指数与指数幂的运算

15＝
5 5.
谢谢
求值：
2
83
1 5 2
1
25 2
16

3 4
81
根式与分数指数幂的互化
用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)：
3 (1)
4 a·
a；
(2) a a a；
(3)3 a2· a3；
(4)(3 a)2· ab3.
【思路探究】 熟练应用n am＝amn 求解，对于所求根式中 含有多重根号的，要由里向外，用分数指数幂写出，再用性质 化解．
－92；(3)4 3－π4；
(4) a－b2.
【自主解答】
3 (1)
－43＝－4.
(2) －92＝|－9|＝9.
4 (3)
3－π4＝|3－π|＝π－3.
(4) a－b2＝|a－b|
＝ab－ －baaa≥ <bb.
1．解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根 式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
1．注意n an同(n a)n 的区别．前者求解时，要分 n 为奇数
还是偶数，同时要注意实数 a 的正负，而后者(n a)n＝a 是恒等
式，只要(n a)n 有意义，其值恒等于 a. 2．对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，
这样可以方便使用同底数幂的运算律． 3．解决较复杂的条件求值问题时，“整体思想”是简化
n x＝
a，n为奇数
±n a，a≥0n为偶数.
(3)根式
根指数
被开方数
2．根式的性质(n＞1，且 n∈N*)
(1)n 为奇数时，n an＝ a .
(2)n
为偶数时，n
an＝|a|＝
a －a
a≥0 a＜0.
n (3)
0＝ 0
.
(4)负数没有 偶次
方根．
根式性质的应用
求下列各式的值：
3 (1)
－43；(2)
3 (4)2
6 a÷4
a·b×3
b3.
【思路探究】 直接运用分数指数幂的运算性质求解．在 计算过程中，要先把小数化为分数，再把负指数化为正指数， 进行合理的运算，得出最简结果．
【自主解答】 (1)原式＝29512＋0.112＋6247－23－3＋3478 ＝53＋100＋196－3＋3478＝100. (2)原式＝(－1)－23×383－23＋5100－12－ 51－0 2＋1 ＝287－23＋(500)12－10( 5＋2)＋1 ＝49＋10 5－10 5－20＋1＝－1967.
【思路点拨】 (1)(2)利用整体代入思想，寻找“a12＋a－12”
与 a＋a－1 及 a2＋a－2 之间的关系．(2)利用立方差公式求解即可．
【规范解答】 (1)∵a12＋a－12＝3，∴a＋a－1＝(a12＋a－12)2
－2＝7.
4分
(2)由 a＋a－1＝7 得 a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝47
3 (1)
x6＝x63＝x2.
(2) 1x3＝x132＝x－32.
(3)x－53＝x135＝51x3.
(4)x12y－32＝
x×y123＝3
x .
y2
分数指数幂的运算
化简求值：
(1)2970.5＋0.1－2＋21207－23－3π0＋3478； (2)－338－32＋(0.002)－12－10( 5－2)－1＋( 2－ 3)0； (3)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；
【解析】
5 (
－5)5＝－5；5
－55＝－5；4
－54＝5.
【答案】 －5 －5 5
4．化简下列各式：
(1)(3 a2· a)÷6 a； (2)287－23－4990.5＋0.008－23×225. 【解】 (1)原式＝a23·a21÷a16＝a23·a21·a－61＝a23＋12－16＝a. (2)原式＝28723－49912＋1 080023×225＝49－73＋25×225＝－ 197＋2＝91.
2．(n a)n 与n an的意义不同.n an对任意 a∈R 都有意义；当 n 为奇数时，n an＝a，当 n 为偶数时，n an＝|a|＝a－aa≥a0<0.
化简( a－1)2＋ 1－a2＋3 1－a3＝________.
【解析】 由题意，首先有 a－1≥0，即 a≥1. ( a－1)2＝a－1, 1－a2＝|1－a|＝a－1， 3 1－a3＝1－a. ∴( a－1)2＋ 1－a2＋3 1－a3 ＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1. 【答案】 a－1
资料卡片——指数的历史 n 个相同的因数 a 相乘，即 a·a·a·n个a a，记作 an，叫做 a 的 n 次幂，这时 n 叫做指数，本来幂的指数总是正整数，后来随着 数的扩充，指数概念也不断发展．
正整数指数幂，特别是与面积、体积的计算紧密联系的平 方和立方概念，在一些文明古国很早已有了．我国汉代曾有人 提出过负整数指数的概念，可惜的是未曾流传开来.15 世纪末， 法国数学家休凯引入了零指数的概念.
已知 a、b 是方程 x2－6x＋4＝0 的两根，且 a>b>0，求
a－ a＋
b b
的值．
【解】 ∵a、b 是方程 x2－6x＋4＝0 的两根，
∴aa＋b＝b＝4，6
a－ a＋
bb2＝aa＋ ＋bb－ ＋22
aabb＝66－＋22
44＝15.
∵a>b>0，∴ a> b，
∴
a－ a＋
b＝ b
【规范解答】
原式＝4b23a＋132aa－31b813b＋ a23÷a13－a132b13×a13
＝a13a31－42bb2313＋2aa2313＋b132＋a13ab3231＋4b23×a13－a132b13×a31
＝a31·a13·a13
＝a.
在指数式运算中，根式的化简，一般先化为分数指数幂， 再利用幂的运算法则进行运算与化简，一定要注意运算顺序和 灵活运用乘法公式．
知识 2．正数的分数指数幂的意义
正数 的分 数指
正数的正 规定：amn ＝n am(a＞0，m，n 分数指数幂 ∈N*，且 n＞1)
数幂 正数的负 规定：a－mn ＝ 1m(a＞0，m，
分数指数幂
an
n∈N*，且 n＞1)
规定
0 的正分数指数幂等于 0, 0 的 负分数指数幂 没有意义
当a＞0时，
2．当所要化简的根式含有多重根号时，要搞清被开方数， 由里向外用分数指数幂写出，然后用性质进行化简．
3．化简过程中要明确字母的范围，以免出错．
下列是根式的化成分数指数幂，是分数指数幂的化成根式 的形式(式中字母都是正数)：
(1)3 x6；(2) 1x3；(3)x－53；(4)x12y－32.
【解】
①
1
a a2
2
② 3 a2 a3 ;
10
③ 5 a10a5 a2;
⑤
4
a3
1
4
a3
3
1 a4
⑥
2
a3
1
1
a 2 3 a2
3
④
12
3 a12a3 a4
2.有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
为大于 1 的偶数时，n a只有当 a≥0 时才有意义．其中正确的是
()
A．①③④
B．②③④
C．②③
D．③④
【解析】 ①错，∵(±2)4＝16，∴16 的 4 次方根是±2；② 错，4 16＝2，而±4 16＝±2.
【答案】 D
3．(5 －5)5＝________；5 －55＝________；4 －54＝ ________.
.8 分
(3)aa3212－ －aa－ －3212＝a12－aa－12－12aa－＋12a－1＋1＝a＋a－1＋1＝8.12 分
本题是已知代数式的值求其他代数式的值，通常又称为 “知值求值”，解决此类问题的步骤是
(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的特点； (2)化简：化简已知条件与所求代数式； (3)求值：把条件代入求值．
(3)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c) ＝－13a－3－(－4)b－2－(－2)c－1＝－13ac－1＝－3ac. (4)原式＝2a13÷(4a16b61)×(3b23) ＝12a13－16b－16·3b32＝32a61b43.
1．进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式 为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．
17 世纪英国瓦利士在他的《无穷小算术》中提出了负指数，
他写道：“平方指数倒数的数列11，41，91，…的指数是－2，立
方指数倒数的数列11，81，217，…的指数是－3，两者逐项相乘，
就得到‘五次幂倒数’的数列11，312，2143，…的指数显然是(－
2)＋(－3)＝－5.同样，‘平方根倒数’的数列
2．在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方 数的符号，则可以对根式进行化简运算．
3．对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的 形式表示．
化简下列各式(其中字母均表示正数)： (1)(0.064)－13－－780＋[(－2)3]－43＋16－0.75＋|－0.01|12； (2)(2a23b12)(－6a12b31)÷(－3a16b56)．
【提示】 (1)当 n 为奇数时，x＝n a. (2)当 n 为偶数时，若 a>0，则 x＝±n a；若 a＝0，则 x＝0； 若 a<0，则这样的 x 不存在．
1．根式及相关概念 (1)a 的 n 次方根的定义： 如果 xn＝a ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n＞1，且 n ∈N*. (2)a 的 n 次方根的表示：
指数与指数幂的运算
1.理解 n 次方根及根式的概念．(重点) 2．正确运用根式的运算性质进行根式运算．(重 点、难点) 课标解读 3．掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、易错 点) 4．掌握有理数指数幂的运算性质．(重点)
根式
【问题导思】 我们知道，若 x2＝9，则 x＝±3，若 x3＝8，则 x＝2，试探 究，若 xn＝a(n>1，n∈N*)，则 x 应该怎么表示？
求解的“利器”．
1．将 532写成根式，正确的是( )
3 A.
52
3 B. 5
53 C. 2
D. 53
【解析】 由 amn ＝n am可知，523＝ 53.
【答案】 D
2．下列说法：①16 的 4 次方根是 2；②4 16的运算结果是
±2；③当 n 为大于 1 的奇数时，n a对任意 a∈R 有意义；④当 n
【解】 (1)原式＝[(0.4)3]－13－1＋(－2)－4＋2－3＋[(0.1)2]12＝ (0.4)－1－1＋116＋18＋0.1＝18403.
(2)原式＝[2×(－6)÷(－3)]a23＋12－16b12＋13－56
＝4ab0＝4a.
整体代换思想在条件求值中的应用 (12 分)已知 a12＋a－12＝3，求下列各式的值： (1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)aa3212－－aa－－3212.
1， 1
1， 2
1 ，… 3
的指数是－21，…”．
这是一个巨大的进步，不过瓦利士没有真正使用 2－2,2－3,212的指数符号， 只是说14，18， 12，…的指数是－2，－3 和－12.
分数指数幂最早在奥力森的《比例算法》中出现，他使用的符号不简 洁．现行的分数指数和负指数符号是牛顿创设的．他在 1676 年 6 月 13 日写 信给莱布尼茨，里面说到，“因为代数学家将 aa，aaa，aaaa 等写成 a2，a3， a4 等，所以我将√a 与√a3 等写成 a12、a13；又将1a，a1a，a1aa写成 a－1，a－2，a －3，…”．
【自主解答】 (1)原式＝a13·a41＝a13＋14＝a172. (2)原式＝a21·a14·a18＝a21＋41＋81＝a78. (3)原式＝a32·a32＝a23＋32＝a163. (4)原式＝(a13)2·(ab3)12＝a32·a12b23＝a23＋12b23＝a76b23.
1．分数指数幂与根式可以相互转化，其化简的依据是公式： amn ＝n am(a>0，m，n∈N*，且 n>1)．
他信中的“√a 与√a3”就是现在的 a与3 a.牛顿还首先使用任意实数 指数．
化简：4b23a＋43－ 2a138ab3131b＋a23÷1－2 3
b×3 a. a
【思路点拨】 本题化简的关键是 a－8b＝(a13)3－(2b31)3＝
(a13－2b31)×(a23＋2a13b31＋4b23)．