(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》检测(答案解析)(1)

一、选择题
1．已知过点P 作曲线y ＝x 3的切线有且仅有两条，则点P 的坐标可能是( ) A ．(0,1) B ．(0,0) C ．(1,1) D ．(－2，－1) 2．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为（ ） A ．ln 2
B ．1
C ．1ln2-
D ．1ln2+
3．已知函数()2
ln f x x x =+，则函数()f x 在1x =处的切线方程是（ ） A ．320x y --= B ．320x y +-= C ．320x y -+=
D ．320x y ++=
4．设()f x 为可导函数，且满足0
(1)(1)
lim
12x f f x x
→-+=，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处
的切线斜率为（ ） A ．
12
B ．12
-
C ．2
D ．2-
5．已知点P 在直线y ＝2x +1上，点Q 在曲线y ＝x +ln x 上，则P ，Q 两点间距离的最小值为（ ）
A ．
5
B ．
5
C ．
D ．6．已知函数()2b
f x x ax =+的导数()23f x x '=+，则数列()()*
12n f n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭
N 的前n
项和是（ ）
A ．1
n
n +
B ．()121n n -+
C ．()
22n n +
D ．
()()12n
n n ++
7．若点P 在函数3()3f x x x =-+的图象上，且函数3()3f x x x =-+的图象在点P 处的切线平行于直线21y x =+，则点P 的坐标为（ ） A ．(1,3)
B ．(1,3)-
C ．(1,3)和(1,3)-
D ．(1
)3-， 8．已知函数()32
37f x x ax x =+-+（a ∈R ），当01x ≠时，曲线()y f x =在点
()()0
,x f x 和点()()0
2,2x f x --处的切线总是平行，若曲线()y f x =与直线
2y mx m =-+（m ∈R ）交于不同的三点()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，则
()3
1
i
i
i x y =+=∑（ ）
A ．0
B ．3
C ．6
D ．9
9．若函数()f x 的导函数．．．
的图象关于y 轴对称，则()f x 的解析式可能为（ ）
A ．()2cos f x x =
B ．()3
2f x x x =+
C ．()sin cos 1
f x x x =⋅+
D ．()x
f x e x =+
10．若32()25f x x x =+-，则(1)f '=( ) A ．3 B ．8 C ．8-
D ．3- 11．若直线l 与函数()x f x e =和()ln 2g x x =+的图象都相切，则k =（ ）
A ．2或e
B ．1或e
C ．0或1
D ．e
12．若曲线y ＝x 3﹣2x 2+2在点A 处的切线方程为y ＝4x ﹣6，且点A 在直线mx +ny ﹣2＝0（其中m ＞0，n ＞0）上，则（ ） A ．m +7n ﹣1＝0 B ．m +n ﹣1＝0
C ．m +13n ﹣3＝0
D ．m +n ﹣1＝0或m +13n ﹣3＝0
二、填空题
13．已知函数32()(,)f x ax bx x a b =++∈R ，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =+，则(1)f '-=_________.
14．已知函数2()2ln f x x x =-，则()f x 在()()
1,1f 处的切线方程_____________.
15．已知函数()ln x ax f x x
-=，若有且仅有一个整数k ，使()()2
0f k f k -⎤⎣⎦>⎡，则实数a 的取值范围是__________．
16．已知函数()()1,1ln ,1
x x f x x x ⎧+<=⎨
≥⎩，若方程()=f x ekx 恰有两个实数解，其中e 是自
然对数的底数，则实数k 的取值范围为________． 17．已知函数()sin 2tan f x x x =+，则3f π⎛⎫
'=
⎪⎝⎭
___________ 18．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()2
21y ax a x =+++相切,则a=________．
19．已知函数21y ax =+的图像与直线y x =相切，则a =______．
20．若函数()x
x
f x e ae -=+的导函数是奇函数,并且曲线()y f x =的一条切线的斜率是
3
2
,则切点的横坐标是___． 三、解答题
21．已知函数f （x ）＝x 3﹣3x 2+a （a ∈R ）．
（1）若f （x ）的图象在（1，f （1））处的切线经过点（0，2），求a 的值；
（2）若对任意x 1∈[0，2]，都存在x 2∈[2，3]使得f （x 1）+f （x 2）≤2，求实数a 的范围． 22．已知曲线32:32C y x x x =-+，直线:l y kx =，且直线l 与曲线C 相切于点
()()000,0x y x ≠，求直线l 的方程及切点的坐标．
23．已知函数()2x
f x e x =-
()1求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程;
()2若函数()()g x f x a =-，[]1,1x ∈-恰有2个零点，求实数a 的取值范围
24．已知曲线()()1x
f x e ax =+在1x =处的切线方程为y bx e =-.
（Ⅰ）求,a b 值.
（Ⅱ）若函数()()3x
g x f x e m =--有两个零点，求实数m 的取值范围.
25．函数()
1x
f x x
0x <（），
令1()=()f x f x ，*
1()=(())n n f x f f x n N +∈． （1）求23()()f x f x ，并猜想()n f x 的表达式（不需要证明）；
（2）()()n g x f x =与250x y n --=相切，求n 的值．
26．已知函数()ln f x x x =，2()2g x x ax =-+-（e 为自然对数的底数，a R ∈）. （1）判断曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与曲线()y g x =的公共点个数； （2）当1,x e e
⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，若函数()()y f x g x =-有两个零点，求a 的取值范围.
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
求出函数的导数，设切点为3
(,)m m ，求得切线的斜率，以及切线的方程，运用代入法，将选项代入切线的方程，解方程即可得到结论． 【详解】
3y x =的导数为23y x '=，
设切点为3
(,)m m ，可得切线的斜率为23m ，
切线的方程为32
3y m m x m -=-（），
若(0,0)P ，则3
2
30)(m m m -=-，解得0m =，只有一解；
若(01)P ，
，则32130)(m m m -=-，可得3
1
2
m =-，只有一解； 若(1,1)P ，则32
131m m m -=-（）
，可得322310m m -+=，
即为2
(1)20(1)m m -+=，解得1m =或1
2
-，有两解； 若(2,1)P --，则3
2
132)m m m --=-(-， 可得322610m m +-=，
由322
()261()612f m m m f m m m '=-=++，，
当20m -<<时，()f m 递减；当0m >或2m <-时，()f m 递增． 可得(0)1f =-为极小值，(2)7f -=为极大值， 则322610m m +-=有3个不等实数解． 故选：C ． 【点睛】
本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和设出切点是解题的关键，注意运用排除法，属于中档题．
2．D
解析：D 【解析】
由ln y x x =得'ln 1y x =+，设切点为()00,x y ，则0ln 1k x =+，000
002
ln y kx y x x =-⎧⎨
=⎩，
0002ln kx x x ∴-=，00
2
ln k x x ∴=+
，对比0ln 1k x =+，02x ∴=，ln 21k ∴=+，故选D.
3．A
解析：A 【分析】
求出导数，求得切线的斜率，切点坐标，由斜截式方程，即可得到切线的方程. 【详解】
()2ln f x x x =+， 1
()2(0)f x x x x
'∴=+>
(1)3f '∴=，
又(1)1f =，
∴函数()f x 在1x =处的切线方程13(1)y x -=-，
即320x y --=. 故选：A 【点睛】
本题主要考查导数的几何意义，求切线的方程，正确求导是解题的关键，属于基础题．
4．D
【分析】
由导数的几何意义0
(1)(1)li )m
'(1x f x f x
k f →+-==，结合题设0(1)(1)
lim
12x f f x x →-+=，找到倍数关系，即得解. 【详解】
由导数的几何意义，可知：
0(1)(1)(1)(1)
lim
2lim 21212'()x x f x f k f f x
f x x →→+--+=-=-⋅==-=
故选：D 【点睛】
本题考查了导数的几何意义和导数的定义，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.
5．B
解析：B 【分析】
易得当在Q 点处的切线与21y x =+平行,且过Q 作21y x =+的垂线垂足为P 时,P Q 的距离最小,再利用公式求距离即可. 【详解】
由题可知, 当在Q 点处的切线与21y x =+平行,且过Q 作21y x =+的垂线垂足为P 时
,P Q 的距离最小.此时ln y x x =+的导函数1
'1y x
=+.
设()00,Q x y ,则00
1
121x x +
=⇒=,000ln 1y x x =+=,即()1,1Q . 此时,P Q 的距离最小值为()1,1Q 到直线21y x =+即210x y -+=
的距离
d =
=
=. 故选：B 【点睛】
本题主要考查了曲线上与直线上点的最值问题,需要利用导数的几何意义进行求解,属于基础题.
6．C
解析：C 【分析】
利用导数求得a 、b 的值，然后利用裂项求和法可求得数列()()*
12n f n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭
N 的前n 项
和.
()2b f x x ax =+，()21223b f x bx a x -'∴=+=+，则223b a =⎧⎨=⎩，得3
1
a b =⎧⎨=⎩，
()23f x x x ∴=+，()()()2111112321212
f n n n n n n n ∴===-+++++++， 因此，数列()()*
12n f n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩
⎭N 的前n 项和
1111112334
12
n S n n =
-+-++
-++()112222n n n =-=
++.
故选：C. 【点睛】
本题考查利用导数求参数，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题
7．B
解析：B 【分析】
对()f x 求导，由于在点P 处的切线平行于直线21y x =+，故2312m -=，求解m ，又点
(1,3)在直线21y x =+，排除即得解.
【详解】
设P 点坐标为(,)P m n ，则33n m m =-+
2()31x f x '=-
由于在点P 处的切线平行于直线21y x =+ 故2312m -=，1m ∴=±，代入33n m m =-+， 故点P 坐标为(1,3)和(1,3)-
又点(1,3)在直线21y x =+，此时切线与21y x =+重合，排除 故点P 坐标为(1,3)- 故选：B 【点睛】
本题考查了导数在曲线切线中的应用，考查了学生概念理解，数学运算，综合分析的能力，属于中档题.
8．D
解析：D 【分析】
求得()f x 的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件可得3a =-，计算
()()114f x f x -++=，可得()f x 关于点()1,2对称，考虑直线恒过()1,2，即可得到
所求和. 【详解】
函数()3237f x x ax x =+-+的导数为()2
323f x x ax =+-'，
当01x ≠时，曲线()y f x =在点()()00,x f x 和点()()
002,2x f x --处的切线总是平行，
可得()()2
2
000032332223x ax x a x +-=-+--，
化简可得()()003442220x a x -+-=，解得3a =-， 可得()3
2
337f x x x x =--+，
由
()()()()()()()()3232
111313171313174
f x f x x x x x x x -++=-----+++-+-++=可得函数()y f x =的图象关于点()1,2对称，
又直线2y mx m =-+()m ∈R 恒过定点()1,2，可得另外两点关于()1,2对称， 则
()3
1
12249i
i
i x y =+=+++=∑
故选：D 【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查计算能力，考查函数与方程思想，属于中等题型.
9．C
解析：C 【分析】
根据导函数关于y 轴对称知其为偶函数，对每个选线逐一判断得到答案. 【详解】
若函数()f x 的导函数．．．的图象关于y 轴对称，则其导函数为偶函数. A. ()2cos '()2sin f x x f x x =⇒=-是奇函数，不满足.
B. ()3
2
2
'()32f x f x x x x x ==⇒++是非奇非偶函数，不满足
C. ()sin cos 1'()cos2f x x x f x x =⋅+⇒=是偶函数，满足
D. ()'()1x
x
f x e x f x e =+⇒=+是非奇非偶函数，不满足
故答案选C 【点睛】
本题考查了导函数与偶函数，综合性强，意在考查学生的计算能力.
10．B
解析：B 【分析】
利用求导法则求出()f x 的导函数，把1x =代入导函数中求得结果. 【详解】
求导得：2
'()62f x x x =+，
把1x =代入得：'(1)628f =+=， 故选B. 【点睛】
该题考查的是有关函数在某点处的导数的求解问题，涉及到的知识点有函数的求导公式以及求导法则，属于简单题目.
11．B
解析：B 【分析】
设出直线l 与两个函数的切点,求得两个函数的导函数,并根据导数的意义求得切线的斜率.由点在曲线上的性质,可得方程组.化简后求得其中一个切点的坐标,即可求得切线的斜率. 【详解】
设直线l 与函数()x
f x e =的图象相切于点()11,A x y ,直线l 与函数()ln 2
g x x =+的图象相
切于点()22,B x y ,直线l 的斜率为k . 则1122l 2,n x
y e y x ==+
因为'()x
f x e =,()1'
g x x
=
则1
2
1x
x k e ==
所以11122212122
ln 21
1x x y e y x e x y y x x x ⎧=⎪
=+⎪⎪⎪=
⎨⎪
⎪-=⎪-⎪⎩,则()12212ln 21x e x x x x -+=- 由1
2
1
x
e x =
,可得21ln x x =-,代入上式可得 ()222
22ln 2l 1n 1
x x x x x -+=
--,化简可得2222ln ln 10x x x x ---=
即()()221ln 10x x -+=,解得21,x =或21
x e
= 代入2
1k x =
可得1k =或k e = 故选:B 【点睛】
本题考查了直线与曲线的切线问题,导数的几何意义应用,计算量较为复杂,属于中档题.
12．B
解析：B 【分析】
设32(,),22A x t y x x =-+的导数234y x x '=-，可得切线的斜率为234x x -，然后根据切线方程尽量关于,x t 的方程组，再结合条件，即可求得,m n 的关系，得到答案． 【详解】
设3
2
(,),22A x t y x x =-+的导数2
34y x x '=-， 可得切线的斜率为234x x -，
又由切线方程为46y x =-，所以2
3
2
344,4622x x t x x x -==-=-+， 解得2,2x t ==，
因为点A 在直线20+-=mx ny 上，所以10m n +-=，故选B ． 【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，利用切线方程列出相应的方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．
二、填空题
13．【分析】求出函数的导函数及再求出可得到ab 的方程解出可得到答案【详解】得①又由切点在即②由①②得所以则故答案为：-11【点睛】本题考查导数的几何意义求曲线的切线要注意过点P 的切线与在点P 处的切线的差 解析：11-
【分析】
求出函数()f x 的导函数及(1)f '，再求出(1)f 可得到a 、b 的方程，解出可得到答案. 【详解】
2()321f x ax bx '=++，(1)3211k f a b ∴==++='，得320a b +=①
又(1)1f a b =++，由切点)1,1(a b ++在1y x =+，即111a b ++=+②，
由①②得32
b a =⎧⎨=-⎩，所以2
()661f x x x '=-++，则(1)66111f '-=--+=-.
故答案为：-11. 【点睛】
本题考查导数的几何意义，求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.
14．【分析】求导数得切线斜率然后可写出切线方程【详解】由已知所以又所以切线方程为即故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义求出导函数得出切线斜率后直接写出切线方程解题时要注意所给点是不是切点 解析：310x y --=
【分析】
求导数得切线斜率，然后可写出切线方程． 【详解】
由已知1
()4f x x x
'=-，所以(1)413f '=-=，又(1)2f =， 所以切线方程为23(1)y x -=-，即310x y --=．
故答案为：310x y --=． 【点睛】
关键点点睛：本题考查导数的几何意义，求出导函数，得出切线斜率后直接写出切线方程．解题时要注意所给点是不是切点，问题是求函数在某点处的切线方程还是过某点的切线方程，
如果是求过点00(,)P x y ，则设切点为11(,)x y ，由此点求出切线方程，代入00(,)x y 后求得切点坐标，从而得切线方程．
15．【解析】因故由题设问题转化为有且仅有一个整数使得或因为所以当时函数单调递增；当时函数单调递减即函数在处取最大值由于因此由题设可知解之得应填答案点睛：解答本题的关键是准确理解题设中条件有且仅有一个整数
解析：11
ln 21ln 3123
a -≤<-
【解析】 因ln ()x
f x a x
=
-，故由题设问题转化为“有且仅有一个整数k 使得()1f k >或()0f k <”．因为2
1ln ()x
f x x -'=
，所以当0x e <<时，()0f x '>，函数ln ()x f x a x =
-单调递增；当x e >时，()0f x '<，函数ln ()x
f x a x
=-单调递减，即函数ln ()x
f x a x =-在x e =处取最大值，由于23e <<，因此由题设可知(2)1(3)1f f ≤⎧⎨>⎩
，解之
得
11ln21ln3123a -≤<-，应填答案11
ln21ln3123
a -≤<-． 点睛：解答本题的关键是准确理解题设中条件“有且仅有一个整数k ，使
()()2
0f k f k ⎡⎤->⎣⎦”．求解时先将问题进行等价转化为“有且仅有一个整数k 使得()1f k >或()0f k <”．进而将问题转化为断定函数图像的形状问题，然后先对函数进行
求导，依据导数与函数的单调性之间的关系推断出该函数在在x e =处取最大值，从而借
助题设条件得到不等式组(2)1(3)1f f ≤⎧⎨>⎩
，通过解不等式组使得问题获解．
16．【分析】方程恰有两个实数解即曲线与直线有两个不同的交点利用导数求切线方程的斜率运用数形结合思想结合图象进行求解即可【详解】方程恰有两
个实数解即曲线与直线有两个不同的交点设则设过原点的直线与相切的切点
解析：1[e -，21]e
【分析】
方程()f x ekx =恰有两个实数解，即曲线()y f x =与直线y ekx =有两个不同的交点， 利用导数求切线方程的斜率，运用数形结合思想结合图象进行求解即可. 【详解】
方程()f x ekx =恰有两个实数解， 即曲线()y f x =与直线y ekx = 有两个不同的交点，
设()ln g x x =，则1()g x x
'=， 设过原点的直线与()ln g x x =
相切的切点坐标为：(,)x y ''，
则切线方程为：1
()y y x x x ''-=
-'
， 又此切线过点(0,0)，求得：1y '=，
即ln 1x '=，即x e '=，即1()g x e
''=
， 由图可知：曲线()y f x =与直线y ekx =有两个不同的交点时有：
11ek
e
-， 即实数k 的取值范围为：1[e -，21]e
， 故答案为：1[e -
，21]e
【点睛】
本题考查了分段函数的性质、考查了利用导数求切线方程的斜率，考查了数形结合的思想，考查了数学运算能力.
17．3【分析】对函数求导将x=代入即可得到答案【详解】f(x)=2cos2x+则故答
案为3【点睛】本题考查导数公式的应用考查计算能力
解析：3 【分析】 对函数求导，将x=3
π
代入即可得到答案. 【详解】
()sin2tan 2sinx
f x x x sin x cosx
=+=+
f’(x)=2cos2x+
22
cos cos sin sin 1
22cos cos x x x x cos x x x
+=+， 则221214333cos 3
f cos πππ
⎛⎫
=+=-+= ⎪⎝⎭' 故答案为3 【点睛】
本题考查导数公式的应用，考查计算能力.
18．8【解析】试题分析：函数在处的导数为所以切线方程为；曲线的导函数的为因与该曲线相切可令当时曲线为直线与直线平行不符合题意；当时代入曲线方程可求得切点代入切线方程即可求得考点：导函数的运用【方法点睛】
解析：8 【解析】
试题分析：函数ln y x x =+在(1,1)处的导数为111
|1|2x x y x
===+
='，所以切线方程为；曲线2
(2)1y ax a x =+++的导函数的为
，因与该曲线
相切，可令
，当
时，曲线为直线，与直线
平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点
，代入切线方程即
可求得
.
考点：导函数的运用.
【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．
19．【详解】由题意设切点为由导数的定义可得即又∴【点睛】本题考查导数定义以及导数几何意义考查基本求解能力属基础题
解析：1
4
【详解】
由题意，设切点为00,x y ，由导数的定义，可得
()22000000()11lim lim 22x x a x x ax k a x ax ax x
∆→∆→+∆+--==∆+=∆切线
,即021ax =． 又2
001ax x +=，∴01
2,4
x a ==
. 【点睛】
本题考查导数定义以及导数几何意义,考查基本求解能力,属基础题.
20．ln2【解析】由题意可得是奇函数∴f′（0）=1﹣a=0∴a=1f （x ）=曲线y=f （x ）在（xy ）的一条切线的斜率是即解方程可得ex=2⇒
x=ln2故答案为ln2 解析：ln 2
【解析】
由题意可得，()x
x
f x e ae
-=-'是奇函数
∴f ′（0）=1﹣a =0
∴a =1，f （x ）=x x e e -+，()x x
f x e e -'=-
曲线y =f （x ）在（x ，y ）的一条切线的斜率是32，即32
x x
e e --= 解方程可得e x =2⇒x =ln 2 故答案为ln 2．
三、解答题
21．（1）a ＝1；（2）a ≤3 【分析】
（1）出导数，求出切线的斜率和切点，再由两点斜率公式，即可得到a ；（2）运用导数判断()f x 在[0,2]，在[2,3]的单调性，求出最值，由题意得，()()12max min 2f x f x +≤得到不等式，解出即可. 【详解】
（1）2
()36f x x x '=-，
(1)3f '∴=-，又(1)2f a =-，
∴切点坐标(1,2)a -， 又∵切线经过点(0,2)， ∴由两点的斜率公式，得4
31
a -=-， 解得1a =；
（2）2
()363(2)f x x x x x '=-=-，
当[0,2]x ∈时，()0,()f x f x '≤单调递减；
当[2,3]x ∈时，()0f x '≥，()f x 单调递增，
1[0,2]x ∈，()1f x ∴的最大值为(0)f a =，
又2[2,3]x ∈，()2f x ∴的最小值为(2)4f a =-，
对任意1[0,2]x ∈，都存在2[2,3]x ∈使得()()122f x f x +≤，
()()12max min 2f x f x +≤，
即有42a a +-≤， 解得3a ≤． 【点睛】
本题主要考查的是导数的运用：求切线方程和求单调区间，最值，考查恒成立和存在思想，注意转化为求最值，考查运算能力，属于中档题和易错题. 22．14y x =-,33,28⎛⎫- ⎪⎝⎭
【分析】
切点（x 0，y 0）既在曲线上，又在切线上，由导数可得切线的斜率，构造方程，求解即可. 【详解】
∵直线过原点，∴()0
00
0y k x x =
≠． 由点()00,x y 在曲线C 上，得32
000032y x x x =-+，∴
2
0000
32y x x x =-+． 又∵2
362y x x =-+'，
∴在点()00,x y 处曲线C 的切线的斜率()2
000362k f x x x =-'=+，
∴22
000032362x x x x -+=-+， 整理得2
00230x x -=，解得()003
02
x x =
≠． 这时，038y =-，14
k =-
． 因此，直线l 的方程为14y x =-，切点的坐标是33,28⎛⎫- ⎪⎝⎭
． 【点睛】
本题考查了导数的几何意义、求函数的导数；“已知”曲线的切点时，包含以下三方面信息：①切点在切线上，②切点在曲线上，③切点横坐标处的导数等于切线的斜率. 23．(1) x+y-1=0. (2) 22ln 22a e -<≤-. 【分析】
(1)求得f （x ）的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线方程；
(2) 函数()()[]
,1,1g x f x a x =-∈-恰有2个零点转化为两个图象的交点个数问题，数形
结合解题即可. 【详解】
（1）因为()e 2x
f x x =-，所以()e 2x
f x '=-.
所以()0 1.f '=- 又()01,f =
所以曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程为1,y x -=- 即10x y +-=.（5分）
（2）由题意得，()e 2x
g x x a =--，
所以()e 2x
g x '=-.
由()e 20x
g x ='-=，解得ln2x =，
故当1ln2x -≤<时，()0g x '<，()g x 在[
)1,ln2-上单调递减； 当ln21x <≤时，()0g x '>，()g x 在(]
ln2,1上单调递增. 所以()()min ln222ln2g x g a ==--. 又()1
1e +2g a --=-，()1e 2g a =--，
若函数恰有两个零点，
则()()()11e 20,1e 20,ln22220,g a g a g ln a -⎧-=+-≥⎪
=--≥⎨⎪=--<⎩
解得22ln2e 2a -<≤-.
所以实数a 的取值范围为(]
22ln2,e 2--. 【点睛】
本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解. 24．(Ⅰ)1,3a b e ==；(Ⅱ)0e m -<< 【分析】
（Ⅰ）利切点()()
1,1f 为曲线()y f x =和直线y bx e =-的公共点，得出()1f b e =-，并结合()1f b '=列方程组求出实数a 、b 的值； （Ⅱ）解法1：由()0g x =，得出()2x
m e
x =-，将问题转化为直线y m =与曲线
()u x =()2x e x -的图象有两个交点时，求出实数m 的取值范围，然后利用导数研究函数()u x =
()2x e x -的单调性与极值，借助数形结合思想得出实数m 的取值范围；
解法2：利用导数得出函数()y g x =的极小值为()1g ，并利用极限思想得出当x →-∞
时，()g x m →-，结合题意得出()100
g m ⎧<⎨->⎩，从而得出实数m 的取值范围．
【详解】
（Ⅰ）()()1x f x e ax =+，()()()'11x x x
f x e ax e a e ax a =++⋅=++，
()()()
()12111f e a b f e a b e ⎧=⋅+=⎪∴⎨=⋅+=-'⎪⎩1,3a b e ∴==；
（Ⅱ）解法1：()()()32x x
g x f x e m e x m =--=--，
函数()()2x g x e x m =--有两个零点，相当于曲线()()2x
u x e x =⋅-与直线y m =有两个交点.()()()'21x x x
u x e x e e x =⋅-+=-，
当(),1x ∈-∞时，()'
0,u x <()u x ∴在(),1-∞单调递减， 当()1,x ∈+∞时，()'
0,u x >()u x ∴在()1,+∞单调递增，
1x ∴=时，()u x 取得极小值()1u e =-，
又x →+∞时，()u x →+∞；2x <时，()0u x <，0e m ∴-<<；
解法2：()()()32x x
g x f x e m e x m =--=--，
()()()'21x x x g x e x e e x =⋅-+=-，
当(),1x ∈-∞时，()'
0,g x <()g x ∴在(),1-∞上单调递减， 当()1,x ∈+∞时，()'
0,g x >()g x ∴在()1,+∞上单调递增，
1x ∴=时，()g x 取得极小值()1g e m =--，
又x →-∞时，()g x m →-，()100
g m ⎧<⎨->⎩0e m ∴-<<.
【点睛】
本题考查导数的几何意义，以及函数的零点个数问题，对于直线与函数曲线相切的问题，一般要抓住以下两点：
（1）切点为切线和函数曲线的公共点，于此可列等式； （2）导数在切点处的导数值等于切线的斜率． 25．（1）见解析；（2）4 【解析】 【分析】
（1）分别求出()2f x 和()3f x 的解析式，结合函数()1f x 的解析式归纳出函数()n f x 的解析式；
（2）设切点()00,P x y ，由函数()y g x =在点P 处的切线斜率等于直线
250x y n --=，
以及点P 为直线250x y n --=与函数()y g x =图象的公共点，利用这两个条件列方程
组求出n 的值。

【详解】
（1）211()=(())=
=1211x
x x f x f f x x x x ----， 3212()=(())==13112x
x
x f x f f x x x x ---
-.
猜想()=1n x
f x nx
- *0x n N <∈（，）. （2）设切点为00(,)P x y ，
()=
1x g x nx -，21
()=1g x nx '-（）
, 切线斜率2011251k nx ==-（）
*0x n N <∈（，）， 解得04
x n
=-
. 所以00044
y =
4151x n
nx n
n n -
==--+⋅. 所以004416
25255n x y n n n
=-=-+⋅
=，解得=4n . 【点睛】
本题考查归纳推理、导数的几何意义，在处理直线与函数相切的问题时，抓住以下两个基本点：
（1）函数在切点处的导数值等于切线的斜率； （2）切点为切线与函数图象的公共点。

另外，在处理直线与二次曲线或反比例型函数图象相切的问题，也可以将直线与曲线方程联立，利用判别式为零处理。

26．(1)见解析(2) 231a e e
<≤++ 【解析】
分析：（1）根据导数的几何意义可得切线方程，然后根据切线方程与()y g x =联立得到的方程组的解的个数可得结论．（2）由题意求得()()y f x g x =-的解析式，然后通过分离参数，并结合函数的图象可得所求的范围． 详解：（1）∵()ln f x x x =，
∴()'ln 1f x x =+， ∴()'11f =. 又()10f =，
∴曲线在点()1,0处的切线方程为1y x =-．
由221y x ax y x ⎧=-+-⎨=-⎩
得()2110x a x +-+=.
故()()()2
2142313a a a a a ∆=--=--=+-，
所以当0∆>，即1a <-或3a >时，切线与曲线()y g x =有两个公共点； 当0∆=，即1a =-或3a =时，切线与曲线()y g x =有一个公共点； 当0∆<，即13a -<<时，切线与曲线()y g x =没有公共点. （2）由题意得()()2
2ln y f x g x x ax x x =-=-++，
由0y =，得2
ln a x x x
=++， 设()2
ln (0)h x x x x x
=++>， 则()()()2
12'x x h x x -+=
.
又1,x e e
⎡⎤∈⎢⎥⎣
⎦
，
所以当1,1x e ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()()0,?
h x h x <'单调递减； 当[]
1,x e ∈时，()()0,?
h x h x >'单调递增． 所以()()min 13h x h ==.
又1121h e e e ⎛⎫
=
+- ⎪⎝⎭，()2
1h e e e
=++， 结合函数图象可得，当231a e e <≤++时，方程2
ln a x x x
=++有两个不同的实数根， 故当2
31a e e
<≤+
+时，函数()()y f x g x =-有两个零点． 点睛：函数零点个数（方程根的个数、两函数图象公共点的个数）的判断方法：（1）结合零点存在性定理，利用函数的性质确定函数零点个数；（2）构造合适的函数，判断出函数的单调性，利用函数图象公共点的个数判断方程根的个数或函数零点个数．。