2019版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用2.11导数在研究函数中的应用二课后作业布置讲解理

fx ∵ f ( － 3) ＝0，∴ f (3) ＝ 0，∴由不等式 g x <0，
可得 x<－ 3 或 0<x<3，
故原不等式的解集为 { x| x<－3 或 0<x<3} ，故选 D.
3．(2017 ·冀州月考 ) 函数 f ( x) ＝ x3＋bx2＋ cx＋d 的图象如图所示， 则 x21＋ x22等于 (
a 的取
值范围为 (
)
1 A. －∞， e＋ 1
1 B. －∞， e＋ 1
1 ห้องสมุดไป่ตู้. e＋ 1，＋∞
1 D. e，＋∞
答案 B
解析
函数
y＝
x
xe
＋
x2
＋
2x＋
a
恰有两个不同的零点，
就是
xe
x
＋
x2＋
2x
＋
a＝
0
恰有两个不同的实数解，
设 g( x) ＝ xex＋ x2＋ 2x，
则 g′（x) ＝ ex＋ xex＋ 2x＋ 2＝ ( x＋1)(e x＋ 2) ，
4
x＋
x－
＋ x＝x－ 1＋ x＝f ( x) 的最小值． f ′（x) ＝
x－ 2
，可得 x＝ 3 时，
函数 f ( x) 取得极小值即最小值 f (3) ＝5. ∴ a2＋ 2a＋2≤5，化为 a2＋ 2a－3≤0，
即 ( a＋ 3)( a－1) ≤0，解得－ 3≤ a≤1.
因此 a 的最小值为－ 3. 故选 A.
1 ∵ f (1) ＝－ ae＋ 1>0，∴ a<e.
1 综上可得 a 的取值范围是 0，e . 故选 A. 8．(2017 ·濮阳期末 ) 函数 f ( x) ＝ x3－ 3x－ 1，若对于区间 [ － 3,2] 上的任意 x1，x2 都有 | f ( x1)
－ f ( x2)| ≤ t ，则实数 t 的最小值是 (
x<－ 1， g′（x)<0 ，函数是减函数， x>－ 1， g′( x)>0 ，函数是增函数，
1
1
函数的最小值为 g( － 1) ＝－ 1－ e，则－ a>－ 1－ e，
即
1 a<1＋ e . 函数
y
＝
x
x
e
＋
x2
＋
2x
＋
a
恰有两个不同的零点，则实数
a 的取值范围为
1 －∞， e＋ 1 . 故选 B.
①当 a＝ 0 时， (*) 无解，符合题意，
1 ②当 a≠０时，由 (*) 得， a＝－ exx2，∴ a>0，
由于这两种情况都有，当 0<x<1 时， f ′（x)<0 ，于是 f ( x) 为减函数， 当 x>1 时， f ′（x)>0 ，于是 f ( x) 为增函数，
∴ x＝ 1 为 f ( x) 的极值点，
f
(
x)
＝－
1x3＋
1 x
2＋
2ax
在
32
2 3，＋∞
上存在单调递增区间，则
a 的取值范围
是 ________．
答案
1 －9，＋∞
解析
对 f ( x) 求导，得
f ′（x) ＝－ x2＋ x＋ 2a＝－
1 x－ 2
2＋ 1＋ 2a. 4
2
22
2
当 x∈ 3，＋∞ 时， f ′（x) 的最大值为 f ′ 3 ＝ 9＋ 2a. 要使 f ( x) 在 3，＋∞ 上存在单
A． ( － 3，＋∞ )
B． ( －∞，－ 3)
1 C. － ，＋∞
3
1 D. －∞，－
3
答案 B 解析 y＝ aex＋ 3x，求导， y′＝ aex＋ 3， 由若函数 y＝ aex＋ 3x 在 R 上有小于零的极值点， 则 y′＝ aex＋ 3＝ 0 有负根，则 a≠0，
则
ex ＝－
3 a在
y
轴的左侧有交点，
1
D．0≤ a<e或 a＝－ e
答案 A
解析
f
(
x)
＝
a(
x－
2)e
x
＋
ln
1 x＋ x， x>0，
∴
f
′（x)
＝a(
x－
1)e
x
＋
1 x－
1 x2＝
(
x－
1)
ae
x＋
1 x2
，
由 f ′（x) ＝ 0 得到
x＝ 1 或
ae
x＋
1 x 2＝
0(*)
．
由于 f ( x) 仅有一个极值点，
关于 x 的方程 (*) 必无解，
B． (0 ，＋∞）
C． (2017 ，＋∞ )
D． ( －∞， 0) ∪ (2017 ，＋∞）
答案 B 解析 设 g( x) ＝ exf ( x) － ex，则 g′（x) ＝exf ( x) ＋ exf ′（x) － ex＝ ex[ f ( x) ＋ f ′（x) －1] ， ∵ f ( x) ＋ f ′（x)>1 ，ex>0， ∴ g′（x) ＝ex[ f ( x) ＋f ′（x) － 1]>0 ，
则 a 的取值范围是 ( )
1 A. － 2， 0
ln 2 ＋1 B. 0， 4
1 C. 2， 1
ln 2 ＋ 1 1
D.
4 ，2
答案 D
解析 f ( x) ＝ x(ln x－ ax) ，求导 f ′（x) ＝ ln x－ 2ax＋1，
由题意，关于 x 的方程 2ax＝ln x＋ 1 在区间 (0,2) 有两个不相等的实根，则 ＝ ln x＋ 1 有两个交点，
2
2
1
调递增区间， 则必须有 f ′ 3 >0，即9＋ 2a>0，解得 a>－9，所以 a 的取值范围是
1
－ ，＋∞ 9
.
12 ．(2017 ·信阳模拟 ) 已知 R 上可导函数 f ( x) 的图象如图所示，则不等式 ( x2－ 2x －
3) f ′（x)>0 的解集为 ________．
答案 ( －∞，－ 1) ∪ ( － 1,1) ∪ (3 ，＋∞） 解析 由函数图象可知 f ′（x)>0 的解集为 ( －∞，－ 1) ∪ (1 ，＋∞ ) ， f ′（x)<0 的解集 为 ( － 1,1) ． 由 ( x2－ 2x－3) f ′（x)>0 ，得
∴ g( x) 是 R 上的增函数．
又 g(0) ＝ f (0) － 1＝2017 ，
∴ g( x)>2017 的解集为 (0 ，＋∞ ) ，
即不等式
exf
(
x
)>e
x
＋
2017
的解集为
(0 ，＋∞ ) ．故选
B.
6．(2017 ·金华模拟 ) 设函数 f ( x) ＝x(ln x－ ax)( a∈ R) 在区间 (0,2) 上有两个极值点，
∴ f ( x) ＝ max f (2) ＝ f ( － 1) ＝ 1，
f ( x) ＝ min f ( － 3) ＝－ 19，
∴ f ( x) － max f ( x) ＝ min 20，
∴ t ≥20，
∴实数 t 的最小值是 20，故选 A. 9．(2018 ·黄陵模拟 ) 已知函数 y＝ xex＋ x2＋ 2x＋a 恰有两个不同的零点，则实数
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2.11 导数在研究函数中的应用 ( 二)
[ 重点保分 两级优选练 ]
A级
一、选择题 1．(2017 ·安庆二模 ) 若函数 y＝ aex＋ 3x 在 R 上有小于零的极值点，则实数
a 的取值范
围是 ( )
)
A． ( － 3,0) ∪ (3 ，＋∞ )
B． ( － 3,0) ∪ (0,3)
C． ( －∞，－ 3) ∪ (3 ，＋∞ )
D． ( －∞，－ 3) ∪ (0,3)
答案 D
解析 ∵ f ( x) ， g( x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，
fx
fx
∴ g x 为奇函数， g x 的图象关于原点对称．
5．(2018 ·兴庆区模拟 ) 设 f ( x) 是定义在 R 上的函数，其导函数为 f ′（x) ，若 f ( x) ＋
f ′（x)>1 ，f (0) ＝ 2018，则不等式 exf ( x)>e x＋2017( 其中 e 为自然对数的底数 ) 的解集为 (
)
A． ( －∞， 0) ∪ (0 ，＋∞ )
3x2－ 6x＋ 2，由图可得
x1， x2 为 3x2－ 6x＋ 2＝ 0 的根，则
2 x1＋x2＝ 2， x1x2＝ ，故
x21＋x22＝ ( x1
3
＋
x 2)
2
－
2x1
x2＝
8 3.
a2＋ 2a＋2 4
4 ．(2017 ·合肥期中 ) 已知
x
≤ x2－x＋ 1 对于任意的
x∈ (1 ，＋∞ ) 恒成立，则
当 x<0 时， f ′（x) g( x) － f ( x) g′（x)>0 ，
fx
f
∴ g x ′＝
x g x －f x g g2 x
x >0，
fx
fx
∴当 x<0 时， g x 是增函数，故当 x>0 时， g x 也是增函数 .
fx 函数 g x 的单调性的示意图，如图所示：
1
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y＝ 2ax 与 y
3
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1 由 y＝ ln x＋ 1，求导 y′＝ x，
ln x0＋1 1
设切点 ( x0，y0) ，
x0
＝
x
，解得
0
x0＝ 1，
1 ∴切线的斜率 k＝ 1，则 2a＝1， a＝ 2，
ln 2 ＋ 1 则当 x＝ 2，则直线斜率 k＝ 2 ，
)
2
4
A. 3
B. 3
8
16
C. 3
D. 3
答案 C 解析 由图象可得 f ( x) ＝ 0 的根为 0,1,2 ，故 d＝ 0， f ( x) ＝ x( x2＋ bx＋ c) ，则 1,2 为 x2 ＋ bx＋c＝ 0 的根，由根与系数的关系得 b＝－ 3， c＝ 2，故 f ( x) ＝ x3－3x2＋ 2x，则 f ′（x) ＝
，令
xx
2
2
2
h′（x) ＝ 0，得 x＝ 2 或 x＝－ 2 ( 舍去 ) ，显然 x＝ 2 是函数 h( x) 在其定义域内唯一的极小
2 值点，也是最小值点，故 t ＝ 2 .
5
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二、填空题
11．若函数
x2－ 2x－3>0， ①
f x，
x2－ 2x－ 3<0，
或
②
f x，
解①得 x<－ 1 或 x>3； 解②得－ 1<x<1. ∴不等式 ( x2－ 2x－ 3) f ′（x)>0 的解集为 ( －∞，－ 1) ∪ ( － 1,1) ∪ (3 ，＋∞ ) ． 故答案为 ( －∞，－ 1) ∪ ( － 1,1) ∪ (3 ，＋∞ ) ． 13．(2017 ·七里河模拟 ) 定义在 R 上的奇函数 y＝ f ( x) 满足 f (3) ＝ 0，且当 x>0 时，不 等式 f ( x)> － xf ′（x) 恒成立，则函数 g( x) ＝ xf ( x) ＋lg | x＋ 1| 的零点的个数是 ________． 答案 3 解析 定义在 R上的奇函数 f ( x) 满足： f (0) ＝ 0＝ f (3) ＝ f ( － 3) ， 且 f ( － x) ＝－ f ( x) ，
3 ∴ 0<－ a<1，解得： a<－ 3，
实数 a 的取值范围为 ( －∞，－ 3) ．故选 B.
2．(2018 ·太原模拟 ) 设 f ( x) ，g( x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数， g( x) ≠0，当
fx
x<0 时， f ′（x) g( x) － f ( x) g′（x)>0 ，且 f ( － 3) ＝ 0，则不等式 g x <0 的解集是 (
上的任意 x，都有 f ( x) － max f ( x) min≤t . ∵ f ( x) ＝ x3－ 3x－ 1， ∴ f ′（x) ＝3x2－ 3＝ 3( x－ 1)( x＋ 1) ，
∵ x∈ [ － 3,2] ，
∴函数在 [ － 3，－ 1] ， [1,2] 上单调递增，在 [ －1,1] 上单调递减，
则
ln a＝
2＋ 4
1 ，
ln 2 ＋ 1 1
∴ a 的取值范围为
4 ，2 ，故选 D.
7 ．(2017 ·江西模拟
) 若函数
f ( x) ＝ a( x－ 2)e x ＋ln
1 x＋ 存在唯一的极值点，且此极值
x
大于 0，则 ( )
1
A．
0≤
a< e
1 B．0≤ a<e2
11 C．－ e<a<e2
1
()
A． a 的最小值为－ 3
B． a 的最小值为－ 4
C． a 的最大值为 2
D． a 的最大值为 4
答案 解析
A
a2＋ 2a＋ 2 4
x
≤ x2－ x＋ 1 对于任意的
x∈ (1 ，＋∞ ) 恒成立，
转化为
a2
＋
2
a＋
2≤
x
4x 2－
x
2
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)
A． 20 B ．18 C ． 3 D ． 0
答案 A
4
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解析 对于区间 [ － 3,2] 上的任意 x1，x2 都有 | f ( x1 ) － f ( x2)| ≤ t ，等价于对于区间 [ － 3,2]
10．设直线 x＝ t 与函数 f ( x) ＝ x2， g( x) ＝ ln x 的图象分别交于点
M， N，则当 | MN| 达到
最小时 t 的值为 ( )
1
5
2
A． 1 B. 2 C. 2 D. 2
答案 D
解析 | MN| 的最小值，即函数
h( x) ＝x2－ ln
1 2x2－ 1
x 的最小值， h′（x) ＝ 2x－ ＝