【数学】高二数学下学期第一次月考习题理6

【关键字】数学
福建省三明市2016-2017学年高二数学下学期第一次月考试题理
（考试时间：120分钟总分：100分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项符合题目要求，请把答案填在答题卷相应的位置上．
1．空间中两点,之间的距离为（）
A．B．C．D．
2.直线的倾斜角等于（）
A．B．C．D．
3．已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系是（）
A．外离B．相切C．相交D．内含
4．已知直线，直线，下列命题中正确的是（）
A．∥∥B．C．D．
5．设点圆上的一个动点，则点到直线的距离最小值为（）
A．B．C．D．
6．若数列满足，且，则（）
A．B．C．D．
7．已知在△中，,则△的形状为（）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形
8．设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（）
A．B．C．D．
9．已知等比数列中，若、是方程的两个根，则（）
A．B．C．D．无法确定
10．一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积为()
A．B．
C．D．
11．若，，则（）
A．B．C．D．
12．如图，一个无盖圆台形容器的上、下底面半径分别为和，高为，AD，BC是圆台的两条母线（四边形是经过轴的截面）．一只蚂蚁从A处沿容器侧面（含边沿线）爬到C处，最短路程等于（）A．B．
C ．
D ．
2、填空题：本大题共4小题中，每小题3分，共12分.请把答案写在答题卷相应位置上． 13．已知直线与直线平行，则实数的值为 . 14．在等差数列中，已知，则该数列前11项的和 . 15．过点与圆相切的直线方程为 . 16．对于，当非零实数满足且使最大时，的最小值为 .
三、解答题：本大题共6小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分8分）
已知在平面直角坐标系中，△的三个顶点的坐标分别我，,, （Ⅰ）求边的中线所在的直线方程； （Ⅱ）求证：.
18. （本小题满分8分） 已知等差数列的前和为，，， （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前100项和.
19.（本小题满分8分）
解关于x 不等式:22
0x x a a -+-< (a R ∈).
20．（本小题满分8分）
在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c , sin 3cos b A a B ,
（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若3b ,2a ，求△ABC 的面积.
21．（本小题满分10分）
已知过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆C :()()2
2
231x y -+-=交于,M N 两点. （Ⅰ）求k 的取值范围；
（Ⅱ）若12OM ON ⋅=,其中O 为坐标原点，求MN .
22．（本小题满分10分）
如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD . （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面BED .
（Ⅱ）若120ABC ∠=,AE EC ⊥,2AB =,求点G 到平面AED 的距离.
2016-2017学年（上）高二理科数学入学考试参考答案
一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
B
D
C
C
A
C
D
B
B
A
C
A
二、填空题： 13． 1
2
-
14．88 15．20x y ±-= 16．1- 三、解答题：
17.解：（Ⅰ）设AC 的中点为M ,则M 的坐标为
11
,32
， …………1分 所以直线BM 斜率为31811
62
BM
k ， …………2分
所以AC 边的中线BM 所在的方程为186y x ，即8470x y .………4分
(注：用“两点式”求直线方程亦可) （Ⅱ）5
13
26
2
BA
k ,1
12
96
3
BC k , ………6分 1BA BC
k k ，
所以BA
BC 即 90ABC . ………8分
(注：也可用“向量法”、“勾股定理”等证明) 18.解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d ，
则515149
54
5252
a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩， …………2分 解得11
2a d =⎧⎨
=⎩
， …………3分 所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =-； …………4分 （Ⅱ）设数列{}n b 的前100项和n T ,
()()1
111212122121n b n n n n ⎛⎫
=
=- ⎪-+-+⎝⎭
, …………5分
所以10011111
110012335199201201
T ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=
-+-++-=
⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦. …………8分 19.解：原不等式可化为：10x a x a ， …………1分
令10x a
x a ，则1x a x a 或， …………2分
①当1a a 即1
2
a 时，原不等式的解集为1x a x a ； …………4分
②当1a a 即1
2
a 时，原不等式的解集为； …………6分 ③当1a a 即1
2
a
时，原不等式的解集为1x a x a . …8分
20．法一：解：（Ⅰ）sin 3cos b A a B ，所以sin sin 3sin cos B A
A B , ……1分
因为0A ，所以sin 0A ，所以sin 3cos B B ，即tan 3B
. ……3分
因为0
B
，所以3
B
. …………4分
（Ⅱ）由余弦定理2222cos b a c ac B 得2942c c 即2250c c ，
所以1
6c ,(0c ) …………6分
所以△ABC 的面积为1
13332
sin 216
22
22
ABC
S
ac B . …8分． 法二：（Ⅰ）同上. …………4分 （Ⅱ）由正弦定理
sin sin a
b A B 得
23
sin 32
A
，所以3
sin 3
A , …………5分 因为a b ，所以02
A
，所以6
cos 3
A
， …………6分 所以3163332
sin sin sin cos cos sin 32326
C A B A B A B
,7分 所以△ABC 的面积为1
332
sin 2
2
ABC
S ab c . …8分．
21.解: 法一：（1）由题知可设直线l 的方程为1y kx =+， …………1分
由()()22
1231
y kx x x =+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩消去y 得()()2214170k x k x +-++=. …………2分 因为直线l 与圆C 有两个交点，所以()(
)2
2
414170k k
∆=-+-⨯+⨯>⎡⎤⎣⎦， ……3分
解得k 的取值范围4747-+⎝⎭
. ………4分
M G
E
D
A
（2）设()()1122,,,M x y N x y ， 由（1）得()122411k x x k ++=
+，122
7
1x x k
⋅=+， …………5分 ()()1212121211OM ON x x y y x x kx kx ⋅=+=++⋅+
()()()
212122
411181k k k x x k x x k
+=++++=
++. …………6分 由题设可知
()
2
418121k k k ++=+，解得47471,33k ⎛⎫-+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭
…………8分 所以直线l 的方程为1y x =+. …………9分 故圆心()2,3在直线l 上，所以2MN =. …………10分 法二：（1）因为直线l 与圆C 有两个交点，所以圆心C 到直线l 的距离小于半径， 即
2231
11k k -+<+，解得k 的取值范围4747,3
3⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭. ……………………4分 （2）同上 . ……………………10分 22.解：法一：(1)因为四边形ABCD 为菱形，
所以AC BD ⊥, …………1分 因为BE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，
所以AC BE ⊥, …………2分 又因为BD
BE B =,所以AC ⊥平面BED . …………3分
又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED . …………5分 (2)取AD 中点为M ,连接EM . 因为120ABC ∠=,2AB =， 所以2AB BD ==,3AG =1DG =, 因为AE EC ⊥，所以1
32
EG AC ==所以2BE =, …………6分 所以6AE DE ==
又所以AD 中点为M ，所以EM AD ⊥且5EM =设点G 到平面AED 的距离为为h ，则 三棱锥E ADG -的体积为
1111
3232
E ADG G ADE V AG DG BE V AD EM h --=⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯，
M
G
E
D
A
B
C
H 即1111
312253232
h ⨯⨯⨯⨯=
⨯⨯⨯⨯, 解得30
10
h =
. 所以点G 到平面AED 的距离为
30
10
. …………10分 法二：（1）同上. …………5分 (2) 取AD 中点为M ,连接EM 、BM . 过点B 作BH EM ⊥,垂足为H . 因为120ABC ∠=,2AB =， 所以2AB BD ==,BM AD ⊥,3AG =
,1DG =,
因为AE EC ⊥，所以1
32
EG AC ==,所以
2BE =, …………6分
所以6AE DE ==,
又AD 中点为M ，所以EM AD ⊥且5EM =因为BM
EM M =,所以AD ⊥平面BEM .
又BH ⊂平面BEM ，所以AD BH ⊥. 又BH EM ⊥,AD
EM M =,所以BH ⊥平面ADE ,
在Rt BEM ∆中，3230
5
BM BE BH EM ⋅⨯=
==
, …………9分 而G 为BD 中点，所以点G 到平面AED 的距离130
210
BH =. …………10分
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