压电主动层在梁振动控制中共25页文档
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l
Ak csio nkskll sch hkkll
3
2.5
l
…
k
(k0.5)
l
School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA
将 W(x,t)表达式代入简化的振动方程有：
k 1 W k(x )q k(t) k 1k 2 W k(x )q k(t) d 2 x E 2 i (13)
再将W(x,t)表达式代入复合梁的初始条件式(8)有：
qk(0)0 qk(0)0
(15)
School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA
4.2 控制率的选取
(1) 位移反馈
为了使复合材料梁的振动得到抑制，在设计控制 率时采用位移作为反馈项，即改变系统的刚度特 性，从而Ei的表达式可设计为：
M (1 21 2hhssha)B1azdz1 21 2hh ssB1szdz1 2(h 1 2shsha)Bzazdz
(1 21 2hhssha)BE1az 2 xw 2eijEizdz1 21 2hh ssBE1sz 2 xw 2zdz1 2(h 1 2shsha)BE1az 2 xw 2eijEizdz
w(x,0)0
w(x,0)0
School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA
4 复合梁的自由振动方程的求解及 其控制律
4.1 分离变量法 采用分离变量法求解上方程，为此设：
w(x,t) Wk(x)qk(t)(11) k1
式中 Wk(x)为模态方程。
3 复合梁的边界条件和初始条件
(1) 边界条件 当x=0时：
当θ=0时
w(0,t)0 w'(0,t)0 (8)
当x=L时：
w(l,t)0 w(l,t)0(9)
当M=0时
ห้องสมุดไป่ตู้
当Q=0时
School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA
(2) 初始条件 当t=0时：
压电主动层在梁振动控制中
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA
对于悬臂梁其形式可用如下表达式表示：
W k ( x )2 lco k x c sk h x A k (s k x is n k h x )
(12) 式中：
1
0.597
l
2
1.49
2w M ax2M bEi
(3)
Ei VH(x)haH(xl)
School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA
其中：
M a 2 3 B E 1 s 1 2 h s 3 2 3 B E 1 a 1 2 h s h a 3 1 2 h s 3
方程式两边同时乘以 Wk(x),对两边进行0～L积分， 再根据自然振型的正交性有：
School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA
qk(t)k2qk(t)
l
d
0
2Ei x2
Wk(x)dx
l
0dEi(H(x)H(xl))Wk(x)dx
dEi(H(x)H(xl))Wk(x)
2 复合材料梁自由振动的微分方程
根据梁微元的分析，其横向的振动方程可以用下 式表示：
School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA
Aw Qf(x,t)0
x
M
(1)
Q
x
其中： Q为剪力， M为弯矩， f(x,t)为为单位长 度上的横向载荷。
压电主动层在梁振动控制中的应用
赵寿根 航空科学与工程学院
School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA
1 分析对象及条件
设如图所示复合材料梁，它由三部分组成分别为 上下 ha厚度的压电层，中间为hs厚度的本体结构 层。
School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA
MbBeijE1 a( ha 2 hsha)
E EHx Hxl 1 a1 a () () 为材料弹性模量
School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA
其中 H(x)为海维赛德函数，其定义如下：
0 xa H(xa) 1 xa
将(3)式代入梁的振动方程(2)式中有：
A 2 tw 2M a x 4w 4 M b E xi2 2 (6)
School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA
将上(6)式化简有：
2 tw 2 c x 4w 4 d E xi2 2 (7)
其中：
c Ma
A
d Mb
A
School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA
School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA
对于自由振动令f(x,t)=0,从而上式(1)简化为：
Aw 2M0
(2)
x2
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对于弯矩M，可有下式得：
l0
l
0dEiW(x)(H(x)H(xl))dx
dEiW(x)(H(x)H(xl))
l0
l
0dEiW(x)(H(x)H(xl))dx
dEi(W(l)W(0))
dEiW(l)
其中： k kc
(14)
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2.5
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k
(k0.5)
l
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将 W(x,t)表达式代入简化的振动方程有：
k 1 W k(x )q k(t) k 1k 2 W k(x )q k(t) d 2 x E 2 i (13)
再将W(x,t)表达式代入复合梁的初始条件式(8)有：
qk(0)0 qk(0)0
(15)
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4.2 控制率的选取
(1) 位移反馈
为了使复合材料梁的振动得到抑制，在设计控制 率时采用位移作为反馈项，即改变系统的刚度特 性，从而Ei的表达式可设计为：
M (1 21 2hhssha)B1azdz1 21 2hh ssB1szdz1 2(h 1 2shsha)Bzazdz
(1 21 2hhssha)BE1az 2 xw 2eijEizdz1 21 2hh ssBE1sz 2 xw 2zdz1 2(h 1 2shsha)BE1az 2 xw 2eijEizdz
w(x,0)0
w(x,0)0
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4 复合梁的自由振动方程的求解及 其控制律
4.1 分离变量法 采用分离变量法求解上方程，为此设：
w(x,t) Wk(x)qk(t)(11) k1
式中 Wk(x)为模态方程。
3 复合梁的边界条件和初始条件
(1) 边界条件 当x=0时：
当θ=0时
w(0,t)0 w'(0,t)0 (8)
当x=L时：
w(l,t)0 w(l,t)0(9)
当M=0时
ห้องสมุดไป่ตู้
当Q=0时
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(2) 初始条件 当t=0时：
压电主动层在梁振动控制中
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
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对于悬臂梁其形式可用如下表达式表示：
W k ( x )2 lco k x c sk h x A k (s k x is n k h x )
(12) 式中：
1
0.597
l
2
1.49
2w M ax2M bEi
(3)
Ei VH(x)haH(xl)
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其中：
M a 2 3 B E 1 s 1 2 h s 3 2 3 B E 1 a 1 2 h s h a 3 1 2 h s 3
方程式两边同时乘以 Wk(x),对两边进行0～L积分， 再根据自然振型的正交性有：
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qk(t)k2qk(t)
l
d
0
2Ei x2
Wk(x)dx
l
0dEi(H(x)H(xl))Wk(x)dx
dEi(H(x)H(xl))Wk(x)
2 复合材料梁自由振动的微分方程
根据梁微元的分析，其横向的振动方程可以用下 式表示：
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Aw Qf(x,t)0
x
M
(1)
Q
x
其中： Q为剪力， M为弯矩， f(x,t)为为单位长 度上的横向载荷。
压电主动层在梁振动控制中的应用
赵寿根 航空科学与工程学院
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1 分析对象及条件
设如图所示复合材料梁，它由三部分组成分别为 上下 ha厚度的压电层，中间为hs厚度的本体结构 层。
School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA
MbBeijE1 a( ha 2 hsha)
E EHx Hxl 1 a1 a () () 为材料弹性模量
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其中 H(x)为海维赛德函数，其定义如下：
0 xa H(xa) 1 xa
将(3)式代入梁的振动方程(2)式中有：
A 2 tw 2M a x 4w 4 M b E xi2 2 (6)
School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA
将上(6)式化简有：
2 tw 2 c x 4w 4 d E xi2 2 (7)
其中：
c Ma
A
d Mb
A
School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA
School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA
对于自由振动令f(x,t)=0,从而上式(1)简化为：
Aw 2M0
(2)
x2
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对于弯矩M，可有下式得：
l0
l
0dEiW(x)(H(x)H(xl))dx
dEiW(x)(H(x)H(xl))
l0
l
0dEiW(x)(H(x)H(xl))dx
dEi(W(l)W(0))
dEiW(l)
其中： k kc
(14)
School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA