第四章4.1.2 乘法公式与全概率公式

跟踪训练1 一批彩电共100台，其中有10台次品，采用不放回抽样依次 1
抽取2次，每次抽一台，则第2次才抽到合格品的概率为__1_1___.
解析 设Ai(i＝1,2)为第i次抽到合格品的事件，则有
P( A 1A2)＝P( A 1)·P(A2| A 1)＝11000×9909＝111.
二、全概率公式
3
由全概率公式得 P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)＝3.5%.
i＝1
(2)经检验发现取到的产品为次品，求该产品是甲厂生产的概率. 解 由贝叶斯公式(或条件概率定义)，得 P(A1|B)＝PP(A(B1B) )＝P(A1P)P(B(B) |A1)＝1385.
反思 感悟
条件概率的内含 (1)公式P(A1|B)＝PP(A(B1B) )＝P(A1P)P(B(B) |A1) 反应了P(A1B)，P(A1)， P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之间的互化关系. (2)P(A1)称为先验概率，P(A1|B)称为后验概率，其反应了事情 A1产生的可能在各种可能原因中的比重.
跟踪训练3 甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正 品和3个次品. (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
解 从甲箱中任取 2 个产品的样本点有 C28＝8×27＝28(个)， 这 2 个产品都是次品的样本点有 C23＝3(个)， ∴这 2 个产品都是次品的概率为238.
跟踪训练 2 某商店收进甲厂生产的产品 30 箱，乙厂生产的同种产品 20 箱，甲厂每箱装 100 个，废品率为530，乙厂每箱装 120 个，废品率 为210，求： (1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；
解 记事件A，B分别为甲、乙两厂的产品，事件C为废品，则Ω＝A∪B， 且A，B互斥， 由题意，得 P(A)＝3500＝35，P(B)＝5200＝25， P(C|A)＝530，P(C|B)＝210， 由全概率公式，得 P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝1725.
P(A|B1)＝23，P(A|B2)＝59，P(A|B3)＝49，
∴P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)·P(A|B3)＝154×23＋2185×59＋238×49＝172.
三、贝叶斯公式的应用
例4 设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%,35%,20%，
知识点三 贝叶斯公式
一般地，当 1>P(A)>0 且 P(B)>0 时，有 P(A|B)＝P(AP)P(B(B) |A) P(A)P(B|A)
＝_P_(_A_)_P_(_B_|A_)_＋__P_(_A__)_P_(_B_|_A__)_.
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
3 随堂演练
PART THREE
1.第一个袋中有黑、白球各 2 只， 第二个袋中有黑、白球各 3 只.先从第
一个袋中任取一球放入第二个袋中，再从第二个袋中任取一球.则第一、二
次均取到白球的概率为
1 A.7
√B.27
1 C.2
4 D.7
12345
2.两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为 0.03，第二台出现
知识点二 全概率公式
1.全概率公式：一般地，如果样本空间为 Ω，A，B 为事件，则 BA 与 B A 是互斥的，且 B＝BΩ＝B(A＋ A )＝BA＋B A ，从而 P(B)＝P(BA＋B A )＝ P(BA)＋P(B A )，当 P(A)>0 且 P( A )>0 时，有 P(B)＝__P_(A__)P_(_B_|_A_)_＋__P_(_A_)_P_(_B_|_A_)__. 2.定理1：若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： (1)任意两个事件 互斥 ，即AiAj＝∅，i≠j，i，j＝1,2，…，n；
(2)A1＋A2＋…＋An＝ Ω ；
(3)P(Ai)＞0 ，i＝1,2，…，n.
则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，
n
n
P(BAi)＝ P(Ai)P(B|Ai)
且P(B)＝__i＝_1________i＝_1_____________.
思考 在全概率公式的推导过程中，用到了哪些概率公式？ 答案 互斥事件概率的加法公式与条件概率的乘法公式.
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品， 求取出的这个产品是正品的概率.
解 设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱 中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”， 事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件 B3彼此互斥. P(B1)＝CC2528＝154，P(B2)＝CC15C28 13＝1258，P(B3)＝CC2823＝238，
命题角度2 定理1的应用 例3 某射击小组共有20名射手，其中一级射手5人，二级射手8人，三级 射手7人.一、二、三级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9,0.7,0.5. 求在小组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率.
解 设事件A表示“射手能通过选拔进入比赛”.
设事件Bi表示“射手是第i级射手”(i＝1,2,3)， 显然，Ω＝B1＋B2＋B3. 且 P(B1)＝250＝14，P(B2)＝280＝25，P(B3)＝270， P(A|B1)＝0.9，P(A|B2)＝0.7，P(A|B3)＝0.5.
由全概率公式可知 P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＝58×35＋38×13＝12.
反思 感悟
两个事件的全概率问题求解策略 (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与 A ). (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率. (3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2).
由全概率公式得到P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)·P(B2)＋P(A|B3)P(B3). ＝0.9×14＋0.7×25＋0.5×270＝0.68.
反思 感悟
“化整为零”求多事件的全概率问题
3
(1)如图，P(B)＝ P(Ai)P(B|Ai).
i＝1
(2)已知事件B的产生有各种可能的情形Ai(i＝1,2，…，n)，事 件B产生的可能性，就是各种可能情形Ai产生的可能性与已知 在Ai产生的条件下事件B产生的可能性的乘积之和.
跟踪训练4 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知，三家 的正品率分别为0.95,0.90,0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，混合在 一起. (1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；
解 设事件A表示取到的产品为正品，B1，B2，B3分别表示产品由甲、乙、 丙厂生产.则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥， 由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5， P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8.
3
由全概率公式得P(A)＝ P(Bi)P(A|Bi)＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86. i＝1
(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的 可能性大？
解 由贝叶斯公式得 P(B1|A)＝P(B1P)P(A(A) |B1)＝0.20×.806.95＝8169， P(B2|A)＝P(B2P)P(A(A) |B2)＝0.03.×806.9＝2876， P(B3|A)＝P(B3P)P(A(A) |B3)＝0.05.×806.8＝4806＝4230. 由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大.
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.会应用乘法公式计算概率. 2.理解全概率公式，学会利用全概率公式与贝叶斯公式计算概率.
内
知识梳理
容
题型探究
索
随堂演练
引
课时对点练
1
PART ONE
知识梳理
知识点一 乘法公式
1.公式：P(BA)＝P(A)P(B|A). 2.意义：根据事件A产生的概率，以及已知事件A产生的条件下事件B产生 的概率，可以求出事件A与B 同时产生 的概率.
各厂的产品的次品率分别为4%,2%,5%，现从中任取一件. (1)求取到的是次品的概率；
解 记事件A1＝“该产品为甲厂生产的”，事件A2＝“该产品为乙厂生 产的”，事件A3＝“该产品为丙厂生产的”，事件B＝“该产品是次品”. 则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，由题设，知 P(A1)＝45%，P(A2)＝35%，P(A3)＝20%，P(B|A1)＝4%，P(B|A2)＝2%， P(B|A3)＝5%.
(2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率.
解 P(A)＝30×13000×＋12000×120＝59， P(B)＝30×12000×＋12200×120＝49， P(C|A)＝530，P(C|B)＝210， 由全概率公式，得 P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝59×530＋49×210＝118.
1.P(AB)＝P(A)P(A|B).( × ) n
2.全概率公式中样本空间Ω中的事件Ai需满足的条件为Ai ＝Ω.( × ) i＝1
3.贝叶斯公式是在视察到事件B已产生的条件下，寻找导致B产生的每个
原因的概率.( √)
2 题型探究
PART TWO
一、乘法公式
例1 某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标 都射中才能过关.某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第 二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为_0_._4__.
√A.0.013 B.0.04
C.0.002 D.0.003
解析 设事件A为“任取一件为次品”，事件Bi为“任取一件为i厂的产 品”，i＝1,2,3，则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥，易知P(B1)＝ 0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2，P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.01. ∴P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)·P(B3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋ 0.01×0.2＝0.013.
废品的概率为 0.02，加工出来的零件放在一起，现已知第一台加工的零件
比第二台加工的零件多一倍，则任意取出一个零件是合格品的概率是
2 A.75
7 B.300
√73
C.75
973 D.1 000
解析 设Ai＝“任意取出一个零件是第i台机床生产的”，i＝1,2，B＝ “任意取出一个零件是合格品”.则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，
解析 记“射中第一个目标”为事件A，“射中第二个目标”为事件B， 则P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.5. 所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.5＝0.4， 即这个选手过关的概率为0.4.
反思 感悟
应用乘法公式的关注点 (1)来源：乘法公式是条件概率公式的变情势. (2)用途：已知事件A产生的概率和事件A产生的条件下事件B产 生的概率，求事件A与B同时产生的概率. (3)拓广：设A，B，C为三个事件，且P(AB)＞0，则有P(ABC)＝ P(C|AB)P(AB)＝P(C|AB)P(B|A)·P(A).
∴P(B)＝2 P(Ai)P(B|Ai)＝23(1－0.03)＋13(1－0.02)＝239020＝7735. i＝1
12345
3.有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占
50%，三厂生产的占20%.又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%，
则从这批产品中任取一件是次品的概率是
命题角度 1 两个事件的全概率问题 例 2 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民 意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为 5∶3，其中甲班中女生占35， 乙班中女生占13.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的 概率.
解 如果用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事 件，B表示是女生的事件，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B⊆Ω， 由题意可知，P(A1)＝58，P(A2)＝38， 且 P(B|A1)＝35，P(B|A2)＝13.