5.8 三元一次方程组-知识考点梳理 北师大版数学八年级上册课件

5.8 三元一次方程组
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归纳总结
考
点
解三元一次方程组时，先观察三个方程系数的特点及整
清
单 个式子的特点，灵活选用代入消元法和加减消元法将方程组
解
读 转化为二元，达到消元目的.
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考
点
清
单
解
读
对点典例剖析
典例1
+ + = ①，
解方程组： ൞ − = ②，
重
难
题 出三个未知量，再找出这三个未知量之间的等量关系，根
型 据等量关系列出三元一次方程组.
突
破
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方 ■用参数法解三元一次方程组
法
参数法：当方程组中未知数以比例的形式出现时，可设
技
巧 1 份为 k，再用 k 表示各未知数，最后将其代入一个方程
点
拨 中，可以求得 k 的值，进一步求出各未知数的值.
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方
法
技
巧
点
拨
例
∶ = ∶ ①,
解方程组：൞ ∶ = ∶ ②，
+ + = ③，
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［答案］ 解：解法一（代入法）：由方程①，得
方
法
技 4x=3y，即 x= y④.由方程②，得 4z=5y，即 z= y⑤.
考
点
清
单
Байду номын сангаас＋＝①，
解
读 入已知等式中计算即可求出 a 的值．൞＋＝②，
＋＝③
①+②+③，得 2（x＋y＋z）＝12a，即 x＋y＋z＝6a④
，
④－①，得 z＝3a，④－②，得 x＝a，
④－③，得 y＝2a，
将 x ＝a，y ＝2a，z ＝3a 代入 x －2y ＋3z ＝

－10 中，得 a－4a＋9a＝－10，解得 a＝－ ．
+ − = ③，
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考
点
清
单
解
读
［解题思路］
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5.8 三元一次方程组
考
点
清
单
解
读
［答案］ 解：①+③，得 3x+2y=43④，
− = ，
②④联立，得ቊ
+ = ,
= ，
= ，
解得ቊ
把 ቊ
代入①，得 z=6，
= ,
果他们同时从同一地点同向而行，那么 5 min 后甲在乙的
前方 200 m，并且他们的相遇规律变成了每隔 100 min 相
遇一次.求甲的速度和环形道路的长度.
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［答案］ 解：设甲的速度为 x m/min，乙的速度为 y
重
难
题 m/min，环形道路的长度为 s m.
型
突


巧
点


拨 把④和⑤代入③，得 y+y+ y=36，解得 y=12.把 y=12
分别代入④和⑤，得 x=


×12=9，z=
= ，
所以原方程组的解为ቐ = ,
= .


×12=15，
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解法二（参数法）：由①②，得 x∶y∶z=3∶4∶5.
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● 考点清单解读
● 重难题型突破
● 方法技巧点拨
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考
点
清
单
解
读
■考点
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三元一次方程（组）及其解法
1. 三元一次方程（组）
定义
三元一次方程
三元一次方程组
含有三个未知数，并且
共含有三个未知数的三
所含未知数的项的次
个一次方程所组成的一
数都是 1，这样的方程
+ = ，
破
= ，
依题意，得ቐ − = ， 解得ቐ = ,
− = ，
= .
答：甲的速度为 220 m/min，环形道路的长度为 4 000
m.
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变式衍生
小红在学校商店买了 3 支钢笔，1 本练习
重
难
题 本，2 支中性笔共花 13 元，小颖买了 2 支钢笔，4 本练
型 习本，3 支中性笔共花17 元，小明打算在该商店买 20 支
突
破 钢笔，20 本练习本，20 支中性笔，他只有 120 元的压岁
钱，请你帮他算一下，他的钱够吗？
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重
难
题
型
突
破
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解：设钢笔每支 a 元，练习本每本 b 元，中
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续表
考
点
清
单
解
读
求解 解得到的二元一次方程组，求出两个未知数的值
将求出的两个未知数的值代入原方程组中
回代 的一个系数较简单的方程中，得到一个一元一次
方程
步
骤 求第
三解
写解
解所得的一元一次方程，得到第三个未知数的值
将所得的三个未知数的值用大括号联立起
来，即得原方程组的解
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考
点
清
单
解
读
［答案］

－

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重 ■题型 利用三元一次方程组解决实际问题
难
例
甲、乙两人在某环形道路上跑步，假设他们在跑
题
型 步过程中各自保持一定的速度不变.如果他们同时从同一地
突
破 点而行，那么就会形成每隔 10 min 相遇一次的规律；如
= ,
= ，
故原方程组的解为ቐ = ,
= .
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考
点
清
单
解
读
典例2
＋＝，
已知方程组 ቐ＋＝， 的解 使代数式
＋＝
x－2y＋3z的值等于－10，则a 的值为 ______.
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［解题思路］把 a 看作已知数，求出方程组的解，再代
3 + + 2＝13①,
性笔每支 c 元，则ቊ
2a + 4b + 3c＝17②，
①＋②得，5a＋5b＋5c＝30，所以 20a＋20b＋20c
＝4×30＝120（元），即 120 元的压岁钱够买 20 支钢
笔，20 本练习本，20 支中性笔.
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解题通法
三元一次方程组的实际应用，一般需要设
组方程，叫做三元一次
叫做三元一次方程
方程组
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续表
考
点
清
单
解
读
条件
（1）是整式方程；
（1）方程组中共有三
（2）方程中共含有三
个未知数；
个
（2）含有未知数的项
未知数；
的次数都是 1；
（3）含有未知数的项
（3）是整式方程；
的
（4）方程组中一共含
次数都是1
有 3个方程
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考
点
清
单
解
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2. 三元一次方程组的解法
基本
思路
通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转
化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元
一次方程组，进而再转化为解一元一次方程
利用代入法或加减法，把方程组中一个方
步骤 变形
程与另外两个方程分别组成两组，消去两
组中的同一个未知数，得到关于另外两个
未知数的二元一次方程组