浙江省浦江县第四中学2015届九年级3月提前批测试数学试卷

综合能力测试（2015.3.7）数学试题卷
一． 选择题（共8题，每题4分，共计32分）
1.如图,一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等,当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转,直至回到原出发位置时,则这个圆共转了 ( ) A ．4圈 B ．3圈 C ．5圈 D ．3.5圈
2.如图，点A (,)(0)p q p q <<在反比例函数3
y x
=
的图像上，且OA =5，过A 作AC ⊥y 轴，垂足为C ，线段OA 的垂直平分线交OC 于点B ，连结AB ，则△ABC 的周长为（ ） A ．8 B ．7
D 3.若x
y 1-
=图像与bx x y +-=2
图像有且仅有2个不同的公共点()11,y x A ，()22,y x B ,则下列判断正确的是（ ） A ．021>+x x ，021>+y y B ．021>+x x ，021<+y y C ．021<+x x ，021>+y y
D ．021<+x x ，021<+y y
4.把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2
y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）． （A ）
512 （B ）49 （C ）1736 （D ）1
2
5.已知实数x 满足22114x x x x ++-=，则1
x x
-的值是（ ） A.－2
B.1
C.－1或2
D.－2或1
6.如图，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A 、B 、E 在同一直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG ，PC 。

若∠ABC =∠BEF =60°，则=PC
PG
（ ）
A.2
B. 3
C.
22 D.3
3 7．P 是△ABC 内一点，AD 、BE 、CF 过点P 并且交边BC 、CA 、AB
第1题
于D 、 E 、F ，
( )
A 1
B 2
C 3
D 4
8.．已知△ABC 中，BC = a ，AC =b ，AB =c ，且2b =a +c ，延长CA 到D ，使AD =AB
连结BD ，则11tan BAC tan BCA 22
⋅∠∠的值为（ ）
（A ）
12 （B ）13 （C ）34 （D ）45
二． 填空题（共7题，每题5分，共计35分）
9．若2x +5y -5=0,则4x ×32y =______________
10．记()()()()()2
4
8
256
12121212121x x =++++⋅⋅⋅++，则是 ．
11..如图，两个同心圆的圆心都是O ，AD 是大圆的直径，大圆的弦AB ,BE 分别与小圆相切于点C ,F ，连接BD ，则∠ABE +2∠D =___________.
12．如图，在平面直角坐标系中，一半径为2的圆的圆心的初始位置在）（2,0，此时圆上一点P 的位置在）（0,0，圆在x 轴上以每秒3
π
的速度沿x 轴正方向滚动，8秒时P 点到x 轴
x 1,x 2,且x 1<2<x 2,则a 的取值范围为 14．如图，正方形ABCD 的边长为1，,M N 为BD 所在直线上的两点，
且AM =135MAN ∠=︒，则四边形AMCN 的面积为___________
15．方程x 2+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图象与函数y ＝1
x 的图象交点的横坐标，那么方程kx 2+x －4＝0的两个解其实就是直线 与双曲线 图象交点的横坐标，若这两个交点均在直线y ＝x 的同侧，则实数k 的取值范围是 .
三． 解答题（共5题，每题8分、10分、11分、12分、12分，共计53分） 16．已知非零实数,a b 满足ab a b =-，试求a b ab b
a
+-的值．
（第14题）
17.阳光公司生产某种产品，每件成本3元，售价4元，年销售量为20万件，为获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。

根据经验，每年投入的广告费是x （万元）时，产品的销量是原销量的y 倍，且y 与x 之间满足：
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤<++-≤<+=)310
19)31(10710710
1
)10(1
103
2x x x x x x y （
如果把利润看成是销售总额减去成本费和广告费。

（1） 试求出年利润S （万元）与广告费x （万元）的函数关系式，并注明x 的取值范围； （2） 若52
1
≤≤x ，要使利润S 随广告费x 的增大而增大，求x 的取值范围。

18.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，cos A ＝4
5．以AB 为直径作半圆，圆心为O ，半圆分别交BC 、AC 于点D 、E ． （1）求证：CD ＝BD ； （2）求CE
AE 的值；
（3）若过点D 的直线与⊙O 相切，且交AB 的延长线于点P ，交AC 于点Q ，求CQ
BP 的值．
19． 设抛物线2
2y ax bx =+-与x 轴交于两个不同的点A （－1，0）、B （m ，0），与y 轴交于点C .且∠ACB ＝90°.
（1）求m 的值和抛物线的解析式；
（2）已知点D （1，n ）在抛物线上，过点A 的直线1y x =+交抛物线于另一点E . 若点P 在x 轴上，以点P 、B 、D 为顶点的三角形与△AEB 相似，求点P 的坐标.
（3）在（2）的条件下，△BDP 的外接圆半径等于________________.
20. 如图，圆O 的直径为5，在圆O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P ，已知BC ：
CA=4：3，点P 在半圆弧AB 上运动（不与A 、B 重合），过C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点．
（1）求证：AC •CD=PC •BC ；
（2）当点P 运动到AB 弧中点时，求CD 的长；
（3）当点P 运动到什么位置时，△PCD 的面积最大？并求这个最大面积S ．
21.在ΔABC 中，AB =AC ，BC =6，sinB =
5
4
，点P 从点B 出发沿射线BA 移动，同时点Q 从点C 出发沿线段AC 的延长线移动，已知点P 、Q 移动的速度相同，PQ 与直线BC 相交于点D ．
(1)如图(1)，当点P 为AB 的中点时，求CD 的长；
(2)如图(2)，过点P 作直线BC 的垂线，垂足为点E ，当点P 、Q 在移动的过程中，线段BE 、DE 、CD 中是否存在长度保持不变的线段?请说明理由； (3)如图(3)，当PQ 经过ΔABC 的重心G 时，求BP 的长．
1.A
2.D
3.C
4.D
5. D
6.B
7.B
8.B
9. 32
10． 512
2
11. 180 12.3
13． -4/15小于a 小于0 14．
2
15．1y kx =+ 4y x = 113
01622
k k -<<<<或
16．解：（1）由ab a b =-得，1a
b a
=
+， 将b 消去可得，111a
a b a a
a a
b a a b a a a a
++-=+-⋅++
=2
1111a a a a
++-
++ 2(1)21a a +==+ 17.解:(1)⎪⎩
⎪⎨⎧
>-≤<++-≤<+=)3(38)31(14132)10(2052
x x x x x x x S
(2)在)10(205≤<+=x x S 中，S 随x 的增大而增大。

)31(8
281
)413(21413222≤<+-
-=++-=x x x x S 31≤<∴x 当时，S 随x 的增大而增大。

∴若521≤≤x ，要使利润S 随广告费x 的增大而增大，则x 的取值范围为32
1
≤≤x 。

18.（1）证明：如图（1）连结AD ．………………1分
∵点D 在以AB 为直径的半圆上， ∴AD ⊥BC ．………………………………2分 又∵AB ＝AC ，∴CD ＝BD ．……………3分
（2）如图（2）连结EB ． …………………………4分
∵点E 在以AB 为直径的半圆上，
∴BE ⊥AC ． …………………5分 在Rt AEB 中，∵cos A ＝45，∴AE AB ＝4
5．………6分 设AE ＝4k ，则AB ＝5k ，
又∵AB ＝AC ， ∴CE ＝AC －AE ＝5k －4k ＝k ． ∴CE AE ＝k 4k ＝1
4． ………………………………8分 （3）如图（3）连结OD ． …………………9分
∵CD ＝BD ，AO ＝BO ，
∴OD 是△ABC 的中位线．∴OD ∥AC ． ……10分 ∵过点D 的直线PQ 与⊙O 相切， ∴OD ⊥PQ ． …………………………………11分 过B 作BH ⊥PQ ，H 为垂足，∴BH ∥OD ∥AC ． 易证△DBH ≌△DCQ ，∴QC ＝BH ．………13分 在Rt △PBH 中，cos ∠HBP ＝BH
BP ， ∴BH
BP = cos ∠HBP ＝cos A
∵cos A ＝45，∴BH BP ＝45．即CQ BP ＝4
5．……………15分 19．解答:21、（1）.M =4，y =1/2x ²-3/2x -2………………2分
A
B O
P C
D Q (第21题)（3）
H
A
B
O
P
C D
Q (第21题)（2）
E
A
B
O
P
C
D Q (第21题)（1）
E
(2)p1(13/7,0) p2(-22/5,0) ………………6分
5/5………………10分
（3）3106/14或33
20解：（
⇒
运动到
CAB=
PC CD==
∴
运动到中点时，过点
的中点，
CE=BE=．
CAB=
==
PC=PE+EC=
PC=
PC PC=×PC PC=×．21．可证ΔPFD ≌ΔQCD 得DC =FD =2
3
------2分．
(2) 当点P 、Q 在移动的过程中，线段DE 的长度保持不变．-----3分
①如果点P 在线段AB 上时，过点P 作PF ∥AC 交BC 于F ，由AB =AC ，可证PB =PF ，
∵PE ⊥BC ，∴BE =FE ，再证ΔPFD ≌ΔQCD 得DC =FD ，∴ED =2
1
BC =3-----5分．
②如果点P 在线段BA 的延长线上时，同理可得ED =3------6分． ∴当点P 、Q 在移动的过程中，线段DE 的长度保持不变-------7分．
（3）作PE ⊥BC 于点E ，连结AG 并延长交BC 于点H ，∵AB =AC ，G 为ΔABC
的重心，∴AH ⊥BC ，BH =CH =3，由sinB =
54，得AH =4，GH =3
4
---9分 设BP =x ，则PE =x 54，BE =x 53，∵ BH = ED =3，∴HD =BE =x 5
3
---10分，
由ΔDGH ∽ΔDPE 得DE DH
PE GH =，即3
53
5
434x x
=
，∴335=x ，BP =335． ………………12分。