AN=AE-EN=4-3=1
∴MB=AN=1 FM=FN+NM=7+3=10
在Rt FMB ∆中
由勾股定理得：2222101101FB FM MB =++=
②当点E 在边AD 的右侧时，过点F 作FN ⊥AD 交AD 的延长线于点N ，交BC 延长线于M ，如图4所示：
同理得： CDE EFN ∆≅∆
∴NF=DE=1，EN=CD=3
∴FM=3-1=2，CM=DN=DE+EN=1+3=4
∴BM=CB+CM=3+4=7
在Rt FMB ∆中 由勾股定理得：22222753FB FM MB =+=+=
故BF 的长为53101或
【点睛】
本题为考查三角形全等和勾股定理的综合题，难点在于根据E 点位置的变化，画出图形，注意（3）分情况讨论，难度较大，属压轴题，熟练掌握三角形全等的性质和判定以及勾股定理的运用是解题关键.
9．（1）①证明见解析；②60EBF ∠=︒；（2）3IH FH =
；（3）222EG AG CE =+. 【分析】
（1）①由DOE BOF ∆≅∆，推出EO OF =，
OB OD =，推出四边形EBFD 是平行四边形，再证明EB ED =即可．
②先证明2ABD ADB ∠=∠，推出30ADB ∠=︒，延长即可解决问题．
（2）3IH FH =．只要证明IJF ∆是等边三角形即可．
（3）结论：222EG AG CE =+．如图3中，将ADG ∆绕点D 逆时针旋转90︒得到DCM ∆，先证明DEG DEM ∆≅∆，再证明ECM ∆是直角三角形即可解决问题．
【详解】
（1）①证明：如图1中，
四边形ABCD 是矩形，
//AD BC ∴，OB OD =，
EDO FBO ∴∠=∠，
在DOE ∆和BOF ∆中，
EDO FBO OD OB
EOD BOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， DOE BOF ∴∆≅∆，
EO OF ∴=，OB OD =，
∴四边形EBFD 是平行四边形，
EF BD ⊥，OB OD =，
EB ED ∴=，
∴四边形EBFD 是菱形．
②BE 平分ABD ∠，
ABE EBD ∴∠=∠，
EB ED =，
EBD EDB ∴∠=∠，
2ABD ADB ∴∠=∠，
90ABD ADB ∠+∠=︒，
30ADB ∴∠=︒，60ABD ∠=︒，
30ABE EBO OBF ∴∠=∠=∠=︒，
60EBF ∴∠=︒．
（2）结论：3
IH FH =．
理由：如图2中，延长BE 到M ，使得EM EJ =，连接MJ ．
四边形EBFD 是菱形，60B ∠=︒，
EB BF ED ∴==，//DE BF ，
JDH FGH ∴∠=∠，
在DHJ ∆和GHF ∆中，
DHG GHF DH GH
JDH FGH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， DHJ GHF ∴∆≅∆，
DJ FG ∴=，JH HF =，
EJ BG EM BI ∴===，
BE IM BF ∴==，
60MEJ B ∠=∠=︒，
MEJ ∴∆是等边三角形，
MJ EM NI ∴==，60M B ∠=∠=︒
在BIF ∆和MJI ∆中，
BI MJ B M BF IM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
BIF MJI ∴∆≅∆，
IJ IF ∴=，BFI MIJ ∠=∠，HJ HF =，
IH JF ∴⊥，
120BFI BIF ∠+∠=︒，
120MIJ BIF ∴∠+∠=︒，
60JIF ∴∠=︒，
JIF ∴∆是等边三角形，
在Rt IHF ∆中，90IHF ∠=︒，60IFH ∠=︒，
30FIH ∴∠=︒， 3
IH FH ∴=．
（3）结论：222EG AG CE =+．
理由：如图3中，将ADG ∆绕点D 逆时针旋转90︒得到DCM ∆，
90FAD DEF ∠+∠=︒，
AFED ∴四点共圆，
45EDF DAE ∴∠=∠=︒，90ADC ∠=︒，
45ADF EDC ∴∠+∠=︒，
ADF CDM ∠=∠，
45CDM CDE EDG ∴∠+∠=︒=∠，
在DEM ∆和DEG ∆中，
DE DE EDG EDM DG DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
DEG DEM ∴∆≅∆，
GE EM ∴=，
45DCM DAG ACD ∠=∠=∠=︒，AG CM =，
90ECM ∴∠=︒
222EC CM EM ∴+=，
EG EM =，AG CM =，
222GE AG CE ∴=+．
【点睛】
本题考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
10．（1）①D 、E ，②A ，理由见解析；（2）①作图见解析；②BE 与AF 可能相等，AE 的长度分别为43，367，2或18． 【分析】
（1）根据互为顶点，互为勾股顶针点的定义即可判断．
（2）①以C 为圆心，CB 为半径画弧交AD 于F ，连接CF ，作∠BCF 的角平分线交AB 于E ，点E ，点F 即为所求．
②分四种情形：如图①中，当BE AF =时；如图②中，当BE AF =时；如图③中，当BE BC AF ==时，此时点F 与D 重合；如图④中，当BE CB AF ==时，点F 与点D 重合，分别求解即可解决问题．
【详解】
解：（1）根据互为顶点，互为勾股顶针点的定义可知：
①点A 与点D 和E 关于BC 互为顶针点；
②点D 与点A 关于BC 互为勾股顶针点，
理由：如图2中，
∵△BDC 是等边三角形，
∴∠D ＝60°，
∵AB ＝AC ，∠ABC ＝30°，
∴∠ABC ＝∠ACB ＝30°，
∴∠BAC ＝120°，
∴∠A ＋∠D ＝180°，
∴点D 与点A 关于BC 互为勾股顶针点，
故答案为：D 和E ，A ．
（2）①如图，点E 、F 即为所求(本质就是点B 关于CE 的对称点为F ，相当于折叠)．
②BE 与AF 可能相等，情况如下：
情况一：如图①，
由上一问易知，,BE EP BC PC ==，
当BE AF =时，设AE x =，连接EF ，
∵,,90BE EP AF EF EF EAF FPE ===∠=∠=︒，
∴()EAF FPE HL ∆∆≌，
∴AE PF x ==，
在Rt CDF ∆中，
()1082DF AD AF x x =-=--=+，
10CF PC PF x =-=-，
∴2228(2)(10)x x ++=-， 解得43x =
，即43
AE =； 情况二：如图②
当BE AF =时，设AE x =，同法可得PF AE x ==，
则8BE AF x ==-，FP FG GP EG AG AE x =+=+==，
则18DF x =-，10CF x =+，
在Rt CDF ∆中，则有2228(18)(10)x x +-=+，
解得：367
x =； 情况三：如图③，
当BE BC AF ==时，此时点D 与F 重合，可得1082AE BE AB =-=-=； 情况四：如图④，
当BE CB AF ==时,此时点D 与F 重合，可得18AE AB BE AB BC =+=+=． 综上所述，BE 与AF 可能相等，AE 的长度分别为
43，367，2或18． 【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。