高级中学国际分校2016_2017学年高二数学下学期期末统考模拟试题1(1)

江苏省前黄高级中学国际分校2016-2017学年高二数学下学期期末统考模拟试题
（1）
一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共计70分．
1．3
451lg 2lg 4()881
-++= .
2．若集合}012|{>+=x x A ，}21|{<-=x x B ，则B A = . 3．若)1(2ai i bi -=+，其中a 、b R ∈，i 是虚数单位，则b a -=
4．)(x f 是定义在R 上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=，则当(0,)x ∈+∞时，=)(x f 5．ABC ∆的一个内角为120︒，且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积 为____________． 6．下列命题中① 2
"2""320"x x x >-+>是的充分不必要条件;
② 命题“2320,1x x x -+==若则”的逆否命题为“21,320若则x x x =-+≠”;
③对“0,k >方程20x x k +-=有实根”的否定是:“ ∃k >0，方程2
0x x k +-=无实根”;
④ 若命题:,p x A B p ∈⋃⌝则是x A x B ∉∉且; 其中正确命题的序号是
7．我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数2
()5log 10
O
v O =，单位是m/s ，其中O 表示燕子的耗氧量．一只两岁燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是 m/s. 8．2
1()ln(2)2f x x b x =-++在(1,)-+?上是减函数，则b 的取值范围是_____________ 9．已知5
3
)4
sin(
=
-x π
，则x 2sin 的值为 10．若函数1)(2
-+-=a x x x f 有四个零点，则a 的取值范围是 。

11．已知A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角，向量),sin ,2(cos ),sin ,2(sin
B C
b A B A =+=12
a b ⋅=，则tan tan A B ⋅= ．
12．已知()12-+=x x f ，()23+-=x x g ，若()()K x g x f ≤-的解集为R .则K 的取值范围为 13．对于实数x 、y ，定义新运算x *y =ax +by +1，其中a 、b 是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算.若3*5=15，4*7=28，则1*1=_________.
14．函数2
21)(x x x f +=，那么,
)4()31()3()21()2()1(f f f f f f +++++
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知集合,R ,116|
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
∈≥+=x x x A {}
,02|2<--=m x x x B （1）当3=m 时，求)(B C A R （2）若{}41|<<-=x x B A ，求实数m 的值
16．（本题满分14分）（1）已知3sin 5θ=，()2
θ3π∈π，，求cos()4θπ
+的值.
（2）已知sin cos (,),542
ππ
ααα-=∈求cos 2α的值。

17．（本题满分16分）已知函数()2sin(2)13
f x x π
=-+， (Ⅰ)求函数)(x f 的单调递减区间；
(Ⅱ)令函数x x f a x g 2cos )6
2
1()(++⋅=π
（R a ∈）,求函数)(x g 的最大值的表达式)(a h ；
18．（本小题满分16分）某观测站C 在城A 的南偏西︒20的方向，从城A 出发有一条走向为南偏东︒40的公路，在C 处观测到距离C 处31km 的公路上的B 处有一辆汽车正沿公路向A 城驶去，行驶了20km 后到达D 处，测得C ，D 两处的距离为21km ，这时此车距离A 城多少千米？
19．（本题满分16分）已知定义域为R 的函数12()2x x b
f x a
+-+=+是奇函数。

⑴求,a b 的值；并判定函数()f x 单调性（不必证明）。

⑵若对于任意的t R ∈，不等式2
2
(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围。

20. （本题满分16分）已知函数()1
ln sin g x x x θ
=
+在[)1,∞+上为增函数，且()0,θ∈π，()f x mx =-
()1
ln m x m x
--∈R .⑴求θ的值； ⑵若函数()()y f x g x =-在[)1,∞+上为单调函数，求实数m 的取值范围； ⑶设()2e
h x x
=
，若在[]1,e 上至少存在一个0x ，使得()()()000f x g x h x ->成立， 求实数m 的取值范围．
参考答案 1．28
【解析】解：因为
334()44
3
35151
lg 2lg 4()lg lg16()8818351lg 16()lg10328
83
-⨯--++=++=⨯+=+= 2．(,)
12-3 【解析】 ),(21∞+-=A ，)3,1(-=B ，A ∩B =)3,(21-. 3．1 【解析】解：2(1)2,1bi i ai i a a b +=-=+∴==，故a-b=1,
4．4x x --.
【解析】由于f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，设(0,)x ∈+∞,则(,0)x -∈-∞,所以
4()f x x x -=--,
当(0,)x ∈+∞时，4
()f x x x =--. 5
．【解析】设三角形三边分别是b-4,b,b+4，据余弦定理得：
2220(4)(4)2(4)cos12010b b b b b b +=-+--⇒=，三边分别是6,10,14，
16102s =⨯⨯=
6．①③④
【解析】因为02322>+-⇒>x x x ,但由0232
>+-x x ，得2>x 或1<x ，所以①正
确；逆否命题即否条件又否结论，显然②不正确.带有量词的否定应变量词否结论，所以③ 正确.""⋃的意思是“或”，“或”的否定是“且”,故④正确 7．15
【解析】将耗氧量O = 80代入已知函数关系式，得2
80(80)5log 10
v ==3
25log 2= 15m/s ．
8．(,]-∞-1
【解析】解：因为2
1()ln(2)2
f x x b x =-
++在(1,)-+?上是减函数，所以 2'()0(2)
x (2)(1)1(2)
b
f x x x b b x x x x =-+
≤+∴≤∴≤+=+-+恒成立
故b 的取值范围是(,]-∞-1
9．
725 10．⎪⎭
⎫ ⎝⎛45,1 11．13
12．[)∞+，
2 【解析】解：因为()()K x g x f ≤-即
(|x 2|1|)(|3x |2)k +---+≤
max |x 2||3x |k 3R k 3|x 2||3x |k 35k 2
+--≤++≥+--∴+≥∴≥的解集为，说明了（）
13．-11 14．27 15．解 由
,11
6≥+x 得.015
≤+-x x ∴-1＜x ≤5,∴A={}51|≤<-x x .
（1）当m=3时，B={}31|<<-x x ，则R B={}31|≥-≤x x x 或， ∴A （R B ）={}53|≤≤x x .
(2)∵A={}{},41|,51|<<-=≤<-x x B A x x ∴有42
-2×4-m=0,解得m=8.
此时B={}42|<<-x x ,符合题意，故实数m 的值为8. 16．（1
）4cos ,cos()54πθθ=-
+=（2）43sin 2,cos 255αα==-. 【解析】本试题主要考查了三角函数的两角和差的三角关系式的运算，以及利用二倍角公式进行求解三角函数值的运用。

第一问中，利用3sin 5θ=
，()2
θ3π
∈π，，先解得
4cos 5=-θ，再利用两角和的余弦公式解得cos()410
+=-πθ
第二问中，利用-=∈=两边平方可知4
sin cos (,),sin 2425
ππαααα，然后利用角
的范围确定∈∴=-3
2(
,)cos 225
π
απα （1）解：因为3sin 5θ=，()2
θ3π
∈π，，
因此4cos ,cos()5410
πθθ=-
+=-
（2）解：因为-=
∈=两边平方可知4
sin cos (,),sin 2425
ππαααα，又因为
∈∴==-32(
,)cos 225π
απα，因此43
sin 2,cos 255
αα==- 17．
(Ⅰ)解：令2
323
22
2π
ππ
π
π+
≤-
≤+k x k ，z k ∈, ∴⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡++
∈1211,125ππππk k x ，z k ∈ ∴)(x f 的单调递减区间为：⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+
+1211,125ππππk k z k ∈ (Ⅱ)解：x x f a x g 2cos )6
2
1
()(++
⋅=π
=x x a 2cos )sin 21(++
=x x a 2
sin 21)sin 21(-++
=1sin 2sin 22
+++-a x a x
令x t sin =，[]1,1-∈t ，则122)(2
+++-=a at t t g
对称轴2
a t = 当
12
-≤a
即2-≤a 时，)1()(-=g a h =a --1 当121<<-a 即22<<-a 时，)2()(a g a h ==
12
2
++a a 当
12
≥a
即2≥a 时，13)1()(-==a g a h
综上：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-++-≤--=2
,1322,122,1)(2a a a a a
a a a h 【解析】第一问中利用令2
323222π
ππππ+≤-≤+k x k ，z k ∈,
∴⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
++
∈1211,125ππππk k x ，z k ∈ 第二问中，x x f a x g 2cos )6
2
1()(++⋅=π
=x x a 2cos )sin 21(++
=x x a 2sin 21)sin 21(-++
=1sin 2sin 22
+++-a x a x 令x t sin =，[]1,1-∈t ，则122)(2+++-=a at t t g 借助
于二次函数分类讨论得到最值。

18．这时此车距离A 城15千米
【解析】先画出,,,A B C D 所在的位置，在BCD ∆中，21,20,31
===CD BD BC ， 由余弦定理可求出
1cos 7BDC ∠=-
，73
4sin ,71cos =∠=∠ADC ADC ；
在ACD ∆中， ︒==60,21
A CD ，
所以
sin sin(60)ACD ADC ∠=︒+∠=
；根据正弦定理求出15AD =。

在BCD ∆中，21,20,31
===CD BD BC ，由余弦定理 71
212023121202cos 222222-
=⨯⨯-+=∙-+=∠DC DB BC DC DB BDC ， 所以
73
4sin ,71cos =
∠=∠ADC ADC ， 在ACD ∆中，由条件知︒==60,21
A CD ，
所以
1435734217123)60sin(sin =⨯+⨯=
∠+︒=∠ADC ACD
由正弦定理 A CD
ACD AD sin sin =
∠
所以
1514352321=⨯=
AD
故这时此车距离A 城15千米
19．题：⑴可用()()0=-+x f x f 或两个特殊的值求出2=a ，1=b ，
∴()121
212
2121++-=++-=+x x x x f ，可得()x f 在R 上为单调减函数；
⑵由2
2
(2)(2)0f t t f t k -+-<得(
)(
)2
2
22t
k f t t f -<-，()x f 在R 上为单调减函数
∴有2222t k t t ->-在R 上恒成立，只需k 小于t t 232
-的最小值，
而t t 232
-的最小值为31-
，所以3
1-<k ，（还可以用△0<求解）。

20．⑴由题意，()2110sin g x x x θ'=-+≥在[)1,∞+上恒成立，即2sin 1
0sin x x θθ
⋅-⋅≥．
因为()0,θ∈π，所以sin 0θ>，故sin 10x θ⋅-≥在[)1,∞+上恒成立， 因为sin 1y x θ=⋅-是增函数，所以只要1sin 10θ⋅-≥，即sin 1θ≥， 所以sin 1θ=，因为()0,θ∈π，所以2
θπ
=． ⑵由⑴得，()1ln g x x x =
+，所以()()2ln m
f x
g x mx x x
-=--． 令()()()2ln m
F x f x g x mx x x
=-=--，则()222mx x m F x x -'=+．
因为()F x 在其定义域内为单调函数，
所以220mx x m -+≥或者220mx x m -+≤在[)1,∞+上恒成立，
220mx x m -+≥等价于()212m x x +≥，即2
21
x
m x +≥
在[)1,∞+上恒成立，
而
222111x x x x ==++，当且仅当1x =是等号成立，所以1m ≥． 对于220mx x m -+≤在[)1,∞+上恒成立，设()22x mx x m ϕ=-+，则 ①当0m =时，20x -≤在[)1,∞+上恒成立；
②()0,
11,1220,
m m m ϕ⎧<⎪⎪<⎨⎪⎪=-<⎩解得0m <． 所以0m ≤．
综上，m 的取值范围是(]
[),01,-∞∞+．
⑶设()()()()2e
2ln m H x f x g x h x mx x x x
=--=-
--． ①当0m ≤时，因为[]1,x e ∈，所以10m x x ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
≤，且2e 2ln 0x x --<，
所以()0H x <，
所以在[]1,e 上不存在一个0x ，使得()()()000f x g x h x ->成立．
②当0m >时，()2222
22e 22e
m mx x m H x m x x x x -'=-=++++，
因为[]1,e x ∈，所以2e 20x -≥，又20mx m >+， 所以()0H x '>在[]1,e 上恒成立，
所以()H x 在[]1,e 上是单调增函数，()()max e 4e
m
H x H e m ==--． 所以只要e 40e
m
m -
->，解得2
4e e 1m >-． 故m 的取值范围是2
4e ,e 1⎛⎫
∞ ⎪-⎝⎭
+．。