四川省宜宾市李端中学2019年高三数学理模拟试题含解析

四川省宜宾市李端中学2019年高三数学理模拟试题含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设，则“”是“”的（）
Ａ. 充分不必要条件Ｂ. 必要不充分条件Ｃ. 充要条件Ｄ. 既不充分也不必要条件参考答案：
D
2. 下列命题中，真命题是（）
A.，使得
B.，有
C.，使得
D.，有
参考答案：
D
3. 若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（bmodm），例如10≡2
（bmod4）．下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的i等于（）
A．4 B．8 C．16 D．32
参考答案：
C
【考点】程序框图．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：模拟程序的运行，可得
n=11，i=1
i=2，n=13
不满足条件“n=2（mod 3）“，i=4，n=17，
满足条件“n=2（mod 3）“，不满足条件“n=1（mod 5）“，i=8，n=25，
不满足条件“n=2（mod 3）“，i=16，n=41，
满足条件“n=2（mod 3）“，满足条件“n=1（mod 5）”，退出循环，输出i的值为16．故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．
4. 过抛物线焦点的直线交该抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为4，则
A. 14 B．12 C.l0 D.8
参考答案：
B
5. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．2 B．4 C．6 D．12
参考答案：
A
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，
其底面面积S=（1+2）×2=3，
高h=2，
故体积V==2，
故选：A
6. 已知集合则下列结论正确的是 ( )
A．B．
C．D．
参考答案：
D
略
7. 给出下列命题：
(1)已知事件是互斥事件，若，则；
(2)已知事件是互相独立事件，若，则(
表示事件的对立事件)；
(3)的二项展开式中，共有4个有理项．
则其中真命题的序号是 ( )．
A．(1)、(2)．B．(1)、(3)． C．(2)、(3)． D．(1)、(2)、(3)．
参考答案：
D
8. 如图，在正三棱锥A-BCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE，且BC=1，则正三棱锥A-BCD的体积是（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
9. 若，，，则的最小值为（）
A．B． C. D．
参考答案：
B
由题意，
故选B.
10. 已知函数（其中）的一个对称中心的坐标为，一条对称轴方程为．有以下3个结论：
① 函数的周期可以为；
② 函数可以为偶函数，也可以为奇函数；
③ 若，则可取的最小正数为10．
其中正确结论的个数为
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如果执行如图所示的程序框图，输入，，则输出的数S＝_________．
参考答案：
略
12. （5分）（2015?兰山区校级二模）函数f（x）=2a x+1﹣3（a＞0且a≠1）的图象经过的定点坐标是．
参考答案：
（﹣1，﹣1）
【考点】：指数函数的单调性与特殊点．
【专题】：函数的性质及应用．
【分析】：利用a0=1（a≠0），取x=﹣1，得f（﹣1）的值，即可求函数f（x）的图象所过的定点．
解：当x=﹣1时，f（﹣1）=2a1﹣1﹣3=﹣1，
∴函数f（x）=2a x+1﹣3的图象一定经过定点（﹣1，﹣1）．
故答案为：（﹣1，﹣1）
【点评】：本题考查了含有参数的函数过定点的问题，自变量的取值使函数值不含参数即可求出其定点．
13. 已知函数和，若存在实数a使得
，则实数b的取值范围为__________．
参考答案：
[－1,5]
当时,
;当
时,,若存在使,则
,即,解得,故填.
点睛：本题考查学生的是函数的应用问题,属于中档题目.首先求出分段函数的值域,一段根据对数函数的单调性,另外一段利用对勾函数的性质以及基本不等式和反比例的值域求得,根据题意,即方程有解问题,从而限制的范围,解出不等式即可.
14. 已知三棱锥内接于球O，，，则球O的表面积为__________.
参考答案：
略
15. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙
两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，乙所得为_______钱.
参考答案：
由题意,设这五人所得钱分别为，
则，且，所以，
所以乙所得为钱.
16. 电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数的图象如图所示，则当时，电流强度是。

参考答案：
5
17. 已知随机变量服从正态分布
= 。

.
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知整数≥4,集合的所有3个元素的子集记为.（Ⅰ）当时,求集合中所有元素之和；
（Ⅱ）设为中的最小元素,设=,试求.
参考答案：
（1）解：当时，含元素1的子集有个，同理含的子集也各有6个,于是所求元素之和为……………………………………………5分（2）证明:不难得到，并且以1为最小元素的子集有个，以2为最小元素的子集有个，以3为最小元素的子集有，…，以为最小元素的子集有个,
则 (8)
分
……………………………………………………………………10分
略
19. （12分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，实验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性：
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．
用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查，剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到）．
附：若随机变量Z服从正态分布,则．
，．
参考答案：
（1）由题可知尺寸落在之内的概率为，落在之外的概率为．
由题可知
（2）（i）尺寸落在之外的概率为，
由正态分布知尺寸落在之外为小概率事件，
因此上述监控生产过程的方法合理．
（ii）
，需对当天的生产过程检查．
因此剔除
剔除数据之后：．
20. 如图所示，垂直矩形所在的平面，分别为的中点. (Ⅰ) 求证；
（Ⅱ）求证.
参考答案：
证明：(Ⅰ)取中点，连结、，
C
因为分别为的中点，所以，//=，……2分
又在矩形中//=，所以//=，
所以四边形是平行四边形，所以//=………5分又，，.所以…………7分（Ⅱ）因为，所以在矩形中
又，所以，…………11分因为所以，因为所以………13分略
21. 如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率是，A，B分别是C的上下顶点，点B在直线l：y=﹣1上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆上异于A，B的任意一点，PQ⊥y轴于Q点，M为线段PQ中点，直线AM 交直线l于点D，N为线段BD的中点，求证：MN⊥OM．
参考答案：
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
专题：向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（Ⅰ）根据椭圆的定义与几何性质，求出a、b的值即可；
（Ⅱ）设出点P的坐标，得出Q、M与N的坐标，表示出、，利用平面向量的数量积判断⊥即可．
解答：解：（Ⅰ）依题意，得=，b=1，
因为a2﹣c2=b2，
所以a2=4，
故椭圆C的方程为+y2=1；…
（Ⅱ）设P（x0，y0）（x0≠0），则Q（0，y0），
+=1；
因为M为线段PQ的中点，所以M（，y0），
又A（0，1），所以直线AM的方程为y=x+1，
令y=﹣1，得D（，﹣1），
又B（0，﹣1），N为线段BD的中点，所以N（，﹣1），
所以=（﹣，﹣1﹣y0），
所以?=（﹣）+y0（﹣1﹣y0）
=?﹣y0﹣（+）
=（1﹣）?﹣y0﹣1
=0，
所以⊥，
即MN⊥OM．…
点评：本题考查了平面向量的应用问题，也考查了椭圆的定义与几何性质的应用问题，考查了直线与椭圆的综合应用问题，是综合性题目．
22. （本小题满分12分）
对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，
随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数.
根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
（Ⅰ）求出表中及图中的值；
240人，试估
内的人数；
（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间内的概率.
参考答案：
解（Ⅰ）由分组内的频数是4，频率是0.1知，，所以
因为频数之和为，所以，.---4分因为是对应分组的频率与组距的商，所以----------6分（Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组内的频率是，
所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为人. -------------8分
（Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有人，设在区间内的人为，在区间内的人为. 则任选人共有
，
15种情况， ---------------------------10分
而两人都在内只能是一种，所以所求概率为----12分。