高中数学--必修5解答题第二章80题--(附答案)

必修５解答题第二章８０题
一、解答题
1、设数列{}n a 满足51=a ，n n a a 31=+，写出这个数列的前5项并归纳猜想通项公式。

2、根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
(1)－1,7，－13,19，… (2)0.8,0.88,0.888，…
(3)12，14，－58，1316，－2932，61
64，… (4)32，1，710，9
17，… (5)0,1,0,1，…
3、根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有多少个点．
4、数列{}n a 中，n
n
n a a a a a +=
=+12,11，写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律，写出数列的一个通项公式。

5、设数列{}n a 满足11=a ，()11
11
>+
=-n a a n n ，写出这个数列的前5项。

6、数列{}n a 中，已知()
*2,3
1
N n n n a n ∈-+=。

（1）写出110,+n a a ； （2）3
2
79是否是数列中的项？如果是，是第几项？
7、写出以下各数列的通项公式：
①Λ,8
1,41,21,1--
②Λ,1,0,1,0,1,0
③Λ,5
44,433,322,211 ④Λ,6,7,8,9,10 ⑤Λ,31,17,7,5,1
⑥
Λ,6463,3635,1615,43 ⑦
Λ,30
1
,201,121,61,21 ⑧Λ,9999,999,99,9
8、已知a n ＝9n (n ＋1)
10n (n ∈N *)，试问数列{a n }中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．
9、在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝1－
1
a n －1
(n ≥2，n ∈N *)．
(1)求证：a n ＋3＝a n ； (2)求a 2 011.
10、已知数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
9n 2－9n ＋29n 2－1；
(1)求这个数列的第10项；
(2)98
101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；
(4)在区间⎝⎛⎭⎫
13，23内有、无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．
11、已知数列{}n a 满足q pa a a n n +==+11,1，且15,342==a a ，求q p ,的值。

12、等差数列{a n}的公差d≠0，试比较a4a9与a6a7的大小．
13、若sinθ，sinα，cosθ成等差数列，sinθ，sinβ，cosθ成等比数列，求证：2cos2α＝cos2β.
14、已知等差数列{a n}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．
15、已知两个等差数列{a n}：5,8,11，…，{b n}：3,7,11，…，都有100项，试问它们有多少个共同的项？
16、已知数列{a n}满足a1＝4，a n＝4－4
a n－1(n≥2)，令
b n＝
1
a n－2
.
(1)求证：数列{b n}是等差数列；
(2)求数列{a n}的通项公式．
17、已知数列{a n }满足a 1＝1
5，且当n >1，n ∈N *时，有a n －1a n
＝2a n －1＋1
1－2a n ，设b n ＝1
a n ，
n ∈N *.
(1)求证：数列{b n }为等差数列．
(2)试问a 1a 2是否是数列{a n }中的项？如果是，是第几项； 如果不是，请说明理由．
18、已知a >0，求证：
a 2＋1a 2－2≥a ＋1
a
－2.
19、数列{}n a 满足)(3*1N n n a a n n ∈+=+，问是否存在适当的1a ，使是等差数列？
20、在等差数列{}n a 中，已知,31,10125==a a ，求首项1a 与公差d
21、设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称．求证：f (x ＋12
)为偶
函数．
22、在公差不为零的等差数列{}n a 中，21,a a 为方程0432=+-a x a x 的跟，求{}n a 的通项公式。

23、在等差数列{}n a 中，已知488=S 16812=S 求1a 和d 。

24、设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.
(1)求公差d的范围；
(2)问前几项的和最大，并说明理由
25、已知等差数列{a n}中，记S n是它的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|a n|}的前n项和T n.
26、设等差数列{a n}满足a3＝5，a10＝－9.
(1)求{a n}的通项公式；
(2)求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．
27、设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
S n n 的前n 项和，求T n .
28、在等差数列{a n }中，已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .
29、设等差数列{}n a 的第10项为23，第25项为22-，求：
（1）数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n a 前50项的绝对值之和。

30、已知等差数列{}n a 的前4项和为10，且732,,a a a 成等比数列，
求数列{}n a 的通项公式。

31、已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n＋1，
(1)求证：数列{a n＋1}是等比数列；
(2)求a n的表达式．
32、已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝1
*)．
3(a n－1) (n∈N (1)求a1，a2；(2)求证：数列{a n}是等比数列．
33、已知{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝20
3，求{a n }的通项公式．
34、等比数列{a n }同时满足下列三个条件：
①a 1＋a 6＝11 ②a 3·a 4＝329 ③三个数23a 2，a 23，a 4＋4
a 依次成等差数列，试求数列{a n }的通项公式．
35、设{a n }、{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n ＝a n ＋b n ，证明数列{c n }不是等比数列．
36、有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，
求这四个数．
37、设{}n a 是各项均为正数的等比数列，3,3,log 3213212-==++=b b b b b b a b n n ，
求n a 。

38、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t。

生
产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。

现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料，列出满足生产条件的数学关系式。

39、某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP公司可供选择，公司A每小时受
费1.5元；公司B的收费规则如下：在用户上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元（若超过17小时，按17小时计算）如图所示.
假设一次上网时间总小于17小时，那么，一次上网在多长时间以内能够保证选择公司A比选择公司B 所需费用少？请写出其中的不等关系．
40、将若干只鸡放入若干个笼，若每个笼里放４只，则有一鸡无笼可放：若每个笼里放５只，则有一笼无
鸡可放。

设现有笼x个，试列出x满足的不等关系，并说明至少有多少只鸡多少个笼？至多有多少只鸡多少个笼？
41、某车间有２０名工人，每人每天可加工甲种零件５件或乙种零件４件。

在这２０名工人中，派ｘ人加工乙种零件，其余的加工甲种零件，已知每加工一个甲种零件可获利１６元，每加工一个乙种零件可获利２４元，若要使车间每天获利不低于１８００元，写出x所要满足的不等关系．
42、某旅游公司年初以98万元购进一辆豪华旅游车，第一年各种费用为12万元，以后每年都增加4万元，
该车每年的旅游效益为50万元，设第n年开始获利，列出关于n的不等关系．
43、某次数学测验，共有１６道题，答对一题得６分，答错一题倒扣２分，不答则不扣分，某同学有一道题未答，那么这个学生至少答对多少题，成绩才能在６０分以上？列出其中的不等关系。

44、某蔬菜收购点租用车辆，将100t 新鲜辣椒运往某市销售，可租用的大卡车和农用车分别为10辆和20
辆，若每辆卡车载重8t,运费960元，每辆农用车载重2.5t,运费360元，据此，安排两种车型，应满足那些不等关系，请列出来．
45、某市2008年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2009年投入128辆电力型公交车，随
后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：
(1)该市在2015年应该投入多少辆电力型公交车？
(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的1
3
？(lg 657＝2.82，lg 2＝0.30，lg 3＝
0.48)
46、有纯酒精a L(a >1)，从中取出1 L ，再用水加满，然后再取出1 L ，再用水加满，如此反复进行，
则第九次和第十次共倒出纯酒精________L.
47、现在有某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万
元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前
一年增加5千元，两方案使用期都是10年，到期后一次性归还本息，若银行贷款利息均按本息10%的复利计算，试比较两种方案谁获利更多？(精确到千元，数据1.110≈2.594,1.310≈13.79)
48、在等比数列{a n}中，a1＋a n＝66，a3a n－2＝128，S n＝126，求n和q.
49、求和：S n＝x＋2x2＋3x3＋…＋nx n (x≠0)．
50、已知S n为等比数列{a n}的前n项和，S n＝54，S2n＝60，求S3n.
51、为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.
(1)以2010年为第一年，设第n年出口量为a n吨，试求a n的表达式；
(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数)
参考数据：0.910≈0.35.
52、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋2－4.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝a n ·log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .
53、已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n .
(1)求a n 及S n ；
(2)令b n ＝1
a 2n －1(n ∈N *)，求数列{
b n }的前n 项和T n .
54、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝1
2S n (n ＝1,2,3，…)．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)当b n ＝log 32(3a n ＋1)时，求证：数列{1b n b n ＋1}的前n 项和T n ＝n
1＋n .
55、已知数列{a n }的各项均为正数，对任意n ∈N *，它的前n 项和S n 满足S n ＝1
6(a n ＋1)(a n ＋2)，并且
a 2，a 4，a 9成等比数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝(－1)n ＋
1a n a n ＋1，T n 为数列{b n }的前n 项和，求T 2n .
56、数列{a n }中，a 1＝1
3，前n 项和S n 满足S n ＋1－S n ＝(1
3)n ＋1(n ∈N *)．
(1)求数列{a n }的通项公式a n 以及前n 项和S n ；
(2)若S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列，求实数t 的值．
57、已知点(1,2)是函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)的图象上一点，数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )－1.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝log a a n ＋1，求数列{a n b n }的前n 项和T n .
58、设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知13S 3，14S 4的等比中项为15S 5；13S 3，1
4S 4的等差中项为1，求
数列{a n }的通项公式．
59、设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝na n －2n (n －1)．
(1)求数列{a n }的通项公式a n ；
(2)设数列{1a n a n ＋1}的前n 项和为T n ，求证：15≤T n <1
4.
60、在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .
(1)设b n ＝a n
2n －1.证明：数列{b n }是等差数列；
(2)求数列{a n }的前n 项和．
61、甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a 万元，由于经营方式不同，甲超市前n 年
的总销售额为a
2
(n 2－n ＋2)万元，乙超市第n 年的销售额比前一年销售额多a ⎝⎛⎭⎫23n －1万元． (1)求甲、乙两超市第n 年销售额的表达式；
(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？
62、设数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和S n 满足关系式：
3tS n －(2t ＋3)S n －1＝3t (t >0，n ＝2,3,4，…)． (1)求证：数列{a n }是等比数列；
(2)设数列{a n }的公比为f (t )，作数列{b n }，使b 1＝1，b n ＝f ⎝
⎛⎭
⎫
1b
n －1
(n ＝2,3,4，…)．求数列{b n }的通项b n ；
(3)求和：b 1b 2－b 2b 3＋b 3b 4－b 4b 5＋…＋b 2n －1b 2n －b 2n ·b 2n ＋1.
63、设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －
1.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .
64、已知数列{}n a 中，21=a ，cn a a n n +=+1（c 是常数Λ,3,2,1=n ），且321,,a a a 成公比不为1的
等比数列.
（1）求c 的值. （2）求{}n a 的通项公式.
65、已知等差数列{}n a ，131=a ，44=a ，它的前项和为n S ，求：
（1）n S 的最大值及此时n 的值. （2）数列{}
n a 的前n 项和n T
66、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公比是正数的等比数列{b n }的前n 项和为T n ，已知a 1＝1，b 1
＝3，a 2＋b 2＝8，T 3－S 3＝15.
(1)求{a n }，{b n }的通项公式；
(2)若数列{c n }满足a 1c n ＋a 2c n －1＋…＋a n －1c 2＋a n c 1＝2n ＋
1－n －2对任意n ∈N *都成立，求证：数列{c n }是等比数列．
67、已知数列{log 2(a n －1)} (n ∈N *)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)证明：1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1
a n ＋1－a n <1.
68、已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)若等比数列{b n }满足b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{b n }的前n 项和公式．
69、甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m ，以后每分钟比前1分
钟多走1 m ，乙每分钟走5 m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？
70、求和：
（1）
)3)(1(1641531421++++⨯+⨯+⨯n n Λ （2）n n 3
2739231++++Λ
71、已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0，其中ak 1，ak 2，…，ak n 恰为等比数列，若k 1＝1，k 2＝5，
k 3＝17，求k 1＋k 2＋…＋k n .
72、已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列
的第二项、第三项、第四项．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝1n (a n ＋3)
(n ∈N *)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在t ，使得对任意的n 均有S n >t
36总成立？若
存在，求出最大的整数t ；若不存在，请说明理由．
73、设{a n }是等差数列，b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ，已知：b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝1
8，求等差数列的通项a n .
74、已知数列
{}n a
是公差
d
不为零的等差数列，数列
{}n
b a
是公比为
q
的等比数列，
46,10,1321===b b b
求公比
及
n b
75、已知等差数列
{}n a
的公差与等比数列
{}n b
的公比相等，且都等于
d )1,0(≠>d d 11b a = 333b a = 555b a =
求
n n b a ,
76、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。

77、已知
{}n a
为等比数列，
324202,3
a a a =+=
求
{}n a
的通项式。

78、数列
{}n a
的前
n
项和记为
()11,1,211n n n S a a S n +==+≥
（Ⅰ）求
{}n a
的通项公式； （Ⅱ）等差数列
{}n b
的各项为正，其前n 项和为n T 且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T
79、已知正项数列{a n }的前n 项和S n ＝1
4(a n ＋1)2，求{a n }的通项公式．
80、已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.
(1)求数列{a n }的通项公式a n ；
(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n n ＋c ，求非零常数c .
以下是答案 一、解答题
1、405,135,45,154321====a a a a 135-⨯=n n a
2、解 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对
值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)(n ∈N *)．
(2)数列变形为89(1－0.1)，8
9
(1－0.01)，
89(1－0.001)，…，∴a n ＝8
9⎝
⎛⎭⎫1－110n (n ∈N *)． (3)各项的分母分别为21,22,23,24
，…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－3
2
，
因此原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－3
2
4，…，
∴a n ＝(－1)n
·2n －3
2
n (n ∈N *)．
(4)将数列统一为32，55，710，9
17，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为
b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16…即数列{n 2}，可得分母的通项公式为
c n ＝n 2＋1，
∴可得它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1
n 2＋1
(n ∈N *)．
(5)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
0 (n 为奇数)1 (n 为偶数)
或a n ＝1＋(－1)n 2
(n ∈N *)
或a n ＝1＋cos n π2(n ∈N *)．
3、解 图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)
除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜测第n 个图中除中间一个点外，有n 个分支，每个分支有(n －1)个点，故第n 个图中点的个数为1＋n (n －1)＝n 2－n ＋1.
4、a
a
a a
a a a
a a a a 718314122321+=
+=
+=
= ()
a
a
a n n n 12121
1-+=--
5、5
8,35,23,2,154321===
==a a a a a
6、
（1）3
109
10=a 31321++=+n n a n
（2）是，第15项
7、
①1
21-⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=n n a
②()2
11n
n a -+=
③1
22++=n n
n a n
④n a n -=11 ⑤()n
n
n a 12-+=
⑥2
411n
a n -
= ⑦()
11
+=
n n a n
⑧110-=n
n a
8、解 因为a n ＋1－a n ＝⎝⎛⎭⎫910n ＋1
·(n ＋2)－⎝⎛⎭⎫910n ·(n ＋1) ＝⎝⎛⎭⎫910n ＋1·⎣⎡⎦⎤(n ＋2)－109(n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫9
10n ＋1·8－n 9，则 当n ≤7时，⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9
>0，
当n ＝8时，⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n
9＝0， 当n ≥9时，⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9
<0，
所以a 1<a 2<a 3<…<a 7<a 8＝a 9>a 10>a 11>a 12>…， 故数列{a n }存在最大项，最大项为a 8＝a 9＝99
108.
9、(1)证明 a n ＋3＝1－
1
a n ＋2
＝1－
11－1
a n ＋1
＝1－1
1－
11－1a n
＝1－11－
a n a n －1
＝1－1a n －1－a n a n －1＝1－1
－1a n －1
＝1－(1－a n )＝a n . ∴a n ＋3＝a n .
(2)解 由(1)知数列{a n }的周期T ＝3， a 1＝1
2
，a 2＝－1，a 3＝2.
又∵a 2 011＝a 3×670＋1＝a 1＝12，∴a 2 011＝1
2.
10、(1)解 设f (n )＝9n 2－9n ＋2
9n 2－1
＝
(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －2
3n ＋1
.
令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝28
31.
(2)解 令3n －23n ＋1＝98
101
，得9n ＝300.
此方程无正整数解，所以98
101不是该数列中的项．
(3)证明 ∵a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－3
3n ＋1，
又n ∈N *，∴0<3
3n ＋1<1，∴0<a n <1.
∴数列中的各项都在区间(0,1)内．
(4)解 令1
3<a n ＝3n －23n ＋1<23，则⎩
⎪⎨⎪⎧
3n ＋1<9n －69n －6<6n ＋2
，
即⎩⎨⎧
n >76
n <8
3
.∴76<n <83
. 又∵n ∈N *，∴当且仅当n ＝2时，上式成立，故区间⎝⎛⎭⎫13，23上有数列中的项，且只有一项为a 2＝4
7.
11、解：由已知可得q pa a +=12，即3=+q p
()q pq a p q q pa p q pa a ++=++=+=22234
即1532
=++q pq p
联立方程组⎩⎨
⎧
=++=+15
332
q pq p q p 解得⎩
⎨
⎧=-=63q p 或⎩⎨⎧==12
q p
12、解设a n＝a1＋(n－1)d，
则a4a9－a6a7＝(a1＋3d)(a1＋8d)－(a1＋5d)(a1＋6d)
＝(a21＋11a1d＋24d2)－(a21＋11a1d＋30d2)
＝－6d2<0，所以a4a9<a6a7.
13、证明：由sinθ，sinα，cosθ成等差数列，得
sinθ＋cosθ＝2sinα，
则1＋2sinθcosθ＝4sin2α，即sin2θ＝4sin2α－1.①
由sinθ，sinβ，cosθ成等比数列，得sinθcosθ＝sin2β，即sin2θ＝2sin2β.②
由①②得4sin2α－1＝2sin2β，
所以2(1－cos2α)－1＝1－cos2β，
所以2cos2α＝cos2β.
14、解∵a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，
∴a4＝5.
又∵a2a4a6＝45，∴a2a6＝9，
即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9，解得d＝±2.
若d＝2，a n＝a4＋(n－4)d＝2n－3；
若d＝－2，a n＝a4＋(n－4)d＝13－2n.
15、解 在数列{a n }中，a 1＝5，公差d 1＝8－5＝3.
∴a n ＝a 1＋(n －1)d 1＝3n ＋2.
在数列{b n }中，b 1＝3，公差d 2＝7－3＝4， ∴b n ＝b 1＋(n －1)d 2＝4n －1.
令a n ＝b m ，则3n ＋2＝4m －1，∴n ＝4m
3－1.
∵m 、n ∈N *，∴m ＝3k (k ∈N *)，
又⎩
⎪⎨⎪⎧
0<m ≤1000<n ≤100，解得0<m ≤75. ∴0<3k ≤75，∴0<k ≤25， ∴k ＝1,2,3，…，25
∴两个数列共有25个公共项．
16、(1)证明 ∵a n ＝4－
4
a n －1
(n ≥2)，
∴a n ＋1＝4－4
a n
(n ∈N *)．
∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝12－4a n －1a n －2＝a n 2(a n －2)－1a n －2＝a n －22(a n －2)＝1
2
.
∴b n ＋1－b n ＝1
2
，n ∈N *.
∴{b n }是等差数列，首项为12，公差为1
2.
(2)解 b 1＝1a 1－2＝12，d ＝1
2.
∴b n ＝b 1＋(n －1)d ＝12＋12(n －1)＝n
2
.
∴1a n －2＝n 2，∴a n ＝2＋2n .
17、(1)证明 当n >1，n ∈N *时，a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ⇔1－2a n a n ＝2a n －1＋1
a n －1
⇔1a n －2＝2＋1a n －1⇔1a n －1a n －1＝4⇔b n －b n －1＝4，且b 1＝1
a 1＝5. ∴{
b n }是等差数列，且公差为4，首项为5.
(2)解 由(1)知b n ＝b 1＋(n －1)d ＝5＋4(n －1)＝4n ＋1. ∴a n ＝1b n ＝14n ＋1
，n ∈N *.
∴a 1＝15，a 2＝19，∴a 1a 2＝145.令a n ＝14n ＋1＝145，
∴n ＝11.
即a 1a 2＝a 11，∴a 1a 2是数列{a n }中的项，是第11项．
18、证明：要证
a 2＋1a 2－2≥a ＋1
a
－2，
只需证 a 2＋1
a 2＋2≥a ＋1
a
＋ 2.
因为a >0，
故只需证(
a 2＋1a 2＋2)2≥(a ＋1
a
＋2)2， 即证a 2
＋1a
2＋4
a 2＋1
a 2＋4≥a 2＋2＋1
a 2＋22(a ＋1
a )＋2， 从而只需证2
a 2＋1
a 2≥2(a ＋1
a
)， 只需证4(a 2＋1a 2)≥2(a 2
＋2＋1a
2)，
即证a 2
＋1a
2≥2，而此不等式显然成立．
故原不等式成立．
19、解：假设存在这样的1a 满足题目条件。

)(13*12N n n a a n n ∈++=++ 12112++=-∴+++n a a a n n n
由已知)(3*
1N n n a a n n ∈+=+ 可得n a a a n n n +=-+21
n n n n a a a a -=-∴+++112 即n a n a n n +=+++2121
2
1
1-=-∴+n n a a ，满足等差数列的定义，故假设是正确的。

即存在适当的1a 的值使数列{}n a 为公差为
2
1
-的等差数列。

由已知条件n a a n n +=+31，令1=n
1312+=∴a a 即132111+=-
a a ，解得4
31-=a 。

20、3,21=-=d a
21、证明：法一：要证f (x ＋12
)为偶函数，
只需证f (x ＋1
2
)的对称轴为x ＝0，
只需证－b 2a －1
2
＝0，
只需证a ＝－b .
因为函数f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称， 即x ＝－b 2a －1与x ＝－b
2a
关于y 轴对称，
所以－b 2a －1＝－－b
2a
，
所以a ＝－b ，
所以f (x ＋1
2)为偶函数．
法二：要证f (x ＋1
2)是偶函数，
只需证f (－x ＋12)＝f (x ＋1
2
)．
因为f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称， 而f (x )与f (－x )的图象关于y 轴对称， 所以f (－x )＝f (x ＋1)，
f (－x ＋12)＝f (－(x －12
))
＝f ((x －1
2)＋1)
＝f (x ＋1
2)，
所以f (x ＋1
2
)是偶函数．
22、n a n 2=
23、4,81=-=d a
24、解 (1)根据题意，有：⎩⎪⎨⎪⎧
12a 1＋12×112
d >0，
13a 1＋13×12
2
d <0，
a 1
＋2d ＝12，
整理得：⎩⎪⎨⎪
⎧
2a 1＋11d >0，a 1＋6d <0，
a 1
＋2d ＝12.
解之得：－24
7<d <－3.
(2)∵d <0，
而S 13＝13(a 1＋a 13)
2
＝13a 7<0，∴a 7<0.
又S 12＝12(a 1＋a 12)
2＝6(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0，
∴a 6>0.
∴数列{a n }的前6项和S 6最大．
25、解 由S 2
＝16，S 4
＝24，得⎩⎨⎧
2a 1
＋2×1
2
d ＝16，4a 1
＋4×3
2
d ＝24.
即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝16，2a 1＋3d ＝12. 解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝9，
d ＝－2.
所以等差数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n (n ∈N *)．
(1)当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－n 2＋10n .
(2)当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－a 6－a 7－…－a n ＝2S 5－S n ＝2×(－52＋10×5)－(－n 2＋10n )＝n 2－10n ＋50，
故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
－n 2＋10n (n ≤5)，n 2－10n ＋50 (n ≥6).
26、解 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 及a 3＝5，a 10＝－9得 ⎩⎪⎨
⎪⎧ a 1＋2d ＝5，a 1＋9d ＝－9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝9，
d ＝－2，
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n . (2)由(1)知，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝10n －n 2.
因为S n ＝－(n －5)2＋25， 所以当n ＝5时，S n 取得最大值．
27、解 设等差数列{a n }的公差为d ，
则S n ＝na 1＋1
2
n (n －1)d ，
∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧
7a 1＋21d ＝7
15a 1＋105d ＝75，
即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝－2
d ＝1
， ∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋1
2(n －1)， ∵S n ＋1
n ＋1－S n n ＝12
， ∴数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12，
∴T n ＝n ×(－2)＋n (n －1)2×12＝14n 2－9
4n .
28、解 由⎩⎨⎧
a n
＝a 1＋(n －1)d ，
S n
＝na 1
＋n (n －1)
2
d ，
得⎩⎨⎧
a 1＋2(n －1)＝11，
na 1
＋n (n －1)
2
×2＝35，
解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝5a 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧
n ＝7，a 1
＝－1.
29、解：由已知可知22,232510-==a a ，d a a 151025=-
d 152322=--∴，解得3-=d 。

509101=-=d a a
533+-=∴n a n 。

所以此数列的前17项均为正数，从第18项开始均为负数。

前50项的绝对值之和
()()()2059
1175442225017175017501918173211321=--⨯=-=--=+++-++++=+++++=-S S S S S a a a a a a a a a a a a S n n ΛΛΛ
30、解：
设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则104321=+++a a a a ，则5321=+d a ，
由于732,,a a a 成等比数列，所以722
3a a a =， 化简得02321=+d d a
所以⎩⎨⎧=+=+0235322
11d d a d a 解得⎪⎩⎪⎨⎧==0251d a 或⎩
⎨⎧=-=321
d a 所以数列{}n a 的通项公式为2
5
=n a 或53-=n a n 。

31、(1)证明 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，
∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)， ∴a n ＋1＋1a n ＋1
＝2. ∴{a n ＋1}是等比数列，公比为2，首项为2. (2)解 由(1)知{a n ＋1}是等比数列． 公比为2，首项a 1＋1＝2. ∴a n ＋1＝(a 1＋1)·2n －1＝2n . ∴a n ＝2n －1.
32、(1)解 由S 1＝13(a 1－1)，得a 1＝1
3(a 1－1)，
∴a 1＝－12.又S 2＝1
3(a 2－1)，
即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝1
4.
(2)证明 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝13(a n －1)－1
3(a n －1－1)， 得
a n a n －1
＝－12，又a 2a 1＝－1
2，
所以{a n }是首项为－12，公比为－1
2的等比数列．
33、解 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0.
a 2＝a 3q ＝2
q
，a 4＝a 3q ＝2q ，
∴2q ＋2q ＝203. 解得q 1＝1
3，q 2＝3.
当q ＝1
3时，a 1＝18，
∴a n ＝18×⎝⎛⎭⎫13n －1
＝2×33－n
. 当q ＝3时，a 1＝29，
∴a n ＝2
9×3n －1＝2×3n －3.
综上，当q ＝1
3时，a n ＝2×33－n ；
当q ＝3时，a n ＝2×3n －3.
34、解 由等比数列的性质知a 1a 6＝a 3a 4＝32
9 ∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋a 6＝11a 1·a 6＝329解得⎩⎨⎧ a 1＝1
3a 6＝323
求⎩⎨⎧
a 1＝32
3
a 6
＝1
3
当⎩⎨⎧
a 1＝
13
a 6
＝32
3
时q ＝2
∴a n ＝13
·2n －1
23a 2＋a 4＋49＝329，2a 23＝329 ∴23a 2，a 23，a 4＋49成等差数列， ∴a n ＝13
·2n －1
当⎩⎨⎧
a 1＝
323
a 6
＝1
3
时q ＝12，a n ＝13
·26－n
23a 2＋a 4＋4
9≠2a 23， ∴不符合题意， ∴通项公式a n ＝13·2n －1.
35、证明 设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠0，q ≠0，p ≠q ，c n ＝a n ＋b n .
要证{c n }不是等比数列，只需证c 22≠c 1·
c 3成立即可． 事实上，c 22＝(a 1p ＋b 1q )2＝a 21p 2＋b 21q 2＋2a 1b 1pq ，
c 1c 3＝(a 1＋b 1)(a 1p 2＋b 1q 2)
＝a 21p 2＋b 21q 2＋a 1b 1(p 2＋q 2)．
由于c 1c 3－c 22＝a 1b 1(p －q )2≠0，因此c 22≠c 1·
c 3，故{c n }不是等比数列．
36、解 设这四个数分别为x ，y,18－y,21－x ，
则由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧
y 2＝x (18－y )2(18－y )＝y ＋(21－x )，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3
y ＝6
或⎩⎨⎧
x ＝75
4，
y ＝45
4
.
故所求的四个数为3,6,12,18或754，454，274，9
4.
37、解：
设数列{}n a 的首项为1a ，公比为q
Θ3321=++b b b ，∴3log log log 322212=++a a a ∴()3log 3212=a a a ，∴8321=a a a ，∴22=a 。

Θ3321-=b b b ，∴3log log log 322212-=⋅⋅a a a ∴3log log 3212-=⋅a a ∴3log log 322
2
-=⋅q
a q a 即()()3log log log log 222222-=+⋅-q a q a 即()()3log 1log 122-=+⋅-q q ，解得2log 2±=q 当2log 2=q 时，21,421==
=q a a q ，所以321242
1
--=⨯=n n n a 。

当2log 2-=q 时，41=q ，821==q a a ，所以n n n a 251
2418--=⎪
⎭
⎫
⎝⎛⨯=
38、设生产甲乙两种混合肥料各x,yt 则410
1815660,0x y x y x y +≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥≥⎩
39、设一次上网时间为xh ，选择A 公司，费用1.5x(元)；选择B 公司，x<17时费用为
(35)
20
x x -元，x ≥17时为15.3元，所以(35)
20
x x -＞1.5x （0<x<17）
40、()()5214151x x x -+≤+≤-，至少6个笼，25只鸡；至多10个笼， 41只鸡。

41、16×5×（20－x ）+24×4x ≥1800
42、98+12+（12+4）+（12+4×2）+…+[12+（n －1）×4]＜50n
43、设至少答对x 题，则16x －2(15－x)≥60
44、用大卡车x 辆，农用车y 辆
8 2.5100010020,x y x y x Z y Z
+≥⎧⎪≤≤⎪
⎨
≤≤⎪⎪∈∈⎩
45、解 (1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{a n }，其中a 1＝128，q ＝1.5，则在2015
年应该投入的电力型公交车为a 7＝a 1·q 6＝128×1.56＝1 458(辆)．
(2)记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ， 依据题意，得S n 10 000＋S n >13
，
于是S n ＝128(1－1.5n )1－1.5>5 000(辆)，即1.5n >657
32.
两边取常用对数，则n ·lg 1.5>lg
65732
， 即n >lg 657－5lg 2lg 3－lg 2
≈7.3，又n ∈N ＋，因此n ≥8.
所以到2016年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的1
3
.
46、答案 ⎝⎛⎭⎫1－1a 8⎝⎛⎭
⎫2－1a 解析 用{a n }表示每次取出的纯酒精，a 1＝1，加水后浓度为a －1a ＝1－1a ，a 2＝1－1
a
，加水后浓度为⎝⎛⎭⎫1－1a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a －1a ＝⎝⎛⎭⎫1－1a 2
，a 3＝⎝⎛⎭⎫1－1a 2， 依次类推：a 9＝⎝⎛⎭⎫1－1a 8，a 10＝⎝⎛⎭⎫1－1a 9. ∴⎝⎛⎭⎫1－1a 8＋⎝⎛⎭⎫1－1a 9＝⎝⎛⎭⎫1－1a 8⎝⎛⎭⎫2－1
a .
47、解 甲方案10年中每年获利数组成首项为1，公比为1＋30%的等比数列，其和为
1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9＝
1.310－1
1.3－1
≈42.63(万元)，
到期时银行贷款的本息为
10(1＋0.1)10≈10×2.594＝25.94(万元)，
∴甲方案扣除贷款本息后，净获利约为42．63－25.94≈16.7(万元)． 乙方案10年中逐年获利数组成等差数列， 1＋1.5＋…＋(1＋9×0.5) ＝
10(1＋5.5)
2
＝32.50(万元)，
而贷款本利和为1．1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9] ＝1.1×1.110－1
1.1－1
≈17.53(万元)．
∴乙方案扣除贷款本息后，净获利约为32．50－17.53≈15.0(万元)，
比较得，甲方案净获利多于乙方案净获利．
48、解 ∵a 3a n －2＝a 1a n ，∴a 1a n ＝128，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧
a 1a n ＝128，
a 1＋a n ＝66，
得⎩
⎪⎨⎪⎧ a 1＝64，
a n ＝2，① 或⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝2，a n ＝64.
② 将①代入S n ＝a 1－a n q 1－q ，可得q ＝12，
由a n ＝a 1q n －1可解得n ＝6.
将②代入S n ＝a 1－a n q
1－q
，可得q ＝2，
由a n ＝a 1q n －1可解得n ＝6.故n ＝6，q ＝1
2或2.
49、解 分x ＝1和x ≠1两种情况．
(1)当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)
2.
(2)当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ， xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1，
∴(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1＝
x (1－x n )
1－x
－nx n ＋1. ∴S n ＝x (1－x n )(1－x )2－nx n ＋1
1－x .
综上可得S n ＝。