高中物理第1章章末小结与测评学案鲁科版选修35

章末小结与测评
矢量性：与速度的方向一致
动量p＝mv状态量：与某一时刻或某一位
两个根本
概念置对应
矢量性：与力的方向一致
冲量I＝Ft
过程量：与一段时间对应
内容：物体所受合力的冲量等于
动量定理物体动量的改变量
表达式：
I ＝′－
mvmv
内容：一个系统不受外力或者所
动
受合外力为零，这个系统的
量两个根本
总动量保持不变
条件：1不受外力
守规律
2
恒
动量守恒合外力为零
定律3内力远大于外力
研
4
究
某一方向上合外力为零
表达式：p＝p′，p＝0，
m1v1＋m2v2＝m1v1′＋
m2v2′
弹性碰撞
两种典型碰撞非弹性碰撞
现象完全非弹性碰撞
反冲
火箭
动量守恒定律的应用爆炸问题
某一方向动量守恒问题
求恒力和变力冲量的方法
1
1.恒力的冲量计算
恒力的冲量可直接根据定义式来计算，即用恒力F乘以其作用时间t求得。

2．方向恒定的变力的冲量计算
假设力F的方向恒定，而大小随时间变化的情况如下列图，那么该力在时间t＝t2－t1内的
冲量大小在数值上就等于图中阴影局部的“面积〞。

3．一般变力的冲量计算
在中学物理中，一般变力的冲量通常是借助于动量定理来计算的。

4．合力的冲量计算
几个力的合力的冲量计算既可以先算出各个分力的冲量后再求矢量和，又可以先算出各
个分力的合力再算合力的冲量。

1.物体A和B用轻绳相连在轻质弹簧下静止不动，如图甲所示，A的质量
为m，B的质量为M。

当连接A、B的绳突然断开后，物体A上升经某一位置时
的速度大小为v A，这时物体B下落的速度大小为v B，如图乙所示。

这段时间
里，弹簧的弹力对物体A的冲量为多少？
解析：此题中弹簧弹力是变力，时间又是未知量，显然，不能直接从冲
量的概念I＝Ft入手计算，只能用动量定理求解。

对物体A由动量定理得I－mgt＝mv A①
对物体B由动量定理得Mgt＝Mv B②
由①②式得弹簧的弹力对物体A的冲量为
＝mv A＋mv B。

答案：mv A＋mv B
多体与临界问题
多体问题
对于两个或两个以上的物体组成的系统，涉及的物体较多，相互作用的情况比较复杂，
此时仍然可以对始末状态建立动量守恒的方程进行求解；但有时由于未知条件过多可能无法
求解，这种情况下可以根据作用过程中的不同阶段建立多个动量守恒的方程，或者将系统内
的物体按照相互作用的关系分成几个小系统，分别建立动量守恒的方程。

2．临界问题
2
在动量守恒定律的应用中， 常常会遇到相互作用的两物体相距最近、 防止相碰和物体开
始反向运动等临界问题。

这类问题的求解关键是充分利用反证法、极限法分析物体的临界状态，挖掘问题中隐含的临界条件，选取适当的系统和过程，运用动量守恒定律进行解答。

2．机器人甲、乙各乘一辆小车在光滑水平面上匀速相向行驶，速度均为 6m/s 。

甲乘 的小车上有质量为 m ＝1kg 的小球假设干个，甲和它的车及所带小球的总质量 M 1＝50kg ，乙 和它的车总质量 M
2＝30kg 。

现为防止相撞，甲不断地将小球以相对地面 m/s 的水平速 度抛向乙，且被乙接住。

假设某一次甲将小球抛出且被乙接住后刚好可保证两车不致相撞， 此时： 两车的速度大小各为多少？
甲总共抛出了多少个小球？解析：两车刚好不相撞的条件是某次甲抛出球后的速度与乙接住该球后的速度相等。

无 论是甲抛球的过程，还是乙接球的过程，或是整个过程动量均守恒。

甲、乙两机器人及两车组成的系统总动量守恒。

沿甲车的运动方向，甲不断抛球、 乙接球后，当甲和小车与乙和小车具有共同速度时，可保证刚好不相撞。

设共同速度为 v ，
那么M 1v
1－M 2v
1＝(M 1＋M 2)
v
1
－2
20
v ＝
M
M
×6m/s ＝m/s 。

v 1＝
M ＋M
80
1 2
这一过程中乙及车的动量变化大小
p ＝30×6kg ·m/s －30×(－1.5)kg ·m/s
225kg ·m/s
每一个小球被乙接住后，最终的动量变化大小 p 1＝×1kg ·m/s －×1kg ·m/s ＝15kg ·m/s
故小球的个数 n ＝
p 225
p ＝ ＝15。

15
1
答案：m/s (2)15个
动量和能量的综合问题
利用动量和能量的观点解题时应注意以下问题：
动量定理和动量守恒定律是矢量表达式，它们可以写出分量表达式；动能定理和能量守恒定律是标量表达式，没有分量表达式。

动量守恒定律和能量守恒定律，是自然界中最普遍的规律，它们研究的是物体系统。

在力学中解题时必须注意动量守恒的条件和机械能守恒的条件， 在应用这两个定律时， 当确
定了研究的对象和运动状态变化的过程后， 可根据问题的条件和要求解的未知量， 选择
3
研究的两个状态列方程求解。

(3)中学阶段凡可以用力和运动的观点解决的问题，假设用动量的观点或能量的观点求解，
一般都要比用力和运动的方法简便。

假设涉及曲线运动(a恒定)、竖直面内的圆周运动、碰撞等，一般不能单纯考虑用力和运动的方法求解。

3．两质量分别为1和2的壁
A 和，高度相同，放在光滑水平面上，
A
和
B
的倾斜面
M M B
都是光滑曲面，曲面下端与水平面相切，如下列图，一质量为m的物块位于壁A的倾斜面上，
距水平面的高度为h。

物块从静止滑下，然后又滑上壁B。

求物块在B上能够到达的最大高
度。

解析：设物块到达壁A的底端时，物块和A的速度大小分别为v和V，由机械能守恒和
动量守恒得
1 212
mgh＝2mv＋2M1V①
M1V＝mv②
设物块在壁B上到达的最大高度为h′，此时物块和B的共同速度大小为V′，由机械
能守恒和动量守恒得
12212
mgh′＋2(M＋m)V′＝2mv ③
mv＝(M2＋m)V′④
联立①②③④式得
M1M2
h′＝M＋m M＋m h。

12
M1M2
答案：
M1＋m M2＋m
h
(时间：60分钟总分值：100分)
一、选择题(共8小题，每题6分，共48分)
1．在以下几种现象中，所选系统动量守恒的有()
A．原来静止在光滑水平面上的车，从水平方向跳上一个人，人车为一系统
B．运发动将铅球从肩窝开始加速推出，以运发动和铅球为一系统
C．从高空自由落下的重物落在静止于地面上的车厢中，以重物和车厢为一系统
D．光滑水平面上放一斜面，斜面也光滑，一个物体沿斜面滑下，以物体和斜面为一系
4
统
解析：选A判断动量是否守恒的方法有两种：第一种，从动量守恒的条件判定，动量
守恒定律成立的条件是系统受到的合外力为零，故分析系统受到的外力是关键；第二种，从
动量的定义判定。

B选项表达的系统，初动量为零，末动量不为零。

C选项末动量为零，而
初动量不为零。

D选项，在物体沿斜面下滑的过程中，向下的动量增大。

应选A。

2．物体动量变化量的大小为5kg·m/s，这说明()
A．物体的动量在减小
B．物体的动量在增大
C．物体的动量大小也可能不变
D．物体的动量大小一定变化
解析：选C动量是矢量，动量变化了5kg·m/s，物体动量的大小可能在增加，也可能在减小，还可能不变，如物体以大小为5kg·m/s的动量做匀速圆周运动时，物体的动量
大小保持不变，当末动量方向与初动量方向间的夹角为60°时，物体的动量变化量的大小
为5kg·m/s。

3．一中子与一质量数为A(A＞1)的原子核发生弹性正碰。

假设碰前原子核静止，那么碰撞
前与碰撞后中子的速率之比为()
A＋1A－1
A.
A－1 B.A＋1
C.
4A
2 D.
A＋1
＋1－1
A A
2
2
解析：选A中子和原子核发生弹性正碰，动量守恒、能量守恒，那
么＝1＋
12
2，
mv mv Amv2mv
1212v A＋1
＝mv1＋Amv2，联立方程可得：＝，选项A正确，选项B、C、D错误。

22v1A－1
4．、两球在光滑水平面上沿同一直线、同一方向运动，A＝1kg，B＝2kg，A＝6m/s，AB m m v
v＝2m/s。

当A追上B并发生碰撞后，A、B两球速度的可能值是()
B
A．v A′＝5m/s，v B′＝m/s
B．v A′＝2m/s，v B′＝4m/s
C．v A′＝－4m/s，v B′＝7m/s
D．v A′＝7m/s，v B′＝m/s
解析：选B虽然题中四个选项均满足动量守恒定律，但A、D两项中，碰后A的速度v A′大于B的速度v B′，不符合实际，即A、D项均错误；C项中，两球碰后的总动能为E k后
＝1m A v A
′2＋
1
m B v B′2＝57J，大于碰前的总动能E
k前＝22J，违背了能量守恒，所以C项错；22
而B项既符合实际情况，也不违背能量守恒，所以B项对。

5
5．质量为M 的原子核，原来处于静止状态，当它以速度
v 放出质量为m 的粒子时(设v
方向为正)，剩余局部速度为(
)
mv mv
A.M －m B ．－M －m
Mv mv
C.
M －m
D ．－M
解析：选B
由于原子核原来处于静止状态，因此系统总动量为零，原子核放出粒子的
过程中，动量守恒。

由动量守恒定律得：0＝
＋(－)
′
mv Mmv
解得v ′＝－
mv。

M －m
6．[多项选择](2021·全国卷Ⅲ)一质量为2kg 的物块在合外力
F 的
作用下从静止开始沿直线运动。

F 随时间t 变化的图线如下列图，那么
()
A ．t ＝1s 时物块的速率为
1m/s
B ．t ＝2s 时物块的动量大小为 4kg ·m/s
C ．t ＝3s 时物块的动量大小为 5kg ·m/s
D ．t ＝4s 时物块的速度为零
解析：选AB 法一：根据F -t 图线与时间轴围成的面积的物理意义为合外力
F 的冲量，
可知在0～1s 、0～2s 、0～3s 、0～4s
2N ·s ，应用动量定理 I ＝mv 可知物块在
内合外力冲量分别为 2N ·s 、4N ·s 、3N ·s 、
1s 、2s 、3s 、4s 末的速率分别为 1m/s 、2
m/s 、m/s 、1m/s ，物块在这些时刻的动量大小分别为 2kg ·m/s 、4kg ·m/s 、3kg ·m/s 、
2kg ·m/s ，那么A 、B 项正确，C 、D 项错误。

1
2
法二：前 2s 内物块做初速度为零的匀加速直线运动，加速度
1
F
2
2
a ＝m ＝ 2m/s ＝1
m/s ，
t ＝1s 时物块的速率v ＝a
t
＝1m/s ，A 正确；t ＝2s 时物块的速率
v ＝at ＝2m/s ，动
1
1 1
2
1 2
量大小为p ＝mv ＝4kg ·m/s ，B 正确；物块在2～4s 内做匀减速直线运动，加速度的大小
2 2
为a 2＝
F 2
＝m/s 2，t ＝3s
时物块的速率v 3＝v 2－a 2t 3＝(2－×1)m/s ＝m/s ，动
m
量大小为p 3＝mv 3＝3kg ·m/s ，C 错误；t ＝4s 时物块的速率 v 4＝v 2－a 2t 4＝(2－×2)m/s
＝1m/s ，D 错误。

7．[多项选择]在光滑水平面上， 动能为E k0、动量大小为 p 0的小钢球1与静止小钢球 2发生
碰撞，碰撞前后球 1的运动方向相反，将碰撞后球 1的动能和动量的大小分别记为 E k1、p 1，
球2的动能和动量的大小分别记为 E k2、p 2，那么必有( )
A ．E k1<E k0
B ．p 1<p 0
6
C．E k2>E k0D．p2＜p0
解析：选AB两个钢球在相碰过程中同时遵守能量守恒和动量守恒，由于外界没有能
量输入，而碰撞中可能产生热量，所以碰后的总动能不会超过碰前的总动能，即E＋E≤E，
k1k2k0
p1
2p0
21原来的运动
A正确，C错误；另外，A选项也可写成2＜2，B正确；根据动量守恒，设球
m m
方向为正方向，有2－1＝0，D错误。

p p p
8.[多项选择]小车AB静置于光滑的水平面
上，A端固定一个轻质弹簧，
B端粘有橡皮泥，小车质量为M，长为L。

质量为m的木块C放在小车上，
用细绳连结于小车的A端并使弹簧
压缩，开始时小车AB与C都处
于静止状态，如下列图。

当突然烧断细绳，弹簧被释放，使
木块C向B端冲去，并跟B端橡
皮泥粘在一起，以下说法
中正确的选项是()
A．如果小车AB内外表光滑，整
个系统任何时刻机械能都守恒
m
B．当木块对地运动速度大小为v时，小车对地运动速度大小为v
M C．整个系统最后静止
D．木块的位移一定大于小车的位移
解析：选BC因水平地面光滑，小车、木块、弹簧组成的系统动量守恒，有mv＝Mv，
12
1＝2，因不知、的大小关系，故无法比较
s 1、2的大小关系，但当木块
C
与
B
端碰撞
ms Ms mM s
后，系统总动量为零，整体又处于静止状态，故B、C均正确，D错误；因木块C与B端的
碰撞为完全非弹性碰撞，机械能损失最大，故A错误。

二、非选择题(共4小题，共52分)
9．(12分)现利用图(a)所示的装置验证动量守恒定律。

在图(a)中，气垫导轨上有A、B
两个滑块，滑块A右侧带有一弹簧片，左侧与穿过打点计时器(图中未画出)的纸带相连；滑
块B左侧也带有一弹簧片，上面固定一遮光片，光电计时器(未完全画出)可以记录遮光片通过光电门的时间。

实验测得滑块A的质量m1＝kg，滑块B的质量m2＝kg，遮光片的宽度d＝cm；打点计时器所用交流电的频率f＝Hz。

将光电门固定在滑块B的右侧，启动打点计时器，给滑块A一向右的初速度，使它与B
相碰。

碰后光电计时器显示的时间为t B＝ms，碰撞前后打出的纸带如图(b)所示。

7
碰撞前后总动量之差
假设实验允许的相对误差绝对值×100%最大为5%，本实验是否在误碰前总动量差范围内验证了动量守恒定律？写出运算过程。

解析：按定义，滑块运动的瞬时速度大小
s v＝①
t
式中s为滑块在很短时间t内走过的路程。

设纸带上打出相邻两点的时间间隔为t，那么
A
1
t A＝f＝s②
t A可视为很短。

设滑块A在碰撞前、后瞬时速度大小分别为v0、v1。

将②式和图给实验数据代入①式得
v0＝m/s③
v1＝m/s④
设滑块B在碰撞后的速度大小为v2，由①式有
d
v2＝⑤
t B
代入题给实验数据得v2＝m/s⑥
设两滑块在碰撞前、后的总动量分别为p和p′，那么
p＝m1v0⑦
p′＝m1v1＋m2v2⑧
两滑块在碰撞前后总动量相对误差的绝对值为
－′
×100%⑨
δp＝p
联立③④⑥⑦⑧⑨式并代入有关数据，得
p＝1.7%<5%⑩
因此，本实验在允许的误差范围内验证了动量守恒定律。

答案：见解析
10．(12分)如下列图，甲、乙两船的总质量(包括船、人和货物)分别为10m、12m，两
船沿同一直线同一方向运动，速度分别为2v0，v0。

为防止两船相撞，乙船上的人将一质量
为m的货物沿水平方向抛向甲船，甲船上的人将货物接住，求抛出货物的最小速度。

(不计
水的阻力)
解析：设乙船上的人抛出货物的最小速度大小为v min，抛出货物后船的速度为v1，甲船
8
上的人接到货物后船的速度为 v 2，由动量守恒定律得
12mv 0＝11mv 1－mv min
10m ×2v 0－mv min ＝11mv 2
为防止两船相撞，应满足 v 1＝v 2
联立以上三式得 v min ＝4v 0。

答案：4v 0
11．(14分)(2021·全国卷Ⅰ )某游乐园入口旁有一喷泉，喷出的水柱将一质量为 M 的
卡通玩具稳定地悬停在空中。

为计算方便起见，假设水柱从横截面积为 S 的喷口持续以速度 v 0竖直向上喷出；玩具底部为平板 (面积略大于 S )；水柱冲击到玩具底板后，在竖直方向水
的速度变为零，在水平方向朝四周均匀散开。

忽略空气阻力。

水的密度为 ρ，重力加
速度大小为 g 。

求：
喷泉单位时间内喷出的水的质量；
玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度。

解析：(1)设 t 时间内，从喷口喷出的水的体积为 V ，质量为 m ，那么
m ＝ρ V ① V ＝v 0S t ②
由①②式得，单位时间内从喷口喷出的水的质量为
m t ＝ρv 0
S 。

③
(2)设玩具悬停时其底面相对于喷口的高度为 h ，水从喷口喷出后到达玩具底面时的速
度大小为v 。

对于 t 时间内喷出的水，由能量守恒得
1 2 1 22( m )v ＋( m )gh ＝2( m )v 0
④
在h 高度处， t 时间内喷射到玩具底面的水沿竖直方向的动量变化量的大小为
p ＝( m )v ⑤
设水对玩具的作用力的大小为 F ，根据动量定理有
t ＝p ⑥
由于玩具在空中悬停，由力的平衡条件得
F ＝Mg ⑦
联立③④⑤⑥⑦式得
2v 0Mg
h ＝
2g －2ρ2v 02S 2。

2
2
答案：(1)ρv S (2)
v
Mg
2g －
2ρ
v 0S
2
2 2
12．(14分)如图，A 、B 、C 三个木块的质量均为 m ，置于光滑的水平桌面上， B 、C 之
间
9
有一轻质弹簧，弹簧的两端与木块接触而不固连。

将弹簧压紧到不能再压缩时用细线把B
和
C 紧连，使弹簧不能伸展，以至于、
C
可视为一个整体。

现
A
以初速度
v
0沿、
C
的连
B B
线方向朝B运动，与B相碰并粘合在一起。

以后细线突然断开，弹簧伸展，从而使C与A、
B别离。

C离开弹簧后的速度恰为v0。

求弹簧释放的势能。

解析：设碰后A、B和C的共同速度的大小为v，
由动量守恒得3mv＝mv0①
设C离开弹簧时，A、B的速度大小为v1，由动量守恒得
3mv＝2mv1＋mv0②
设弹簧的弹性势能为E p，从细线断开到C与弹簧分开的过程中机械能守恒，有121212
2(3m)v＋E p＝2(2m)v1＋2mv0③
由①②③式得弹簧所释放的势能为E p＝1
mv02。

3
12答案：3mv0
10
11。