2020_2021学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2第1课时用空间向量解决立体几何中的平行问
高中数学第三章空间向量与立体几何1空间直角坐标系1-2空间两点间的距离公式北师大版选择性必修第一册
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点 空间两点间的距离
1．已知空间中P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)两点，则P、Q两点间的
x2 − x1 2 + y2 − y1 2 + z2 − z1 2
距离为|PQ|＝_____________________________．
答案： 3
解析：|AB|＝ t 2 + t − 2 2 + 1＝ 2 t − 1
∴当t＝1时，|AB|的最小值为 3.
2
+ 3，
5．在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使M到点N(6，5，1)
的距离最小．
解析：由已知，可设M(x，1－x，0)，
则|MN|＝ x − 6 2 + 1 − x − 5 2 + 0 − 1 2 ＝ 2 x − 1
x1 − x2 2 + y1 − y2 2 ；②在x轴上的两点A，B对应的实数分别是
x1，x2，则|AB|＝|x2－x1|.
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)空间两点间的距离公式与两点顺序有关．( × )
(2)空间两点间的距离公式不适合ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一平面内的两点．( × )
(3) 将 空 间 两 点 间 距 离 公 式 中 两 点 的 坐 标 对 应 互 换 ， 结 果 会 改
解析：设点P(0，0，z).则由|PA|＝|PB|，
得 0 − 4 2 + 0 − 5 2 + z − 6 2＝ 0 + 5
解得z＝6，即点P的坐标是(0，0，6).
2020-2021学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 第3课时 用空间向量解决空间角与
2020-2021学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2 第3课时用空间向量解决空间角与距离问题课时跟踪训练新人教A版选修2-1年级：姓名：用空间向量解决空间角与距离问题[A 组 学业达标]1.如图，正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( ) A.15 B.25 C.35D.45解析：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ， 设AB ＝1.则B (1,1,0)，A 1(1,0,2)，A (1,0,0)，D 1(0,0,2)，A 1B →＝(0,1，－2)，AD 1→＝(－1,0,2)，cos 〈A 1B →，AD 1→〉＝A 1B →·AD 1→|A 1B →||AD 1→|＝－45×5＝－45，∴异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为45.答案：D2．二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．120°解析：由条件，知CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0， CD →＝CA →＋AB →＋BD →.∴|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD → ＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈CA →，BD →〉 ＝(217)2，∴cos 〈CA →，BD →〉＝－12，〈CA →，BD →〉＝120°，∴二面角的大小为60°. 答案：C3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，O 是正方形中心，则折起后，∠EOF 的大小为( ) A ．30° B ．90° C ．120°D ．60°解析：OE →＝12(OA →＋OD →)，OF →＝12(OB →＋OC →)，∴OE →·OF →＝14(OA →·OB →＋OA →·OC →＋OD →·OB →＋OD →·OC →)＝－14|OA →|2.又|OE →|＝|OF →|＝22|OA →|，∴cos 〈OE →，OF →〉＝－14|OA →|212|OA →|2＝－12.∴∠EOF ＝120°.故选C. 答案：C4．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( )A.23B.33C.23D.63解析：建系如图，设正方体棱长为1， 则BB 1→＝(0,0,1)． ∵B 1D ⊥面ACD 1，∴取DB 1→＝(1,1,1)为面ACD 1的法向量． 设BB 1与平面ACD 1所成角为θ， 则sin θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪BB 1→·DB 1→|BB 1→||DB 1→|＝13＝33，∴cos θ＝63. 答案：D5.如图所示，在几何体A BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，且AB ＝BC ＝1，CD ＝2，点E 为CD 中点，则AE 的长为( ) A. 2 B.3 C ．2 D.5解析：AE →＝AB →＋BC →＋CE →， ∵|AB →|＝|BC →|＝1＝|CE →|， 且AB →·BC →＝AB →·CE →＝BC →·CE →＝0. 又∵AE →2＝(AB →＋BC →＋CE →)2， ∴AE →2＝3， ∴AE 的长为 3. 故选B.答案：B6.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝1，点D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为________．解析：取AC、A1C1的中点M、M1，连接MM1、BM.过D作DN∥BM，交MM1于点N，则容易证明DN⊥平面AA1C1C.连接AN，则∠DAN就是AD与平面AA1C1C所成的角．在Rt△DAN中，sin∠DAN＝ND AD＝322＝64.答案：647．正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是________．解析：如图，以DA、DC、DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，取正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，易证AC1→是平面A1BD的一个法向量.AC1→＝(－1,1,1)，BC1→＝(－1,0,1)．。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用课件1新人教B版选修2_1
各抒己见 百家争鸣
链接高考202X
强化作业： 在直三棱柱ABC－
A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝ BC＝2，D为AA1上一点．
(1)若D为AA1的中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D； (2)若二面角B1－DC－C1的大小为60°，求AD的长
前置作业反馈
立体几何中的向 量方法
如果a⊥，那么向量a叫做平面的法向量.
l a
二、怎样求平面法向量？
利用空间向量求空间角
题型一：线线角
异面直线所成角的范围：
0,
2
C
D
A D1
B
结论： cos | cos CD, AB |
题题型型二二：：线线面面角角
直线与平面所成角的范围： [0, ]
1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间 向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几 何问题转化为向量问题； （化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
具有大小和方向的量 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k(a b) ka＋kb
2
An
直线AB与平面α所成
B O
的角θ可看成是向量与 平面α的法向量所成的 锐角的余角，所以有
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.3_3.2.4预习导航学案新
3.2.3 直线与平面的夹角 3.2.4 二面角及其度量预习导航课程目标学习脉络1.掌握直线在平面内的射影及斜线与平面所成角的概念，并会求直线与平面所成的角．2．掌握最小角定理及公式 cos θ＝cos θ1cos θ2，并会利用这一公式解决相关问题．3．掌握二面角的概念，理解二面角的平面角和直二面角的定义．4．会利用向量法解决二面角的计算问题.1．直线与平面所成的角思考 1直线与平面的夹角的取值范围是什么？斜线与平面夹角的取值范围是什么？ππ 提示：直线与平面的夹角的取值范围是[0， 2]，斜线与平面的夹角的取值范围是(0， 2).2．最小角定理(1)线线角、线面角的关系式：cos θ＝cos_θ1cos_θ2，如图，θ 是 OA 与 OM 所成的角，1θ1是OA与OB所成的角，θ2是OB与OM所成的角．(2)最小角定理：斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角．思考2一平面的斜线在平面内的射影是一条线段吗？它唯一吗？提示：不是，应是一条直线，斜线在平面内的射影是唯一的．思考3将公式cos θ＝cos θ1cos θ2中角的余弦值换成正弦值是否成立？提示：不成立．3．二面角及其度量思考4二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角有什么关系？提示：二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角大小相等或互补．点拨 1.二面角的平面角必须具备三个条件：(1)二面角的平面角的顶点在二面角的棱上；(2)二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内；2(3)二面角的平面角的两条边都与棱垂直，且平面角的大小与平面角的顶点在棱上的位置无关．2．二面角的范围是[0，π]．3。
2019_2020学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程课件新人教B版选修2_1
提示:(1)×.两直线可能重合. (2)√.直线的斜率为-1. (3)×.一条直线的单位方向向量有2个,它们是相反向 量.
2.若A(1,0,-1),B(2,1,2)在直线l上,则直线l的一个方
向向量是 ( )
A.(2,2,6)
B.(-1,1,3)
C.(3,1,1)
D.(-3,0,1)
【解析】选A.因为 AuuB=ur (2,1,2)-(1,0,-1)=(1,1,3), 直线l的方向向量应平行于 AuuB.ur
3.2 空间向量在立体几何中的应用 3.2.1
直线的方向向量与直线的向量方程
【自我预习】 1.直线的方向向量:与直线_平__行__或__者__共__线__的非零向量, 叫做此直线的方向向量.
2.空间直线的向量参数方程:点A为直线l上的定点,a为
直线l的一个方向向量,点P为直线l上任一点,t为一个任
3.直线l1,l2的方向向量分别为v1=(3,0,1,),v2=(-1,
0,m),若l1∥l2,则m等于 ( )
A.1
B.3
C. 1
D.- 1
3
3
【解析】选D.因为l1∥l2,所以
3 1
1 m
,
所以m=-
1 3
.
4.若 AuuBur
uuur aCD
bCuuEur (a,b为实数),则直线AB与平面CDE的
位置关系为
.
【解析】因为
uuur AB
uuur aCD
uuur bCE,
所以
uuur uuur uuur AB与CD，CE
共面,所
以AB∥平面CDE或AB⊂平面CDE.
答案:AB∥平面CDE或AB⊂平面CDE
【2019最新】高中数学第三章空间向量与立体几何3-2空间向量在立体几何中的应用3-2-1直线的方向向量与直线的
【2019最新】高中数学第三章空间向量与立体几何3-2空间向量在立体几何中的应用3-2-1直线的方向向量与直线的向量方程课后导练 直线的方向向量与直线的向量方程课后导练基础达标1.已知A （1，1，0），21=（4，0，2）,点B 的坐标为（ ） A.（7，-1，4） B.(9,1,4) C.(3,1,1) D.(1,-1,1) 答案：B2.=(-1,2,3)，=（l,m,n ），=（0，-1，4），则等于（ ）A.（-1+l ，1+m,7+n ）B.(1-l,-1-m,-7-n)C.(1-l,1-m,7-n)D.(-1+l,-1+m,-7+n) 答案：B3.若a =(0,1,-1)，b =(1,1,0)，且(a +λb )⊥a ，则实数λ的值是（ ）A.-1B.0C.1D.-2答案：D4.已知a =(-3,2,5),b =(1,x,-1),且a ·b =2,则x 的值为（ ）A.3B.4C.5D.6答案：C5.已知向量a =(1,1,0)，b =(-1,0,2)，且k a +b 与2a -b 互相垂直，则k 的值是（ ） A.1 B.51 C.53 D.57 答案：D6.若a =(x,2,0),b =(3,2-x,x 2)，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是（ ）A.x<-4B.-4<x<0C.0<x<4D.x>4答案：A7.已知A （-1，2，3）,B(3,4,4),C(1,2,3)，若ABCD 为平行四边形，则D 点的坐标为（只求一个点）__________________.答案：(5,4,4)8.已知OA =(1,1,0),OB =(4,1,0),OC =(4,5,-1),则向量AB 与AC 的夹角为________. 答案：arccos 26263, 9.已知A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q 在直线OP 上运动,当QA ·QB 取最小值时，求点Q 的坐标.解析:设OQ=λ=(λ,λ,2λ), 则QA =（1-λ,2-λ,3-2λ）,=(2-λ,1-λ,2-2λ), ∴QA ·QB =6λ2-6λ+10=6(λ-34)2-32. 当λ=34时，有最小值-32, 此时=（34，34，38）， 即Q （34，34，38）. 10.已知四边形ABCD 的顶点分别为A(3,-1,2)、B(1,2,-1)、C(-1,1,-3)、D(3,-5,3). 试证明：它是一个梯形.解析:∵=(1,2,-1)-(3,-1,2)=(-2,3,-3),=(3,-5,3)-(-1,1,-3)=(4,-6,6), ∴CD =(4,-6,6)=-2(-2,3,-3)=-2. ∴AB 与CD 共线. 又由=-2知||=2||， ∴||≠||,∴AB 与CD 平行,且|AB|≠|CD|. 又∵=(3,-5,3)-(3,-1,2)=(0,-4,1),=(-1,1,-3)-(1,2,-1)=(-2,-1,-2). 显然与不平行.∴四边形ABCD 为梯形.综合运用11.若=(a,3,4a-1),=(2-3a,2a+1,3),M 是线段AB 的中点,则|OM |的最小值是…（ ） A.92 B.49 C.6 D.223 答案：D12.设a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3),若a ≠b ,且记|a -b |=m,则a -b 与x 轴正方向的夹角的余弦为（ ） A.m b a 11- B.ma b 11-C.m b a ||11-D.±mb a 11- 答案：A13.设正四棱锥S —P 1P 2P 3P 4的所有棱长均为a,并且满足顶点S 在Oz 轴上，底面在xOy 平面上，棱P 1P 2，P 1P 4分别垂直于Oy 轴和Ox 轴，试求点S 、P 1、P 2、P 3和P 4的直角坐标. 解析:由题意可知，正四棱锥S —P 1P 2P 3P 4，如右图所示，其中O 为底面正方形的中心，P 1P 2⊥Oy 轴.P 1P 4⊥Ox 轴，SO 在Oz 轴上，∵P 1P 2=a.而P 1、P 2、P 3、P 4均在xOy 平面上.∴P 1(2a ,2a ,0),P 2(-2a ,2a ,0).P 3与P 1关于原点O 对称,P 4与P 2关于原点O 对称.∴P 3(-2a ,-2a ,0),P 4(2a ,-2a ,0). 又∵SP 1=a,OP 1=a 22. ∴在Rt△SOP 1中,SO=a a a 22222=-. ∴S(0,0,a 22). 拓展研究14.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点.求证：EF⊥平面B 1AC.证明:设正方体的棱长为2,建立如右图所示的直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),B 1(2,2,2),E(2,2,1),F(1,1,2). ∴=(1,1,2)-(2,2,1)=(-1,-1,1),AB=(2,2,2)-(2,0,0)=(0,2,2),1AC=(0,2,0)-(2,0,0)=(-2,2,0).AB=（-1，-1，1）·（0，2，2）而·1=（-1）×0+(-1)×2+1×2=0.EF·AC=（-1，-1，1）·（-2，2，0）=2-2+0=0，∴EF⊥AB1，EF⊥AC，又AB1∩AC=A.∴EF⊥平面B1AC.。
2020-2021学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.1-2 空间向量及其加减运算
数乘运算课时作业含解析新人教A 版选修2_1课时作业14 空间向量及其加减运算 空间向量的数乘运算|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．空间四边形ABCD 中，M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG →－AB →＋AD →＝( )A ．2DB → B ．3MG →C ．3GM →D ．2MG →解析：MG →－AB →＋AD →＝MG →＋BD →＝MG →＋2MG →＝3MG →. 答案：B2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形解析：∵AO →＋OB →＝DO →＋OC →，∴AB →＝DC →.∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|.∴四边形ABCD 为平行四边形． 答案：A3．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( ) A ．P ∈AB B ．P ∉ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对解析：因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ，所以OP →＝(1－n )OA →＋nOB →， 即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)， 即AP →＝nAB →，所以AP →与AB →共线． 又AP →，AB →有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈AB . 答案：A4．在下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是( ) A.OM →＝3OA →－2OB →－OC →数乘运算课时作业含解析新人教A 版选修2_1B.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0C.MA →＋MB →＋MC →＝0D.OM →＝14OB →－OA →＋12OC →解析：∵MA →＋MB →＋MC →＝0， ∴MA →＝－MB →－MC →， ∴M 与A ，B ，C 必共面． 答案：C5．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，若AE →＝xAA 1→＋y (AB →＋AD →)，则( )A ．x ＝1，y ＝12B ．x ＝12，y ＝1C ．x ＝1，y ＝13D ．x ＝1，y ＝14解析：因为AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋14A 1C 1→＝AA 1→＋14(AB →＋AD →)，所以x ＝1，y ＝14.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B ＝________.解析：如图，A 1B →＝B 1B →－B 1A 1→＝B 1B →－BA →＝－CC 1→－(CA →－CB →) ＝－c －(a －b )＝－c －a ＋b . 答案：－c －a ＋b7．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若AC ′→＝xAB →＋y 2BC →＋z3CC ′→，则x ＋y ＋z ＝________.解析：在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→，又AC ′→＝xAB →＋y 2BC →＋z3CC ′→，数乘运算课时作业含解析新人教A 版选修2_1∴⎩⎨⎧ x ＝1，y2＝1，z3＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，z ＝3，∴x ＋y ＋z ＝6.答案：6数乘运算课时作业含解析新人教A 版选修2_18.有下列命题：①若AB →∥CD →，则A ，B ，C ，D 四点共线；②若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线；③若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25e 2，b ＝－e 1＋110e 2，则a ∥b ；④若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0.其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．解析：根据共线向量的定义，若AB →∥CD →，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故①错；因为AB →∥AC →且AB →，AC →有公共点A ，所以②正确；由于a ＝4e 1－25e 2＝－4⎝⎛⎭⎫－e 1＋110e 2＝－4b ，所以a ∥b .故③正确； 易知④也正确．答案：②③④三、解答题(每小题10分，共20分)9．如图，在长、宽、高分别为AB ＝4，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以八个顶点中的两点分别为起点和终点的向量中．(1)单位向量共有多少个？ (2)写出模为5的所有向量；(3)试写出AA 1→的相反向量．解析：(1)因为长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量AA 1→，A 1A →，BB 1→，B 1B →，DD 1→，D 1D →，CC 1→，C 1C →共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)因为长方体的左、右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD 1→，D 1A →，C 1B →，BC 1→，B 1C →，CB 1→，A 1D →，DA 1→.(3)向量AA 1→的相反向量为A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →，共4个．数乘运算课时作业含解析新人教A 版选修2_110．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →.解析：(1)∵P 是C 1D 1的中点， ∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)∵M 是AA 1的中点，∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →＝－12a ＝⎝⎛⎭⎫a ＋c ＋12a ＝12a ＋12b ＋c . |能力提升|(20分钟，40分)11．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则在下列各结论中正确的结论共有( )①OA →＋OD →与OB 1→＋OC 1→是一对相反向量； ②OB →－OC →与OA 1→－OD 1→是一对相反向量； ③OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA 1→＋OB 1→＋OC 1→＋OD 1→是一对相反向量； ④OA 1→－OA →与OC →－OC 1→是一对相反向量． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：利用图形及向量的运算可知②是相等向量，①③④是相反向量． 答案：C12．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.解析：CD →＝CB →－DB →＝CB →－13AB →＝CB →－13(CB →－CA →)＝23CB →＋13CA →，又CD →＝13CA →＋λCB →，所以λ＝23.答案：2313．如图所示，四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形且不共面．M ，N 分别是AC ，BF数乘运算课时作业含解析新人教A 版选修2_1的中点．试判断CE →与MN →是否共线？解析：因为M ，N 分别是AC ，BF 的中点，四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形，所以MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB → ＝12CA →＋AF →＋12(AB →－AF →) ＝12CA →＋12AF ＋12AB ＝12(AB →＋AF →－AC →)． 又CE →＝CA →＋AF →＋FE →＝AF →－AC →＋AB →＝AB →＋AF →－AC →，所以MN →＝12CE →，所以MN →∥CE →，即CE →与MN →共线．14．如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.(1)证明：A ，E ，C 1，F 四点共面；(2)若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，求x ＋y ＋z 的值．解析：(1)证明：∵ABCD －A 1B 1C 1D 1是平行六面体， ∴AA 1→＝BB 1→＝CC 1→＝DD 1→， ∴BE →＝13AA 1→，DF →＝23AA 1→，∴AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋AD →＋13AA 1→＋23AA 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13AA 1→＋⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋23AA 1＝AB →＋BE →＋AD →＋DF →＝AE →＋AF →，由向量共面的充要条件知A ，E ，C 1，F 四点共面．数乘运算课时作业含解析新人教A 版选修2_1(2)∵EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →)＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→＝－AB ＋AD →＋13AA 1→，又EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，∴x ＝－1，y ＝1，z ＝13，∴x ＋y ＋z ＝13.。
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 第1课时 空间向量与平行、垂直关系学案 新人教A版选修
第1课时空间向量与平行、垂直关系1.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念．2.会求平面的法向量．3．能利用直线的方向向量和平面的法向量判断并证明空间中的平行、垂直关系．1．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．2．空间平行关系的向量表示(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔a∥b⇔a ＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(2)线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔u ＝λv⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．3．空间垂直关系的向量表示(1)线线垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0．(2)线面垂直设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥u⇔a＝λu⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(3)面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0 ⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．( )(2)平面α的法向量是惟一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．( ) (3)两直线的方向向量平行，则两直线平行．( )(4)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√若A (1，0，－1)，B (2，1，2)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量是( ) A ．(2，2，6) B ．(－1，1，3) C ．(3，1，1) D.(－3，0，1)答案：A若平面α⊥β，且平面α的一个法向量为n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，1，12，则平面β的法向量可以是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12，14B ．(2，－1，0)C ．(1，2，0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，2答案：C若直线的方向向量为u 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，43，1，平面的法向量为u 2＝(3，2，z )，则当直线与平面垂直时z ＝________．答案：32设平面α的法向量为(1，3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k )，若α∥β，则k ＝__________．答案：4探究点1 求直线的方向向量与平面的法向量[学生用书P64]如图，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，AB ＝AP ＝1，AD ＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE 的一个法向量．【解】因为PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB →的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D (0，3，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，12，B (1，0，0)，C (1，3，0)，于是AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，32，12， AC →＝(1，3，0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，所以⎩⎨⎧x ＝－3y ，z ＝－3y ，令y ＝－1，则x ＝z ＝ 3.所以平面ACE 的一个法向量为n ＝(3，－1，3)．[变问法]本例条件不变，试求直线PC 的一个方向向量和平面PCD 的一个法向量． 解：如图所示，建立空间直角坐标系，则P (0，0，1)，C (1，3，0)，所以PC →＝(1，3，－1)，即为直线PC 的一个方向向量．设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．因为D (0，3，0)，所以PD →＝(0，3，－1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎨⎧x ＋3y －z ＝0，3y －z ＝0，所以⎩⎨⎧x ＝0，z ＝3y ，令y ＝1，则z ＝ 3.所以平面PCD 的一个法向量为(0，1，3)．待定系数法求平面法向量的步骤(1)设向量：设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )． (2)选向量：在平面内选取两不共线向量AB →，AC →. (3)列方程组：由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0列出方程组．(4)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0.(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量．1.已知A (0，y ，3)，B (－1，－2，z )，若直线l 的方向向量v ＝(2，1，3)与直线AB 的方向向量平行，则y ＋z 等于( )A ．－3B ．0C ．1D.3解析：选B.由题意，得AB →＝(－1，－2－y ，z －3)，则－12＝－2－y 1＝z －33，解得y ＝－32，z ＝32，所以y ＋z ＝0，故选B. 2．在△ABC 中，A (1，－1，2)，B (3，3，1)，C (3，1，3)，设M (x ，y ，z )是平面ABC 内任意一点．(1)求平面ABC 的一个法向量； (2)求x ，y ，z 满足的关系式．解：(1)设平面ABC 的法向量n ＝(a ，b ，c )． 因为AB →＝(2，4，－1)，AC →＝(2，2，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝2a ＋4b －c ＝0n ·AC →＝2a ＋2b ＋c ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝b a ＝－32b ，令b ＝2，则a ＝－3，c ＝2.所以平面ABC 的一个法向量为n ＝(－3，2，2)． (2)因为点M (x ，y ，z )是平面ABC 内任意一点，所以AM →⊥n ，所以－3(x －1)＋2(y ＋1)＋2(z －2)＝0， 所以3x －2y －2z －1＝0.故x ，y ，z 满足的关系式为3x －2y －2z －1＝0. 探究点2 利用空间向量证明平行关系[学生用书P64]已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点．求证：FC 1∥平面ADE .【证明】 如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，则有D (0，0，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，2，1)，F (0，0，1)，B 1(2，2，2)．FC 1→＝(0，2，1)，DA →＝(2，0，0)，AE →＝(0，2，1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥DA →，n 1⊥AE →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1. 所以n 1＝(0，－1，2)． 因为FC 1→·n 1＝－2＋2＝0. 所以FC 1→⊥n 1.因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .[变问法]在本例条件下，求证：平面ADE ∥平面B 1C 1F .证明：由本例证明知C 1B 1→＝(2，0，0)， 设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的法向量． 由n 2⊥FC 1→，n 2⊥C 1B 1→，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2. 令z 2＝2得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1，2)，因为n 1＝n 2， 所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .证明线、面平行问题的方法(1)用向量法证明线面平行：①是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；②是证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示；③是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．(2)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝4，AA 1＝2，点M 在棱BB 1上，且BM ＝2MB 1，点S 在DD 1上，且SD 1＝2SD ，点N ，R 分别为A 1D 1，BC 的中点．求证：MN ∥RS .证明：法一：如图所示，建立空间直角坐标系，根据题意得M (3，0，43)，N (0，2，2)，R (3，2，0)，S (0，4，23)．所以MN →＝(－3，2，23)，RS →＝(－3，2，23)，所以MN →＝RS →，所以MN →∥RS →，因为M ∉RS ，所以MN ∥RS . 法二：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则MN →＝MB 1→＋B 1A 1→＋A 1N →＝13c －a ＋12b ，RS →＝RC →＋CD →＋DS →＝12b －a ＋13c .所以MN →＝RS →，所以MN →∥RS →. 又R ∉MN ，所以MN ∥RS .探究点3 利用空间向量证明垂直关系[学生用书P65]在四棱锥S ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AS ⊥底面ABCD ，且AS ＝AB ，E 是SC 的中点．求证：平面BDE ⊥平面ABCD .【证明】 设AS ＝AB ＝1，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则B (1，0，0)，D (0，1，0)，A (0，0，0)，S (0，0，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12.法一：如图，连接AC ，交BD 于点O ，连接OE ，则点O 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0.易知AS →＝(0，0，1)，OE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，所以OE →＝12AS →，所以OE ∥AS .又AS ⊥底面ABCD ，所以OE ⊥平面ABCD . 又OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABCD . 法二：设平面BDE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )． 易知BD →＝(－1，1，0)，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，12，所以⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥BD →，n 1⊥BE →，即⎩⎨⎧n 1·BD →＝－x ＋y ＝0，n 1·BE →＝－12x ＋12y ＋12z ＝0.令x ＝1，可得平面BDE 的一个法向量为n 1＝(1，1，0)． 因为AS ⊥底面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为n 2＝AS →＝(0，0，1)． 因为n 1·n 2＝0，所以平面BDE ⊥平面ABCD .证明线、面垂直问题的方法(1)用向量法判定线面垂直，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直即可．(2)用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0即可．如图，△ABC 中，AC ＝BC ，D 为AB 边中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 在CD上，求证：AB ⊥PC .证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，OP →＝v .由条件知，v 是平面ABC 的法向量， 所以v ·a ＝0，v ·b ＝0， 因为D 为AB 中点，所以CD →＝12(a ＋b )，因为O 在CD 上，所以存在实数λ，使CO →＝λCD →＝λ2(a ＋b )．因为CA ＝CB ， 所以|a |＝|b |， 所以AB →·CP →＝(b －a )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ2（a ＋b ）＋v ＝λ2(a ＋b )·(b －a )＋(b －a )·v＝λ2(|b |2－|a |2)＋b ·v －a ·v ＝0， 所以AB →⊥CP →， 所以AB ⊥PC .1．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，O 是正方形ABCD 的中心，证明：OA 1⊥AM . 证明：设正方体棱长为1，建立空间直角坐标系，如图，则A (1，0，0)，A 1(1，0，1)，M ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，O ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，0，所以OA 1→＝(1，0，1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，1，AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12－(1，0，0)＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，0，12，所以OA 1→·AM →＝12×(－1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×0＋1×12＝0，即OA 1⊥AM .2．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2BC ，E ，F ，E 1分别是棱AA 1，BB 1，A 1B 1的中点．求证：CE ∥平面C 1E 1F .证明：以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BC ＝1，则C (0，1，0)，E (1，0，1)，C 1(0，1，2)，F (1，1，1)，E 1⎝⎛⎭⎪⎫1，12，2.设平面C 1E 1F 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 因为C 1E 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0，FC 1→＝(－1，0，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·C 1E 1→＝0，n ·FC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ，x ＝z ， 取n ＝(1，2，1)．因为CE →＝(1，－1，1)，n ·CE →＝1－2＋1＝0，所以CE →⊥n ，且CE ⊄平面C 1E 1F . 所以CE ∥平面C 1E 1F .[学生用书P66]知识结构深化拓展用空间向量解决立体几何的问题有三步(1)首先建立适当的空间坐标系，一般是用互相垂直的直线为x ，y ，z 轴，设出点的坐标．(2)通过向量的坐标运算，来研究点、直线、平面之间的关系，把几何问题转化为代数问题．(3)把向量的运算结果“翻译”为相应的几何意义，据几何意义求出结果.[学生用书P137(单独成册)])[A 基础达标]1．已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2，52，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，x ，y 分别是直线l 1，l 2的一个方向向量．若l 1∥l 2，则( )A ．x ＝3，y ＝152B ．x ＝32，y ＝154C ．x ＝3，y ＝15D.x ＝3，y ＝154解析：选D.因为l 1∥l 2，所以321＝x 2＝y 52，所以x ＝3，y ＝154，故选D.2．直线l 的一个方向向量和平面β的一个法向量分别是m ＝(－1，1，3)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，19，则直线l 与平面β的位置关系是( )A ．l ∥βB ．l ⊥βC ．l ∥β或l ⊂βD.无法判断解析：选C.因为m ·n ＝－13＋0＋13＝0，所以m ⊥n .所以l ∥β或l ⊂β.3．设直线l 的方向向量u ＝(－2，2，t )，平面α的一个法向量v ＝(6，－6，12)，若直线l ⊥平面α，则实数t 等于( )A ．4B ．－4C ．2D.－2解析：选B.因为直线l ⊥平面α，所以u ∥v ，则－26＝2－6＝t12，解得t ＝－4，故选B.4．已知平面α内有一个点A (2，－1，2)，α的一个法向量为n ＝(3，1，2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．(1，－1，1) B.⎝⎛⎭⎪⎫1，3，32C.⎝⎛⎭⎪⎫1，－3，32 D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，3，－32解析：选B.要判断点P 是否在平面α内，只需判断向量PA →与平面α的法向量n 是否垂直，即PA →·n 是否为0，因此，要对各个选项进行检验． 对于选项A ，PA →＝(1，0，1)，则PA →·n ＝(1，0，1)·(3，1，2)＝5≠0，故排除A ； 对于选项B ，PA →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－4，12，则PA →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4，12·(3，1，2)＝0，故B 正确；同理可排除C ，D.故选B.5．如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，AF ∶FD 的值为( )A ．1∶2B ．1∶1C ．3∶1D.2∶1解析：选B.建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，PA ＝a ，则B (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，P (0，0，a )．设点F 的坐标为(0，y ，0)，则BF →＝(－1，y ，0)，PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－a .因为BF ⊥PE ， 所以BF →·PE →＝0，解得y ＝12，即点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0， 所以F 为AD 的中点， 所以AF ∶FD ＝1∶1.6．已知平面α的一个法向量a ＝(x ，1，－2)，平面β的一个法向量b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，y ，12，若α⊥β，则x －y ＝________．解析：因为α⊥β，所以a ⊥b ，所以－x ＋y －1＝0，得x －y ＝－1. 答案：－17．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1)．给出下列结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的一个法向量．其中正确的是________(填序号)．解析：AB →·AP →＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则AB →⊥AP →，则AB ⊥AP .AD →·AP →＝4×(－1)＋2×2＋0＝0，则AP →⊥AD →，则AP ⊥AD .又AB ∩AD ＝A ，所以AP ⊥平面ABCD ，故AP →是平面ABCD 的一个法向量．答案：①②③8．已知AB →＝(1，5，－2)，BC →＝(3，1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ，则BP →＝________．解析：因为AB →⊥BC →，所以AB →·BC →＝0， 所以3＋5－2z ＝0， 所以z ＝4.因为BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧BP →·AB →＝0，BP →·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －1＋5y ＋6＝0，3x －3＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157， 故BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫337，－157，－3.答案：⎝⎛⎭⎪⎫337，－157，－39．已知正三棱柱ABC A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求证：AB 1⊥MN .证明：设AB 中点为O ，作OO 1∥AA 1.以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，OO 1所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，0，N ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，14， B 1⎝⎛⎭⎪⎫12，0，1，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，0. 所以MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34，14，AB 1→＝(1，0，1)，所以MN →·AB 1→＝－14＋0＋14＝0.所以MN →⊥AB 1→，所以AB 1⊥MN .10．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点．求证：EF ⊥平面B 1AC .证明：设正方体的棱长为2a ，建立如图所示的空间直角坐标系．则A (2a ，0，0)，C (0，2a ，0)，B 1(2a ，2a ，2a )，E (2a ，2a ，a )，F (a ，a ，2a )． 所以EF →＝(a ，a ，2a )－(2a ，2a ，a )＝(－a ，－a ，a )，AB 1→＝(2a ，2a ，2a )－(2a ，0，0)＝(0，2a ，2a )，AC →＝(0，2a ，0)－(2a ，0，0)＝(－2a ，2a ，0)．因为EF →·AB 1→＝(－a ，－a ，a )·(0，2a ，2a )＝(－a )×0＋(－a )×2a ＋a ×2a ＝0，EF →·AC →＝(－a ，－a ，a )·(－2a ，2a ，0)＝2a 2－2a 2＋0＝0，所以EF ⊥AB 1，EF ⊥AC . 又AB 1∩AC ＝A ，所以EF ⊥平面B 1AC .[B 能力提升]11．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是AD 1，BD 和B 1C 的中点，利用向量法证明：(1)MN ∥平面CC 1D 1D ； (2)平面MNP ∥平面CC 1D 1D .证明：(1)以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)，并设正方体的棱长为2，则A (2，0，0)，D (0，0，0)，M (1，0，1)，N (1，1，0)，P (1，2，1)．由正方体的性质知AD ⊥平面CC 1D 1D ，所以DA →＝(2，0，0)为平面CC 1D 1D 的一个法向量．由于MN →＝(0，1，－1)，则MN →·DA →＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以MN →⊥DA →. 又MN ⊄平面CC 1D 1D ， 所以MN ∥平面CC 1D 1D .(2)由于MP →＝(0，2，0)，DC →＝(0，2，0)， 所以MP →∥DC →，即MP ∥DC . 由于MP ⊄平面CC 1D 1D ， 所以MP ∥平面CC 1D 1D .又由(1)，知MN ∥平面CC 1D 1D ，MN ∩MP ＝M ，所以由两个平面平行的判定定理，知平面MNP ∥平面CC 1D 1D .12．如图，在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E 为BC 的中点．(1)在B 1B 上是否存在一点P ，使D 1P ⊥平面B 1AE? (2)在平面AA 1B 1B 上是否存在一点N ，使D 1N ⊥平面B 1AE? 解：(1)如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则点A (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，B 1(1，1，1)，D 1(0，0，1)，B 1A →＝(0，－1，－1)，B 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，－1.假设存在点P (1，1，z )满足题意，于是D 1P →＝(1，1，z －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧D 1P →·B 1A →＝0，D 1P →·B 1E →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧0－1－z ＋1＝0，－12＋0－z ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，z ＝12，矛盾．故在B 1B 上不存在点P 使D 1P ⊥平面B 1AE .(2)假设在平面AA 1B 1B 上存在点N ，使D 1N ⊥平面B 1AE . 设N (1，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧D 1N →·B 1A →＝0，D 1N →·B 1E →＝0.因为D 1N →＝(1，y ，z －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧0－y －z ＋1＝0，－12＋0－z ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12，z ＝12，故平面AA 1B 1B 上存在点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，12，使D 1N ⊥平面B 1AE .13．(选做题)如图所示，在四棱锥P ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠BCD ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°角．(1)求证：CM ∥平面PAD ； (2)求证：平面PAB ⊥平面PAD .证明：以点C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴，CD 所在直线为y 轴，CP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，因为PC ⊥平面ABCD ，所以∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角，所以∠PBC ＝30°.因为PC ＝2，所以BC ＝23，PB ＝4.所以D (0，1，0)，B (23，0，0)，A (23，4，0)，P (0，0，2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32.所以DP →＝(0，－1，2)，DA →＝(23，3，0)，CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32.(1)令n ＝(x ，y ，z )为平面PAD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧DP →·n ＝0，DA →·n ＝0，即⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧z ＝12y ，x ＝－32y ，令y ＝2，得n ＝(－3，2，1)．因为n ·CM →＝－3×32＋2×0＋1×32＝0，所以n ⊥CM →，又CM ⊄平面PAD ， 所以CM ∥平面PAD .(2)取AP 的中点E ，则E (3，2，1)，BE →＝(－3，2，1)．因为PB ＝AB ， 所以BE ⊥PA .又因为BE →·DA →＝(－3，2，1)·(23，3，0)＝0. 所以BE →⊥DA →，所以BE ⊥DA ， 又因为PA ∩DA ＝A ， 所以BE ⊥平面PAD ， 又因为BE ⊂平面PAB ， 所以平面PAB ⊥平面PAD .。
2020_2021学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.3空间向量的数量积运算素养课件新人教A
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4．如果 e1，e2 是两个夹角为 60°的单位向量，则 a＝e1＋e2 与 b＝e1－2e2 的夹角为________．
【答案】120° 【解析】由已知，e1·e2＝21，所以(e1＋e2)·(e1－2e2)＝－32， |e1＋e2|＝ 3，|e1－2e2|＝ 3. 所以 a 与 b 的夹角的余弦值为 cos 〈a，b〉＝|ee11＋＋ee22||ee11－－22ee22|＝－12.所以 a 与 b 的夹角为 120°.
4 ． 已 知 空 间 四 边 形 OABC ， OB ＝ OC ， ∠AOB＝∠AOC＝θ，则OA与BC的位置关系为 ________．
【答案】垂直 【解析】O→A·B→C＝O→A·(O→C－O→B)＝O→A·O→C－O→A·O→B＝|O→A
→ |·|OC|cos
θ－|O→A|·|O→B|cos
【解题探究】求|MN|即为求向量|ND|的模长.
求两点间的距离或线段的长度时，先将此线段用向量表 示，然后用其他已知夹角和模的向量表示该向量，再利用|a|=
，计算出|a|，即得所求距离.
找向量的夹角易出错 【示例】如图，AO⊥平面α，BC⊥OB， BC与平面α所成角为30°，AO＝BO＝BC＝ a，求AC长．
∴cos〈O→A，B→C〉＝|O→O→AA|··|B→B→CC|＝24－8×165
2＝3－52
2 .
∴OA 与 BC 所成角的余弦值为3－52
2 .
对于空间向量 a，b，有 cos〈a, b〉＝|aa|·|bb|，利用这一结论， 可以较方便地求解异面直线所成角的问题．由于向量夹角的取 值范围为[0，π]，而异面直线所成角的取值范围为0，π2，故当 〈a，b〉∈0，π2时，它们相等；而当〈a，b〉∈π2，π时，它 们互补．
高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量的坐标讲义(含解析)湘教版选修2-1-湘教版高
3．2空间向量的坐标[读教材·填要点]1．定理1设e1，e2，e3是空间中三个两两垂直的单位向量，则(1)空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的线性组合：v＝xe1＋ye2＋ze3.(2)上述表达式中的系数x，y，z由v唯一决定，即：如果v＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′.2．定理2(空间向量基本定理)设e1，e2，e3是空间中三个不共面的单位向量，则(1)空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的线性组合：v＝xe1＋ye2＋ze3.(2)上述表达式中的系数x，y，z由v唯一决定，即：如果v＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′.3．空间向量运算的坐标公式(1) 向量的加减法：(x1，y1，z1)＋(x2，y2，z2)＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)，(x1，y1，z1)－(x2，y2，z2)＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)．(2)向量与实数的乘法：a(x，y，z) ＝(ax，ay，az)．(3)向量的数量积：(x1，y1，z1)·(x2，y2，z2)＝x1x2＋y1y2＋z1z2.(4)向量v＝(x，y，z)的模的公式：|v|＝x2＋y2＋z2.(5)向量(x1，y1，z1)，(x2，y2，z2)所成的角α的公式：cos α＝x1x2＋y1y2＋z1z2x21＋y21＋z21x22＋y22＋z22.4．点的坐标与向量坐标(1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．(2)两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)的距离d AB 为：d AB ＝x 2－x 12＋y 2－y 12＋z 2－z 12.(3)线段的中点坐标，等于线段两端点坐标的平均值．[小问题·大思维]1．空间向量的基是唯一的吗？提示：由空间向量基本定理可知，任意三个不共面向量都可以组成空间的一组基，所以空间的基有无数个，因此不唯一．2．命题p ：{a ，b ，c }为空间的一个基底；命题q ：a ，b ，c 是三个非零向量，则命题p 是q 的什么条件？提示：p ⇒q ，但qp ，即p 是q 的充分不必要条件．3．空间向量的坐标运算与坐标原点的位置是否有关系？提示：空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取无关，因为一个确定的几何体，其线线、线面、面面的位置关系是固定的，坐标系的不同，只会影响其计算的繁简．4．平面向量的坐标运算与空间向量的坐标运算有什么联系与区别？提示：平面向量与空间向量的坐标运算均有加减运算，数乘运算，数量积运算，其算理是相同的．但空间向量要比平面向量多一竖坐标，竖坐标的处理方式与横、纵坐标是一样的．空间向量基本定理的应用空间四边形OABC 中，G ，H 分别是△ABC ，△OBC 的重心，设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量OG ―→和GH ―→.[自主解答] ∵OG ―→＝OA ―→＋AG ―→， 而AG ―→＝23AD ―→，AD ―→＝OD ―→－OA ―→.∵D 为BC 的中点， ∴OD ―→＝12(OB ―→＋OC ―→)∴OG ―→＝OA ―→＋23AD ―→＝OA ―→＋23(OD ―→－OA ―→)＝OA ―→＋23·12(OB ―→＋OC ―→)－23OA ―→＝13(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)＝13(a ＋b ＋c )． 而GH ―→＝OH ―→－OG ―→，又∵OH ―→＝23OD ―→＝23·12(OB ―→＋OC ―→)＝13(b ＋c )∴GH ―→＝13(b ＋c )－13(a ＋b ＋c )＝－13a .∴OG ―→＝13(a ＋b ＋c )；GH ―→＝－13a .本例条件不变，若E 为OA 的中点，试用a ，b ，c 表示DE ―→和EG ―→. 解：如图，DE ―→＝OE ―→－OD ―→＝12OA ―→－12(OB ―→＋OC ―→) ＝12a －12b －12c . EG ―→＝OG ―→－OE ―→＝13(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)－12OA ―→ ＝－16OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→＝－16a ＋13b ＋13c .用基表示向量时：(1)若基确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．(2)若没给定基时，首先选择基，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．1.如图所示，已知平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1，设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点．用基底{a ，b ，c }表示以下向量：(1)AP ―→；(2)AM ―→. 解：连接AC ，AD 1， (1)AP ―→＝12(AC ―→＋AA 1―→)＝12(AB ―→＋AD ―→＋AA 1―→) ＝12(a ＋b ＋c )． (2)AM ―→＝12(AC ―→＋AD 1―→)＝12(AB ―→＋2AD ―→＋AA 1―→) ＝12a ＋b ＋12c . 空间向量的坐标运算已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3，0,4)，设a ＝AB ―→，b ＝AC ―→.(1)设|c |＝3，c ∥BC ―→，求c .(2)若ka ＋b 与ka －2b 互相垂直，求k .[自主解答] (1)∵BC ―→＝(－2，－1,2)且c ∥BC ―→， ∴设c ＝λBC ―→＝(－2λ，－λ，2λ)． ∴|c |＝－2λ2＋－λ2＋2λ2＝3|λ|＝3.解得λ＝±1，∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)． (2)∵a ＝AB ―→＝(1,1,0)，b ＝AC ―→＝(－1,0,2)， ∴ka ＋b ＝(k －1，k,2)，ka －2b ＝(k ＋2，k ，－4)． ∵(ka ＋b )⊥(ka －2b )，∴(ka ＋b )·(ka －2b )＝0.即(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0. 解得k ＝2或k ＝－52.本例条件不变，若将(2)中“互相垂直”改为“互相平行”，k 为何值？ 解：∵ka ＋b ＝(k －1，k,2)，ka －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，设ka ＋b ＝λ(ka －2b )，则⎩⎪⎨⎪⎧k －1＝λk ＋2，k ＝λk ，2＝－4λ，∴k ＝0.已知两个向量垂直(或平行)时，利用坐标满足的条件可得到方程(组)进而求出参数的值．这是解决已知两向量垂直(或平行)求参数的值的一般方法．在求解过程中一定注意合理应用坐标形式下的向量运算法则，以免出现计算错误．2．若a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．分别求满足下列条件的实数k 的值： (1)(ka ＋b )∥(a －3b )； (2)(ka ＋b )⊥(a －3b )．解：ka ＋b ＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)，a －3b ＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)． (1)若(ka ＋b )∥(a －3b )， 则k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16，解得k ＝－13.(2)若(ka ＋b )⊥(a －3b )，则(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋5)×(－16)＝0， 解得k ＝1063.点的坐标与向量坐标在直三棱柱ABO A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求DO ―→，A 1B ―→的坐标．[自主解答] (1)∵DO ―→＝－OD ―→＝－(OO 1―→＋O 1D ―→) ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤OO 1―→＋12（OA ―→＋OB ―→）＝－OO 1―→－12OA ―→－12OB ―→.又|OO 1―→|＝4，|OA ―→|＝4，|OB ―→|＝2， ∴DO ―→＝(－2，－1，－4)．(2)∵A 1B ―→＝OB ―→－OA 1―→＝OB ―→－(OA ―→＋AA 1―→) ＝OB ―→－OA ―→－AA 1―→.又|OB ―→|＝2，|OA ―→|＝4，|AA 1―→|＝4， ∴A 1B ―→＝(－4,2，－4)．用坐标表示空间向量的方法步骤为：3．如图所示，PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且PA ＝AB ＝1.试建立适当的空间直角坐标系，求向量MN ―→的坐标．解：∵PA ＝AB ＝AD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ， ∴AB ―→，AD ―→，AP ―→是两两垂直的单位向量．设AB ―→＝e 1，AD ―→＝e 2，AP ―→＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系Axyz .法一：∵MN ―→＝MA ―→＋AP ―→＋PN ―→＝－12AB ―→＋AP ―→＋12PC ―→＝－12AB ―→＋AP ―→＋12(PA ―→＋AC ―→)＝－12AB ―→＋AP ―→＋12(PA ―→＋AB ―→＋AD ―→)＝12AD ―→＋12AP ―→＝12e 2＋12e 3， ∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12.法二：如图所示，连接AC ，BD 交于点O . 则O 为AC ，BD 的中点，连接MO ，ON ， ∴MO ―→＝12BC ―→＝12AD ―→，ON ―→＝12AP ―→，∴MN ―→＝MO ―→＋ON ―→ ＝12AD ―→＋12AP ―→ ＝12e 2＋12e 3. ∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12.解题高手多解题条条大路通罗马，换一个思路试一试已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为PC ，PD 上的点，且PM ―→＝2MC ―→，N 为PD 的中点，求满足MN ―→＝x AB ―→＋y AD ―→＋z AP ―→的实数x ，y ，z 的值．[解] 法一：如图所示，取PC 的中点E ，连接NE ，则MN ―→＝EN ―→－EM ―→.∵EN ―→＝12CD ―→＝12BA ―→＝－12AB ―→，EM ―→＝PM ―→－PE ―→＝23PC ―→－12PC ―→＝16PC ―→，连接AC ，则PC ―→＝AC ―→－AP ―→＝AB ―→＋AD ―→－AP ―→， ∴MN ―→＝－12AB ―→－16(AB ―→＋AD ―→－AP ―→)＝－23AB ―→－16AD ―→＋16AP ―→，∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.法二：如图所示，在PD 上取一点F ，使PF ―→＝2FD ―→，连接MF ， 则MN ―→＝MF ―→＋FN ―→， 而MF ―→＝23CD ―→＝－23AB ―→，FN ―→＝DN ―→－DF ―→＝12DP ―→－13DP ―→＝16DP ―→＝16(AP ―→－AD ―→)， ∴MN ―→＝－23AB ―→－16AD ―→＋16AP ―→.∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.法三：MN ―→＝PN ―→－PM ―→＝12PD ―→－23PC ―→＝12(PA ―→＋AD ―→)－23(PA ―→＋AC ―→) ＝－12AP ―→＋12AD ―→－23(－AP ―→＋AB ―→＋AD ―→)＝－23AB ―→－16AD ―→＋16AP ―→，∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.[点评] 利用基向量表示空间中某一向量的方法步骤为： ①找到含有空间向量的线段为一边的一个封闭图形；②结合平行四边形法则或三角形法则，用基向量表示封闭图形的各边所对应的向量； ③写出结论．1．已知空间四边形OABC ，其对角线为AC ，OB ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 是MN 的中点，则OG ―→等于( )A.16OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→B.14(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)C.13(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)D.16OB ―→＋13OA ―→＋13OC ―→ 解析：如图，OG ―→＝12(OM ―→＋ON ―→)＝12OM ―→＋12×12(OB ―→＋OC ―→) ＝14OA ―→＋14OB ―→＋14OC ―→ ＝14(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)． 答案：B2．已知a ＝(1，－2,1)，a ＋b ＝(－1,2，－1)，则b 等于( ) A ．(2，－4,2) B ．(－2,4，－2) C ．(－2,0，－2) D ．(2,1，－3)解析：b ＝(a ＋b )－a＝(－1,2，－1)－(1，－2,1)＝(－2,4，－2)． 答案：B3．a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，如果a 与b 为共线向量，则( ) A ．x ＝1，y ＝1 B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝16，y ＝－32D ．x ＝－16，y ＝32解析：∵a ＝(2x,1,3)与b ＝(1，－2y,9)共线，故有2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－32.答案：C4．已知点A (－1,3,1)，B (－1,3,4)，D (1,1,1)，若AP ―→＝2PB ―→，则|PD ―→|的值是________． 解析：设点P (x ，y ，z )，则由AP ―→＝2PB ―→， 得(x ＋1，y －3，z －1)＝2(－1－x,3－y,4－z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－2－2x ，y －3＝6－2y ，z －1＝8－2z ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，z ＝3，即P (－1,3,3)， 则|PD ―→|＝－1－12＋3－12＋3－12＝12＝2 3. 答案：2 35．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB ―→与CA ―→的夹角θ的大小是________．解析：AB ―→＝(－2，－1,3)，CA ―→＝(－1,3，－2)，cos 〈AB ―→，CA ―→〉＝－2×－1＋－1×3＋3×－214·14＝－714＝－12， ∴θ＝〈AB ―→，CA ―→〉＝120°. 答案：120°6．已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的三等分点且|PN ―→|＝2|NC ―→|，|AM ―→|＝2|MB ―→|，PA ＝AB ＝1，求MN ―→的坐标．解：法一：∵PA ＝AB ＝AD ＝1，且PA 垂直于平面ABCD ，AD ⊥AB ，∴可设DA ―→＝i ，AB ―→＝j ，AP ―→＝k ，以i ，j ，k为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．∵MN ―→＝MA ―→＋AP ―→＋PN ―→ ＝－23AB ―→＋AP ―→＋23PC ―→＝－23AB ―→＋AP ―→＋23(－AP ―→＋AD ―→＋AB ―→)＝13AP ―→＋23AD ―→＝13k ＋23(－DA ―→) ＝－23i ＋13k ，∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0，13.法二：设DA ―→＝i ，AB ―→＝j ，AP ―→＝k ，以i ，j ，k 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，过M 作AD 的平行线交CD 于点E ，连接EN .∵MN ―→＝ME ―→＋EN ―→＝AD ―→＋13DP ―→＝－DA ―→＋13(DA ―→＋AP ―→)＝－i ＋13(i ＋k )＝－23i ＋13k ，∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0，13.一、选择题1．已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基的一组向量是( ) A ．3a ，a －b ，a ＋2b B ．2b ，b －2a ，b ＋2a C ．a,2b ，b －cD ．c ，a ＋c ，a －c解析：对于A ，有3a ＝2(a －b )＋a ＋2b ，则3a ，a －b ，a ＋2b 共面，不能作为基；同理可判断B 、D 错误．答案：C2．以正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则与DB 1―→共线的向量的坐标可以是( )A ．(1，2，2)B ．(1,1，2)C ．(2，2，2)D ．(2，2，1)解析：设正方体的棱长为1，则由图可知D (0,0,0)，B 1(1,1,1)， ∴DB 1―→＝(1,1,1)，∴与DB 1―→共线的向量的坐标可以是(2，2，2)． 答案：C3．空间四边形OABC 中，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，点M 在OA 上，且OM ―→＝2MA ―→，N 为BC 中点，则MN ―→为( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －23c D.23a ＋23b －12c 解析：MN ―→＝MA ―→＋AB ―→＋BN ―→ ＝13OA ―→＋OB ―→－OA ―→＋12(OC ―→－OB ―→) ＝－23OA ―→＋12OB ―→＋12OC ―→＝－23a ＋12b ＋12c .答案：B4．若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ＝( )A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－255解析：因为a ·b ＝1×2＋λ×(－1)＋2×2＝6－λ，又因为a ·b ＝|a ||b |·cos〈a ，b 〉＝5＋λ2·9·89＝835＋λ2，所以835＋λ2＝6－λ.解得λ＝－2或255.答案：C 二、填空题5．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，c ＝(1，－x,2)，若(a ＋b )⊥c ，则x ＝________. 解析：∵a ＋b ＝(－2,1，x ＋3)， ∴(a ＋b )·c ＝－2－x ＋2(x ＋3)＝x ＋4. 又∵(a ＋b )⊥c ， ∴x ＋4＝0，即x ＝－4. 答案：－46．已知向量a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,0，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ＝________.解析：由a ，b ，c 共面可得c ＝xa ＋yb ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝2x －y ，0＝－x ＋4y ，λ＝3x －2y ，解得λ＝10.答案：107．若a ＝(x,2,2)，b ＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x 的取值X 围是________． 解析：a ·b ＝2x －2×3＋2×5＝2x ＋4，设a ，b 的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cosθ＝a ·b|a ||b |<0，又|a |>0，|b |>0，所以a ·b <0，即2x ＋4<0，所以x <－2，所以实数x 的取值X 围是(－∞，2)．答案：(－∞，－2)8．已知M 1(2,5，－3)，M 2(3，－2，－5)，设在线段M 1M 2上的一点M 满足M 1M 2―→＝4MM 2―→，则向量OM ―→的坐标为________．解析：设M (x ，y ，z )，则M 1M 2―→＝(1，－7，－2)，MM 2―→＝(3－x ，－2－y ，－5－z )．又∵M 1M 2―→＝4MM 2―→，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝43－x ，－7＝4－2－y ，－2＝4－5－z ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝114，y ＝－14，z ＝－92.答案：⎝⎛⎭⎪⎫114，－14，－92三、解答题9．已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (1,2,3)，B (2，－1，5)，C (3,2，－5)． (1)求△ABC 的面积； (2)求△ABC 中AB 边上的高．解：(1)由已知得AB ―→＝(1，－3,2)，AC ―→＝(2,0，－8)， ∴|AB ―→|＝ 1＋9＋4＝14， |AC ―→|＝4＋0＋64＝217，AB ―→·AC ―→＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，cos 〈AB ―→，AC ―→〉＝AB ―→·AC ―→|AB ―→|·|AC ―→|＝－1414×217＝－14217，sin 〈AB ―→，AC ―→〉＝1－1468＝2734. ∴S △ABC ＝12|AB ―→|·|AC ―→|·sin〈AB ―→，AC ―→〉＝12×14×217×2734＝321. (2)设AB 边上的高为CD ， 则|CD ―→|＝2S △ABC |AB ―→|＝3 6.10.如图，在空间直角坐标系中BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫32，12，0，点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°.(1)求向量OD ―→的坐标；(2)设向量AD ―→和BC ―→的夹角为θ，求cos θ的值．解：(1)如图所示，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中，由∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得BD ＝1，CD ＝ 3.∴DE ＝CD ·sin 30°＝32. OE ＝OB －BD ·cos 60°＝1－12＝12，∴D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，32，即向量OD ―→的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，32.(2)依题意：OA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，OB ―→＝(0，－1,0)，OC ―→＝(0,1,0)． 所以AD ―→＝OD ―→－OA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，32，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝(0,2,0)． 设向量AD ―→和BC ―→的夹角为θ，则 cos θ＝AD ―→·BC―→|AD ―→|·|BC ―→|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×0＋－1×2＋32×0⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322·02＋22＋02＝－210＝－105.∴cos θ＝－105.。
【2019最新】高中数学第三章空间向量与立体几何3-2空间向量在立体几何中的应用3-2-2平面的法向量与平面的向
【2019最新】高中数学第三章空间向量与立体几何3-2空间向量在立体几何中的应用3-2-2平面的法向量与平面的向量表示课堂导学案平面的法向量与平面的向量表示课堂导学三点剖析一、直线的方向向量【例1】如下图,四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD⊥底面ABCD ，AD=PD ，E 、F 分别为CD 、PB 的中点.求证:EF⊥平面PAB.分析：此题是立体几何的一个综合题型,运用全等三角形和三垂线定理也可以证明,但思路不易找出,作辅助线较多,容易在解题中受阻,而出错,甚至放弃,此题若用空间直角坐标系和向量知识,很易解决.证明：以D 为坐标原点,DA 的长为单位,建立如下图所示的直角坐标系.设E(a,0,0),其中a>0,则C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),F(a,21,21). EF =(0,21,21), =(2a,1,-1),=(2a,0,0).·=0， 所以EF ⊥PB 即EF ⊥PB .·=0, 所以⊥即EF⊥AB.又PB ⊂平面PAB,AB ⊂平面PAB,PB∩AB=B,所以EF⊥平面PAB,命题得证.温馨提示坐标运算证明向量垂直的关键在于建立适当的坐标系并且正确的求出坐标.二、平面的法向量【例2】在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求证：1DB 是平面ACD 1的法向量.证明：不妨设正方体的棱长为1,建立如右图所示的空间直角坐标系D —xyz,则各点的坐标为 A(1,0,0),C(0,1,0),D 1(0,0,1),B 1(1,1,1). 所以1DB =(1,1,1),=(-1,1,0),1AD =(-1,0,1) 因为1DB ·=1×(-1)+1×1+1×0=0， 所以1DB ⊥. 同理1DB ⊥1.又AC∩AD 1=A, 所以1DB ⊥平面ACD 1, 从而1DB 是平面ACD 1的法向量.温馨提示利用平面法向量证垂直平行问题.三、直线、平面向量的应用【例3】 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，求证：B 1O⊥平面PAC.证明：建立如右图所示坐标系，不妨假定正方体每边长为2，则A （2，0，0），P （0，0，1），C （0，2，0），B 1（2，2，2），O （1，1，0）.于是1OB =(1,1,2),AC =(-2,2,0),=(-2,0,1).由于1OB ·AC =-2+2=0,及1OB ·AP =-2+2=0，∴OB1⊥AC，OB1⊥A P.∴OB1⊥平面PAC.温馨提示立体几何中的向量方法——“三步曲”.(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题.(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的关系.(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.各个击破类题演练 1如右图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为22，侧棱长为4,E、F分别为棱AB、BC 的中点.(1)求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；(2)求点D1到平面B1EF的距离.答案：(1)证明:建立题图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(22,22,0),E(22,2,0),F(2,22,0),D1(0,0,4),B1(22,22,4).=(-2,2,0),=(22,22,0),DD=(0,0,4),1DD=0.∴·=0，·1∴EF⊥DB,EF⊥DD1,∴EF⊥平面BDD1B1.∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.(2)解:设平面B1EF的法向量EB.n=(x,y,z),则n⊥,n⊥1EB=(0,2,4),又1EB=2y+4z=0.∴n·=-2+2y=0,n·1∴x=y,z=42-y, 取y=1,得n=(1,1,42-). 又11B D =（22，22，0），∴点D 1到平面B 1EF 的距离为d=171716||||11=∙n n B D . 变式提升1已知棱锥P —ABC Ｄ的底面是菱形，∠BCD=60°,PD⊥AD,点E 是BC 边的中点. 求证：AD⊥平面PDE.证明：连结BD.如右图;∵底面ABCD 是菱形,∠BCD=60°,∴△BCD 是正三角形.∵点E 是BC 边的中点,∴DE⊥BC.∵AD∥BC,∴AD⊥DE.∵PD⊥AD,PD∩DE=D,∴AD⊥平面PDE.类题演练 2在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AE 、CD 1的中点，AD=AA 1=a,AB=2a. 求证：MN∥面ADD 1A 1.证明:建立如右图的坐标系，则=(43-,0,2a ).取n =(0,1,0),显然n ⊥面ADD 1A 1.·n =0,∴⊥n .又MN ⊄面ADD 1A 1，∴MN∥面ADD 1A 1.变式提升 2若直线l 的方向向量为a =(1,0,2),平面α的法向量为u =(-2,0,-4),则（ ）A.l∥αB.l⊥αC.l ⊂αD.l 与α斜交答案：B类题演练 3如右图，ABC —A 1B 1C 1是各条棱长均为a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点.求证：平面AB 1D⊥平面ABB 1A 1.证明：取AB 1的中点M ，则DM =DC +CA +. 又=1DC +11B C +B 1,两式相加得2DM =CA +11B C =CA +CB .由于2DM ·1AA =(CA +CB )·1AA =0, 2DM ·=(+)·(-)=||2-||2=0, ∴DM⊥AA 1,DM⊥AB.∴DM⊥平面ABB 1A 1.而DM ⊂平面AB 1D ，∴平面AB 1D⊥平面ABB 1A 1.变式提升 3若直线l 1、l 2的方向向量分别为a =(1,2,-2),b =(-2,3,2),则（ ）A.l 1∥l 2B.l 1⊥l 2C.l 1、l 2相交不平行D.不能确定。
2020-2021学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 空间向量的数量积运算课时跟踪
2020-2021学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3 空间向量的数量积运算课时跟踪训练新人教A版选修2-1年级：姓名：空间向量的数量积运算[A 组 学业达标]1．正方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，向量AB ′→与BC ′→的夹角是( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°解析：BC ′∥AD ′，△AD ′B ′为正三角形， ∴∠D ′AB ′＝60°， ∴〈AB ′→，BC ′→〉＝60°. 答案：C2．在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为135°的是( )A.AB →与A ′C ′→B.AB →与C ′A ′→C.AB →与A ′D ′→D.AB →与B ′A ′→解析：〈AB →，A ′C ′→〉＝〈AB →，AC →〉＝45°； 〈AB →，C ′A ′→〉＝180°－〈AB →，AC →〉＝135°； 〈AB →，A ′D ′→〉＝〈AB →，AD →〉＝90°； 〈AB →，B ′A ′→〉＝180°. 答案：B3.如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，M 为A 1C 1的中点，若AB →＝a ，AA 1→＝c ，BC →＝b ，则下列向量与BM →相等的是( ) A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 解析：BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(B 1A 1→＋B 1C 1→)＝AA 1→＋12(BA →＋BC →)＝12(－a ＋b )＋c ＝－12a ＋12b ＋c . 答案：A4．已知e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，则a ＝e 1＋e 2与b ＝e 1－2e 2的夹角是( ) A ．60° B ．120° C ．30°D ．90°解析：a·b ＝(e 1＋e 2)·(e 1－2e 2)＝e 21－e 1·e 2－2e 22＝1－1×1×12－2＝－32，|a |＝a 2＝e 1＋e 22＝e 21＋2e 1·e 2＋e 22＝1＋1＋1＝3， |b |＝b 2＝e 1－2e 22＝e 21－4e 1·e 2＋4e 22＝1－2＋4＝ 3.∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝－323＝－12.∴〈a ，b 〉＝120°. 答案：B5．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，有下列命题： ①(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2； ②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0； ③AD 1→与A 1B →的夹角为60°； ④正方体的体积为|AB →·AA 1→·AD →|. 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：如图所示，(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝(AA 1→＋A 1D 1→＋D 1C 1→)2＝AC 1→2＝3AB →2；A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝A 1C →·AB 1→＝0；AD 1→与A 1B →的夹角是D 1C →与D 1A →夹角的补角，而D 1C →与D 1A →的夹角为60°，故AD 1→与A 1B →的夹角为120°；正方体的体积为|AB →||AA 1→||AD →|.综上可知，①②正确． 答案：B6．已知|a |＝13，|b |＝19，|a ＋b |＝24，则|a －b |＝________.解析：|a ＋b |2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝132＋2a·b ＋192＝242，∴2a·b ＝46，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝530－46＝484，故|a －b |＝22. 答案：227．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a ，b 所成的角是________．解析：AB →＝AC →＋CD →＋DB →，∴CD →·AB →＝CD →·(AC →＋CD →＋DB →)＝|CD →|2＝1， ∴cos 〈CD →，AB →〉＝CD →·AB→|CD →||AB →|＝12，∴异面直线a ，b 所成角是60°. 答案：60°8．如图，已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则A 1B →·B 1C →＝________.解析：A 1B →·B 1C →＝A 1B →·A 1D →＝|A 1B →|·|A 1D →|·cos →〈A 1B →，A 1D →〉＝2a ×2a ×cos 60°＝a 2. 答案：a 29.如图所示，已知平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60°.求证：CC 1⊥BD . 证明：设CB →＝a ，CD →＝b ，CC 1→＝c ， 则|a |＝|b |.∵BD →＝CD →－CB →＝b －a ， ∴BD →·CC 1→＝(b －a )·c＝b·c －a·c ＝|b ||c |cos 60°－|a ||c |cos 60°＝0， ∴CC 1→⊥BD →， 即CC 1⊥BD .10.已知正四面体OABC 的棱长为1.求： (1)OA →·OB →；。
2020_2021学年高中数学第三章空间向量与立体几何本章总结课件新人教A版选修2_1
【解】 (1)建立空间直角坐标系(如图)．∵A→M＝(5,2,4)，A→1D ＝(0,8，－4)．
∴A→M·A→1D＝0＋16－16＝0＝0.
(2)∵A1D⊥AM，A1D⊥AN，∴A1D⊥平面 AMN， ∴A→1D＝(0,8，－4)是平面 ANM 的一个法向量．
专题二 空间向量与线面位置关系 证明平行问题，除了应用传统的线面平行的判定定理外，还 可以利用向量共线及平面的法向量进行证明． 证明垂直问题，除了应用传统的垂直问题的判定定理外，还 可利用向量数量积进行判断，是非常有效的方法．
【例 2】 如图，在矩形 ABCD 中 AB＝2BC，P、Q 分别为 线段 AB、CD 的中点，EP⊥平面 ABCD.
【证法二】 传统法．
(1)在矩形 ABCD 中，AP＝PB，DQ＝QC，∴AP 綊 QC，
∴四边形 AQCP 为平行四边形，∴CP∥AQ. ∵CP⊂平面 CEP，AQ⊄平面 CEP，∴AQ∥平面 CEP. (2)∵EP⊥平面 ABCD，AQ⊂平面 ABCD，∴AQ⊥EP. ∵AB＝2BC，P 为 AB 中点，∴AP＝AD. 连接 PQ，则 ADQP 为正方形，∴AQ⊥DP. ∵EP∩DP＝P，∴AQ⊥平面 DEP. ∵AQ⊂平面 AEQ，∴平面 AEQ⊥平面 DEP.
故A→C＝A→B＋A→D＝a＋b，又M→A＝－13A→C＝－13(a＋b)． 由已知，N 分A→1D成的比为 2，故A→N＝A→D＋D→N ＝A→D－N→D＝A→D－13A→1D＝13(c＋2b)． 于是M→N＝M→A＋A→N＝－13(a＋b)＋13(c＋2b) ＝13(－a＋b＋c)．
【点评】 用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以 图形为指导是解题的关键．
2020_2021学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2第1课时用空间向量解决立体几何中的平行问
3．2 立体几何中的向量方法第1课时用空间向量解决立体几何中的平行问题内容标准学科素养1.理解直线的方向向量与平面的法向量．2.掌握用待定系数法求平面法向量的方法．3.掌握利用向量证明空间中的平行关系的基本方法.利用直观想象发展逻辑推理提升数学运算授课提示：对应学生用书第65页[基础认识]知识点一直线的方向向量与平面的法向量预习教材P102，思考并完成以下问题为了用空间向量解决立体几何问题，首先必须把点、直线、平面的位置用向量表示出来，那么如何用向量表示空间中的点、直线、平面的位置呢？(1)取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量OP→来表示．(2)空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定．点A是直线l 上一点，向量a表示直线l的方向(方向向量)．在直线l上取AB→＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得AP→＝tAB→.这样，点A和向量a不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出l上的任意一点．(3)空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定．设这两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对(x，y)，使得OP→＝x a＋y b.这样，点O与向量a，b不仅可以确定平面α的位置，还可以具体表示出α内的任意一点．另外也可以用平面的法向量表示空间中平面的位置．知识梳理直线的方向向量与平面的法向量(1)用向量表示直线的位置条件直线l上一点A表示直线l方向的向量a(即直线的方向向量)形式在直线l上取AB→＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得AP→＝tAB→作用定位置点A和向量a可以确定直线l的位置定点可以具体表示出l上的任意一点(2)用向量表示平面的位置①通过平面α上的一个定点O和两个向量a和b来确定：条件平面α内两条相交直线的方向向量a，b和交点O形式对于平面α上任意一点P，存在有序实数对(x，y)使得OP→＝x a＋y b ②通过平面α上的一个定点A和法向量来确定：平面的法向量直线l⊥α，直线l的方向向量，叫做平面α的法向量确定平面位置过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的(3)直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量能平移到直线上的非零向量a，叫做直线l的一个方向向量平面的法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量n，叫做平面α的法向量注意：平面的法向量及其求法在空间直角坐标系下，求平面的法向量的一般步骤： (1)设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )；(2)找出(求出)平面内的两个相交的向量a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)；(3)根据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0；(4)解方程组，取其中的一个n 的坐标，即得平面的一个法向量． 知识点二 用空间向量处理平行关系知识梳理 设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为μ，v ，则1．若两条直线的方向向量分别是a ＝(2,4，－5)，b ＝(－6，x ，y )，且两条直线平行，则x ＝________，y ＝________.答案：－12 152．已知直线l 的方向向量为a ＝(－1,2,0)，平面α的法向量为n ＝(2,1，－1)，则( ) A ．l ⊥αB ．l ∥α C ．l ⊂αD ．l ∥α或l ⊂α 答案：D3．已知A (1,2,3)，B (0,1,2)，C (－1,3,2)，则平面ABC 的一个法向量为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－13，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－13，－1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－13，1答案：A授课提示：对应学生用书第66页探究一 利用方向向量和法向量判定线线、 线面、面面的位置关系[教材P 104练习2]设u ，v 分别是平面α，β的法向量，根据下列条件判断平面α，β的位置关系：(1)u ＝(－2,2,5)，v ＝(6，－4,4)； (2)u ＝(1,2，－2)，v ＝(－2，－4,4)； (3)u ＝(2，－3,5)，v ＝(－3,1，－4)． 解析：(1)∵u ·v ＝0，∴u ⊥v ，∴α⊥β. (2)∵u ∥v ，∴α∥β 或α与β重合．(3)∵u 与v 不垂直，也不平行，∴α与β相交． [例1] 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：(1)直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)； (2)直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)；(3)平面α与β的法向量分别是u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝⎛⎭⎪⎫3，2，－12；(4)平面α与β的法向量分别是u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)；(5)直线l 的方向向量、平面α的法向量分别是a ＝(0，－8,12)，u ＝(0,2，－3)． [解析](1)∵a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)， ∴a ＝－13b ，∴a ∥b ，即l 1∥l 2.(2)∵a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)，∴a ·b ≠0且a ≠k b (k ∈R )，∴a ，b 既不共线也不垂直，即l 1与l 2相交或异面．(3)∵u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝⎛⎭⎪⎫3，2，－12，∴u ·v ＝3－2－1＝0，∴u ⊥v ，即α⊥β. (4)∵u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)，∴u ·v ≠0且u ≠k v (k ∈R ) ，∴u 与v 既不共线也不垂直，即α和β相交但不垂直． (5)∵a ＝(0，－8,12)，u ＝(0,2，－3)， ∴u ＝－14a ，∴u ∥a ，即l ⊥α.方法技巧 (1)两直线的方向向量共线时，两直线平行；否则两直线相交或异面． (2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行或重合(垂直)；否则两平面相交但不垂直． 跟踪探究 1.设平面α的法向量为(1,3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k )，若α∥β，则k ＝________.解析：∵α∥β，∴(1,3，－2)＝λ(－2，－6，k )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＝1，λk ＝－2，∴λ＝－12，k ＝4.答案：4探究二 求平面的法向量[例2] 已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (2,1,0)，B (0,2,3)，C (1,1,3)，试求出平面ABC 的一个法向量．[解析]设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∵A (2,1,0)，B (0,2,3)，C (1,1,3)， ∴AB →＝(－2,1,3)，BC →＝(1，－1,0)．则有⎩⎨⎧n ·AB→＝0，n ·BC→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＋3z ＝0，x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3z ，x ＝y .令z ＝1，则x ＝y ＝3.故平面ABC 的一个法向量为n ＝(3,3,1)． 方法技巧 求平面法向量的方法与步骤(1)求平面ABC 的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如AC →，AB →； (2)设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )；(3)联立方程组⎩⎨⎧n ·AC→＝0，n ·AB→＝0，并求解；(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量．跟踪探究 2.如图所示，在四棱锥S ABCD 中，底面是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，且SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD 与平面SBA 的一个法向量．解析：如图，以A 为原点，以AD →，AB →，AS →分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)，则DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，DS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1.易知向量AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0是平面SAB 的一个法向量．设n ＝(x ，y ，z )为平面SDC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DC →＝12x ＋y ＝0，n ·DS →＝－12x ＋z ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，z ＝12x .取x ＝2，则y ＝－1，z ＝1，∴平面SDC 的一个法向量为(2，－1,1)．探究三 利用空间向量证明线面平行[教材P 118复习参考题A 组13题节选]如图，点E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH .证明：(1)∵E ，F 分别为AB ，BC 的中点，∴EF →＝12AC →.同理HG →＝12AC →，∴EF →＝HC →.又∵E ，F ，H ，G 不共线， ∴E ，F ，G ，H 四点共面．(2)∵E ，H 分别为AB ，AD 的中点， ∴HE →＝12DB →，∴HE →∥DB →，∴DB ∥HE .又∵HE ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， ∴BD ∥平面EFGH .[例3] (1)在四棱锥P ABCD 中，四边形ABCD 是正方形，侧棱PD 垂直于底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点．证明：PA ∥平面EDB .[证明]如图所示，建立空间直角坐标系，D 是坐标原点，设PD ＝DC ＝a .法一：连接AC ，交BD 于点G ，连接EG ，依题意得D (0,0,0)，A (a,0,0)，P (0,0，a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2.因为四边形ABCD 是正方形， 所以G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，0，所以EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0，－a 2.又PA →＝(a,0，－a )，所以PA →＝2EG →，这表明PA ∥EG . 而EG ⊂平面EDB ，且PA ⊄平面EDB ， 所以PA ∥平面EDB .法二：设平面BDE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，又DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，EB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，－a 2，则有⎩⎨⎧n ·DE→＝0，n ·EB→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a2y ＋z ＝0，a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2－z 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，2x ＋y －z ＝0.令z ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.所以n ＝(1，－1,1)，又PA →＝(a,0，－a )，所以n ·PA →＝(1，－1,1)·(a,0，－a )＝a －a ＝0. 所以n ⊥PA →.又PA ⊄平面EDB ，所以PA ∥平面EDB . 法三：假设存在实数λ，μ使得PA →＝λDE →＋μEB →，即(a,0，－a )＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，－a 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧a＝μa，0＝λ·a2＋μ·a2＝a2λ＋μ，－a＝λ·a2－μ·a2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝1.所以PA→＝－DE→＋EB→，又PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB.(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面CD1B1.[证明]以D为原点，分别以向量DA→，DC→，DD1→的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为1，则A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，∴A1D→＝(－1,0，－1)，A1B→＝(0,1，－1)，D1B1→＝(1,1,0)，D1C→＝(0,1，－1)．设平面A1BD的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则⎩⎨⎧n1·A1D→＝0，n1·A1B→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－x 1－z 1＝0，y 1－z 1＝0， 令z 1＝1，得x 1＝－1，y 1＝1.∴平面A 1BD 的一个法向量为n 1＝(－1,1,1)．设平面CD 1B 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎨⎧ n 2·D 1B 1→＝0，n 2·D 1C →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝0，y 2－z 2＝0， 令y 2＝1，得x 2＝－1，z 2＝1，∴n 2＝(－1,1,1)．∴n 1＝n 2，即n 1∥n 2.∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1.方法技巧 利用空间向量证明线面平行一般有三种方法：方法一：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示．方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明方向向量与平面的法向量垂直．跟踪探究 3.如图，已知在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且AD ＝2，AB ＝1，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点．判断并说明PA 上是否存在点G ，使得EG ∥平面PFD .解析：∵PA ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝90°，AB ＝1，AD ＝2，如图，建立空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，F (1,1,0)，D (0,2,0)．不妨令P (0,0，t )，∴PF →＝(1,1，－t )，DF →＝(1，－1,0)．设平面PFD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧ n ·PF →＝0，n ·DF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －tz ＝0，x －y ＝0， 令z ＝1，解得x ＝y ＝t2， ∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，t 2，1. 设点G 的坐标为(0,0，m )，又E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，则EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，m . 要使EG ∥平面PFD ，只需EG →·n ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×t 2＋0×t 2＋m ×1＝0， 即m －t4＝0， 解得m ＝14t ，从而满足AG ＝14AP 的点G 即为所求．授课提示：对应学生用书第67页[课后小结](1)利用向量解决立体几何问题的“三部曲”：①建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；②进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)；③根据运算结果的几何意义来解释相关问题．(2)证明线面平行问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系；也可以转化为线线平行，利用向量共线来证明．[素养培优]忽视直线与平面平行的条件致误若直线l 的方向向量为a ＝(3，－1,4)，平面α的法向量为n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，34，则直线l 与平面α的位置关系是________．易错分析 直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线可能与平面平行，也可能在平面内．考查直观想象和逻辑推理的学科素养．自我纠正 因为a ·n ＝(3，－1,4)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，34＝0， 所以a ⊥n .所以l ∥α或l ⊂α.故填l ∥α或l ⊂α.答案：l ∥α或l ⊂α。
2020学年高中数学3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程课件人教B版选修2_1
方向向量为( )
A．(1，2，3)
B．(1，3，2)
C．(2，1，3)
D．(3，2，1)
答案：A
3．若直线 l1 的方向向量与 l2 的方向向量的夹角为 150°，则 l1 与 l2 这两条异面直线所成的角等于( ) A．30° B．150° C．30°或 150° D．以上均错 答案：A
确定直线上任一点的位置 已知 O 是坐标原点，A、B、C 三点的坐标分别为 A(3， 4，0)，B(2，5，5)，C(0，3，5)． (1)若O→P＝12(A→B－A→C)，求 P 点的坐标； (2)若 P 是线段 AB 上的一点，且 AP∶PB＝1∶2，求 P 点的坐 标．
(2)求两条异面直线所成角常用的方法有两种：
即通过两条直线方向向量的夹角来求两条异面直 向量法
线所成的角.
定义法 (平移法)
由两条异面直线所成角定义将求两条异面直线所 成角的大小转化为平面角求解．求解的方法是解三 角形.
如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E、F 分别 是 B1C1，C1D1 的中点，且 AA1＝2，AB＝AD＝1.
D．3
解析：选 D．l1⊥l2⇔a⊥b⇔2×2＋1×2＋(－2)×m＝0.
所以 m＝3.
2．设 O 为坐标原点，O→A＝(1，1，2)，O→B＝(3，2，8)，则线 段 AB 的中点 P 的坐标为________．
答案：(2，32，5)
本部分内容讲解结束
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在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB＝4，AD＝3， AA1＝2，P、Q、R、S 分别是 AA1、D1C1、AB、CC1 的中点．证 明：PQ∥RS. 证明：法一：以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在直线分别为 x、y、z 轴，建立如图所 示的空间直角坐标系 Dxyz. 则 P(3，0，1)、Q(0，2，2)、R(3，2，0)、 S(0，4，1)， P→Q＝(－3，2，1)，R→S＝(－3，2，1)． 所以P→Q＝R→S，所以P→Q∥R→S，所以 PQ∥RS.
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用空间向量解决立体几何中的平行问题[A 组 学业达标]1．若直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－3，－6,6)，则( )A ．l 1∥l 2B ．l 1⊥l 2C ．l 1，l 2相交但不垂直D ．不能确定解析：∵a ＝(1,2，－2)，b ＝(－3，－6,6)，∴b ＝－3a ，∴l 1∥l 2.答案：A2.在如图所示的坐标系中，ABCD A 1B 1C 1D 1是棱长为1个单位长度的正方体，给出下列结论：①直线DD 1的一个方向向量为(0,0,1)．②直线BC 1的一个方向向量为(0,1,1)．③平面ABB 1A 1的一个法向量为(0,1,0)．④平面B 1CD 的一个法向量为(1,1,1)．其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：DD 1∥AA 1，AA 1→＝(0,0,1)；BC 1∥AD 1，AD 1→＝(0,1,1)，直线AD ⊥平面ABB 1A 1，AD →＝(0,1,0)；C 1点坐标为(1,1,1)，AC 1→与平面B 1CD 不垂直，∴④错．答案：C3．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(－4，－8,4)，则( )A ．α∥βB ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确解析：∵u ＝－14v ，∴α∥β.答案：A4．在菱形ABCD 中，若PA →是平面ABCD 的法向量，则以下等式中可能不成立的是() A.PA →·AB →＝0 B.PC →·BD →＝0C.PC →·AB →＝0D.PA →·CD →＝0解析：∵PA ⊥平面ABCD ，∴BD ⊥PA .又AC ⊥BD ，∴PC ⊥BD .故选项B 正确，选项A 和D 显然成立．故选C.答案：C5．已知线段AB 的两端点坐标为A (9，－3,4)，B (9,2,1)，则线段AB 与坐标平面() A ．xOy 平行 B ．xOz 平行C ．yOz 平行D ．yOz 相交解析：因为AB →＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB ∥平面yOz .答案：C6．已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，则m ＝________. 解析：∵l ∥α，∴(2，m,1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2＝0， 即2＋12m ＋2＝0， ∴m ＝－8.答案：－87．已知α，β为两个不重合的平面，设平面α与向量a ＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b ＝(－2,4，－8)垂直，则平面α与β的位置关系是________．解析：∵b ＝2a ，∴a ∥b .∵平面α与向量a 垂直，所以平面α与向量b 也垂直．而平面β与向量b 垂直，∴α∥β.答案：平行8．在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，以下向量可以作为平面ABC 法向量的是________(填序号)． ①AB →；②AA 1→；③B 1B →；④A 1C 1→.答案：②③9.如图，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，AB ＝AP ＝1，AD ＝ 3.试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE 的一个法向量．解析：∵PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，∴AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB →的方向为x 轴的正方向，AD →的方向为y 轴的正方向，AP →的方向为z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，D (0，3，0)，P (0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，32，12，B (1,0,0)，C (1，3，0)，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，32，12，AC →＝(1，3，0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3y ，z ＝－3y ，令y ＝－1，则x ＝z ＝3，∴平面ACE 的一个法向量为n ＝(3，－1，3)． 10．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证：(1)FC 1∥平面ADE ；(2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0,0,1)，B 1(2,2,2)，所以FC 1→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →，即⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1.令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)．因为FC 1→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1→⊥n 1.又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .(2)C 1B 1→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量．由n 2⊥FC 1→，n 2⊥C 1B 1→， 得⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·FC 1→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1→＝2x 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2. 令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)．因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .[B 组 能力提升]11．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．(1，－1,1) B.⎝⎛⎭⎪⎫1，3，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－3，32D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，3，－32 解析：若点P 在平面α内，则PA →⊥n ，即PA →·n ＝0.对于选项A ，PA →＝(1,0,1)，则PA →·n ＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A ；对于选项B ，PA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4，12，则PA →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4，12·(3,1,2)＝0，故B 正确； 同理可排除C 、D.答案：B12．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B ，AC的中点，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定解析：建系如图，设正方体的棱长为2，则A (2,2,2)，A 1(2,2,0)，C (0,0,2)，B (2,0,2)，∴M (2,1,1)，N (1,1,2)，∴MN →＝(－1,0,1)．又平面BB 1C 1C 的一个法向量为n ＝(0,1,0)，∵－1×0＋0×1＋1×0＝0，∴MN →⊥n ，∴MN ∥平面BB 1C 1C .故选B.答案：B13.如图，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论：①A 1M ∥D 1P ；②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥平面DCC 1D 1；④A 1M ∥平面D 1PQB 1.这四个结论中正确的是________．解析：∵A 1M →＝A 1A →＋AM →＝A 1A →＋12AB →，D 1P →＝D 1D →＋DP →＝A 1A →＋12AB →，∴A 1M →∥D 1P →，从而A 1M ∥D 1P ，可得①③④正确．又B 1Q 与D 1P 不平行，故②不正确．答案：①③④14．若A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2，198，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，58，C ⎝⎛⎭⎪⎫－2，1，58是平面α内三点，设平面α的法向量为a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________.解析：AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－3，－74 BC →＝(－3,2,0) ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y －74z ＝0，－3x ＋2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝32x ，z ＝－2x ，∴x ∶y ∶z ＝x ∶⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ∶(－2x )＝2∶3∶(－4)． 答案：2∶3∶(－4)15.如图所示，ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ，M ，N ，Q 分别是PC ，AB ，CD 的中点．求证：(1)MN ∥PAD ；(2)平面QMN ∥平面PAD .证明：(1)如图以A 为原点，以AB ，AD ，AP 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，设B (b,0,0)，D (0，d,0)，P (0,0，d )，则C (b ，d,0)，因为M ，N ，Q 分别是PC ，AB ，CD 的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，d 2，d 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，0，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，d ，0，所以MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－d 2，－d2.因为平面PAD 的一个法向量为m ＝(1,0,0)，所以MN →·m ＝0，即MN →⊥m .又因为MN 不在平面PAD 内，故MN ∥平面PAD .(2)QN →＝(0，－d,0)，QN →⊥m ，又QN 不在平面PAD 内，又QN ∥平面PAD .又因为MN ∩QN ＝N ，所以平面MNQ ∥平面PAD .16.如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是C 1C ，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .证明：法一：∵MN →＝C 1N →－C 1M →＝12CB →－12B 1B →＝12DB →－12DC →－12A 1B →＋12A 1B 1→＝12DB →－12A 1B →， ∴MN →，DB →，A 1B →是共面向量． 又∵MN ⊄平面A 1BD ， ∴MN ∥平面A 1BD .法二：∵MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C → ＝12(D 1A 1→－D 1D →)＝12DA 1→， ∴MN →∥DA 1→.又∵MN ⊄平面A 1BD ， ∴MN ∥平面A 1BD .法三：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图．设正方体的棱长为1，则可求得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)． 于是MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12，DA 1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)． 设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DA 1→＝0，n ·DB →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0. 取x ＝1，得y ＝－1，z ＝－1， ∴n ＝(1，－1，－1)．∵MN →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN →⊥n . 又∵MN ⊄平面A 1BD ， ∴MN ∥平面A 1BD .。