2022高中数学第三章不等式3

第三章不等式
3.2一元二次不等式及其解法
第2课时一元二次不等式的应用
课后篇巩固提升
基础巩固
1.若集合A=x≤0,B={x|x2<2x},则A∩B=()
A.{x|0<x<1}
B.{x|0≤x<1}
C.{x|0<x≤1}
D.{x|0≤x≤1}
A可得解得0≤x<1,
所以A={x|0≤x<1}.由集合B可得x2-2x<0,
解得0<x<2,所以B={x|0<x<2}.
所以A∩B={x|0<x<1}.
2.若关于x的不等式-3≥0的解集是{x|-7≤x<-1},则实数a等于()
A.0
B.-4
C.-6
D.-8
-3≥0可化为≥0,
即
所以由-3≥0的解集是{x|-7≤x<-1},可得a-3=-7,故a=-4.
3.若产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系式是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是()
A.100台
B.120台
C.150台
D.180台
y-25x=(3000+20x-0.1x2)-25x=-0.1x2-5x+3000.
若生产者不亏本,
则需-0.1x2-5x+3000≤0,
即x2+50x-30000≥0,
(x+200)(x-150)≥0,
解得x≥150或x≤-200(舍去).
所以满足题意的最低产量为150台.
4.若关于x的不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),则关于x的不等式>0的解集为()
A.(-1,2)
B.(-∞,-1)∪(2,+∞)
C.(1,2)
D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
x的不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),所以a>0,且=1,即a=b,所以关于x的不等式>0可化为>0,等价于(x+1)(x-2)>0,其解集是(-∞,-1)∪(2,+∞).故原不等式的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞).
5.已知2a+1<0,关于x的不等式x2-4ax-5a2<0的解集是.
x2-4ax-5a2=0的两个根为x1=-a,x2=5a.
∵2a+1<0,即a<-,∴x1>x2.
故原不等式的解集为{x|5a<x<-a}.
x|5a<x<-a}
6.不等式≤3的解集为.
3⇔-3≤0⇔≥0,
即x(2x-1)≥0,且x≠0,解得x<0或x≥.
故不等式的解集为(-∞,0)∪.
-∞,0)∪
7.解不等式:2x-≥-5.
x-≥-5⇔≥0,
即
解得
所以x≥或-3≤x<0.
故不等式的解集为.
8.某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份递增x%,八月份销售额比七月份递增x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一至十月份销售总额至少达7 000万元,试求x的最小值.
500(1+x%),八月份的销售额是500(1+x%)2,所以3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7000.
整理得x2+300x-6400≥0,
解得x≥20或x≤-320(舍去),
所以x的最小值是20.
9.解关于x的不等式:x2-(a+a2)x+a3>0(a∈R).
(x-a)(x-a2)>0.
当a<0时,a<a2,解不等式得x<a或x>a2;
当a=0时,a2=a,解不等式得x≠0;
当0<a<1时,a2<a,解不等式得x<a2或x>a;
当a=1时,a2=a,解不等式得x≠1;
当a>1时,a<a2,解不等式得x<a或x>a2.
综上可知,
当a<0或a>1时,原不等式的解集为{x|x<a,或x>a2};
当0<a<1时,原不等式的解集为{x|x<a2,或x>a};
当a=1时,原不等式的解集为{x|x≠1};
当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠0}.
能力提升
1.已知集合A=,B=,则A∩B等于()
A.
B.
C.
D.
<2,>0,可化为(2x-1)x>0,
所以x>或x<0,
即A=,
而B=,所以A∩B=.
2.不等式≥2的解集是()
A.B.
C.∪(1,3]
D.∪(1,3]
-2≥0,
即≥0,
因此
解得-≤x<1或1<x≤3.
3.已知某商场将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价,减少进货量的方法来增加利润.若这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件,那么要保证每天所赚的利润在320元以上,则销售价每件应定为()
A.12元
B.16元
C.12元到16元之间
D.10元到14元之间
x(0≤x<10)元,即每件获利润(2+x)元,每天可销售(100-10x)件.设每天获得的总利润为y元,由题意知y=(2+x)(100-10x)=-10x2+80x+200,要使每天的利润在320元以上,则有-
10x2+80x+200>320,即x2-8x+12<0,解得2<x<6.故每件定价在12元到16元之间时,能确保每天的利润在320元以上.
4.若a<0,则不等式>1的解集为.
>1可化为>0,
即等价于不等式(x-a)(x-3a)<0.
因为a<0,所以3a<x<a.
a,a)
5.若钝角三角形的边长是三个连续的自然数,则三边长分别为.
n-1,n,n+1(n>1),则n+1所对的角为钝角,(n-1)2+n2-(n+1)2<0,解得
0<n<4,所以n=2,3.当n=2时,三边长为1,2,3,1+2=3,不符合题意.当n=3时,三边长为2,3,4,符合题意.
6.若不等式<1对一切实数x均成立,则实数m的取值范围是.
4x2+6x+3>0,所以不等式可化为2x2+2mx+m<4x2+6x+3,即2x2+(6-2m)x+(3-m)>0.由题意知(6-2m)2-8(3-m)<0,解得1<m<3.
7.解关于x的不等式:>a.
-a>0,即>0,
所以(x-1)[(1-a)x+a]>0.
当1-a=0,即a=1时,不等式可化为x-1>0,则x>1;
当1-a>0,即a<1时,不等式可化为(x-1)>0,
由于1->0,所以x>1或x<;
当1-a<0,即a>1时,不等式可化为(x-1)<0,
由于1-<0,所以1<x<.
综上所述,当a=1时,不等式的解集为(1,+∞);当a<1时,不等式的解集为(1,+∞)∪;当a>1时,不等式的解集为.
8.某摩托车生产企业上年度生产摩托车投入成本1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应提高的比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.设年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式;
(2)为使本年度的年利润比上年有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围内?
依题意,得y=[1.2(1+0.75x)-(1+x)]×1000×(1+0.6x)=1000(-0.06x2+0.02x+0.2).
则所求关系式为y=1000(-0.06x2+0.02x+0.2)(0<x<1).
(2)依题意,得1000(-0.06x2+0.02x+0.2)>(1.2-1)×1000.
化简,得3x2-x<0,解得0<x<.
故投入成本增加的比例x的取值范围是.。