2020年高考理科数学新课标第一轮总复习练习：7-3空间点、直线、平面之间的位置关系含解析

课时规范练
(授课提示：对应学生用书第291页)
A组基础对点练
1．(2016·高考浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(C) A．m∥l B．m∥n
C．n⊥l D．m⊥n
2．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则(D) A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l
D．α与β相交，且交线平行于l
3．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(D)
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1与l4既不垂直也不平行
D．l1与l4的位置关系不确定
4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面(C)
A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α
B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α
C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α
D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
5．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β(A)
A．若l⊥β，则α⊥β
B．若α⊥β，则l⊥m
C．若l∥β，则α∥β
D．若α∥β，则l∥m
6．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的(B)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(D)
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
8．(2018·佛山模拟)在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与直线A1B1，EF，BC都相交的直线(D)
A．不存在B．有且只有两条
C．有且只有三条D．有无数条
解析：在EF上任意取一点M，直线A1B1与M确定一个平面，这个平面与BC有且仅有1个交点N，当M的位置不同时确定不同的平面，从而与BC有不同的交点N，而直线MN与A1B1，EF，BC分别有交点P，M，N，如图，故有无数条直线与直线A1B1，EF，BC都相交．
9．已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断正确的是(C)
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n
C．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥l
D．若α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
10．已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则α⊥β的一个充分条件是(D) A．l⊂α，m⊂β，且l⊥m
B．l⊂α，m⊂β，n⊂β，且l⊥m，l⊥n
C．m⊂α，n⊂β，m∥n，且l⊥m
D．l⊂α，l∥m，且m⊥β
11．已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m，n，则下列四个命题中不正确的是(D) A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
B．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
C．若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β
D．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n
12．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，a⊂α，b⊥β，则“α∥β”是“a⊥b”的(A)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
13．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β；②若α外的一条直线l与α内的一条直线平行，则l∥α；③设α∩β＝l，若α内有一条直线垂直于l，则α⊥β；④直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条直线垂直．其中所有的真命题的序号是①②.
解析：若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β，所以①正确；若α外的一条直线l与α内的一条直线平行，则l∥α，所以②正确；设α∩β＝l，若α内有一条直线垂直于l，则α与β不一定垂直，所以③错误；直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条相交直线垂直，所以④错误．所有的真命题的序号是①②.
14．若α，β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为②④(写出所有真命题的序号)．
①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线；
②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直；
③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线；
④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．
解析：对于①，若直线m⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内，存在与直线m平行的直线，故①错误；
对于②，若直线m⊥α，则直线m垂直于平面α内的所有直线，在平面β内存在无数条与交线平行的直线，这无数条直线均与直线m垂直，故②正确；
对于③，④，若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线，故③错误，④正确．
B组能力提升练
1．设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是(B)
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥β
D ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β
2．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是( B ) A ．m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m ∥n B ．m ⊥α，n ⊥β，且α⊥β，则m ⊥n C ．m ⊥α，m ⊥n ，n ⊂β，则α⊥β D ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β 3．下列命题中，正确的是( D )
A ．若a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，且a ⊂α，b ⊂β，则a ，b 是异面直线
B ．若a ，b 是两条直线，且a ∥b ，则直线a 平行于经过直线b 的所有平面
C ．若直线a 与平面α不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行
D ．若直线a ∥平面α，点P ∈α，则平面α内经过点P 且与直线a 平行的直线有且只有一条 4．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( D ) A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行 C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面
5．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( C ) A.110 B ．25 C.3010
D ．22
解析：以C 为坐标原点，CB 为x 轴，CA 为y 轴，CC 1为z 轴建立坐标系，再表示出各点坐标，求出BM → 与AN →
夹角的余弦值．
6．已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( B ) A.16 B ．36 C.13
D ．33
解析：取AD 的中点F ，连接EF ，CF ，则EF 和CE 所成的角等于异面直线CE 与BD 所成角． 7．(2018·广州质检)如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G ，H ，M ，N 分别为DE ，
BE ，EF ，EC 的中点，在这个正四面体中：
①GH 与EF 平行；②BD 与MN 为异面直线；③GH 与MN 成60°角；④DE 与MN 垂直． 以上四个结论中，正确结论的序号是 ②③④ .
解析：把正四面体的平面展开图还原，如图所示，GH 与EF 为异面直线，BD 与MN 为异面直线，GH 与MN 成60°角，DE ⊥MN .
8．如图所示，四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝2AD ，△P AB 和△P AD 都是等边三角形，则异面直线CD 与PB 所成角的大小为 90° .
解析：如图所示，延长DA 至E ，使AE ＝DA ，连接PE ，BE .
∵∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝2AD ， ∴DE ＝BC ，DE ∥BC .
∴四边形CBED 为平行四边形， ∴CD ∥BE .
∴∠PBE 就是异面直线CD 与PB 所成的角．
在△P AE 中，AE ＝P A ，∠P AE ＝120°，由余弦定理，得 PE ＝P A 2＋AE 2－2P A ·AE cos ∠P AE ＝
AE 2＋AE 2－2AE ·AE ×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12
＝3AE .
在△ABE 中，AE ＝AB ，∠BAE ＝90°， ∴BE ＝2AE .
∵△P AB 是等边三角形，∴PB ＝AB ＝AE ， ∴PB 2＋BE 2＝AE 2＋2AE 2＝3AE 2＝PE 2， ∴∠PBE ＝90°.
9．(2016·高考浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ＝BC ＝3，CD ＝1，AD ＝5，∠ADC ＝90°.沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD ′，直线AC 与BD ′所成角的余弦的最大值是 6
6 .
解析：作BE ∥AC ，BE ＝AC ，连接D ′E (图略)，
则∠D ′BE 为所求的角或其补角，作D ′N ⊥AC 于点N ，设M 为AC 的中点，连接BM ，则BM ⊥AC ，作NF ∥BM 交BE 于F ，连接D ′F ，设∠D ′NF ＝θ， ∵D ′N ＝
56＝30
6，BM ＝FN ＝
152＝30
2，
∴D ′F 2＝25
3－5cos θ，
∵AC ⊥D ′N ，AC ⊥FN ，∴D ′F ⊥AC ， ∴D ′F ⊥BE ，又BF ＝MN ＝6
3， ∴在Rt △D ′FB 中，D ′B 2＝9－5cos θ，
∴cos ∠D ′BE ＝
BF D ′B ＝6
3
9－5cos θ
≤6
6，当且仅当θ＝0°时取等号． 10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE .若M 为线段A 1C
的中点，则在△ADE 翻折过程中，下列四个结论中不正确的是 ③ .
①BM 是定值；
②点M 在某个球面上运动； ③存在某个位置，使DE ⊥A 1C ； ④存在某个位置，使MB ∥平面A 1DE .
解析：取DC的中点F，连接MF，BF，则MF∥A1D，且MF＝1
2A1D，FB∥ED，且FB＝ED，所
以∠MFB＝∠A1DE.由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cos∠MFB是定值，所以M是在以B为球心，MB为半径的球上，可得①②正确；由MF∥A1D与FB∥ED可得平面MBF∥平面A1DE，可得④正确；若存在某个位置，使DE⊥A1C，则因为DE2＋CE2＝CD2，即CE⊥DE，因为A1C∩CE＝C，则DE⊥平面A1CE，所以DE⊥A1E，与DA1⊥A1E矛盾，故③不正确．。