江西省上高二中2020-2021学年高一下学期第四次月考试题(4月)数学(文)试题Wor版含答案d

2023届高一年级第四次月考数学（文科）试卷
命题人： 4.18
一、单选题（每小题5分，共60分）
1．已知直线1:l y kx b =+，2:l y bx k =+则它们的图像可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．设,x y R ∈向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-，且,//a c b c ⊥，则x y +=（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3．已知三点(),1A m ，()4,2B ，()4,2C m -在同一条直线上，则实数m 的值为（ ） A ．0 B ．5 C ．0或5 D ．0或-5
4．在ABC ∆中，已知222sin sin sin sin sin A B A B C +-=，且满足4ab =，则ABC ∆的面积为（ ） A ．1 B ．2 C 2 D 3 5．已知||1,||2a b ==，且a 与b 的夹角为6
π
，则3a b -=（ ） A 7B ．2
C ．10
D ．19
6．已知点P 和ABC 满足AB AP AP AC -=-，且AQ QP =，则BQ =（ ）
A ．31
44AB AC -+ B ．13
44AB AC -
+ C ．3144
AB AC --
D ．1344
AB AC --
7．如图，某人在一条水平公路旁的山顶P 处测得小车在A 处的俯角为30°，该小车在公路上
由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B 处，此时测得俯角为45°
.已知此山的高1km PO =，小车的速度是20km/h ，则cos AOB ∠=（ ）
A ．338
-
B ．58-
C ．34-
D ．104-
8．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的各边分别为a ，b ，c ，且45B =︒，22a =，2c =，
则sin A =（ ） A ．1
B ．
2 C ．
3 D ．
310
9．在ABC 所在的平面内，点O 满足OA OB OC ==，若2AB =，6AC =，则AO BC ⋅=（ ） A ．16 B ．16- C ．32 D ．32-
10．下列四个结论，正确的个数是（ ）
①在ABC 中，若A B C >>，则sin sin sin A B C >>； ②若//a b ，则存在唯一实数λ使得λa b ； ③若//a b ，//b c ，则//a c ； ④在ABC 中，若0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+⋅=
⎪⎝⎭
，且
1
2||||AB AC AB AC ⋅=，则ABC 为等边三角形；
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 11．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若
()sin sin sin c C a A b a B =+-，角C 的角平分线交AB 于点D ，且3CD =，3a b =，则c 的值为（ ）
A ．72
B ．473
C ．3
D ．23
12．如图所示，已知a ､b ､c 为ABC 的内角A ､B ､C 所对的边，且30A =，1a =，D 为BC 的中点，则2||AD 的最大值为（ ）
A ．2
B ．23
C ．
322
+ D ．4374
+ 二、填空题（每小题5分，共20分）
13．经过点12,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，且在坐标轴上截距相等的直线方程为________.
14．已知()1,2a =，()3,b x =-，若a ，b 的夹角为钝角，则x 的取值范为__________．
15．已知ABC 中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，
sin 1cos sin 2cos A A
B B
+=-，3cos 5A =，
6ABC
S
=，则a =______．
16．在平面四边形ABCD 中，AB AD ⊥，60ABC ∠=︒，150BCD ∠=︒，4AB EB =，
3
BC =
，AE =M 为边CD 上的动点，则AM EM ⋅的最小值为________. 三、解答题（70分）
17．（10分）已知ABC 的三个顶点的坐标分别为()0,A m 、()1,1B -、()3,3C . （1）求BC 边所在直线的方程；
（2）若AC 边上的中线所在直线的方程为()50x y n n R ++=∈，求ABC 的面积.
18．（12分）已知向量a 与b 的夹角为3=4
π
θ，且3a =，22b =. （1）若2ka b +与34a b +共线，求k ； （2）求a b ⋅，a b +；
（3）求a 与a b +的夹角的余弦值
19．（12分）ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin cos b A B =，sin 4sin C A =. （1）求B ；
（2）在ABC 的边AC 上存在一点D 满足4AD CD =，连接BD ，若BCD △的面积为
，求b . 20．（12分）已知在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且12a b c ++=. （1）若2a =，5b =，求cos A 的值； （2）若2
2sin cos
sin cos 2sin 22
B A
A B C +=，且ABC 的面积为10sin C ，试判断ABC 的形状并说明理由.
21．（12分）已知平面向量()sin m x x =，(
)
3cos ,2sin n x x x =
，函数
()f x m n =⋅.
（1）求()f x 的最小正周期；
（2）先将()f x 图像上各点的横坐标缩短到原来的1
2
，纵坐标不变，再将所得图像上所有的点向左平移
3
π
个单位长度，得到函数()y g x =的图像，求()g x 的单调递减区间.
22．（12分）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 2B B =，
cos cos
B c b c += （1）求角B 的大小和边长b 的值； （2）求AB
C 面积的取值范围．
2023届高一年级第四次数学（文科）试卷答题卡
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
13、 14、 15、 16、 三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17、（本题满分10分）
18、（本小题满分12分）
19、（本小题满分12分）
20、（本小题满分12分）
21、（本小题满分12分）
22.（本小题12分）
2023届高一年级第四次月考数学（文科）试卷答案
CACDA AAAAB BD 13．04=+y x 或302
x y ++= 14．()3,66,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭
15．4 16．
15
4
17．（1）230x y -+=；（2）7ABC S =△. 【详解】
（1）直线BC 的斜率为311
312
BC k -=
=+， 所以，直线BC 的方程为()1
332y x -=-，即230x y -+=； （2）线段AC 的中点为33,22m D +⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 因为AC 边上的中线BD 的方程为()50x y n n R ++=∈，
则3
1
11235512
BD m m k +-+=
==-+，解得2m =-，所以，点A 的坐标为()0,
2-，
点A 到直线BC 的距离为5d
==
，BC =
=
所以，11722ABC S BC d =⋅=⨯=△. 18．（1）
32；（2）6a b ⋅=-，5
a b +=；（3）
5
. 【详解】
（1）若2ka b +与34a b +共线，
则存在λ，使得()
234ka b a b λ+=+ 即()()3240k a b λλ-+-=， 又因为向量a 与b 不共线，
所以30240k λλ-=⎧⎨-=⎩，解得12
32k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，所以32
k =
. （2
）cos ,32262a b a b a b ⎛
⋅==⨯-
=-
⎝
⎭
， 2
2
2
9128a b a a b b +=+⋅+=-+= （3）(
)2
cos ,535
a a
b a
a b
a a
b a a b
a a b
⋅++⋅+=
==
=++.
19．（1）
3
π
；（2
【详解】 解：（1）
∵sin cos b A B =，
∴sin sin cos A B A B =，
∴tan B = ∵()0,B π∈ ∴3B π
=
；
（2）依题意可知：
5
1
ABC BCD
S AC S
DC =
=， ∵
BCD △
，∴ABC 的面积为
∵ABC 的面积为1
sin 2
S ac B == ∴8ac =，
∵sin 4sin C A =，∴
4c a =，
c =，
a =
∴b ==20．（1）23
25
；（2）ABC 为直角三角形，理由见解析.
【详解】
（1）12a b c ++=，2a =，5b =，5c ∴=.
22222255223
cos 225525
b c a A bc +-+-∴===
⨯⨯； （2）22sin cos
sin cos 2sin 22
B A A B
C +=， 1cos 1cos sin sin 2sin 22
B A
A B C ++∴⋅+⋅=，
即sin sin sin cos cos sin 4sin A B A B A B C +++=， ()sin sin sin 4sin A B A B C ∴+++=，
A B C π++=， A B C π+=-，即()()sin sin sin A B C C π+=-=. sin sin 3sin A B C ∴+=，由正弦定理得3a b c +=， 12a b c ++=，412c ∴=，故3c =，从而9a b +=.
又因为ABC 的面积为10sin C ，所以1
sin 10sin 2
ab C C =，即20ab =，
5a ∴=，4b =或4a =，5b =，
又因为3c =，当5a =，4b =时，222a b c =+；当4a =，5b =时，222b a c =+. 所以ABC 为直角三角形.
21．（1）最小正周期π；（2）单调递减区间,422k k πππ⎡⎤
-+
⎢⎥⎣⎦
(k ∈Z ). 【详解】
（1）因为()
sin
,3m x x
=，(
)
3cos ,2sin n x x x =
+，
所以()()
3sin cos 2sin f x m n x x x x x =⋅=++
2cos 3cos x x x =+
()3
21cos 222
x x =
++ 33sin 262x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭.
所以()33sin 262f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭
故()f x 的最小正周期22
T π
π==. （2）由题可知：
()333
3sin 43sin 436222g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=+++=+
+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭
⎣⎦33cos 42x =-+. 令242k x k πππ-+≤≤，k ∈Z ，解得4
22
k k x π
ππ-+
≤≤，k ∈Z ， 故()g x 的单调递减区间,422k k πππ⎡⎤
-
+⎢⎥⎣
⎦(k ∈Z ).
22．（1）3B π=，b =；（2）⎝⎦
【详解】
解：（1）cos 2B B +=，
∴1cos 12B B +=，即：sin()16B π
+=，
∴由B 为锐角，可得3
B π
=
；
cos cos
B C b c +=
∴由正、余弦定理，可得222222
22a c b a b c abc abc +-+-+=，整理得2
22a abc =
所以2b =．
（2）
1sin sin sin a b c
A B C
===， sin a A ∴=，sin c C =，
又在锐角ABC 中，02A π<<，02
C <<π，23C A π
=-， ,62A ππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，
∴ 11sin sin 22ABC
S
ac B sinA C =
=⨯⨯243sin A A π-⎛⎫= ⎪⎝⎭
22cos cos sin 33sin 4A A A ππ-⎛⎫= ⎪⎝⎭1cos 4i 22s n A A A ⎛⎫= ⎝+⎪⎪⎭
2cos 3sin 88A A A =+)3sin 21cos 21616
A A =+-
3sin 22161616A A =-+28616A π⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭ 因为,62A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
， 所以52,666A πππ，所以1sin 2,162A π，
所以28616816A π⎛⎛⎫-+∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎦
所以ABC S ∈⎝⎦。