【土木建筑】05静定结构的位移计算

当要求某点沿某方向的线位移时，应在该点沿所求位移方向加一个单位集中力。如图5.3(a) 即为求A点水平位移时的虚拟状态(虚设单位力状态)。
当要求某截面的角位移时，则应在该截面处加一个单位力偶，如图5.3(b)所示。 求两点沿其连线方向上的相对线位移，此时应在两点沿其连线方向上加一对指向相反的单 位力，如图5.3(c)所示。 同理，若要求两截面的相对角位移，就应在两截面处加一对相反的单位力偶，如图5.3(d)所 示。
的D点处沿水平方向加上一个单位荷载FP=1 。这时，A处虚拟状态中的支座反力为 R 1 、R 2 ，B处 的反力为 F B y ，结构在单位力和相应的各支座反力的作用下维持平衡，其内力用 M 、F N 、F Q 来 表示。虚设力系的外力(包括反力)对实际状态的位移所作的总虚功为
W 1 2 1 R 1 c 1 R 2 c 2 R C
第5章 静定结构的位移计算
5.2
第5章 静定结构的位移计算
5.3
第5章 静定结构的位移计算
5.4
第5章 静定结构的位移计算
5.5
第5章 静定结构的位移计算
5.6
第5章 静定结构的位移计算
计算结构位移的一般公式
为了利用虚功方程求得D点的水平位移，应选取如图5.2(b)所示虚设的力状态，即在该结构
dx
式中，EI、EA和GA分别是杆件的抗弯、抗拉和抗剪刚度；k为截面的剪应力分布不均匀系数，
它只与截面的形状有关，当截面为矩形时，k=1.2。将式(a)代入式(5-4)并注意到无支座移动(即
c=0)，得
M M pd x F N F N pd x k F Q F Q pd x
l E I
(5-2)
以dφ、du、dv 表示实际状态中微段dx相应于 M 、 F N、F Q 的变形，则总虚应变能为：
U 1 2 lM d lF N d u lF Q d v
(5-3)
由杆件结构的虚功方程式(5-1)可得
R C lM d lFN du lFQ dv
(5-4)
即
lM d lFN du lFQ dv R C
l E A
l G A
(5-5)
式中，M 、F N 、F Q 代表虚拟状态中由于单位荷载所产生的内力。
5.9
第5章 静定结构的位移计算
计算结构位移的一般公式
在梁和刚架中，轴向变形和剪切变形的影响甚小，其位移的计算只考虑弯曲变形一项的影
响已足够。式(5-5)可简化为：
Δ
l
MM EI
p
dx
(5-6)
仅有轴力的桁架位移的计算公式为：
5.11
第5章 静定结构的位移计算
计算结构位移的一般公式
四、用图乘法计算梁及刚架的位移
计算梁及刚架由于荷载作用下的位移时，要用公式
ΔP
MMPdx EI
进行积分计算，比较麻烦。如果所考虑的问题满足下述条件时：①杆轴为直线；②EI=常数；
③ M 和MP 两个弯矩图中至少有一个是直线图形。则可用图乘法来代替积分运算，从而使计算 得到简化。
下产生的变形不能过大，否则会影响工程上的正常使用。例如，建筑中的楼板梁变形过大时，
会使下面的抹灰层开裂和剥落；厂房中吊车梁变形过大会影响吊车的正常运行；桥梁的变形过
大会影响行车安全并引起很大的振动。
对于梁而言，其挠度容许值通常用许用的挠度与跨长的比值[ f ]作为标准。对于转角，一
l
般用许用转角[θ]作为标准。对于建筑工程中的梁，大多只校核挠度。因此，梁的刚度条件可写
5.8
图5.3 虚拟状态
第5章 静定结构的位移计算
计算结构位移的一般公式
三、静定结构由于荷载所引起的位移
如果结构只受到荷载作用的影响，以MP、FNP 、FQP 表示结构实际状态的内力，则在实际
状态下微段的变形为：
d
kdx
Mp EI
dx
du
dx
FNp EA
dx
(a)
dv
dx
kFQp GA
计算结构位移的一般公式
如果结构上所有各杆段均可图乘，则位移计算公式可写为
ΔPMM EIPdxபைடு நூலகம்yIc
根据上面的推证过程，可知在应用图乘法时应注意下列各点： (1) 必须符合上述3个前提条件。 (2) 竖标yc 只能取自直线图形。 (3) ω与yc 若在杆件的同侧则乘积取正号，异侧则取负号。 现将常用的几种简单图形的面积及形心列入图5.6中，在各抛物线图形中，“顶点”A是指 其切线平行于底边的点，而顶点在中点或端点者称为“标准抛物线图形”。 当图形的面积或形心位置不便确定时，我们可以将它分解为几个简单的图形，将它们分别 与另一个图形相乘，然后把所得结果叠加。
t0
k d (t2 t1) Δt
ds
h
h
(5-13) (5-14)
式中，△t=t2-t1为杆件上下侧温度变化之差。注意到平均剪应变γ0＝0 和支座位移c=0 ，并
以△kt 代替△k 表示有温度变化引起的位移：
kt F N t0ds M h tds
(5-15)
式(5-15)等号右边的第一项表示轴线温度变化引起的位移；第二项表示杆件上下侧温度变 化之差引起的位移。式(5-15)就是计算静定结构由于温度变化引起位移的计算公式。若杆件沿 长度温度变化相同并且截面高度不变，则可改写为：
设截面中性轴至微段上、下侧表面的距离分别为h1 、h2 ，中性轴处温度变化为t0 ，按几何
关系可得：
t0
h1t2
h2t1 h
(5-11)
5.19
若杆件的截面对称于中性轴，即
h1
h2
h 2
t0
t1
t2 2
，则上式成为：
(5-12)
第5章 静定结构的位移计算
静定结构在非荷载因素作用下的位移计算
设材料的膨胀系数为α ，则微段因温度变化引起的轴向应变和曲率可分别表达为：
5.13
第5章 静定结构的位移计算
计算结构位移的一般公式
5.14
图5.6 常用简单图形的面积及形心
第5章 静定结构的位移计算
计算结构位移的一般公式
【例5.2】 试求如图5.7(a)所示刚架A点的竖向位移 。
解 MP图和 M 图分别如图5.7(b)、图5.7(c)所示。由于各杆的两个弯矩图都是直线，故可任取 一个图形作为面积。现以 M 图作面积ω而在MP 图上取竖标yc ，则有
程为： 5.10
M
P
ql 2
x
q 2
x2
M
i
1 l
x
图5.4 例5.1图
第5章 静定结构的位移计算
计算结构位移的一般公式
代入式(5-6)，并积分得
ip B
l MiMPdx 0 EI
l
xql l 2
xqx2 2
dx
0
EI
1 EI
0l q2l
x2 q 2l
x3
dx2q4lE3I
结果为负值，表示其方向与所加的单位力偶方向相反，即B截面逆时针转动。 (2) 求跨中C点的竖向线位移。在C点加一竖向单位力，建立虚设状态如图5.4(c)所示，分别 列出荷载作用和单位力作用下弯矩方程。以A点为坐标原点，当0≤x≤l/2时，有：
值得注意的是，当求结构由于温度变化而引起位移时，杆件轴向变形和弯曲变形对位移的 影响在数值上是相当的，所以一般不能略去轴向变形的影响。 【例5.4】试求如图5.9所示的结构由于杆件一边的温度升高10℃时，在C点所产生的竖向位移。 各杆的截面相同且对称于形心轴。
图5.9 温度改变时求结构位移
解 在C点加一竖向单位荷载，算出各杆的轴力 F N 并绘出 M 图，如图5.9(b)、(c)所示。 5.21
起的各支座反力，c为实际状态中与 R 相应的支座位移。
5.17
第5章 静定结构的位移计算
静定结构在非荷载因素作用下的位移计算
【例5.3】如图5.8(a)所示结构，若支座B发生水平移动，即B点向右移动 ，试求C铰左、右 两截面的相对转角 。
图5.8 例5.3图
解 求相对转角φ的虚拟单位力状态及其所引起的虚拟反力如图5.8(b)所示。利用式(5-10)即得
为：
fmax ≤ [ f ]
(5-9)
l
l
式中，fmax为梁的最大挠度值，[
f l
]则根据不同的工程用途，在有关规范中，均有具体的规
定值。
5.16
第5章 静定结构的位移计算
静定结构在非荷载因素作用下的位移计算
静定结构受到温度变化、支座位移、材料收缩和制造误差等非荷载因素的作用时，虽然不 产生内力，但会产生位移。这种位移仍然可以利用单位荷载法及其相应的位移计算一般公式(54)计算。
式中，R 表示虚拟状态中单位力引起的广义支座反力，c表示实际状态中与 R 相应的广义支座位
移， RC 表示单位力引起的各支座反力所作虚功之和。
5.7这就是计算结构位移的一般公式。
第5章 静定结构的位移计算
计算结构位移的一般公式
这种方法称单位荷载法。应用这个方法每次只能求得一个位移。在计算时，虚拟单位荷载 的指向可以任意假定，若按上式计算出来的结果是正的，就表示实际位移的方向与虚拟单位荷 载的方向相同；为负则位移的方向与虚拟单位荷载的方向相反。式中各项的正负由功的正负确 定。
一、由支座位移引起的位移
静定结构在支座位移作用下因杆件无变形，只发生刚体位移。这种位移通常可以直接由几
何关系求得；当涉及的几何关系比较复杂时，也可以利用单位荷载法进行计算。现以△Kc 表示 结构因支座位移而引起K截面的位移，则式(5-4) 可简化为
Kc Rc
(5-10)
这就是求静定结构由于支座位移而引起位移的计算公式。式中 R 代表虚拟状态中单位力引
Δ FN FNpl
EA
(5-7)
【例5.1】 如图5.4所示的简支梁，在均布荷载q作用下，
EI为常数。试求：(1)B支座处的转角；(2)梁跨中C点的竖向线位移。
解 (1) 求B截面的角位移。在B截面加一单位力偶 ，建立虚设状态
如图5.4(b)所示。
以A点为坐标原点，分别列出荷载作用和单位力偶作用下的弯矩方
第5章 静定结构的位移计算
静定结构在非荷载因素作用下的位移计算
图中虚线所示的弧形表示杆件弯曲的方向。可以看出各杆实际的弯曲变形方向都与虚拟的相反，
且两杆的尺寸及温度变化都相同，故两杆的 可合M 并计算。
ll1ll 1 .5 l2(外 部 受 拉 ） ， t |0C 1 0C | 1 0C （ 内 部 受 拉 ）
Δ A y
y c 1(ll)p l1(l3 l)p lp l3 (↓) E I E I222 E I 241 6 E I
绘制刚架变形示意图，如图5.7(d)所示(弯矩图在受拉边)。
5.15
图5.7 例5.2图
第5章 静定结构的位移计算
梁的刚度校核
结构设计时，在进行了强度计算后，有时还需进行刚度校核。也就是要求结构在荷载作用
如图5.5所示，等直杆AB段有：
A BMM EIPdxtaE nIxc
yc
EI
(5-8)
这里yc是 图的形心C 处所对应的 M 图的竖标。可 见，上述积分式等于一个弯矩图的面积ω 乘以其形心处
所对应的另一个直线弯矩图上的竖标yc ，再除以EI ，这 就称为图乘法。
5.12
图5.5 图乘法
第5章 静定结构的位移计算
Δ k tt 0F N d s h tM d s t 0N h t M (5-16)
式中，l为杆件的长度， M 、 N 分别代表 M 图及 F N 图的面积。
5.20
第5章 静定结构的位移计算
静定结构在非荷载因素作用下的位移计算
在应用式(5-15)和式(5-16)时，等号右边各项的正负号应按功的取值原则确定：当实际状态 温度变化引起的变形与虚拟状态内力引起相应变形方向一致时，所作虚功为正，应取正号；方 向相反时，所作虚功为负，应取负号。
MPq2lxq2x2 ,Mi 12x 因为对称关系，由式得
Δ ip Δ V c E 2 I0 2 l1 2 x q 2 lx q 2 x 2 d x 2 q E I0 2 llx 2 x 3d x 3 5 8 q 4 l E 4 I (↓)
Δ
V C
的结果为正值，表示C点竖向线位移与单位力方向相同，即C点位移向下。
Rc(1 ha)a h
负号表明，C铰左、右两截面相对转角的实际方向与所设虚单位广义力的方向相反。 5.18
第5章 静定结构的位移计算
静定结构在非荷载因素作用下的位移计算
二、由于温度变化、制造误差等引起的位移
静定结构受温度变化作用时，各杆件均能自由变形而不会产生内力。只要能求得杆件各微
段因材料热胀冷缩所引起变形的表达式，并将这种变形视作实际状态的微段位移，即可利用式
(5-4)求得结构的位移。
现从结构杆件上截取任一微段ds，设微段上侧表面温度升高t1 ,下侧表面温度升高t2 。为简 化计算，假定温度沿杆件截面高度h 按直线规律变化。此时，截面在变形之后仍将保持为平面。
可见，由温度变化引起的杆件变形可以分解为沿杆件轴线方向的伸缩和截面绕中性轴的转动两
部分，不存在剪切变形。