四元数运动学笔记（1）旋转的表示

四元数运动学笔记（1）旋转的表⽰
1.参考资料
Quaternion kinematics for the error-state KF
barfoot《state estimation forrobotics》
袁信、郑锷《捷联式惯性导航原理》
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2.旋转矩阵的性质
2.1旋转矩阵
定义frame1到frame2的旋转矩阵为，旋转矩阵是单位正交矩阵。

对于旋转矩阵的下标可以这样理解，等式右边是旋转矩阵转化后的新位置坐标，左右是上⼀时刻的位置坐标,因此旋转的叠加（积分）即在原来的基础上再左乘新的旋转矩阵。

z-y-x即图中3-2-1，是我看很多导航的书的表⽰⽅式，barfoot的书中以1-2-3旋转⽅式作为航空中常⽤的旋转⽅式，对⽐袁信的捷联惯导书和barfoot的书，两者每次旋转对应的旋转矩阵是相通的，只不过定义的旋转次序不同使得旋转矩阵的形式不太⼀样
-欧拉⾓的⼤⼩和⽅向定义：
barfoot书中每次旋转的旋转矩阵定义，和袁信书中⼀致。

以袁信书中的z-y-x即3-2-1的旋转⽅式表⽰的旋转矩阵，,这⾥frame1看作是n系，frame2看作是b系，则导航系n到机体系b的旋转矩阵
（）旋转矩阵的⼩⾓度表⽰：当旋转⾓都⽐较⼩时，利⽤三⾓函数的与欧拉⾓的近似,省略⼩量的⼆次以上部分，得到：
2.2旋转矩阵的奇异点
barfoot书中以1-2-3的旋转⽅式为例，如果中间那次旋转，则旋转就会变成绕1轴旋转,即旋转耦合在⼀起，即这次旋转的欧拉⾓⽆法恢复。

2.3旋转矩阵的微分⽅程
哥⽒定理
利⽤哥⽒定理推导旋转矩阵的微分⽅程
3.向量叉乘与斜对称矩阵
向量叉乘可以表⽰成向量的叉乘矩阵和向量相乘，叉乘矩阵是斜对称矩阵,这种表⽰在旋转相关公式⾥经常⽤到。

对于列向量a,b有：
4.四元数
4.1四元数表⽰
四元数有很多表⽰⽅法，这⾥采⽤标量+向量的形式表⽰（scalar+vector）
4.2四元数乘法
两个四元数等于各个元素分别相乘，表⽰旋转的积分
四元数乘法不满⾜交换律(commutative)
四元数乘法满⾜结合律(associative)和分配律(distributive)
两个四元数相乘可以表⽰为矩阵的形式
利⽤四元数的结合律得到
4.3四元数的性质
单位1 四元数(Identity):
共轭四元数：虚数部分符号相反
单位四元数的逆等于其共轭四元数Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js。