第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ

第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ
第一节函数及其表示
一、基础知识
1．函数与映射的概念
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
求函数定义域的策略
(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．
(2)如果函数y＝f(x)是用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．
(3)如果函数y＝f(x)是用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.
两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．
(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
关于分段函数的3个注意
(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
(3)各段函数的定义域不可以相交．
考点一函数的定义域
[典例] (1)(2019·长春质检)函数y ＝ln (1－x )x ＋1＋1
x 的定义域是( )
A ．[－1,0)∪(0,1)
B ．[－1,0)∪(0,1]
C ．(－1,0)∪(0,1]
D ．(－1,0)∪(0,1)
(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－1
2 C ．(－1,0)
D.⎝⎛⎭⎫12，1
[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧
1－x >0，x ＋1>0，
x ≠0，
解得－1<x <0或0<x <1.
所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．
(2)令u ＝2x ＋1，由f (x )的定义域为(－1,0)，可知－1<u <0，即－1<2x ＋1<0， 得－1<x <－1
2.
[答案] (1)D (2)B [解题技法]
1．使函数解析式有意义的一般准则 (1)分式中的分母不为0； (2)偶次根式的被开方数非负； (3)y ＝x 0要求x ≠0；
(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1； (5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋π
2
(k ∈Z)；
(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求． 2．抽象函数的定义域问题
(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；
(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域．
[题组训练]
1.函数f (x )＝1
ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )
A ．[－2,0)∪(0,2]
B ．(－1,0)∪(0,2]
C ．[－2,2]
D ．(－1,2]
解析：选B 由⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋1>0，ln (x ＋1)≠0，
4－x 2≥0，
得－1<x ≤2，且x ≠0.
2.若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，则函数g (x )＝f (x ＋1)
x －1的定义域是________________．
解析：因为y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，
所以若g (x )有意义，应满足⎩
⎪⎨⎪⎧
1≤x ＋1≤2 019，
x －1≠0，
所以0≤x ≤2 018，且x ≠1.
因此g (x )的定义域是{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}． 答案：{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}
考点二 求函数的解析式
[典例] (1)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )； (2)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )． [解] (1)法一：待定系数法
因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .
因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5， 所以⎩⎪⎨⎪
⎧
4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，
a ＋
b ＋
c ＝5，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝1，
b ＝－5，
c ＝9，
所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法二：换元法
令2x ＋1＝t (t ∈R)，则x ＝t －1
2，
所以f (t )＝4⎝⎛
⎭
⎫t －122
－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R)，
所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法三：配凑法
因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9， 所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．
(2)解方程组法
由f (－x )＋2f (x )＝2x ， ①
得f (x )＋2f (－x )＝2－
x ，②
①×2－②，得3f (x )＝2x ＋
1－2－
x .
即f (x )＝2x ＋
1－2－
x
3
.
故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋
1－2－
x
3
(x ∈R)．
[解题技法] 求函数解析式的4种方法及适用条件 (1)待定系数法
先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．
(2)换元法
对于形如y ＝f (g (x ))的函数解析式，令t ＝g (x )，从中求出x ＝φ(t )，然后代入表达式求出f (t )，再将t 换成x ，得到f (x )的解析式，要注意新元的取值范围．
(3)配凑法
由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．
(4)解方程组法
已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．
[提醒] 由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R ，一定要注明函数的定义域．
[题组训练]
1.[口诀第2句]已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，则f (x )＝________________.
解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx . 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，
得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧
2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.
所以f (x )＝12x 2＋1
2
x (x ∈R)．
答案：12x 2＋1
2
x (x ∈R)
2.[口诀第3句]已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________________.
解析：令2x ＋1＝t ，得x ＝2t －1，则f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )
＝lg
2
x －1(x >1)． 答案：lg
2
x －1
(x >1) 3.[口诀第4句]已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫
1x ＝3x ，则f (x )＝________. 解析：∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，①
把①中的x 换成1x ，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x
.② 联立①②可得⎩⎨
⎧
2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫
1x ＝3x ，
2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x
，
解此方程组可得f (x )＝2x －1
x
(x ≠0)．
答案：2x －1
x (x ≠0)
考点三 分段函数
考法(一) 求函数值
[典例] (2019·石家庄模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
log 3x ，x >0，
a x ＋
b ，x ≤0
(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，
则f (f (－3))＝( )
A ．－2
B ．2
C ．3
D ．－3
[解析] 由题意得，f (－2)＝a －
2＋b ＝5，① f (－1)＝a －
1＋b ＝3，②
联立①②，结合0<a <1，得a ＝1
2
，b ＝1，
所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
log 3
x ，x >0，⎝⎛⎭
⎫12x ＋1，x ≤0，
则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3
＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2. [答案] B
[解题技法] 求分段函数的函数值的策略
(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；
(2)当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值；
(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．
考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)
[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2－
x
，x ≤0，
1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范
围是( )
A ．(－∞，－1]
B ．(0，＋∞)
C ．(－1,0)
D ．(－∞，0)
[解析] 法一：分类讨论法
①当⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋1≤0，
2x ≤0，即x ≤－1时，
f (x ＋1)<f (2x )，即为2
－(x ＋1)
<2
－2x
，
即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．
②当⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．
③当⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，
f (x ＋1)<f (2x )，即为1<2
－2x
，解得x <0.
因此不等式的解集为(－1,0)．
④当⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．
综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)． 法二：数形结合法
∵f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2－
x ，x ≤0，
1，x >0，
∴函数f (x )的图象如图所示． 结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )， 则需⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋1<0，2x <0，
2x <x ＋1
或⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＋1≥0，2x <0， ∴x <0，故选D. [答案] D
[解题技法]
已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法
(1)根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，最后将各段的结果合起来(求并集)即可；
(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．
[题组训练]
1．设f (x )＝⎩⎨⎧
x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1，
若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫
1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6
D ．8
解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ， 解得a ＝1
4或a ＝0(舍去)．
∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.
当a ≥1时，a ＋1≥2，f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴2(a －1)＝2a ，无解． 综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.
2．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ，x ≤1，f (x －1)，x >1，则f (f (3))＝________.
解析：由题意，得f (3)＝f (2)＝f (1)＝21＝2，
∴f (f (3))＝f (2)＝2. 答案：2
3．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －1
2>1的x 的取值范围是________．
解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >1
2讨论．
①当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－1
4，
故－1
4
<x ≤0.
②当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋1
2>1，显然成立．
③当x >12时，原不等式为2x ＋2x －1
2>1，显然成立．
综上可知，所求x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1
4，＋∞. 答案：⎝⎛⎭
⎫－1
4，＋∞ 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是____________．
解析：若a <0，则f (a )<1⇔⎝⎛⎭⎫12a －7<1⇔⎝⎛⎭⎫12a <8，解得a >－3，故－3<a <0； 若a ≥0，则f (a )<1⇔a <1，解得a <1，故0≤a <1. 综上可得－3<a <1. 答案：(－3,1)
[课时跟踪检测]
1．下列所给图象是函数图象的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选B ①中当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；
②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．故选B.
2．函数f (x )＝2x －1＋1
x －2
的定义域为( ) A ．[0,2)
B ．(2，＋∞)
C ．[0,2)∪(2，＋∞)
D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)
解析：选C 由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －1≥0，
x －2≠0，解得x ≥0，且x ≠2.
3．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A.7
4 B ．－7
4
C.43
D ．－4
3
解析：选A 令t ＝1
2x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，
则4a －1＝6，解得a ＝7
4
.
4．(2019·贵阳检测)下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x C ．y ＝13x －1
D ．y ＝x ＋1
x －1
解析：选D 对于A ，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于B ，定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足题意；对于C ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D ，y ＝x ＋1x －1＝1＋2
x －1，定义域为(－∞，
1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)．
5．(2018·福建期末)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )
A ．－15
16
B ．3
C ．－63
64
或3
D ．－15
16
或3
解析：选A 当a >0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a >0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －
2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，所以舍去．于是，可得a ＝2.故f (a －
2)＝f (0)＝4－
2－1＝－1516
.
6．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数f (2x ＋1)
log 2(x ＋1)
的定义域是( )
A ．[1,2]
B ．(－1,1] C.⎣⎡⎦
⎤－1
2，0 D ．(－1,0)
解析：选D 由f (2x －1)的定义域是[0,1]， 得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1， ∴f (x )的定义域是[－1,1]， ∴要使函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)有意义，
需满足⎩⎪⎨⎪
⎧
－1≤2x ＋1≤1，x ＋1>0，
x ＋1≠1，
解得－1<x <0.
7．下列函数中，不满足f (2 018x )＝2 018f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋2
D ．f (x )＝－2x
解析：选C 若f (x )＝|x |，则f (2 018x )＝|2 018x |＝2 018|x |＝2 018f (x )；若f (x )＝x －|x |，则f (2 018x )＝2 018x －|2 018x |＝2 018(x －|x |)＝2 018f (x )；若f (x )＝x ＋2，则f (2 018x )＝2 018x ＋2，而2 018f (x )＝2 018x ＋2 018×2，故f (x )＝x ＋2不满足f (2 018x )＝2 018f (x )；若f (x )＝－2x ，则f (2 018x )＝－2×2 018x ＝2 018×(－2x )＝2 018f (x )．故选C.
8．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1
x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ，0<x <1，
0，x ＝1，－1
x ，x >1.
其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③
D ．①
解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x
－x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧
1x ，0<1
x
<1，0，1
x ＝1，
－x ，1x >1，
即f ⎝⎛⎭⎫
1x ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1
x
，x >1，0，x ＝1，
－x ，0<x <1，
故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝
－f (x )，满足题意．
综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.
9．(2019·青岛模拟)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1
x ＋1－x 2的定义域为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧
1＋1x >0，1－x 2≥0
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
x <－1或x >0，
－1≤x ≤1⇒0<x ≤1.
所以该函数的定义域为(0,1]． 答案：(0,1]
10．(2019·益阳、湘潭调研)若函数f (x )＝⎩⎨⎧
lg (1－x )，x <0，
－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝________.
解析：∵函数f (x )＝⎩⎨⎧
lg (1－x )，x <0，
－2x ，x ≥0，
∴f (－9)＝lg 10＝1，∴f (f (－9))＝f (1)＝－2.
答案：－2
11．(2018·张掖一诊)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ，x ＞0，
x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等
于________．
解析：∵f (1)＝2，且f (1)＋f (a )＝0，∴f (a )＝－2＜0，故a ≤0. 依题知a ＋1＝－2，解得a ＝－3. 答案：－3
12．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
12x ＋1，x ≤0，
－(x －1)2，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．
解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
x ≤0，12
x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＞0，
－(x －1)2
≥－1， 解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2， 故所求x 的取值范围是[－4,2]． 答案：[－4,2]
13．设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
ax ＋b ，x ＜0，
2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象．
解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧
－2a ＋b ＝3，
－a ＋b ＝2，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x ＋1，x ＜0，
2x ，x ≥0.
(2)函数f (x )的图象如图所示．
第二节函数的单调性与最值
一、基础知识
1．增函数、减函数
定义：设函数f(x)的定义域为I：
(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．
(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．
增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征
一是任意性；二是有大小，即x1<x2(x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．2．单调性、单调区间
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.
有关单调区间的两个防范
(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．
(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．
3．函数的最值
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M.
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.
那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．
函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
二、常用结论
在公共定义域内：
(1)函数f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)＋g(x)是增函数；
(2)函数f (x )单调递减，g (x )单调递减，则f (x )＋g (x )是减函数； (3)函数f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )是增函数； (4)函数f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )是减函数；
(5)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (6)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1
f (x )
的单调性相反；
(7)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”．
考点一 确定函数的单调性(区间))
[典例] (1)求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间． (2)试讨论函数f (x )＝ax x －1
(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．
[解] (1)易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x 2＋2x ＋1，x ≥0，
－x 2－2x ＋1，x <0
＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－(x －1)2
＋2，x ≥0，－(x ＋1)2
＋2，x <0. 画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．
(2)法一：定义法 设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ⎝
⎛⎭⎪
⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭
⎫1＋1x －1，
则f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1
x 2－1
＝
a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)
.
由于－1<x 1<x 2<1，
所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递减；
当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 法二：导数法
f ′(x )＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′
(x －1)2
＝
a (x －1)－ax (x －1)2
＝－a
(x －1)2
. 当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．
[解题技法] 判断函数单调性和求单调区间的方法
(1)定义法：一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论．
(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．
(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性及区间．
(4)性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断；复合函数单调性，可用同增异减来确定．
[题组训练]
1．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝|x －1| C ．f (x )＝1x
－x
D ．f (x )＝ln(x ＋1)
解析：选C 由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y
＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．
2．函数f (x )＝log 1
2(x 2－4)的单调递增区间是( )
A ．(0，＋∞)
B ．(－∞，0)
C ．(2，＋∞)
D ．(－∞，－2)
解析：选D 令t ＝x 2－4，则y ＝log 12t .因为y ＝log 1
2t 在定义域上是减函数，所以求原函
数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．
3．判断函数f (x )＝x ＋a
x (a >0)在(0，＋∞)上的单调性．
解：设x 1，x 2是任意两个正数，且x 1<x 2，
则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )． 当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，x 1－x 2<0，
所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数； 当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．
综上可知，函数f (x )＝x ＋a
x (a >0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．
考点二 求函数的值域(最值))
[典例] (1)(2019•深圳调研)函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．
(2)若函数f (x )＝－a
x
＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝________，b ＝________. (3)函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x 2
－4x ，x ≤0，
sin x ，x >0的最大值为________．
[解析] (1)图象法
函数y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x <2，
2x －1，x ≥2.
作出函数的图象如图所示．
根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)． (2)单调性法
∵f (x )＝－a
x ＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (x )max ＝f (2)＝2.
即⎩⎨⎧
－2a ＋b ＝12
，
－a
2＋b ＝2，
解得a ＝1，b ＝5
2
.
(3)当x ≤0时，f (x )＝－x 2－4x ＝－(x ＋2)2＋4，而－2∈(－∞，0]，此时f (x )在x ＝－2处取得最大值，且f (－2)＝4；当x >0时，f (x )＝sin x ，此时f (x )在区间(0，＋∞)上的最大值为1.综上所述，函数f (x )的最大值为4.
[答案] (1)[3，＋∞) (2)1 5
2
(3)4
[提醒] (1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．
(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．
[题组训练]
1．函数f (x )＝x 2＋4
x 的值域为________．
解析：当x >0时，f (x )＝x ＋4
x ≥4，
当且仅当x ＝2时取等号； 当x <0时，－x ＋⎝⎛⎭⎫－4
x ≥4， 即f (x )＝x ＋4
x ≤－4，
当且仅当x ＝－2取等号，
所以函数f (x )的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)． 答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)
2．若x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π
3，则函数y ＝4sin 2x －12sin x －1的最大值为________，最小值为________．
解析：令t ＝sin x ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π
3， 所以t ∈⎣⎡⎦
⎤－1
2，1，y ＝f (t )＝4t 2－12t －1， 因为该二次函数的图象开口向上，且对称轴为t ＝3
2，所以当t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1时，函数f (t )单调递减，
所以当t ＝－1
2时，y max ＝6；
当t ＝1时，y min ＝－9. 答案：6 －9
3．已知f (x )＝x 2＋2x ＋a
x ，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，
则实数a 的取值范围是________．
解析：对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立等价于x 2＋2x ＋a >0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即a >－x 2－2x 在x ∈[1，＋∞)上恒成立．
又函数y ＝－x 2－2x 在[1，＋∞)上单调递减， ∴(－x 2－2x )max ＝－3，故a >－3，
又∵a ≤1，∴－3<a ≤1. 答案：(－3,1]
考点三 函数单调性的应用
考法(一) 比较函数值的大小
[典例] 设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )
A ．f (π)>f (－3)>f (－2)
B ．f (π)>f (－2)>f (－3)
C ．f (π)<f (－3)<f (－2)
D ．f (π)<f (－2)<f (－3)
[解析] 因为f (x )是偶函数，所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)． 又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数． 所以f (π)>f (3)>f (2)，即f (π)>f (－3)>f (－2)． [答案] A
[解题技法] 比较函数值大小的解题思路
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．
考法(二) 解函数不等式
[典例] 设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ，x <2，x 2，x ≥2.若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，1]
B ．(－∞，2]
C ．[2,6]
D ．[2，＋∞)
[解析] 易知函数f (x )在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f (a ＋1)≥f (2a －1)， ∴a ＋1≥2a －1，解得a ≤2.故实数a 的取值范围是(－∞，2]． [答案] B
[解题技法] 求解含“f ”的函数不等式的解题思路
先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )>h (x )(或g (x )<h (x ))．
考法(三) 利用单调性求参数的范围(或值)
[典例] (2019•南京调研)已知函数f (x )＝x －a x ＋a
2
在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的
取值范围是________．
[解析] 设1<x 1<x 2，∴x 1x 2>1. ∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数， ∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a
2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫
1＋a x 1x 2<0.
∵x 1－x 2<0，∴1＋a
x 1x 2
>0，即a >－x 1x 2.
∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1，∴－x 1x 2<－1，∴a ≥－1. ∴a 的取值范围是[－1，＋∞)． [答案] [－1，＋∞)
[解题技法]
利用单调性求参数的范围(或值)的方法
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
(2)需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
[题组训练]
1．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2
－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭
⎫－1
2，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >b
D ．b >a >c
解析：选D 由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫5
2.当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c .
2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
ax 2－x －14，x ≤1，
log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是
( )
A.⎣⎡⎭⎫
14，12 B.⎣⎡⎦⎤
14，12 C.⎝⎛⎦
⎤0，12 D.⎣⎡⎭⎫12，1
解析：选B 由对数函数的定义可得a >0，且a ≠1.
又函数f (x )在R 上单调，而二次函数y ＝ax 2－x －1
4的图象开口向上，
所以函数f (x )在R 上单调递减，
故有⎩⎪⎨⎪⎧
0<a <1，
12a
≥1，a ×12
－1－14
≥log a
1－1，即⎩⎪⎨⎪⎧
0<a <1，0<a ≤12，
a ≥14.
所以a ∈⎣⎡⎦⎤
14，12.
[课时跟踪检测]
A 级
1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1
D ．f (x )＝－|x |
解析：选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1
x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．
2．若函数f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，则函数g (x )＝a (x 2－4x ＋3)的单调递增区间是( )
A ．(2，＋∞)
B ．(－∞，2)
C ．(4，＋∞)
D ．(－∞，4)
解析：选B 因为f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，所以a <0. 而g (x )＝a (x 2－4x ＋3)＝a (x －2)2－a .
因为a <0，所以g (x )在(－∞，2)上单调递增．
3．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫
13的x 的取值范围是( )
A.⎝⎛⎭⎫
13，23 B.⎣⎡⎭⎫
13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23
D.⎣⎡⎭⎫12，23
解析：选D 因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫
13.
所以0≤2x －1＜13，解得12≤x ＜2
3
.
4．(2019·菏泽模拟)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )
A ．－1
B ．1
C ．6
D ．12
解析：选C 由题意知当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在相应的定义域内都为增函数，且f (1)＝－1，f (2)＝6，∴f (x )的最大值为6.
5．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )
A ．(－1,2)
B ．(1,4)
C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)
D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
解析：选D 由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f (x ＋1)＜1即为f (0)＜f (x ＋1)＜f (3)，所以0＜x ＋1＜3，所以－1＜x ＜2，故不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－x 2
－ax －5，x ≤1，a x ，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是
( )
A ．[－3,0)
B ．(－∞，－2]
C ．[－3，－2]
D ．(－∞，0)
解析：选C 若f (x )是R 上的增函数，则应满足⎩⎪⎨⎪
⎧
－a
2
≥1，a <0，
－12
－a ×1－5≤a 1
，解得－3≤a ≤
－2.
7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________．
解析：设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t ＝x 2－2x －3在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．
答案：[3，＋∞)
8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1x ，x ≥1，
－x 2＋2，x <1
的最大值为________．
解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1
x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；
当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.
答案：2
9．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为3
4，则a ＝________.
解析：由f (x )＝1x 的图象知，f (x )＝1
x 在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a ]⊆(0，＋∞)，
∴f (x )＝1
x 在[2，a ]上也是减函数，
∴f (x )max ＝f (2)＝12，f (x )min ＝f (a )＝1
a ，
∴12＋1a ＝3
4，∴a ＝4. 答案：4
10．(2019·甘肃会宁联考)若f (x )＝x ＋a －1
x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a 的
取值范围是________．
解析：f (x )＝x ＋a －1x ＋2＝x ＋2＋a －3x ＋2＝1＋a －3
x ＋2，要使函数在区间(－2，＋∞)上是增函数，
需使a －3<0，解得a <3.
答案：(－∞，3)
11．已知函数f (x )＝1a －1
x (a ＞0，x ＞0)．
(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤1
2，2，求a 的值． 解：(1)证明：任取x 1＞x 2＞0， 则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2
x 1x 2，
∵x 1＞x 2＞0，
∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，
∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．
(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤
12，2上是增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2， 解得a ＝25
.
12．已知f (x )＝x
x －a
(x ≠a )．
(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝x
x ＋2.
任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝
x 1x 1＋2－x 2
x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2)
. 因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝
x 1x 1－a －x 2
x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a )
. 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，又由题意知f (x 1)－f (x 2)＞0， 所以(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，所以a ≤1. 所以0＜a ≤1.
所以a 的取值范围为(0,1]．
B 级
1．若f (x )＝－x 2＋4mx 与g (x )＝2m
x ＋1在区间[2,4]上都是减函数，则m 的取值范围是( )
A ．(－∞，0)∪(0,1]
B ．(－1,0)∪(0,1]
C ．(0，＋∞)
D ．(0,1]
解析：选D 函数f (x )＝－x 2＋4mx 的图象开口向下，且以直线x ＝2m 为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m ≤2，解得m ≤1；g (x )＝2m x ＋1的图象由y ＝2m
x 的图象向左平移一
个单位长度得到，若在区间[2,4]上是减函数，则2m >0，解得m >0.综上可得，m 的取值范围是(0,1]．
2．已知函数f (x )＝ln x ＋x ，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则正数a 的取值范围是________． 解析：因为f (x )＝ln x ＋x 在(0，＋∞)上是增函数，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
a 2
－a >a ＋3，a 2
－a >0，
a ＋3>0，解得－3<a <－1或a >3.
又a >0，所以a >3. 答案：(3，＋∞)
3．已知定义在R 上的函数f (x )满足：
①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，②当x >0时，f (x )>－1. (1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是单调增函数; (2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4. 解：(1)令x ＝y ＝0，得f (0)＝－1.
在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1－x 2)>－1. 又f (x 1)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1>f (x 2)， 所以函数f (x )在R 上是单调增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.
由f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4得f (x 2＋x ＋1)>f (3)， 又函数f (x )在R 上是增函数，故x 2＋x ＋1>3， 解得x <－2或x >1，
故原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．
第三节 函数的奇偶性与周期性
一、基础知
1．函数的奇偶性
函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．
若f (x )≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：
(1)f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (－x )
f (x )＝1⇔f (x )为偶函数；
(2)f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (－x )
f (x )＝－1⇔f (x )为奇函数．
2．函数的周期性 (1)周期函数
对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．
周期函数定义的实质
存在一个非零常数T ，使f (x ＋T )＝f (x )为恒等式，即自变量x 每增加一个T 后，函数值就会重复出现一次．
(2)最小正周期
如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．
二、常用结论
1．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0；如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函数周期性常用结论 对f (x )定义域内任一自变量x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)． (2)若f (x ＋a )＝
1
f (x )
，则T ＝2a (a >0)． (3)若f (x ＋a )＝－1
f (x )，则T ＝2a (a >0)．
3．函数图象的对称性
(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．
(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．
(3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，即f (－x ＋b )＋f (x ＋b )＝0，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．
考点一 函数奇偶性的判断
[典例] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝36－x 2|x ＋3|－3；
(2)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (3)f (x )＝log 2(1－x 2)
|x －2|－2
；
(4)f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋x ，x <0，
x 2－x ，x >0.
[解] (1)由f (x )＝36－x 2
|x ＋3|－3，可知⎩⎪⎨⎪⎧ 36－x 2
≥0，|x ＋3|－3≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧
－6≤x ≤6，x ≠0且x ≠－6，
故函数f (x )的定义
域为(－6,0)∪(0,6]，定义域不关于原点对称，故f (x )为非奇非偶函数．
(2)由⎩
⎪⎨⎪⎧
1－x 2
≥0，x 2－1≥0⇒x 2＝1⇒x ＝±1，故函数f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且
f (x )＝0，所以f (－x )＝f (x )＝－f (x )，所以函数f (x )既是奇函数又是偶函数．
(3)由⎩
⎪⎨⎪⎧
1－x 2
>0，|x －2|－2≠0⇒－1<x <0或0<x <1，
定义域关于原点对称．
此时f (x )＝log 2(1－x 2)|x －2|－2＝log 2(1－x 2)2－x －2＝－log 2(1－x 2)x ，
故有f (－x )＝－log 2[1－(－x )2]－x ＝log 2(1－x 2)
x ＝－f (x )，
所以函数f (x )为奇函数． (4)法一：图象法
画出函数f (x )＝
⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
＋x ，x <0，
x 2－x ，x >0的图象如图所示，图象关于y 轴对称，
故f (x )为偶函数．
法二：定义法
易知函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )，故原函数是偶函数．
法三：f (x )还可以写成f (x )＝x 2－|x |(x ≠0)，故f (x )为偶函数．
[题组训练]
1．(2018·福建期末)下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π
4 B ．y ＝x 2＋e |x | C ．y ＝x cos x
D ．y ＝ln|x |－sin x
解析：选B 对于选项A ，易知y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π
4为非奇非偶函数；对于选项B ，设f (x )＝x 2＋e |x |，则f (－x )＝(－x )2＋e |－
x |＝x 2＋e |x |＝f (x )，所以y ＝x 2＋e |x |为偶函数；对于选项C ，设f (x )
＝x cos x ，则f (－x )＝－x cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，所以y ＝x cos x 为奇函数；对于选项D ，设f (x )＝ln|x |－sin x ，则f (2)＝ln 2－sin 2，f (－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2≠f (2)，所以y ＝ln|x |－sin x 为非奇非偶函数，故选B.
2．设函数f (x )＝e x －e －
x
2
，则下列结论错误的是( )
A ．|f (x )|是偶函数
B ．－f (x )是奇函数
C ．f (x )|f (x )|是奇函数
D ．f (|x |)f (x )是偶函数
解析：选D ∵f (x )＝e x －e －
x
2
，
则f (－x )＝e －
x －e x
2
＝－f (x )．
∴f (x )是奇函数． ∵f (|－x |)＝f (|x |)，
∴f (|x |)是偶函数，∴f (|x |)f (x )是奇函数．
考点二 函数奇偶性的应用
[典例] (1)(2019·福建三明模拟)函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x ，则当x >0时，f (x )＝( )
A ．－2x
B ．2－
x
C ．－2－
x
D ．2x
(2)(2018·贵阳摸底考试)已知函数f (x )＝a －2e x ＋1(a ∈R)是奇函数，则函数f (x )的值域为
( )
A ．(－1,1)
B ．(－2,2)
C ．(－3,3)
D ．(－4,4)
[解析] (1)当x >0时，－x <0，∵x <0时，f (x )＝2x ，∴当x >0时，f (－x )＝2－
x .∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－
x .
(2)法一：由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，所以a －
2e －x
＋1＝－a ＋2e x ＋1，得2a ＝2
e x
＋1
＋2e －x ＋1，所以a ＝1e x ＋1＋e x e x ＋1＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x ＋1>1，所以0<1
e x ＋1<1，－1<1－2
e x ＋1
<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)．
法二：函数f (x )的定义域为R ，且函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝a －1＝0，即a ＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2
e x ＋1<1，所以函数
f (x )的值域为(－
1,1)．
[答案] (1)C (2)A
[解题技法]
应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法
(1)求函数值
将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
(2)求解析式
先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．
(3)求函数解析式中参数的值
利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．
(4)画函数图象和判断单调性
利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．
[题组训练]
1．(2019·贵阳检测)若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－1，则f (－6)＝( )
A ．2
B ．4
C ．－2
D ．－4
解析：选C 根据题意得f (－6)＝－f (6)＝1－log 2(6＋2)＝1－3＝－2.
2．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为________．
解析：法一：当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x .又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋122＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为1
4
. 法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14，最小值为－1
4，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为1
4
.
答案：14
3．(2018·合肥八中模拟)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，
∴f (－x )＝f (x )，即－x ln(a ＋x 2－x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)，从而ln[(a ＋x 2)2－x 2]＝0，即ln a ＝0，故a ＝1.
答案：1
考点三 函数的周期性
[典例] (1)(2018·开封期末)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2 019)＝( )
A ．5 B.1
2
C ．2
D ．－2
(2)(2018·江苏高考)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，且在区间(－2,2]上，f (x )＝
⎩⎨⎧
cos πx
2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪
x ＋12，－2<x ≤0，
则f (f (15))的值为________．
[解析] (1)由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2.
(2)由函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)， 可知函数f (x )的周期是4， 所以f (15)＝f (－1)＝⎪⎪⎪⎪－1＋12＝12， 所以f (f (15))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝cos π4＝2
2. [答案] (1)D (2)22
[题组训练]
1．(2019·山西八校联考)已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )
，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝⎛⎭
⎫－11
2＝________. 解析：∵f (x ＋2)＝－
1
f (x )
，∴f (x ＋4)＝f (x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫－112＝f ⎝⎛⎭⎫5
2，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫52＝52，∴f ⎝⎛⎭⎫－112＝52. 答案：52
2．(2019·哈尔滨六中期中)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )
＝⎩⎪⎨⎪⎧
4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，
则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫214＝________. 解析：由题意可得f ⎝⎛⎭⎫214＝f ⎝⎛⎭⎫6－34＝f ⎝⎛⎭⎫－34＝4×⎝⎛⎭⎫－342－2＝1
4，f ⎝⎛⎭⎫14＝14
.
答案：14
[课时跟踪检测]
A 级
1．下列函数为奇函数的是( ) A ．f (x )＝x 3＋1 B ．f (x )＝ln 1－x
1＋x
C ．f (x )＝e x
D ．f (x )＝x sin x
解析：选B 对于A ，f (－x )＝－x 3＋1≠－f (x )，所以其不是奇函数；对于B ，f (－x )＝ln 1＋x 1－x
＝－ln
1－x 1＋x
＝－f (x )，所以其是奇函数；对于C ，f (－x )＝e －
x ≠－f (x )，所以其不是奇函数；对于D ，f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以其不是奇函数．故选B.
2．(2019·南昌联考)函数f (x )＝9x ＋1
3x 的图象( )
A ．关于x 轴对称
B ．关于y 轴对称
C ．关于坐标原点对称
D ．关于直线y ＝x 对称
解析：选B 因为f (x )＝9x ＋13x ＝3x ＋3－
x ，易知f (x )为偶函数，所以函数f (x )的图象关于y
轴对称．
3．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2(x ＋1)，x ≥0，
g (x )，x ＜0，则f (－7)＝( )
A ．3
B ．－3
C ．2
D ．－2
解析：选B 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，
且f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2(x ＋1)，x ≥0，
g (x )，x ＜0，
所以f (－7)＝－f (7)＝－log 2(7＋1)＝－3.
4．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( ) A ．e x －e －
x
B.12(e x ＋e －
x )
C.12
(e －
x －e x ) D.12
(e x －e －
x )
解析：选D 因为f (x )＋g (x )＝e x ，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －
x ，。