2013-王伟-几类二阶变系数非齐次线性微分方程的通解

第30卷 第6期
新乡学院学报（自然科学版） 2013年12月 V ol. 30 No. 6 Journal of Xinxiang University(Natural Science Edition) Dec. 2013
收稿日期：2013-08-06 修回日期：2013-10-16
作者简介：王伟(1983-)，女，江苏高邮人. 硕士，研究方向：高等数学教育研究. E-mail: wangw@.
几类二阶变系数非齐次线性微分方程的通解
王 伟
（扬州工业职业技术学院 文理系，江苏 扬州 225127）
摘 要：在假设二阶变系数非齐次线性微分方程两个变系数关系已知的前提下，利用降阶法推出几类二阶
变系数齐次线性微分方程的通解表达式. 关键词：变系数；通解；二阶线性变系数微分方程
中图分类号：O175 文献标志码：A 文章编号：1674–3326(2013)06–0408–03 General Solution of Some Classes of Second Order Linear
Differential Equations with Variable Coefficient
WANG Wei
(Department of Arts and Science, Yangzhou Polytechnic Institute, Yangzhou 225127, China)
Abstract: Assume that the relation of two variable coefficients is known of second order linear differential
equations with variable coefficient, a general solution is given by use of the reduced-order method.
Key words: variable coefficient; general solution; second order linear differential equations with variable
coefficient
0 引言
变系数线性微分方程的求解一直是微分方程研究方面的热点话题. 近年来，关于变系数二阶线性微分方程通解问题的研究，得到了一些成果. 笔者[1]利用二阶变系数齐次线性微分方程的一个特解*y ，讨论二
阶变系数齐次线性微分方程，得到形如()d **212[()e d ]p x x y y c y x c --ò
=+ò的通解公式，同时，利用常数变易法得到二阶变系数非齐次方程的通解．梁洪亮和徐华伟[2]给出了一类二阶变系数常微分方程()y pu x y ¢¢¢++
2[()()]()qu x ru x y f x ¢-=可积的充分条件及其通解. 张菁[3]根据一类二阶常系数非齐次线性微分方程1212()(,)y py qy f x p q l l l l ¢¢¢++==+=系数的特点，利用降阶法给出了此类方程的通解公式112()e [e x x y l l l --=ò 212(()e d )d ]x f x x c x c l ++ò．
在文献[1]基础上，笔者结合文献[1]中几个推论的充分必要条件，利用变量代换，对方程作降阶处理，将方程转化为一阶非齐次线性微分方程后再求通解．
定义二阶变系数非齐次线性微分方程为
()()()y p x y q x y f x ¢¢¢++=， (1)
其中()p x 、()q x 、()f x 都是x 的连续函数．
1 主要定理及证明
定理1：设二阶变系数非齐次线性微分方程(1)满足()()q x p x ¢=，则方程(1)通解为()d e [(()d p x x y f x x -ò
=òò ()d 12)e d ]p x x c x c ò++．
证明：利用已知的条件，方程(1)变为()()()y p x y p x y f x ¢¢¢¢++=，即有(())()y p x y f x ¢¢+=. 令网络出版时间：2014-01-23 15:09
网络出版地址：/kcms/detail/41.1398.C.20140123.1509.004.html
王 伟：几类二阶变系数非齐次线性微分方程的通解 ·409·
()z y p x y ¢=+，则方程(())()y p x y f x ¢¢+=变为()z f x ¢=，从而有1()d z f x x c =+ò，即得到一阶非齐次线性
微分方程()y p x y ¢+1()d f x x c =+ò．于是，方程(1)的通解为()d ()d 12e [(()d )e d ]p x x p x x y f x x c x c -ò
ò=++òò，其中：1c 、2c 为常数，()d f x x ò、()d p x x ò分别表示一个确定的原函数.
定理2：设二阶变系数非齐次线性微分方程(1)满足2()()0m mp x q x ++=(m 为常数)，则方程(1)的通解
为()d 2(()d 12e {e [()e d ]d }p x x mx p x x mx mx y f x x c x c --+ò
ò=++òò． 证明：由已知，方程(1)变为2()(())()y p x y m mp x y f x ¢¢¢+-+=，则有()(())()y my p x m y my ¢¢¢¢-++- ()f x =．令z y my ¢=-，则方程()(())()y my p x m y my ¢¢¢¢-++-变为
(())()z p x m z f x ¢++=. (2)
方程(2)为一阶非齐次线性微分方程，其通解为(())d (())d 1e [()e d ]p x m x p x m x z f x x c -++ò
ò=+ò．又由一阶非齐次线性微分方程的通解公式[4-5]，可知y my z ¢-=的通解为d d 2e [e d ]m x m x y z x c -òò=+ò，通过整理，可得()d 2e [p x x mx mx y e --ò=ò
()d 12(()e )d ]p x x mx f x dx c x c +ò++ò，即为方程(1)的通解，其中1c 、2c 为常数，“”ò表示一个确定的原函数．
结合二阶常系数非齐次线性微分方程()y py qy f x ¢¢¢++=系数的特点12p l l =+和12q l l =，对二阶变系数非齐次线性微分方程做类似的条件限制12()()()p x x x l l =+，12()()()q x x x l l =，发现当函数1()x l 和2()x l 满足21212(()())()()0r r x x x x l l l l -++=时(其中r 为常数)，可借助定理2求出通解．
推论1：设二阶变系数非齐次线性微分方程(1)满足12()()()p x x x l l =+和12()()()q x x x l l =，且存在常
数r ，使得21212(()())()()0r r x x x x l l l l -++=，则方程(1)通解为1212(()())d 2(()())d e [e (()e d x x x rx x x x rx rx y f x x l l l l -+++--òò=òò
12)d ]c x c ++．
为简化推论1的条件，对变系数()q x 作简单变换，可得下面结论．
定理3：设二阶变系数非齐次线性微分方程(1)满足12()()()p x x x l l =+，1
121()()()()q x x x x l l l ¢=+，则方程(1)通解为1122()d (()())d ()d 12e [e (()e d )d ]x x x x x x x y f x x c x c l l l l --òòò=++òò．
证明：依题意，方程(1)变为12121
(()())(()()())()y x x y x x x y f x l l l l l ¢¢¢¢++++=，则有1(())y x y l ¢¢++ 21()(())()x y x y f x l l ¢+=．令1()z y x y l ¢=+，则方程变为
2()()z x z f x l ¢+=. (3)
方程(3)为一阶非齐次线性微分方程，其通解为2
2()d ()d 1e [()e ]x x x x z f x dx c l l -òò=+ò．又由一阶非齐次线性微分方程的通解公式，知1()y x y z l ¢+=的通解为1
1()d ()d 2e [e d ]x x x x y z x c l l -òò=+ò，整理可得112()d ()()d e [e x x x x x y l l l --òò=ò 2()d 12(()e d )d ]x x f x x c x c l ò++ò，即为方程(1)的通解，其中1c 、2c 为常数，“”ò表示一个确定的原函数．
当12()()()x x x l l l ==时，由定理3可得下面结论．
推论2：设二阶变系数非齐次线性微分方程(1)满足12()()()p x x x l l =+，2()()()q x x x l l ¢=+，则方程
(1)通解为()d ()d 12e [(()e d )d ]x x x x y f x x c x c l l -ò
ò=++òò． 当12()()()x x x l l l =-=时，由定理3可得下面结论．
推论3： 设二阶变系数非齐次线性微分方程(1)满足()0p x =，2()()()q x x x l l ¢=-+，则方程(1)通解为()d 2()d ()d 12e [e (()e d )d ]x x x x x x y f x x c x c l l l --òòò=++òò．
当1()x a l =(a 为常数)，2()()x x l l =时，由定理3可得下面结论．
推论4：设二阶变系数非齐次线性微分方程(1)满足()()p x a x l =+，()()q x a x l =(其中a 为常数)，则方程(1)通解为()d ()d 12e [e (()e d )d ]ax x x x x ax y f x x c x c l l --òò=++òò．
参考文献：
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[2] 梁洪亮，徐华伟.一类二阶变系数常微分方程的初等解法[J].数学的实践与认识，2009，39(20)：213-216.
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【责任编辑 王云鹏】
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【责任编辑 王云鹏】
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1T T T T 1121T T 22
3*m m m m -++éù£+êúëûPDD P E E 0P P K E E K K E E K ， (18) 同1<0P 处理方法一样，左右两边同乘11diag{,}--P P ，则闭环系统是指数渐近稳定的. 由Schur 补引理[6]可知(18)等价于式(13)，即有结论成立.
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【责任编辑 王云鹏】。