重积分9(xtk)29页PPT

aa
n 1 a
证 b d xx (x y )n 2f(y )d y aa
y b
yx
bd yb(xy)n 2f(y)d x ay
a
D
a b f(y ) d y [n 1 1 (x y )n 1 ] b y o a
bx
1 b (by)n 1f(y)d y 证毕. n 1a
重积分9(xtk)
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
7
第九章 重积分 习题课
北方交大考试题（96级）
求柱面 y2z22z被锥面 y2z2x2
所截下部分的面积.
解
求交线
y2 y2
z2 z2
2z x2
x 2z
z
外 面 部
先算前面部分的面积A1
分
O
由 y2z22z
x
y
y 2zz2
yx0, yz
1z , 2zz2
1yx 2yz 22z1 z2
8
第九章 重积分 习题课
1
x3
1
x3
1
x
1
y
dx 11x d x1f(x 2 y 2 )d (x 2 y 2 )
1
x3
2 1 x 3
11x(1x3)dx 1 2 1 1x F (x 2 y 2 )x 1 3d x
2 11x [F (x 2 1 ) F (x 2 x 6 )d x ]
5 2 1
3. 会用重积分求一些几何量与物理量.
3
第九章 重积分 习题课
二、典型例题
北方交大考试题（95级）
例 计 y x 算 2 d .其 D : 1 中 x 1 , 1 y 1 .
D
解 先去掉绝对值符号,如图
y y x2
1
y先x对2dy积分简单
DD1
D
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(yx2)d (x2y)d
O D2
x
D
x [1 y(x f2y2)d ] x d y
D 1
x [1 y(x f2y2)d ] x d y
2 1 1 [ x ( x F 2 1 ) x ( x F 2 x 6 )d x ]
5 2 1奇函数
奇函数
20 2
5
5
13
第九章 重积分 习题课
法二 作曲线 yx（3 画第二象限部分）
y 1 y x3
（如图）分区 D为 域 D 1,D 2两部 . 分 D1
则有 x [1 y(x f2y2)d ] x d y 1D2 O
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
第九章 重 积 分
习题课
教学要求 典型例题
2
第九章 重积分 习题课
一、教学要求
1. 理解二重积分、三重积分的概念, 了解 重积分的性质.
2. 掌握二重积分的计算法(直角坐标、极 坐标)，了解三重积分的计算法（直角坐标、 柱面坐标、球面坐标).
y 1 y x3
一些技巧.
法一 x [1 y(x f2y2)d ] x d y1 O
•
1x
D
xdxdyx (yx2fy2)d xd y
D
D
1xdx1dy1x d x1y(f x2y2)d y
1
x3
1
x3
12
第九章 重积分 习题课
记 F (u)uf(t)d t
1xdx1dy1x d x1y(f x2y2)d y 0
1
f(xy)d x d y f(u )d u
xy 1
1
y1
证 法一 f(xy)dxdy
xy1
1
1 o
x
0 d x1 xf(x y )d y1d x1xf(xy)d y 1
1 1 x
0 x 1
令xyu0d x12xf(u)d u1dx1 f(u)du
dydu 1 1
0 2x1
u
1
u1
1
1duu21f(u)dx
f(u)du
1
2
1 u12x
1 o 1 x
u2x1
1
10
第九章 重积分 习题课
1
f(xy)dxdy1f(u)du
xy1
法二 变换 xyu, xyv
u
xuv, yuv
2
2
x x 1 1
1
1 o 1 v
1
J(x, y) (u,v)
u y
v y
2 1
2 1
1 2
解 x2y2d
D
a(1co)s
2d
a
d
2
1 3 2 2a3[1 (co )3 s1]d
a3(22)
92
y a (1c o)s
a
Oa
2a
6
第九章 重积分 习题课
例 证明
b d x x ( x y ) n 2 f ( y ) d y 1 b ( b y ) n 1 f ( y ) d y
1yx 2yz 22z1 z2
A 1 D xz 1 y x 2 y z 2 d x d z D xz2 z 1 z 2 d x d z
2
2z
dz
1 dx
0 2z 2zz2
8
0z2
x
x22z
A2A116
O
2z
9
第九章 重积分 习题课
北方交大考试题期中(97级)
例 设函数f (u)连续,证明
u v 2 2
f(xy)dxdy f(u)1dudv
xy1
D
2
11
f(u)du1dv
1
f(u)du
21
1
1
11
第九章 重积分 习题课
例 计 x [ 1 算 y(x f 2 y 2 )d x ] d y ,其中 D是由
yx3,yD 1,x1所围成的 , f是区 连续域 函数.
解 由于被积函数含有抽象函数, 故无法直接积出. 因此要采用
1
1
x
D1
D2
1 1 d xx 1 2(yx2)d y 1 1 dx x 1 2(x2y)dy
12 5
4
第九章 重积分 习题课
北方交大考试题（94级）
练习 计 算 c o x sy)(d x d y
D
解其 cD o x 中 s (x (y ,)y ) d0 xd yx2,0 y2 2 y D2
D
D1
2
coxs(y)dxdy coxs(y)dxdyo x y x
D 1
D2
2
x
2d x2 00
co x sy)(d y02dx2xcoxs(y)dy
2
2
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第九章 重积分 习题课
例 计算 x2y2d.其D 中 是由心脏
a (1 c D o )和 s 圆 a 所围 (取 的 圆 )． 面