学业水平考试 数学浙江-知识清单与训练 26 双曲线

知识点一双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的________________等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做________________，两焦点间的距离叫做________________．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)当________________时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当________________时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当________________时，P点不存在．
知识点二双曲线的标准方程和几何性质
标准方程x2
a2－
y2
b2＝1 (a>0，b>0)
y2
a2－
x2
b2＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
对称性对称轴：________对称中心：________
顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
离心率e＝
c
a，e∈________，其中c＝__________
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝________；线
段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝________；a叫
做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c的关系c2＝________________ (c>a>0，c>b>0)
规律与方法：巧设双曲线方程
(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2
b 2＝t (t ≠0)．
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x 2m ＋y 2
n
＝1(mn <0)．
例1 双曲线x 225－y 2
24＝1上的点P 到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为( )
A ．1或21
B ．14或36
C ．2
D ．21
例2 (1)已知双曲线的渐近线为y ＝±3x ，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( ) A.x 28－y 2
24＝1 B.x 212－y 2
4＝1 C.x 224－y 2
8
＝1 D.x 24－y 2
12
＝1 (2)经过点M (－3,23)，且与双曲线x 29－y 2
16＝1有共同的渐近线的双曲线的标准方程为________．
例3 (2015年10月学考)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ，b >0)的左，右焦点，l 1，l 2为双曲
线的两条渐近线，设过点M (b,0)且平行于l 1的直线交l 2于点P .若PF 1⊥PF 2，则该双曲线的离心率为( )
A. 3
B. 5
C.
14－241
2
D.
14＋241
2
例4 (2016年10月学考)设双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1为圆心，
|F 1F 2|为半径的圆与双曲线在第一、二象限内依次交于A ，B 两点，若|F 1B |＝3|F 2A |，则该双曲线的离心率是( ) A.54 B.43 C.3
2
D ．2 例5 (2016年4月学考)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)．若存在圆心在双曲线的一条渐近线上的圆，
与另一条渐近线及x 轴均相切，则双曲线的离心率为________．
例6 已知点P 在双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)上，F 1，F 2是这条双曲线的两个焦点，∠F 1PF 2＝90°，
且△F 1PF 2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是________．
一、选择题
1．已知方程x 2m 2＋n －y 2
3m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是
( ) A ．(－1,3) B ．(－1，3) C ．(0,3) D ．(0，3)
2．双曲线
15y 2－x 2＝15
与椭圆x 225＋y 2
9
＝1的( )
A ．焦点相同
B ．焦距相同
C ．离心率相等
D ．形状相同
3．已知双曲线x 2a 2－y 2
＝1的焦点为(2,0)，则此双曲线的渐近线方程是( )
A ．y ＝±5x
B ．y ＝±5
5x
C ．y ＝±3
3
x
D ．y ＝±3x
4．若双曲线x 216－y 2
9＝1上点P 到点(5,0)的距离为15，则点P 到点(－5,0)的距离为( )
A ．7
B ．23
C ．5或25
D ．7或23
5．焦点为(0,6)，且与双曲线x 22－y 2
＝1有相同的渐近线的双曲线方程是( )
A.x 212－y 2
24＝1 B.y 212－x 2
24＝1 C.y 224－x 2
12
＝1 D.x 224－y 2
12
＝1 6．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，
则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 2
＝1 B ．x 2
－y 2
4
＝1
C.3x 220－3y 2
5
＝1 D.3x 25－3y 2
20
＝1
7．已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2
b 2＝1的左，右焦点，点M 在双曲线E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1
＝1
3，则双曲线E 的离心率为( ) A. 2 B.3
2
C. 3 D ．2
8．双曲线x 2－y 2＝1的一弦中点为(2,1)，则此弦所在的直线的方程为( ) A ．y ＝2x －1 B ．y ＝2x －2 C ．y ＝2x －3 D ．y ＝2x ＋3
二、填空题
9．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)过点P (1,1)，其中一条渐近线方程为
y ＝2x ，则该双曲线的方程为________．
10．设F 1、F 2是双曲线x 24－y 2
＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2
的面积是________．
11．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M ，N 两点，O
为坐标原点．若OM ⊥ON ，则双曲线的离心率为________．
12．设过双曲线x 2－y 2＝9左焦点F 1的直线交双曲线的左支于点P ，Q ，F 2为双曲线的右焦点．若|PQ |＝7，则△F 2PQ 的周长为________．
答案精析
知识条目排查 知识点一
距离的差的绝对值 双曲线的焦点 双曲线的焦距 (1)2a <|F 1F 2| (2)2a ＝|F 1F 2| (3)2a >|F 1F 2| 知识点二
x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a 坐标轴 原点 y ＝±b a x y ＝±a
b x (1，＋∞)
a 2＋
b 2
2a 2b a 2＋b 2 题型分类示例 例1 D
例2 (1)D (2)x 294
－y 2
4＝1
解析 (1)双曲线的渐近线为y ＝±3x ，焦点在x 轴上，双曲线方程设为x 2－
y 2
3
＝λ(λ>0)， 即x 2λ－y 2
3λ＝1，a 2＝λ，b 2＝3λ， ∵焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，∴c ＝4， c 2＝a 2＋b 2＝4λ＝16⇒λ＝4， ∴双曲线方程为x 24－y 2
12
＝1.
(2)方法一 双曲线x 29－y 2
16＝1的渐近线方程为
y ＝±43
x .
①当焦点在x 轴上时，设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)．
由题意得⎩⎨⎧
b a ＝4
3，
9a 2
－12
b 2
＝1，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝94，
b 2＝4.
∴所求双曲线的标准方程为x 294
－y 2
4＝1；
②当焦点在y 轴上时，设所求双曲线方程为y 2a 2－x 2
b
2＝1(a >0，b >0)．
由题意得⎩⎨⎧
a b ＝43
，12a 2
－9
b 2
＝1，
此方程组无解．
综上可知，双曲线的标准方程为x 294－y 2
4＝1.
方法二 设所求双曲线方程为x 29－y 2
16＝λ(λ≠0)，
∵双曲线经过点M (－3,23)， ∴λ＝(－3)29－(23)216＝14.
故双曲线方程为x 29－y 216＝1
4，
即x 294－y 2
4＝1. 例3 B 例4 C 例5 2
解析 由题意可知，渐近线y ＝b
a x 的倾斜角为60°，
则b a ＝tan 60°，∴b a ＝3， e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝
1＋(b
a
)2＝1＋(3)2＝2.
例6 5
解析 因为△F 1PF 2的三边长成等差数列，分别设为m －d ，m ，m ＋d . 由双曲线定义，得m －(m －d )＝2a ，m ＋d ＝2c . 由勾股定理，得m 2＋(m －d )2＝(m ＋d )2， 解得m ＝4d ＝8a ，c ＝5a ，所以离心率e ＝c
a ＝5.
考点专项训练
1．A [∵双曲线两焦点的距离为4， ∴c ＝2，可得4＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )， 解得m 2＝1，
∵方程x 2m 2＋n －y 2
3m 2－n
＝1表示双曲线，
∴(m 2＋n )(3m 2－n )>0，可得(n ＋1)(3－n )>0， 解得－1<n <3，即n 的取值范围是(－1,3)．] 2．B 3．C
4．D [∵双曲线x 216－y 2
9
＝1，
∴2a ＝8，(5,0)，(－5,0)是双曲线的两个焦点， ∵点P 在双曲线上， ∴||PF 1|－|PF 2||＝8，
∵点P 到点(5,0)的距离为15，
则点P 到点(－5,0)是15＋8＝23或15－8＝7.] 5．B
6．A [∵双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，
∴c ＝5，
∵双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直， ∴b a ＝1
2
，∴a ＝2b . ∵c 2＝a 2＋b 2，∴a ＝2，b ＝1， ∴双曲线的方程为x 24－y 2
＝1.]
7．A [
设|MF 1|＝x ，则|MF 2|＝2a ＋x ， ∵MF 1与x 轴垂直， ∴(2a ＋x )2＝x 2＋4c 2， ∴x ＝b 2
a
.
又∵sin ∠MF 2F 1＝1
3，
∴3x ＝2a ＋x ，∴x ＝a ， ∴b 2
a
＝a ，∴a ＝b ，∴c ＝2a ，
∴e ＝c
a ＝ 2.]
8．C 9．2x 2－y 2＝1 10．1
解析 由已知||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝4， 平方得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝16. 又|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝20， ∴|PF 1|·|PF 2|＝2.
∴S △F 1PF 2＝1
2|PF 1|·|PF 2|＝1.
11.1＋52
解析 设右焦点为F ，由条件可得
|MF |＝|OF |⇒b 2a ＝c ⇒c 2－ac －a 2＝0⇒e 2－e －1＝0⇒e ＝1±5
2.由e >1可得e ＝1＋52.
12．26
解析 如图，由双曲线的定义可得
⎩
⎪⎨⎪⎧
|PF 2|－|PF 1|＝2a ，
|QF 2|－|QF 1|＝2a ， 将两式相加得|PF 2|＋|QF 2|－|PQ |＝4a ， ∴△F 2PQ 的周长为 |PF 2|＋|QF 2|＋|PQ |
＝4a ＋|PQ |＋|PQ |＝4×3＋2×7＝26.。