02-013、一元函数极限的定义(2)

f x 0
sin x x
1 x只要 x 1 Nhomakorabea故X 1 ，当 x X时
都有 sin x 0 成立，所以lim sin x 0
x
x x
例3：证明 lim x 2 1
x x 1
要使 x 2 1
证明：对于 0,
3
，
x 1
x 1
只需 x 1 3
而 x 1 x 1 故只需 x 1 3
刻画自变量"x "过程 | x |X(要多大有多大).
则自变量趋于无穷大时函数的极限的精确 定义如下：
定义1 . 设函数
大于某一正数时有定义, 若
0, X 0,
则称常数
A 为函数
时的极限, 记作
lim f ( x) A
x
x X 或x X
A f ( x) A
几何解释:
y A
A
y f ( x)
A
X O X
x
直线 y = A 为曲线
的水平渐近线 .
注：先有 ,后有X , X 随的变化而变化.
例1.证明lim 1 0. x x
证:
10 1
x
x
y
y 1 x
Ox
故 0, 欲使
取X 1,
因此
只要 就有
注:
例2 证明lim sin x 0. x x
证明：对于 0，要使
几何意义 : 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .
例如，
1
1
都有水平渐近线 y 0;
1 x
x
又如，
都有水平渐近线 y 1.
注:若 lim f (x) A,则y A是f (x)的水平渐近线 x
作业：
P38 6; 8
同样刻画函数fx无限接近常数a足够小三自变量趋于无穷大时函数的极则自变量趋于无穷大时函数的极限的精确定义如下
三、自变量趋于无穷大时函数的极限
一般地，如果在x 的过程中，函数f (x)无限 接近于确定的数值A,则说A是f (x)当x 时的极限.
同样,刻画函数f(x)"无限接近"常数A
f x A （.足 够 小 ）
即x 1 3
因此对于 0，X 1 3 ，当 x X时，有
x 2 1 成立，故 lim x 2 1。
x 1
x x 1
两种特殊情况
lim f ( x) A
x
0, X 0, 当 f(x) A
时, 有
lim f (x) A
x
0, X 0, 当 xX 时, 有 f(x) A