专题八 立体几何 第二十三讲 空间中点、直线、平面之间的位置关系

专题八 立体几何
第二十三讲 空间中点、直线、平面之间的位置关系
一、选择题
1．(2018全国卷Ⅱ)在正方体1111-ABCD A B C D 中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切
值为
A ．
2
B C D 2．(2018浙江)已知平面α，直线m ，n 满足m α⊄，n α⊂，则“m ∥n ”是“m ∥α”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．（2017新课标Ⅰ）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是
4．（2017新课标Ⅲ）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则
A ．11A E DC ⊥
B ．1A E BD ⊥
C ．11A E BC ⊥
D ．1A
E AC ⊥
5．（2016年全国I 卷）平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，αI 平面ABCD =m ，αI
平面ABB 1 A 1=n ，则m ，n 所成角的正弦值为
A B C D ．13
6．（2016年浙江）已知互相垂直的平面αβ， 交于直线l ．若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则
A ．m ∥l
B ．m ∥n
C ．n ⊥l
D ．m ⊥n
7．（2015新课标1）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米
的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有
A ．14斛
B ．22斛
C ．36斛
D ．66斛
8．（2015新课标2）已知A 、B 是球O 的球面上两点，
90=∠AOB ，C 为该球面上的动点．若三棱锥ABC O -体积的最大值为36，则球O 的表面积为
A ．π36
B ．π64
C ．π144
D ．π256
9．（2015广东）若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是
A ．l 与1l ，2l 都不相交
B ．l 与1l ，2l 都相交
C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交
D ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交
10．（2015浙江）如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆翻折成A CD '∆，所成二面角
A CD
B '--的平面角为α，则
11．（2014广东）若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是
A ．14l l ⊥
B ．14//l l
C ．14,l l 既不垂直也不平行
D ．14,l l 的位置关系不确定 12．（2014浙江）设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面
A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥
B ．若//m β，βα⊥则m α⊥
C ．若,,m n n ββα⊥⊥⊥则m α⊥
D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥
13．（2014辽宁）已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是
A ．若//,//,m n αα则//m n
B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥
C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α
D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥
14．（2014浙江）如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距
离为AB ，某目标点P 沿墙面的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角）。

若15AB m =，25AC m =，30BCM ∠=︒则
tan θ的最大值
M
C
A
B
P
A
B
C
D 15．（2014四川）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点。

设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是
A
1
A ．
B
．
C ．
D ． 16．（2013新课标2）已知,m n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．直线l 满足,l m l n ⊥⊥，,l l αβ⊄⊄，
则
A ．α∥β且l ∥α
B ．α⊥β且l ⊥β
C ．α与β相交，且交线垂直于l
D ．α与β相交，且交线平行于l
17．（2013广东）设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是
A ．若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥
B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m n
C ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥
D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥
18．（2012浙江）设l 是直线，,αβ是两个不同的平面
A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥β
B ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β
C ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥β
D ．若α⊥β, l ∥α，则l ⊥β
19．（2012浙江）已知矩形ABCD ，1AB =，BC =
ABD ∆沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻
折，在翻折过程中，
A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直
B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直
C ．存在某个位置，使得直线A
D 与直线BC 垂直
D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直 20．（2011浙江）下列命题中错误．．的是 A ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C ．如果平面αγ⊥平面，平面βγ⊥平面，=l αβ⋂，那么l γ⊥平面
D ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
21．（2010山东）在空间，下列命题正确的是
A ．平行直线的平行投影重合
B ．平行于同一直线的两个平面平行
C ．垂直于同一平面的两个平面平行
D ．垂直于同一平面的两条直线平行 二、填空题
22．(2018全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30︒，若S A B △的
面积为8，则该圆锥的体积为_____．
三、解答题
23．（2018全国卷Ⅱ）如图，在三棱锥-P ABC
中，==AB BC
4====PA PB PC AC ，O 为AC 的中点．
O M
P
C
B
A
(1)证明：PO ⊥平面ABC ；
(2)若点M 在棱BC 上，且2=MC MB ，求点C 到平面POM 的距离．
24．（2018全国卷Ⅲ）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．
(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；
(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．
A B C
D
M
25．（2018北京）如图，在四棱锥P ABCD
中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点．
P
F E
D
C B
A
(1)求证：PE⊥BC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；
(3)求证：EF∥平面PCD．
26．（2018天津）如图，在四面体ABCD 中，ABC ∆是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB
的中点，2AB =
，AD =90BAD ∠=． (1)求证：AD ⊥BC ；
(2)求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； (3)求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．
M A B
C
D
27．(2018江苏)在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，111AB B C ⊥．
D 1
C 1
B 1
A 1
D
C
B
A
求证：(1)AB ∥平面11A B C ；
(2)平面11ABB A ⊥平面1A BC ．
28．(2018浙江)如图，已知多面体111ABCA B C ，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=，
14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．
C 1
B 1
A 1
C
B
A
(1)证明：1AB ⊥平面111A B C ；
(2)求直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值．
29．（2017新课标Ⅱ）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，
1
2
AB BC AD ==
，90BAD ABC ∠=∠=． D
C
B
A P
(1)证明：直线BC ∥平面PAD ；
(2)若PCD ∆
的面积为P ABCD -的体积。

30．（2017新课标Ⅲ）如图，四面体ABCD 中，ABC ∆是正三角形，AD CD =．
A
B
C
D
E
(1)证明：AC BD ⊥；
(2)已知ACD ∆是直角三角形，AB BD =．若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE EC ⊥，求四面体
ABCE 与四面体ACDE 的体积比．
31．（2017天津）如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，AD BC ∥，
PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =．
（Ⅰ）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值； （Ⅱ）求证：PD ⊥平面PBC ；
（Ⅲ）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．
32．（2017山东）由四棱柱1111ABCD A B C D -截去三棱锥111C B CD -后得到的几何体如图所示，四边形ABCD
为正方形，O 为AC 与BD 的交点，E 为AD 的中点，1A E ⊥平面ABCD ， （Ⅰ）证明：1A O ∥平面11B CD ；
（Ⅱ）设M 是OD 的中点，证明：平面1A EM ⊥平面11B CD ．
D 1
B 1
A 1
M O
E D
C
B
A
33．（2017北京）如图，在三棱锥P ABC -中，PA AB ⊥，PA BC ⊥，AB BC ⊥，2PA AB BC ===，
D 为线段AC 的中点，
E 为线段PC 上一点．
（Ⅰ）求证：PA BD ⊥；
（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；
（Ⅲ）当PA ∥平面BDE 时，求三棱锥E BCD -的体积．
34．（2017浙江）如图，已知四棱锥P ABCD -，PAD ∆是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC AD ∥，
CD AD ⊥，22PC AD DC CB ===，E 为PD 的中点．
（Ⅰ）证明：CE ∥平面PAB ；
（Ⅱ）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．
E
D
C
B
A
P
35．（2017江苏）如图，在三棱锥A BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E 、F （E 与
A 、D 不重合）分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ． 求证：（1）EF ∥平面ABC ；
（2）AD ⊥AC ．
F
A
B
C
D
E
36．（2017江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ
E G的长分别为14cm和62cm．分
的底面对角线AC的长为cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，
11
别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
CC上，求l没入水中部分的长度；
（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱1
GG上，求l没入水中部分的长度．（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱1
37．（2016年山东）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.
（I）已知AB=BC，AE=EC.求证：AC⊥FB；
（II）已知G，H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC.
38．（2016年天津）如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，BC=EF=1，
AE
，DE=3，∠BAD=60º，G为BC的中点.
(Ⅰ)求证：FG∥平面BED；
(Ⅱ)求证：平面BED⊥平面AED；
(Ⅲ)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.
39．（2016年全国I 卷）如图，已知正三棱锥P ABC -的侧面是直角三角形，6PA =，顶点P 在平面ABC
内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，连结PE 并延长交AB 于点G ． （I ）证明：G 是AB 的中点；
（II ）在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．
40．（2016年全国II 卷）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E 、F 分别在AD ，CD 上，
AE CF =，EF 交BD 于点H ，将ΔDEF 沿EF 折到ΔD EF '的位置.
(Ⅰ)证明：'AC HD ⊥；
(Ⅱ)若5
5,6,,'4
AB AC AE OD ===
=求五棱锥D ABCFE '-体积．
41．（2016年全国III 卷）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD BC ，=3AB AD AC ==，
4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．
（Ⅰ）证明MN
平面PAB ；
（Ⅱ）求四面体N BCM -的体积．
D
42．（2015新课标1）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ⊥平面ABCD ．
（Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；
（Ⅱ）若120ABC ∠=，AE EC ⊥，三棱锥E ACD -
43．（2015新课标2）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，16AB =，10BC =，18AA =，点E ，F 分别
在11A B ，11D C 上，114A E D F ==．过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．
44．（2014山东）如图，四棱锥P ABCD -中，AP PCD ⊥平面，AD BC ∥，
1
,,2
AB BC AD E F ==
分别为线段,AD PC 的中点.
（Ⅰ）求证：AP BEF ∥平面； （Ⅱ）求证：BE PAC ⊥平面．
45．(2014江苏)如图，在三棱锥ABC P -中，D ，E ，F 分别为棱AB AC PC ,,的中点．已知AC PA ⊥，
,6=PA .5,8==DF BC
求证：（Ⅰ）直线PA ∥平面DEF ；
（Ⅱ）平面BDE ⊥平面ABC ．
46．（2014新课标2）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中
点．
（Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；
（Ⅱ）设二面角D AE C --为60°，AP =1，AD ，求三棱锥E ACD -的体积．
47．（2014天津）如图，四棱锥P ABCD -的底面A B C D 是平行四边形，BA BD ==，
2AD =,PA PD ==E ,F 分别是棱AD ,PC 的中点．
（Ⅰ）证明: EF ∥平面PAB ； （Ⅱ）若二面角P AD B --为60， （ⅰ）证明：平面PBC ⊥平面ABCD ； （ⅱ）求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．
48．（2013浙江）如图，在四棱锥P ABCD中，P A⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=7，P A=3，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．
P
D
B
（Ⅰ）证明：BD⊥面A P C ；
（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与APC所成的角的正切值；
（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求PG
GC的值．
49．（2013辽宁）如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．⊥平面；
（Ⅰ）求证：BC PAC
∆的重心，求证：QG∥平面PBC．（Ⅱ）设Q为PA的中点，G为AOC
50．（2012江苏）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AB AC =，D E ，
分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点．
A 1
求证：（Ⅰ）平面ADE ⊥平面11BCC B ；
（Ⅱ）直线1//A F 平面ADE ．
51．(2012广东)如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//,AB CD PD AD =，E 是PB 中
点，F 是DC 上的点，且1
2
DF AB =
，PH 为PAD ∆中AD 边上的高．
（Ⅰ）证明：PH ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）若1,1PH AD FC ==
=，求三棱锥E BCF -的体积；
（Ⅲ）证明：EF ⊥平面PAB ．
P 中，平面P AD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别52．（2011江苏）如图，在四棱锥ABCD
是AP、AD的中点．
C
求证：（Ⅰ）直线EF∥平面PCD；
（Ⅱ）平面BEF⊥平面P AD．
53．（2011广东）如图，在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且∠DAB=60︒
，PA PD
==PB=2，
E，F分别是BC,PC的中点．
（Ⅰ）证明：AD⊥平面DEF；（Ⅱ）求二面角P-AD-B的余弦值．
54．（2010天津）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，
CD=1，AD
=，∠BAD＝∠CDA＝45°．
（Ⅰ）求异面直线CE与AF所成角的余弦值；（Ⅱ）证明CD⊥平面ABF；
（Ⅲ）求二面角B-EF-A的正切值．
55．（2010浙江）如图，在平行四边形ABCD 中，AB =2BC ，∠ABC =120°．E 为线段AB 的中点，将
△ADE 沿直线DE 翻折成△A DE '，使平面A DE '⊥平面BCD ，F 为线段A C '的中点．
（Ⅰ）求证：BF ∥平面A DE '；
（Ⅱ）设M 为线段DE 的中点，求直线FM 与平面A DE '所成角的余弦值．。