2020-2021北京市大兴区第八中学九年级数学上期中模拟试题附答案

2020-2021北京市大兴区第八中学九年级数学上期中模拟试题附答案
一、选择题
1．如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点是（1，n），且与x的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a-b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c-n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
2．抛物线y=﹣（x+2）2﹣3向右平移了3个单位，那么平移后抛物线的顶点坐标是
（）
A．（﹣5，﹣3） B．（﹣2，0） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
3．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪．若草坪的面积为570m2，道路的宽为xm，则可列方程为（）
A．32×20﹣2x2＝570B．32×20﹣3x2＝570
C．（32﹣x）（20﹣2x）＝570D．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
4．如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（）
A．55°B．110°C．120°D．125°
5．已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为（）A．﹣1或3B．﹣3或1C．3D．1
6．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣5m+4=0有一个根为0，则m的值等于（）
A．1B．1或4C．4D．0
7．如图，图案由三个叶片组成，且其绕点O旋转120°后可以和自身重合，若三个叶片的总面积为12平方厘米，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积之和为（）平方厘米．
A．2B．4C．6D．8
8．如图，直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于A、B两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD．直线y=kx+c与x轴交于点C（点C在点B 的右侧）．则下列命题中正确命题的是（）
①abc＞0；②3a+b＞0；③﹣1＜k＜0；④4a+2b+c＜0；⑤a+b＜k．
A．①②③B．②③⑤
C．②④⑤D．②③④⑤
9．如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（）
A．（1，1）B．（0，1）C．（﹣1，1）D．（2，0）
10．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）
A．（x+1）（x+2）=18B．x2﹣3x+16=0C．（x﹣1）（x﹣2）
=18
D ．x 2+3x+16=0 11．四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ） A ．AB=CD
B ．AB=B
C C ．AC ⊥B
D D ．AC=BD 12．用配方法解方程2890x x ++=，变形后的结果正确的是( ) A ．()249x +=- B ．()247x +=- C ．()2425x +=
D ．()247x += 二、填空题
13．用半径为30，圆周角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是__．
14．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多______步．
15．如图，Rt ABC ∆中，已知90C =o ∠，55B ∠=o ，点D 在边BC 上，
2BD CD =．把线段BD 绕着点D 逆时针旋转α（0180α<<o o ）度后，如果点B 恰好落在Rt ABC ∆的边上，那么α=__________．
16．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠B＝135°，则∠AOC 的度数为_____．
17．母线长为2cm ，底面圆的半径为1cm 的圆锥的侧面积为__________ cm²．
18．二次函数2
y ax bx c =++的部分对应值如下表：
利用二次函数的图象可知，当函数值y ＞0时，x 的取值范围是____________
19．如图，四边形ABCD 是O e 内接四边形，若3080BAC CBD ∠︒∠︒＝，＝，则BCD ∠的度数为______．
20．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若直角边AC ＝5，BC ＝12，则此三角形的内切圆半径为________．
三、解答题
21．解方程：2220x x +-=.
22．某商家在购进一款产品时，由于运输成本及产品成本的提高，该产品第 x 天的成本 y （元/件）与 x （天）之间的关系如图所示，并连续 60 天均以 80 元/件的价格出售， 第 x 天该产品的销售量 z （件）与 x （天）满足关系式 z ＝x +15．
（1）第 25 天，该商家的成本是 元，获得的利润是 元；
（2）设第 x 天该商家出售该产品的利润为 w 元．
①求 w 与 x 之间的函数关系式；
②求出第几天的利润最大，最大利润是多少？
23．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
24．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 、DC 为弦，∠ACD=60°，P 为AB 延长线上的点，∠APD=30°．
（1）求证：DP 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为3cm ，求图中阴影部分的面积．
25．我国古代数学著作《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题:“直田积八百六十四步,之云阔不及长十二步,问长阔各几何?”其大意是:“一个矩形田地的面积等
于864平方步,且它的宽比长少12步,问长与宽的各是多少步?”试用列方程解应用题的方法求出问题的解。

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一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，则当x=-1时，y>0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=-2b a
=1，即b=-2a ，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n 得到244ac b a
-=n ，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n 有一个公共点，则抛物线与直线y=n-1有2个公共点，于是可对④进行判断．
【详解】
∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．
∴当x=-1时，y ＞0，
即a-b+c ＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=-
2b a
=1，即b=-2a ， ∴3a+b=3a-2a=a ，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标为（1，n ）， ∴244ac b a
-=n ， ∴b 2=4ac-4an=4a （c-n ），所以③正确；
∵抛物线与直线y=n 有一个公共点，
∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点，
∴一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选C ．
【点睛】
本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数性质是解题的关键.
2．D
解析：D
【解析】试题分析：原抛物线的顶点坐标为(-2,-3)，向右平移三个单位后顶点纵坐标不变，横坐标加3，所以平移后抛物线的顶点坐标是（1，-3）。

故选D
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m2，即可列出方程．
【详解】
解：设道路的宽为xm，根据题意得：（32-2x）（20-x）=570，
故选D．
【点睛】
本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程．
4．D
解析：D
【解析】
分析：根据圆周角定理进行求解．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
详解：根据圆周角定理，得
∠ACB=1
2
（360°-∠AOB）=
1
2
×250°=125°．
故选D．
点睛：此题考查了圆周角定理．
注意：必须是一条弧所对的圆周角和圆心角之间才有一半的关系．
5．D
解析：D
【解析】
【分析】
设x2﹣2x+1＝a，则（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0化为a2+2a﹣3＝0，求出方程的解，再判断即可．
【详解】
解：设x2﹣2x+1＝a，
∵（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，
∴a2+2a﹣3＝0，
解得：a＝﹣3或1，
当a＝﹣3时，x2﹣2x+1＝﹣3，
即（x﹣1）2＝﹣3，此方程无实数解；
当a＝1时，x2﹣2x+1＝1，此时方程有解，
【点睛】
此题考查换元法解一元二次方程，借助另外设未知数的方法解一元二次方程使理解更容易，计算更简单.
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
先把x＝0代入方程求出m的值，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的m的值．【详解】
解：把x＝0代入方程得m²−5m＋4＝0，解得m₁＝4，m₂＝1，
而a−1≠0，
所以m＝4．
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．注意一元二次方程的定义．
7．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据旋转的性质和图形的特点解答．
【详解】
∵图案绕点O旋转120°后可以和自身重合，∠AOB为120°
∴图形中阴影部分的面积是图形的面积的1
3
，
∵图形的面积是12cm2，
∴图中阴影部分的面积之和为4cm2；
故答案为B．
【点睛】
本题考查了图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．8．B
解析：B
【解析】
试题解析：∵抛物线开口向上，
∴a＞0．
∵抛物线对称轴是x=1，
∴b＜0且b=-2a．
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴①abc＞0错误；
∵b=-2a，
∴3a+b=3a-2a=a＞0，
∴②3a+b＞0正确；
∵b=-2a，
∴4a+2b+c=4a-4a+c=c＞0，
∴④4a+2b+c＜0错误；
∵直线y=kx+c经过一、二、四象限，
∴k＜0．
∵OA=OD，
∴点A的坐标为（c，0）．
直线y=kx+c当x=c时，y＞0，
∴kc+c＞0可得k＞-1．
∴③-1＜k＜0正确；
∵直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象有两个交点，∴ax2+bx+c=kx+c，
得x1=0，x2=k b a -
由图象知x2＞1，
∴k b
a
-
＞1
∴k＞a+b，
∴⑤a+b＜k正确，
即正确命题的是②③⑤．
故选B．
9．B
解析：B
【解析】
根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，可知，只要连接两组对应点，作出对应点所连线段的两条垂直平分线，其交点即为旋转中心．
解：如图，
连接AD 、BE ，作线段AD 、BE 的垂直平分线，
两线的交点即为旋转中心O ′.其坐标是(0,1).
故选B..
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：可设原正方形的边长为xm ，则剩余的空地长为（x ﹣1）m ，宽为（x ﹣2）m ．根据长方形的面积公式列方程可得()()-1-2x x =18．
故选C ．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
11．D
解析：D
【解析】
【分析】
四边形ABCD 的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等．
【详解】
添加AC=BD ，
∵四边形ABCD 的对角线互相平分，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
∵AC=BD ，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，
∴四边形ABCD 是矩形，
故选D ．
【点睛】
考查了矩形的判定，关键是掌握矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．
12．D
解析：D
【解析】
【分析】
先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.【详解】
2890
x x
++=，
289
x x
+=-，
222
8494
x x
++=-+，
所以()247
x+=，
故选D.
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键.
二、填空题
13．10【解析】【分析】由扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式计算【详解】设圆锥底面圆的半径为r则2πr=解得：r=10所以圆锥的底面半径为10故答案为：10【点睛】考查了圆锥的计算及扇形的弧长的计算的知识
解析：10
【解析】
【分析】
由扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式计算．
【详解】
设圆锥底面圆的半径为r，
则2πr=12030 180
π⋅
，
解得：r=10，
所以圆锥的底面半径为10．
故答案为：10．
【点睛】
考查了圆锥的计算及扇形的弧长的计算的知识，解题关键是牢固掌握和弧长公式．14．12【解析】【分析】设长为x步宽为(60-x)步根据长方形的面积公式列出方程进行求解即可得【详解】设长为x步宽为(60-x)步x(60-x)=864解得
x1=36x2=24(舍去)∴当x=36时60
解析：12
【解析】
【分析】
设长为x步，宽为 (60-x) 步，根据长方形的面积公式列出方程进行求解即可得.
【详解】
设长为x 步，宽为(60-x) 步，
x(60-x)=864 ，
解得，x 1=36，x 2=24(舍去)，
∴当x=36 时，60-x=24 ，
∴长比宽多：36-24=12 (步)，
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.
15．或【解析】【分析】分两种情况：①当点落在AB 边上时②当点落在AB 边上时分别求出的值即可【详解】①当点落在AB 边上时如图1∴DB=DB′∴∠B=∠DB′B=55°∴∠BDB′=180°-55°-55°
解析：70o 或120o
【解析】
【分析】
分两种情况：①当点B 落在AB 边上时，②当点B 落在AB 边上时，分别求出α的值，即可．
【详解】
①当点B 落在AB 边上时，如图1，
∴DB=DB ′，
∴∠B=∠DB ′B=55°，
∴α=∠BDB ′=180°-55°-55°=70°；
②当点B 落在AB 边上时，如图2，
∴DB=DB ′=2CD ，
∵90C =o ∠，
∴∠CB ′D=30°，
∴α=∠BDB ′=30°+90°=120°．
故答案是：70o 或120o ．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质和直角三角形的性质定理，画出图形分类讨论，是解题的关键．
16．【解析】【分析】由圆内接四边形的性质先求得∠D 的度数然后依据圆周角定理求解即可【详解】∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形∴∠B＋∠D＝180°∴∠D＝180°－135°＝45°∴∠AOC＝90°故答
解析：90o
【解析】
【分析】
由圆内接四边形的性质先求得∠D 的度数，然后依据圆周角定理求解即可.
【详解】
∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠B ＋∠D ＝180°，∴∠D ＝180°－135°＝45°，∴∠AOC ＝90°，故答案为90°.
【点睛】
本题主要考查了圆内接四边形的基本性质以及圆周角定理.
17．2π【解析】【分析】【详解】解：∵圆锥的底面圆的半径为1∴圆锥的底面圆的周长=2π×1=2π∴圆锥的侧面积=×2π×2=2π故答案为2π【点睛】本题考查了圆锥的侧面积公式：S=l•R 圆锥侧面展开图为
解析：2π
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵圆锥的底面圆的半径为1，∴圆锥的底面圆的周长=2π×1=2π，
∴圆锥的侧面积=
12×2π×2=2π． 故答案为2π．
【点睛】
本题考查了圆锥的侧面积公式：S =
12
l •R ．圆锥侧面展开图为扇形，底面圆的周长等于扇形的弧长，母线长为扇形的半径． 18．x ＜-1或x ＞3【解析】【分析】根据二次函数的增减性求解即可【详解】由题意得二次函数的对称轴为故当时y 随x 的增大而增大当时y 随x 的增大而减小∵∴当函数值y ＞0时x 的取值范围是x ＜-1或x ＞3故答案为
解析：x ＜-1或x ＞3
【解析】
【分析】
根据二次函数的增减性求解即可．
【详解】
由题意得，二次函数的对称轴为1x =
故当1x >时，y 随x 的增大而增大，当1x <时，y 随x 的增大而减小，
∵()()1,0,3,0-
∴当函数值y＞0时，x的取值范围是x＜-1或x＞3
故答案为：x＜-1或x＞3．
【点睛】
本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的增减性是解题的关键．
19．70°【解析】【分析】先根据圆周角定理求出的度数再由圆内接四边形的性质即可得出结论【详解】∵四边形ABCD是内接四边形故答案为：70°【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质熟知圆内接四边形的对角互补
解析：70°
【解析】
【分析】
∠的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论．
先根据圆周角定理求出BAD
【详解】
Q＝，
∠︒
80
CBD
＝＝．．
∴∠∠︒
80
CAD CBD
Q＝
∠︒
30
BAC
＝＝．
∴∠︒+︒︒
3080110
BAD
e内接四边形，
∵四边形ABCD是O
＝﹣＝﹣＝．
∴∠︒∠︒︒︒
180********
BCD BAD
故答案为：70°．
【点睛】
本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．20．2【解析】【分析】设ABBCAC与⊙O的切点分别为DFE；易证得四边形OECF是正方形；那么根据切线长定理可得：CE=CF=12（AC+BC-AB）由此可求出r的长【详解】解：如图；在Rt△ABC∠
解析：2
【解析】
【分析】
设AB、BC、AC与⊙O的切点分别为D、F、E；易证得四边形OECF是正方形；那么根据切线长定理可得：CE=CF=（AC+BC-AB），由此可求出r的长．
【详解】
解：如图；
在Rt△ABC，∠C=90°，AC=5，BC=12；
根据勾股定理AB=
四边形OECF 中，OE=OF ，∠OEC=∠OFC=∠C=90°；
∴四边形OECF 是正方形；
由切线长定理，得：AD=AE ，BD=BF ，CE=CF ；
∴CE=CF=（AC+BC-AB ）；
即：r=（5+12-13）=2．
故答案为2．
三、解答题
21．113=-x 213=-x ．
【解析】
【分析】
把常数项移到右边 ，然后利用配方法进行求解即可．
【详解】
2220x x +-=，
222x x +=，
22121x x ++=+，
()213x +=，
13x +=
113=-x ，213=-x
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．配方法的步骤：先把常数项移到等号的右边，把二次项系数化1，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边配成完全平方式，两边开平方进行求解．
22．（1）35，1800；（2）①250750(020)551050(2060)
x x w x x x +<≤⎧=⎨
-++<≤⎩；②第27或28天的利润最大，最大为1806元．
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件可知第25天时的成本为35元，此时的销售量为40，则可求得第25天的利润．
（2）①利用每件利润×总销量＝总利润，分当0＜x≤20时与20＜x≤60时，分别列出函数关系式；
②利用一次函数及二次函数的性质即可解答．
【详解】
解：（1）由图象可知，此时的销售量为z ＝25＋15＝40（件），
设直线BC 的关系为y ＝kx ＋b ，将B （20,30）、C （60,70）代入
得：20306070
k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：k=1，b=10， ∴y ＝x ＋10，
∴第 25 天，该商家的成本是y=25+10=35（元）
则第25天的利润为：（80−35）×
40＝1800（元）； 故答案为：35，1800；
（2）①当0＜x≤20时，(8030)(15)50750w x x =-+=+；
当20＜x≤60时，2
[80(10)](15)551050w x x x x =-++=-++， ∴ 250750(020)551050(2060)x x w x x x +<≤⎧=⎨-++<≤⎩
②当0＜x≤20时，∵50＞0，w 随x 的增大而增大，
∴当x=20时，w=50×
20+750=1750（元）， 当20＜x≤60时，2551050w x x =-++，
∵-1＜0，抛物线开口向下，对称轴为552
x =， 当x=27与x=28时，227552*********w =-+⨯+=（元）
∵1806＞1750，
∴第27或28天的利润最大，最大为1806元．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题，常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．根据每天的利润＝一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
23．每件衬衫应降价20元.
【解析】
【分析】
利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可.
【详解】
解：设每件衬衫应降价x 元.
根据题意，得 （40-x ）（20+2x ）=1200,
整理，得x 2-30x+200=0,
解得x 1=10，x 2=20．
∵“扩大销售量，减少库存”，
∴x 1=10应舍去，
∴x=20.
答：每件衬衫应降价20元.
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键.
24．（1）证明见解析；（2）2933()22
cm p -. 【解析】
【分析】
（1）连接OD ，求出∠AOD ，求出∠DOB ，求出∠ODP ，根据切线判定推出即可． （2）求出OP 、DP 长，分别求出扇形DOB 和△ODP 面积，即可求出答案．
【详解】
解：（1）证明：连接OD ，
∵∠ACD=60°，
∴由圆周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°．
∴∠DOP=180°﹣120°=60°．
∵∠APD=30°，
∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°．
∴OD ⊥DP ．
∵OD 为半径，
∴DP 是⊙O 切线．
（2）∵∠ODP=90°，∠P=30°，OD=3cm ，
∴OP=6cm ，由勾股定理得：3．
∴图中阴影部分的面积
221603933333()236022
ODP DOB S S S cm p p 创=-=创=V 扇形 25．该矩形长36步，宽24步.
【解析】试题分析：如果设矩形田地的长为x 步,那么宽就应该是（x -12）步,根据矩形面积864=矩形的长×矩形的宽4,即可得出方程求解即可.
解：设矩形长为x 步，宽为（x -12）步
x （x -12）=864
x 2-12x -864=0
解得x 1=36，x 2=-24（舍）
∴x -12=24
答：该矩形长36步，宽24步。