高一下数学期中考复习---三角函数

高一下数学期中考复习---三角函数
例1.已知角α的终边经过点()()4,30P a a a -≠， (1)求2sin cos αα+的值；
(2)当a<0时，求①tan α，sin 2α的值；
②求sin 3πα⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的值．
例2．已知
()()()()
()2sin cos 2tan cos tan 32a f ππαπααπααπ-⋅-⋅-+=
⎛⎫
+⋅-+ ⎪⎝⎭
（1）化简()f α；
（2）若()18f x =，且42
ππ
α<<，求cos sin αα-的值；
（3）若313
π
α=-，求()f α的值.
例3．已知tan 3α=，分别求下列各式的值． (1)
4sin 2cos 5cos 3sin αα
αα
-+
(2)sin cos αα
(3)222sin sin cos 3cos αααα+-
例4．已知函数2
1()cos2sin 12sin
22x f x x x ⎛⎫
=+⋅- ⎪⎝⎭
，其中x ∈R . （1）求)(x f 的最小正周期及单调减区间；
（2）若把)(x f 的横坐标伸长到原来的2倍，再向上平移1个单位得到)(x h ，求)(x h 的对称点坐标；
（3）⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈2,
0πx 当时，求)(x f 取值范围 （4）求使得1
()2
f x ≥
的x 的取值范围； （5）若函数23()sin 224g x x π⎛⎫
=
+ ⎪⎝
⎭
，且对任意的12,[0,]x x t ∈，当12x x <时，均有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求正实数t 的最大值.
例5．函数()()sin (0,0,)2
f x A x A π
ωϕωϕ=+>><的部分图象如图：
(1)求()f x 解析式；
(2)写出函数()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的单调递减区间.
课后作业 一、单选题
1．若α是第二象限角，则
2
α
是（ ） A ．第一象限角 B ．第一象限角或第二象限角
C ．第一象限角或第三象限角
D ．第一象限角或第四象限角
226tan 34tan 26tan 34++= （ ）
A
B ．
C
D ．3．已知α为锐角，β为第三象限角，且123
cos ,sin 135αβ==-，则cos()αβ+的值为（ ） A ．6365
-
B ．3365
-
C ．63
65
D ．
3365
4．已知扇形的周长是16，圆心角为2rad ，则扇形的面积是（ ） A ．16
B ．64
C ．16π
D ．64π
5．将函数()sin(2)6f x x π
=+的图象分别向左、向右平移(0)ϕϕ>个单位后，所得的图象都关于y 轴对
称，则ϕ的最小值分别为（ ）
A ．6
π，
3π B ．3
π，6π C ．23π，56π D ．6π
，12π
6．已知函数()sin 3f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
．给出下列结论：
①()f x 的最小正周期为2π；①2f π⎛⎫
⎪⎝⎭
是()f x 的最大值；①把函数sin y x =的图象上所有点向左平移
3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①
B ．①①
C ．①①
D ．①①①
7．已知1cos 63πα⎛
⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin 3πα⎛⎫- ⎪⎝
⎭的值为（ ）
A ．1
3
B ．13-
C
D ．
8．已知函数()22sin 24f x x x π
⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．若关于x 的方程()2f x m -=在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，则实
数m 的取值范围是（ ）
A ．12⎡⎢⎣
B ．2⎢⎣
C ．[]0,1
D ．2⎤⎥⎣⎦
9．如图是函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈在区间5,66ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将
sin ()y x x R =∈的图象上所有的点（ ）．
A ．向左平移
3
π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2，纵坐标不变 B ．向左平移6
π个单位长度，再把所得各点的横坐标仲长到原来的1
2，纵坐标不变
C ．把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2，纵坐标不变，再向左平移6
π个单位长度
D ．向左平移
3
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 10．已知2π-＜θ2
π
＜，且sin θ+cos θ＝a ，其中a ①（0，1），则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可
能正确的是（ ） A ．﹣3
B ．1
3
C ．13-
D ．12
-
11．如图，正方形ABCD 的长为2，O 为边AD 中点，射线OP 绕点O 按逆时针方向从射线OA 旋转至射线OD ，在旋转的过程中，记AOP ∠为x ，射线OP 扫过的正方形ABCD 内部的区域（阴影部分）的面积为()f x ，则下列说法正确的是（ ）
A ．142
f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ．()f x 在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上为减函数
C ．()()4f x f x π+-=
D ．()f x 图象的对称轴是2
x π=
三、填空题 12．若()1cos 2
αβ-=
，()3
cos 5αβ+=-，则tan tan αβ=___________.
13．已知2sin ()4π
α+ =2
3，则sin 2α的值是____.
14．已知tan 2α，则2212
sin cos 45
αα+的值为___________.
15．（1）已知()3sin sin sin 22πππααα⎛⎫⎛
⎫-++=+
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，求2sin cos cos ααα+的值； （2）已知4sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，且α为锐角，求sin 6πα⎛
⎫- ⎪⎝⎭的值.
16．如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于A ，B 两点，且OA OB ⊥. (1)求()()sin cos 23cos sin 2ππαβππβα⎛⎫
++ ⎪
⎝⎭
⎛⎫
-+ ⎪
⎝⎭
的值；
(2)若点A 的横坐标为3
5，求2sin cos αβ的值.
17．已知向量1,,(3co sin cos 2)2,s m n x x x ⎛
⎫ ⎪==⎝
⎭-，函数()f x m n =⋅
（1）求函数()f x 的最大值及最小正周期；
（2）将函数()y f x =的图象向左平移6
π
个单位，得到函数y g x 的图象，求()g x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的值
域．
18．已知函数()π2sin 226f x x ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭.(1)若()3f α=，且()0,πα∈，求α的值；
(2)若对任意的ππ,42x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，不等式()3f x m >-恒成立，求实数m 的取值范围.
附加题1．一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面1米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间.
（1）以水轮所在平面与水面的交线为x 轴，以过点O 且与水面垂直的直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P 距离水面的高度h （单位：米）表示为时间t （单位：秒）的函数；
（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P 距水面的高度超过2米？
2．已知2
2sin 2sin 12
α
α=-.
（1）求sin cos cos2ααα+的值；
（2）已知()0,απ∈，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，且2
tan 6tan 1ββ-=，求2αβ+的值.
参考答案：
例1.已知角α的终边经过点()()4,30P a a a -≠， (1)求2sin cos αα+的值；
(2)当a<0时，求①tan α，sin 2α的值；
②求sin 3πα⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的值．
解析：（1）25r x a =+，
∴当0a >时，5r a =，33sin 55a a α-∴=
=-，4
cos 5α=，22sin cos 5
αα∴+=-；
当0a <时，5r a =-，33
sin 55
a a α-∴=
=-，4cos 5=-α，22sin cos 5αα∴+=．
综上可知，2sin cos αα+的值为25
或2
5-.
（2）①因为3cos 5α=，,02πα⎛⎫∈-
⎪⎝⎭，所以4sin 5α=-，
所以4
sin 45tan 3cos 35
ααα-
=
==-，24
sin 22sin cos 25ααα==-
.
②314sin sin cos cos sin 333525πππααα⎛⎫
⎛⎫-=--⨯-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
例2．已知
()()()()
()2sin cos 2tan cos tan 32a f ππαπααπααπ-⋅-⋅-+=
⎛⎫
+⋅-+ ⎪⎝⎭
（1）化简()f α；
（2）若()18f x =，且42
ππ
α<<，求cos sin αα-的值；
（3）若313
π
α=-
，求()f α的值. 【答案】（1）()sin cos f ααα=
⋅；（2）
；（3）
【解析】 【分析】
（1）根据三角函数的诱导公式，即可得到()sin cos f ααα=⋅；
（2）由()18f x =，求得1
sin cos 8
αα⋅=，再结合三角函数的基本关系式，即可求得cos sin αα-的值；
（3）由313
π
α=-，代入（1）中的解析式，利用三角函数的诱导公式，即可求解. 【详解】
（1）由三角函数的诱导公式，可得()()()()
()2sin cos 2tan cos tan 32a f ππαπααπααπ-⋅-⋅-+=
⎛⎫
+⋅-+ ⎪⎝⎭
2sin cos tan sin cos sin (tan )
ααααααα⋅⋅==⋅-⋅-. （2）由()18f x =，即1
sin cos 8
αα⋅=，
又由()2
22
13cos sin cos 2cos sin sin 144
αααααα-=-+=-
=， 因为
4
2
π
π
α<<
，可得cos sin αα<，
所以cos sin αα-= （3）由313
π
α=-， 可得313131)1010)333()sin()cos(sin()co 3s(3f πππππ
ππ---=--⋅--=⋅
1sin
cos
3
3
2π
π
=-== 【点睛】
本题主要考查了三角函数的基本关系式和三角函数的诱导公式的化简、求证问题，其中解答中熟记三角函数的基本关系式和诱导公式，准确运算是解答的关键，着重考查化简与运算能力. 例3．已知tan 3α=，分别求下列各式的值． (1)
4sin 2cos 5cos 3sin αααα
-+
(2)sin cos αα
(3)222sin sin cos 3cos αααα+- 【答案】(1)5
7
；
(2)
310
；
(3)95
. 【解析】 【分析】
（1）（2）（3）根据给定条件，将关于正余弦的齐次式化成正切，再代值计算作答. (1)
因为tan 3α=，所以4sin 2cos 4tan 24325
5cos 3sin 53tan 5337
αααααα--⨯-===+++⨯.
(2)
因为tan 3α=，所以2222sin cos tan 33
sin cos sin cos tan 13110
αααααααα====+++.
(3)
因为tan 3α=，所以2
2
2222
2sin sin cos 3cos sin 2sin sin cos co 3c s os αααααα
α
ααα+--+=+ 22222tan tan 323339tan 1315
ααα+-⨯+-===++.
例4．已知函数21()cos2sin 12sin 22x f x x x ⎛⎫
=+⋅- ⎪⎝
⎭，其中x ∈R .
（1）求)(x f 的最小正周期及单调减区间；
（2）若把)(x f 的横坐标伸长到原来的2倍，再向上平移1个单位得到)(x h ，求)(x h 的对称点坐标；
（3）⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈2,
0πx 当时，求)(x f 取值范围 （4）求使得1
()2
f x ≥
的x 的取值范围；
（5）若函数3()24g x x π⎛⎫
=
+ ⎪⎝
⎭
，且对任意的12,[0,]x x t ∈，当12x x <时，均有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求正实数t 的最大值.
【答案】（1）,,4k k k Z πππ⎡⎤
+∈⎢⎥⎣⎦
；（2）4π.
【解析】 【分析】
（1）化简函数()f x 的解析式，利用正弦函数的性质解不等式即可；
（2）构造函数()()()h x f x g x =-，由单调性的定义得出()h x 在区间[0,]t 上为增函数，结合正弦函数的单调性，得出正实数t 的最大值.
【详解】
解：（1）由题意得，21()cos212sin sin 2224x f x x x x π⎛
⎫⎛⎫=+-=
+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
1242x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭
，得sin 24x π⎛
⎫+≥
⎪⎝⎭ 即
32224
4
4k x k π
π
πππ+≤+
≤
+，故x 的取值范围为,,4k k k Z πππ⎡⎤
+∈⎢⎥⎣⎦
（2）由题意得，()()()()1122f x g x f x g x -<-
令3()()()2244h x f x g x x x ππ⎛⎫⎛
⎫
=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
2222x x x x ⎫⎫=
+⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭
sin 2x =
即()()12h x h x <
故()h x 在区间[0,]t 上为增函数 由2222
2
k x k π
π
ππ-
≤≤+
，k Z ∈得出，44
k x k π
π
ππ-
≤≤+
，k Z ∈
则函数()h x 包含原点的单调递增区间为,44ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
即4t π≤
故正实数t 的最大值为
4
π
. 例5．函数()()sin (0,0,)2
f x A x A π
ωϕωϕ=+>><
的部分图象如图：
(1)求()f x 解析式；
(2)写出函数()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的单调递减区间.
【答案】(1)2sin 24y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
(2),82ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
（1）根据图象求得,,A ωϕ，从而求得()f x 解析式.
（2）利用整体代入法求得()f x 在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的单调递减区间.
(1)
由图象知72,88A T πππ⎛⎫==
--= ⎪⎝⎭
，所以2ω=，又过点,08π⎛⎫
- ⎪⎝⎭，
令22,284k k πϕπϕππ-⨯+==+，由于2πϕ<，故,4πϕ=所以2sin 24y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
(2) 由()32222
4
2
k x k k Z π
π
π
ππ+
≤+
≤+
∈， 可得()58
8
k x k k Z π
π
ππ+
≤≤+∈， 当0k =时
588
x π
π≤≤
， 故函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的单调递减区间为,82ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦.
1．C 【解析】
根据α是第二象限角，得22,2
k k k Z π
παππ+<<+∈，
,4
2
2
k k k Z π
α
π
ππ+<
<+
∈，即可得解.
【详解】
由题若α是第二象限角，
22,2
k k k Z π
παππ+<<+∈，
,4
2
2
k k k Z π
α
π
ππ+<
<+
∈，
当k 为偶数时，2α终边在第一象限，当k 为奇数时，2
α
终边在第三象限， 则
2
α
是第一象限角或第三象限角.
故选：C 【点睛】
此题考查根据角的终边所在象限判断其半角所在象限，关键在于熟练掌握任意角的概念. 2．C 【解析】
利用两角和的正切公式，特殊角的三角函数值化简已知即可求解． 【详解】
26tan34tan 26tan34︒︒+︒+︒
26tan 34tan(2634)(1tan 26tan 34)=︒︒+︒+︒-︒︒
26tan 34tan 26tan 34)=︒︒-︒︒
26tan3426tan34=︒︒︒︒
=
故选：C ． 3．B 【解析】 【分析】
结合同角的平方关系求出sin ,cos αβ，然后利用两角和的正弦公式即可求出结果. 【详解】
因为α为锐角，β为第三象限角，所以sin 0,cos 0αβ><，
因此54sin ,cos 135αβ===-，
从而cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- 12453135135⎛⎫⎛⎫
=
⨯--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3365
=-
, 故选：B. 4．A 【解析】 【分析】
先利用扇形弧长公式转化条件求出扇形半径，再利用扇形面积公式即可得解. 【详解】
设扇形半径为r ，由题意得2216r r +=解得4r =，则扇形面积2
124162
S =⨯⨯=.
故选：A. 【点睛】
本题考查了扇形弧长和面积公式的应用，属于基础题. 5．A 【解析】 【分析】
根据给定条件写出平移后的解析式，再借助对称性求出ϕ满足的关系即可推理作答. 【详解】
函数()f x 的图象向左平移ϕ个单位得到函数()sin(22)6g x x π
ϕ=++的图象，
因()g x 图象关于y 轴对称，则2,Z 6
2
k k π
π
ϕπ+
=
+∈，即,Z 6
2
k k π
πϕ=
+
∈，而0ϕ>，则min 6πϕ=，
向右平移ϕ个单位得函数()sin(22)6h x x π
ϕ=-+的图象，函数()h x 关于y 轴对称，
则有2,Z 6
2
k k π
π
ϕπ-+
=
+∈，即,Z 6
2
k k π
πϕ=-
-
∈，而0ϕ>，则min 3πϕ=，
所以ϕ的最小值分别为6
π，3
π
. 故选：A 6．B 【解析】 【分析】
对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可. 【详解】
因为()sin()3f x x π=+，所以周期22T π
πω
=
=，故①正确； 51
()sin()sin 122362
f ππππ=+==≠，故①不正确； 将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3
π个单位长度，得到sin()3y x π
=+的图象，
故①正确. 故选：B.
本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题. 7．A 【解析】 【分析】
根据632πππαα⎛
⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，结合诱导公式即可计算.
【详解】
因为632πππαα⎛
⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，所以利用诱导公式可得：
1sin sin sin cos 3622663ππππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-=+-=--+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.
故选：A. 【点睛】
本题考查诱导公式求函数值，是基础题. 8．C 【解析】 【分析】
求出函数()f x 在,42ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的值域后可求实数m 的取值范围.
【详解】
(
)1cos 22222
x f x x π⎛⎫-+ ⎪
⎝⎭=⨯
1sin 222sin 213x x x π⎛
⎫=+=-+ ⎪⎝
⎭,
当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22633x πππ≤-≤，所以1sin 2123x π⎛
⎫≤-≤ ⎪⎝
⎭，
故()f x 的值域为[]2,3，
因为()2f x m -=在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解即()2=+f x m 在,42x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上有解，
故223m ≤+≤即01m ≤≤， 故选：C.
【解析】 【分析】
先根据图象求函数解析式，应先观察图象，确定“振幅”“周期”，再通过计算求ϕ，再借助图象变换规则即可得出结果. 【详解】
由图象知，A=1,T=π，所以ω=2，y=sin （2x+ϕ），将（6
π-，0）代入得：sin(ϕ3π-)=0，所以ϕ3π
-
=kπ，k z ∈，取ϕ=
3π，得y=sin （2x+3
π
）， sin y x =向左平移3π，得sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．然后各点的横坐标缩短到原来的1
2，得sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭．故
A 正确．
sin y x =各点的横坐标缩短到原来的
1
2
，得sin 2y x =．然后向左平移6π
个单位，得sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪
⎝
⎭sin 23x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭．故C 正确．
故选：AC 【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数性质，图象的伸缩变换的规律：（1）把函数
()y f x ω=的图像向左平移(0)h h >个单位长度，则所得图像对应的解析式为()y f x h ω⎡⎤=+⎣⎦，遵循
“左加右减”；（2）把函数()y f x =图像上点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的ω倍（0>ω），那么所得图像对应的解析式为1
y f x ω
⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，属于中档题. 10．CD 【解析】 【分析】
先由已知条件判断cos 0θ>，sin 0θ<，得到sin 1tan 0cos θ
θθ
-<=<，对照四个选项得到正确答案. 【详解】
①sin θ+cos θ＝a ，其中a ①（0，1），
①两边平方得：1+22
sin cos =a θθ，①21sin cos =02
a θθ-<，
①22ππ
θ-<＜，①可得cos 0θ>，sin 0θ<，
①sin tan 0cos θ
θθ
=
<， 又sin θ+cos θ＝a 0>，所以cos θ＞﹣sin θ，所以sin tan 1cos θ
θθ
=>- 所以sin 1tan 0cos θ
θθ
-<=
<， 所以tan θ的值可能是1
3
-，12-．
故选：CD 【点睛】
关键点点睛：求出tan θ的取值范围是本题解题关键． 11．AC 【解析】 【分析】
求出当0tan 2x <≤时，函数()f x 的解析式，可判断A 选项的正误；利用()f x 的单调性可判断B 选项的正误；利用对称性可判断C 选项的正误；利用特殊值法可判断D 选项的正误. 【详解】
对于A 选项，当0tan 2x <≤时，设OP 交AB 于点E ，
tan tan AE x AOE AE OA =∠=
=，所以，()11
tan 22
f x OA AE x =⋅=， 0tan
24π
<≤，1
1tan 42
42f ππ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，A 选项正确；
对于B 选项，当,2x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，射线OP 扫过的正方形ABCD 内部的区域（阴影部分）的面积显然逐
渐增加，即函数()f x 在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，B 选项错误；
对于C 选项，取BC 的中点G ，连接OG ，
设射线OP 与正方形的边的交点为E ，作点E 关于直线OG 的对称点F ， 则FOD x ∠=，所以，AOF x π∠=-，
将射线OF 绕O 点按顺时针方向旋转扫过正方形ABCD 的面积为S ，由对称性可知()S f x =， 因为()4S f x π+-=，即()()4f x f x π+-=，C 选项正确； 对于D 选项，由C 选项可知，()()4f x f x π+-=，则3444
f f ππ
⎛⎫
⎛⎫
+
= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
， 所以，3744424f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
所以，函数()f x 的图象不关于直线2
x π=对称，D 选项错误.
故选：AC. 【点睛】
关键点点睛：本题考查函数基本性质的判断问题，在判断函数()f x 的单调性时，需要充分利用()f x 的几何意义，结合面积的对称性来求解，另外在判断某些结论不成立时，可充分利用特殊值来进行否定. 12．11- 【解析】 【分析】
由余弦的和差角公式得1cos cos 20αβ=-，11sin sin 20
αβ=，进而得tan tan 11αβ=- 【详解】
解：因为()1cos 2
αβ-=
，所以1
cos cos sin sin 2αβαβ+=.
因为()3cos 5
αβ+=-，所以3
cos cos sin sin 5αβαβ-=-，
所以1131cos cos 22520αβ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，11311
sin sin 22520
αβ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，
所以1120
tan tan 11120
αβ==--.
故答案为：11-
13．13
【解析】 【分析】
直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果. 【详解】
221sin ())(1sin 2)42παααα+==+
121(1sin 2)sin 2233
αα∴+=∴= 故答案为：13
【点睛】
本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 14．
7
25
##0.28 【解析】 【分析】
应用平方关系及正余弦齐次式计算，将目标式化为2212tan 45tan 1αα+
+，即可求值.
【详解】
由2222222
2
1212sin cos tan 124545sin cos 45sin cos tan 1αααααααα++
+==++，又tan 2α，
①2212
41274
5sin cos 454125αα⨯+
+==+. 故答案为：
7
25
. 15．（1）35；（2）3
5.
【解析】 【分析】
（1）利用诱导公式先化简，再进行弦化切代入求值； （2）利用诱导公式和同角三角函数基本关系式即可求解. 【详解】
（1）因为()3sin sin sin 22πππααα⎛⎫⎛
⎫-++=+
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，所以sin cos cos ααα-=， 则tan 2α=，故22
222sin cos cos tan 13
sin cos cos sin cos tan 15
αααααααααα+++=
==++. （2）因为α为锐角，所以
43
3
3
π
π
πα<+
<
.
又因为4sin sin 353ππα⎛
⎫+=<
= ⎪⎝
⎭，所以3πα+为钝角，
则3cos 35πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.
故3sin sin cos 63235ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-=+-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭.
16．(1)1- (2)3225
-
【解析】 【分析】
（1）由诱导公式化简可得； （2）由定义可得3
cos 5
α=，即可求出. (1) ①2π
βα=
+，①sin sin cos 2πβαα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，cos cos sin 2πβαα⎛⎫
=+=- ⎪⎝⎭
， ①()()sin cos sin sin sin cos 21
3cos cos sin cos cos sin 2ππαβαβααπαβ
ααπβα⎛⎫++ ⎪
⎝⎭==-=-⎛⎫-+ ⎪
⎝⎭
.
(2)
①点A 的横坐标为35
，①3
cos 5α=，4
sin 5
α
， 4cos cos sin 25πβαα⎛⎫
=+=-=- ⎪⎝⎭，
①4432
2sin cos 25525
αβ⎛⎫=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.
17．（1） 最大值为1,最小正周期为π；（2）1,12⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
(1)由已知化简可得()
sin 26f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭,可得最大值，利用周期公式可求()f x 的最小正周期;
(2)由图象变换得到()sin 26g x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭,从而求函数的值域.
【详解】
(1) ()1
•3sin cos cos22f x m n x x x ==-
1
cos22
x x =
- sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.
所以函数的最大值为1,最小正周期为222
T π
π
πω
=
=
= (2)由(1)得()sin 2π6f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
.
将函数()y f x =的图象向左平移6π
个单位后得到sin 2sin 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦的图象.
因此()sin 26g x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，
所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2,162x π⎛
⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦.
故()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,12⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
.
【点睛】
本题考查利用三角恒等变换求解三角函数的性质，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于
向量数量积运算与恒等变换得()sin 2π6f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
，进而根据三角函数性质求解.
18．(1)π
3
(2)(),4-∞ 【解析】 【分析】
（1）根据已知条件求得1sin 262απ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，结合()0,πα∈即可求解；
（2）根据x 的范围求得()f x 的范围，只需()min 3f x m >-即可求解. (1)
因为()3f α=，所以π2sin 2236α⎛
⎫++= ⎪⎝
⎭，即1sin 262απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，
又由()0,πα∈，得132666
απππ
<+<，
所以π5π266α+
=，解得π
3
α=.
(2) 对ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有2ππ7π2366x ≤+≤，
所以1sin 226απ⎛⎫-≤+ ⎪⎝⎭
()12f x ≤≤ 所以要使()3f x m >-对任意的ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
恒成立， 只需()min 3f x m >-，
所以31m -<，解得：4m <.
故所求实数m 的取值范围为(),4-∞.27．一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面1米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间.
（1）以水轮所在平面与水面的交线为x 轴，以过点O 且与水面垂直的直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P 距离水面的高度h （单位：米）表示为时间t （单位：秒）的函数；
（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P 距水面的高度超过2米？
【答案】（1）()22sin 1036t h t ππ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝
⎭；（2）有1s 时间点P 距水面的高度超过2米. 【解析】
【分析】
（1）设()sin h a t b ωϕ=++，根据题意求得a 、b 的值，以及函数()sin h a t b ωϕ=++的最小正周期，可求得ω的值，根据0BP O ∠的大小可得出ϕ的值，由此可得出h 关于t 的函数解析式；
（2）由2h >得出21sin 362t ππ⎛⎫-> ⎪⎝⎭
，令[]0,3t ∈，求得236t ππ-的取值范围，进而可解不等式21sin 3
62t ππ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，可得出t 的取值范围，进而得解.
【详解】
（1）设水轮上圆心O 正右侧点为A ，y 轴与水面交点为B ，如图所示：
设()sin h a t b ωϕ=++，由1OB =，2OP =，可得03BOP π
∠=，所以06AOP π
∠=.
2a ∴=，1b =，6π
ϕ=-， 由题意可知，函数2sin 16h t πω⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭的最小正周期为3T =，223T ππω∴==， 所以点P 距离水面的高度h 关于时间t 的函数为()22sin 1036t h t ππ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝
⎭； （2）由22sin 1236t h ππ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，得21sin 362t ππ⎛⎫-> ⎪⎝
⎭， 令[]0,3t ∈，则211,3666t ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦
， 由256366t π
πππ<-<，解得1322<<t ，又31122
-=， 所以在水轮转动的任意一圈内，有1s 时间点P 距水面的高度超过2米.
【点睛】
本题考查三角函数模型的简单应用，根据题意建立函数解析式是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
37．已知22sin 2sin 12α
α=-.
（1）求sin cos cos2ααα+的值；
（2）已知()0,απ∈，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，且2tan 6tan 1ββ-=，求2αβ+的值. 【答案】（1）15
；（2）74π. 【解析】
（1）先求出1tan 2α=-，再化简22tan 1tan sin cos cos 2tan 1
αααααα+-+=+即得解；
（2）先求出1tan 23β=-，再求出tan(2)1αβ+=-，求出52,23παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭
，即得解. 【详解】
（1）由已知得2sin cos αα=-，所以1
tan 2
α=- 222222sin cos cos sin tan 1tan 1sin cos cos 2sin cos tan 15
αααααααααααα+-+-+===++ （2）由2tan 6tan 1ββ-=，可得22tan 1tan 21tan 3
βββ==--， 则11tan tan 223tan(2)111
1tan tan 2123
αβαβαβ--++===---⨯. 因为0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，所以()20,βπ∈，
又1tan 23β=->52,6πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 因为()0,απ∈
，1tan 2α=-
>， 则5,6παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则52,23παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以724
παβ+=
. 【点睛】 易错点睛：本题容易得出两个答案，724παβ+=或34
π.之所以得出两个答案，是没有分析缩小,αβ的范围，从而得到52,23παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭
.对于求角的大小的问题，一般先求出角的某三角函数值，再求出角的范围，再得到角的大小.。