高中数学人教A版选修2-1高级高二第一学期半期试题.docx

龙泉一中高2010级高二第一学期半期试题
数学
(考试时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知两定点F 1(5,0)，F 2(－5,0)，曲线上的点P 到F 1，F 2的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为( )
A.x 29－y 2
16＝1 B.x 216－y 2
9＝1 C.x 225－y 2
36
＝1 D.y 225－x 2
36
＝1 2.下列命题中错误的是
（ ）
A ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C ．如果平面αγ⊥平面，平面βγ⊥平面，=l αβ⋂，那么l γ⊥平面
D ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 3．设θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，则关于x ，y 的方程x 2
sin θ－y
2
cos θ＝1所表示的曲线为( )
A ．实轴在y 轴上的双曲线
B ．实轴在x 轴上的双曲线
C ．长轴在y 轴上的椭圆
D ．长轴在x 轴上的椭圆
4．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为( )
A ．4
B ．－2
C ．4或－4
D ．12或－2
5．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现在用一个竖直的平面去截这个几何体，所得的截面的图形可能是(
)
A ．(1)(2)
B ．(1)(3)
C ．(1)(4)
D ．(1)(5)
6．椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为( )
A.
1010 B. 1717 C.21313 D.3737
7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，O 为正方形ABCD 的中心，P 为棱A 1B 1上任一点，则异面直线OP 与MA 所成的角为( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
8．过双曲线x 29－y 2
18＝1的焦点作弦MN ，若|MN |＝48，则此弦的倾斜角
为( )
A ．30°
B ．60°
C ．30°或150°
D ．60°或120°
9．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面
积的最大值是( )
A ．2πR 2 B.9
4
πR 2
C.83πR 2
D.52
πR 2 10．设F 1，F 2是双曲线x 2－4y 2
＝4a (a ＞0)的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足PF →1·PF →2＝0，|PF →1|·|PF →
2|＝2，则a 的值为( )
A ．2 B.5
2
C ．1
D. 5
11．如图，在正四棱柱ABCD －D C B A ''''中(底面是正
方形的直棱柱)，侧棱A A '=3， 2=AB ，则二面角A BD A --'的大
小为 ( )
A ．30o
B ．45o
C ．60o
D ．90o
12. 如图所示，三棱锥P －ABC 的高PO ＝8，AC ＝BC ＝3，∠ACB ＝30°，M 、N 分别在BC 和PO 上，且CM ＝x ，PN ＝2x (x ∈[0,3])，下列四个图象大致描绘了三棱锥N －AMC 的体积V 与x 的变化关系，其中正确的是( )
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)
13．已知AB 是过椭圆x 225＋y 2
16＝1左焦点F 1的弦，且|AF 2|＋|BF 2|＝12，
其中F 2是椭圆的右焦点，则弦AB 的长是________．
14．如图(1)直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，主视图和俯视图如图
(2)、(3)所示，则其左视图的面积为________．
15．点M 是线段AB 的中点，若点A 、B 到平面α的距离分别为4 cm 和6 cm ，则点M 到平面α的距离为________．
16．若方程x 24－t ＋y 2
t －1＝1所表示的曲线为C ，给出下列四个命题：
①若C 为椭圆，则1<t <4，且t ≠5
2；
②若C 为双曲线，则t >4或t <1； ③曲线C 不可能是圆；
④若C 表示椭圆，且长轴在x 轴上，则1<t <3
2
.
其中正确的命题是________．(把所有正确命题的序号都填在横线上) 三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)．
17．正方形ABCD 的边长为1，分别取边BC 、CD 的中点E 、F ，连接AE 、EF 、AF .以AE 、EF 、F A 为折痕，折叠这个正方形，使点
B
、C 、D 重
合于一点P ，得到一个四面体，如图(2)所示．
(1)求证：AP ⊥EF ；
(2)求证：平面APE ⊥平面APF
.
18．(本小题满分12分)已知拋物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2
a 2
－y 2
b 2＝1的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，拋物线与双曲线交于点P ⎝⎛⎭
⎫3
2，6，求拋物线方程和双曲线方程．
19. (本小题满分12分)如图△ABC 中，AC ＝BC ＝
2
2
AB ，四边形ABED 是边长为a 的正方形，平面ABED ⊥平面ABC ，若G 、F 分别是EC 、BD 的中点． (1)求证：GF ∥平面ABC ；
(2)求证：平面EBC ⊥平面ACD ； (3)求几何体ADEBC 的体积V .
21．(本小题满分12分)等边三角形ABC 的边长为a ，沿平行于BC 的线段PQ 折起，使平面APQ ⊥平面PBCQ ，设点A 到直线PQ 的距离为x ，AB 的长为d .x 为何值时，d 2取得最小值，最小值是多少？
21．(本小题满分12分)已知椭圆的长轴长为2a ，焦点是F 1(－3，0)、F 2(3，0)，点F 1到直线x ＝－a 23的距离为3
3，过点F 2且倾斜角为锐角的
直线l 与椭圆交于A 、B 两点，使得|223AF B F =
(1)求椭圆的方程；(2)求直线l 的方程．
22．(本小题满分14分)已知椭圆G ：x 24＋y 2
＝1.过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1
的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．
(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；
(2)将|AB |
表示为m 的函数，并求|AB |的最大值．。