高考数学(文)二轮复习解答题练习：解三角形(含答案)

高考数学（文）二轮复习解答题练习：解三角形（含答案）
1.已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a sin A ＋c sin C －b sin B ＝2a sin C .
(1)求角B 的大小；
(2)设向量m ＝(cos A ，cos2A )，n ＝(12，－5)，边长a ＝4，当m ·n 取最大值时，求b 的值. 解 (1)由题意得，a sin A ＋c sin C －b sin B ＝2a sin C ，
∴a 2＋c 2－b 2＝2ac ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22
， ∵B ∈(0，π)， ∴B ＝π4
. (2)∵m ·n ＝12cos A －5cos2A ＝－10⎝
⎛⎭⎪⎫cos A －352＋435， ∴当cos A ＝35时，m ·n 取最大值，此时sin A ＝45
. 由正弦定理得，b ＝a sin B sin A ＝522
. 2.已知△ABC 中，AC ＝2，A ＝2π3
，3cos C ＝3sin B . (1)求AB ；
(2)若D 为BC 边上一点，且△ACD 的面积为334
，求∠ADC 的正弦值. 解 (1)因为A ＝2π3，所以B ＝π3－C ， 由3cos C ＝3sin B 得，cos C ＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－C ， 所以cos C ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos C －12sin C ＝32
cos C －32sin C ， 所以12cos C ＝32
sin C ， 即tan C ＝33. 又因为C ∈(0，π)，
所以C ＝π6，从而得B ＝π3－C ＝π6
，所以AB ＝AC ＝2.
(2)由已知得12·AC ·CD sin π6＝334，所以CD ＝332
， 在△ACD 中，由余弦定理得，AD 2＝AC 2＋CD 2
－2AC · CD cos C ＝74，即AD ＝
72， 由正弦定理得，AD sin C ＝AC sin∠ADC
， 故sin∠ADC ＝AC sin C AD ＝277
. 3.已知函数f (x )＝1＋23sin x 2cos x 2－2cos 2x
2
，△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)求f (A )的取值范围；
(2)若A 为锐角且f (A )＝2，2sin A ＝sin B ＋2sin C ，△ABC 的面积为3＋34，求b 的值. 解 (1)f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，∴f (A )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A －π6，由题意知，0<A <π，则A －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6，∴sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A －π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1， 故f (A )的取值范围为(－1,2].
(2)由题意知，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝22，∵A 为锐角，即A ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3， ∴A －π6＝π4，即A ＝5π12
. 由正、余弦定理及三角形的面积公式，
得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝b ＋2c ，12bc ·si n 5π12＝3＋34
，cos 5π12＝b 2＋c 2－a 22bc ，解得b ＝ 2.
4.(2018·北京11中模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx －φ)⎝
⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2的图象经过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，32，且相邻两条对称轴的距离为π2. (1)求函数f (x )的解析式及其在[0，π]上的单调递增区间；
(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋cos A ＝12，求角A 的大小.
解 (1)由相邻两条对称轴的距离为π2，可得其周期为T ＝2πω
＝π，所以ω＝2，由图象过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，32，且ω>0,0<φ<π2，得φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 令2k π－π
2≤2x －π
6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得
k π－π6≤x ≤k π＋π
3，k ∈Z .
所以函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π
6，π
. (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A
2＋cos A ＝1
2，
可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π
6＋cos A ＝1
2， 则3
2sin A ＋1
2cos A ＝1
2，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π
6＝1
2，
因为0<A <π，所以π6<A ＋π
6<7π
6，
所以A ＋π6＝5π
6，
所以A ＝2π
3.。