2020-2021学年江苏省宿迁市建陵中学高二数学文月考试题含解析

2020-2021学年江苏省宿迁市建陵中学高二数学文月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 直线x+y+1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为( )
A．B．1 C．D．
参考答案：
D
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】直线与圆．
【分析】由圆的方程可得圆心坐标和半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线x+y+1=0的距离d，即可求出弦长为2，运算求得结果．
【解答】解：圆x2+y2=1的圆心O（0，0），半径等于1，圆心到直线x+y+1=0的距离d=，
故直线x+y+1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为 2=，
故选 D．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题．
2. 若，，且函数在处有极值，则的最小值为（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
试题分析：因为函数在处有极值，所以，即
，则（当且仅当且，即时取“=”）；故选C．
考点：1．函数的极值；2．基本不等式．
3. 在正方体中，异面直线与所成的角为（）A. B. C． D. 参考答案：
C
4. 右图程序流程图描述的算法的运行结果是
A．-l B．-2
C．-5 D．5
参考答案：
C
5. 方程表示双曲线，则的取值范围是（）A． B． C． D．或
参考答案：
D
6. 已知函数.过点引曲线的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A，B两点，若，则f(x)的极大值点为（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
【分析】
设切点的横坐标为t，利用切点与点M连线的斜率等于曲线C在切点处切线的斜率，利用导数建立有关t的方程，得出t的值，再由得出两切线的斜率之和为零，于此得出a的值，再利用导数求出函数的极大值点。

【详解】设切点坐标为，∵，∴，即，解得或.∵，∴，即，
则，.当或时，；当时，
.故的极大值点为.
【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的极值点，在处理过点作函数的切线时，一般要设切点坐标，利用切线与点连线的斜率等于切线的斜率，考查计算能力，属于中等题。

7. 若方程x＋（a是常数），则下列结论正确的是（）
A.,方程表示椭圆。

B.，方程表示双曲线.
C.，方程表示椭圆。

D.,方程表示双曲线.
参考答案：
B 略
8. 已知△ABC中，,,,那么角A等
于（）
A.135°
B.90°
C.45°
D.30°
参考答案：
C
9. 已知函数 f（x）=ax﹣x4，x∈[，1]，A、B是图象上不同的两点，若直线AB的斜率k总满足≤k≤4，则实数a的值是（）
A．B．C．5 D．1
参考答案：
A
【考点】直线的斜率．
【分析】先对函数f（x）求导，然后根据≤a﹣4x3≤4在x∈[，1]上恒成立可得答案．
【解答】解：∵f（x）=ax﹣x4，∴f′（x）=a﹣4x3，x∈[，1]，
由题意得≤a﹣4x3≤4，即4x3+≤a≤4x3+4在x∈[，1]上恒成立，求得≤a≤，
则实数a的值是．
故选：A
10. 已知数列对任意的满足，且，那么等于（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某城市近10年居民的年收入x 和支出y 之间的关系大致是y=0.8x+0.1(单位：亿元) 预计今年该城市居民收入为15亿元，则年支出估计是
参考答案：
12.1亿元 略
12. 如图，将菱形ABCD 沿对角线BD 折起，使得C 点至C′，E 点在线段AC′上，若二面角A ﹣BD ﹣E 与二面角E ﹣BD ﹣C′的大小分别为15°和30°，则
=
．
参考答案：
【考点】与二面角有关的立体几何综合题． 【专题】综合题；压轴题；空间位置关系与距离．
【分析】取BD 的中点
O ，连接AO ，EO ，C′O，由题设知AOE=15°，∠EOC′=30°，由此利用正弦定理能求出
．
【解答】解：取BD 的中点O ，连接AO ，EO ，C′O，
∵菱形ABCD 沿对角线BD 折起，使得C 点至C′，E 点在线段AC′上， ∴C′O⊥BD，AO⊥BD，OC′=OA， ∴BD⊥平面AOC′， ∴EO⊥BD，
∵二面角A ﹣BD ﹣E 与二面角E ﹣BD ﹣C′的大小分别为15°和30°， ∴∠AOE=15°，∠EOC′=30°， ∵OC′=OA，∴∠OC′E=∠OAE，
由正弦定理得，，
∴，
∴===．
故答案为：．
【点评】本题考查棱锥的结构特征，注意在翻折过程中哪些量发生了变化，哪些量没有发生变化；位于折线同侧的元素关系不变，位于折线两侧的元素关系会发生变化．
13. 函数f （x ）=e ﹣x ﹣3x ﹣4在区间[0，1]上的最小值是 ．
参考答案：
﹣7
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】先对函数f （x ）进行求导，得到f （x ）在[0，1]上单调递减，进而得到最小值． 【解答】解：∵f（x ）=e ﹣x ﹣3x ﹣4，
∴f′（x ）=﹣e ﹣x ﹣3＜0，在[0，1]上恒成立， ∴f（x ）在[0，1]上单调递减， ∴f（x ）min =f （1）=﹣7， 故答案为：
14. 一个五面体的三视图如图所示，正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为 ．
参考答案：
2
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由已知判断出该几何体是一个底面为直角梯形，高为2的四棱锥，根据底面上底为1，下底为2，高为2，计算出底面积，然后代入棱锥的体积公式，即可得到答案． 【解答】解：由三视图可得，这是一个四棱锥
底面是一个上下底分别为1和2，高为2的直角梯形，棱锥高为2
故V=××（1+2）×2×2=2， 故答案为：2．
15. 已知地铁列车每10分钟一班，在车站停1分钟，则乘客到达站台立即乘上车的概率是__________________________。

参考答案：
16. 若点A
与点B
分别在直线
的两侧，则
的取值范围为
.
参考答案：
试题分析：等价于
，解得：
.
考点：不等式表示的平面区域
17. 设双曲线的离心率，则两条渐近线夹角的取值范围是__
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分14分）
已知函数 (a 为常数)
（1）当
时，分析函数
的单调性；
（2）当 a >0时，试讨论曲线
与轴的公共点的个数
参考答案： 解：（1）若，则
,∴
在
上单调递增……4分
（2）
………6分
①若，则；当时，；当时，
在，（，内单调递增， 在内单调递减
的极大值为,
的图象与轴只有一个交
点 ……………9分 ②若，则
,∴
在
上单调递增,
又
的图象与轴有且只有一个交点 ……10分
③若， 当或时，；当时，
在
，（1，内单调递增，在
内单调递减
的极大值为,
的图象与轴只有一个公共
点 ………13分 综上所述，当时，的图象与轴有且只有一个公共点 ………14 略
19. 某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
异”；
（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．
附：
K2=
P（K2＞k0）
【考点】独立性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（1）利用2×2列联表中的数据计算观测值x2，对照表中数据即可得出结论；
（2）利用列举法求出从这5名学生中任取3人的基本事件数，计算对应的概率即可．
【解答】解：（1）将2×2列联表中的数据代入公式，计算得
x2==≈4.762，
因为4.762＞3.841，
所以有95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异；
（2）这5名数学系学生中，2名喜欢甜品的记为A、B，
其余3名不喜欢甜品的学生记为c、d、e，
则从这5名学生中任取3人的结果所组成的基本事件为
ABc，ABd，ABe，Acd，Ace，Ade，Bcd，Bce，Bde，cde，共10种；
3人中至多有1人喜欢甜品的基本事件是
Acd，Ace，Ade ，Bcd ，
Bce ，Bde ，cde ，共7种；
所以，至多有1人喜欢甜品的概率为P=．
20. 已知实数x 、y 满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求下列各式的最大值和最小值．（1）x＋y （2）
参考答案：
略
21. （本小题满分9分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重
合．直线的参数方程为：（t为参数），曲线的极坐标方程为：．（Ⅰ）写出的直角坐标方程，并指出是什么曲线；
（Ⅱ）设直线与曲线相交于、两点，求值．
参考答案：
解：（Ⅰ），
，
由得：
所以曲线的直角坐标方程为，
它是以为圆心，半径为的圆.
（Ⅱ）把代入整理得，……7分
设其两根分别为、，则，
另解：
化直线参数方程为普通方程，然后求圆心到直线距离，再用垂径定理求得的值．
22. 平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆上一动点的直线，过与轴垂直的直线记为，右准线记为；
设直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，证明恒为定值，并求此定值.
若连接并延长与直线相交于点，椭圆的右顶点，设直线的斜率为，直线的斜率为，求的取值范围.
参考答案：
（1）由题意知2a=4，则a=2，由e==，求得c=1，------------2分b2=a2﹣c2=3
∴椭圆C的标准方程为；-----------4分
（2）①证明：直线l1：x=1，直线l2：x=4．
把x=1代入直线1：+=1，解得
----------6分把x=4代入直线1：+=1方程，解得y=，
----------8分
∴
--------10分
②由，解得=3（1﹣）（﹣2≤x0＜2），x0≠﹣1．
直线l1的方程为：x=1；直线l2的方程为：x=4．
直线PF1的方程为：y﹣0=（x+1），
令x=4，可得y Q=．
点Q，
∵，k2=，----------12分
∴k1?k2==．-------13分∵点P在椭圆C上，∴，
∴k1?k2==．
∵﹣1＜x0＜2，
∴∈（，+∞），
∴k1?k2＜﹣．
∴k1?k2的取值范围是k1k2∈（﹣∞，﹣）．---------16分。