高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.1.1平面课件新人教A版必修2

平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”.
(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意把被遮挡的部分画成
虚线.
即时训练1-1:(1)下列四个选项中的图形表示两个相交平面,其中画法正确的 是( )
(2)如图,用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.
解: (1)在立体几何中凡是被遮挡的线都画成虚线.故选D. (2)在①中,α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.在②中,α∩β=l,a⊂α, b⊂β,a∩l=P,b∩l=P.
题后反思 证明点线共面问题的理论依据是公理2,常用方法有: (1)纳入法:先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线在这个平面内. (2)重合法:先说明一些直线在一个平面内,另一些直线在另一个平面内,再证 明两个平面重合.
即时训练 2 1:已知直线 a∥b∥c,直线 l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C,求证:a,b,c,l
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
(2)因为点B,C1,D不共线,所以B,C1,D可确定平面BC1D,所以点 B,C1,D在同一平面内.
(3)因为AC∩BD=O,D1C∩DC1=E,
所以O∈平面ACC1A1,且O∈平面BC1D.
又C1∈平面ACC1A1,且C1∈平面BC1D,
所以平面ACC1A1∩平面BC1D=OC1.同理平面ACD1∩平面 BDC1=OE.
2
2
所以 E、F、D1、C 四点共面,可设 D1F∩CE=P.
又 D1F⊂ 平面 A1D1DA,CE⊂ 平面 ABCD, 所以点 P 为平面 A1D1DA 与平面 ABCD 的公共点. 又因为平面 A1D1DA∩平面 ABCD=DA,所以据公理 3 可得 P∈DA,即 CE、D1F、DA
三线交于一点.
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平 面
自主预习 课堂探究
自主预习
课标要求
1.正确理解平面的概念. 2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系. 3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理,理解三个公理的地 位与作用.
知识梳理
No Image
解:在平面AA1D1D内,延长D1F,
因为D1F与DA不平行,所以D1F与DA必相交于一点,
设为P,则P∈FD1,P∈DA. 又因为D1F⊂平面BED1F,DA⊂平面ABCD, 所以P∈平面BED1F,P∈平面ABCD,
【备用例3】在正方体ABCD A1B1C1D1中,E、F分别是C 1和A 1的中点,画出平面BED1F 与平面ABCD的交线,并说明理由.
1.平面
(1)平面的概念
几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象
出来的.几何里的平面是 无限延展
的.
(2)平面的画法
①水平放置的平面通常画成一个平行四边形,用平行四边形表示平面,平行 四边形的锐角通常画成 45° ,且横边长等于其邻边长的 2倍 .如图(1).
②如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分
用 虚线 画出来.如图(2).
(3)平面的表示 图(1)的平面可表示为平面ABCD,平面AC,平面BD或平面α .注意:“平面” 二字不能省略.
2.点、直线、平面 之间的位置关系及语言表达
文字语言表达 点 A 在直线 l 上
图形语言表达
点 A 在直线 l 外
点 A 在平面α 内
点 A 在平面α 外 直线 l 在平面α 内
图形语言
符号语言
A∈l,B∈l,且 A∈α ,B∈ α ⇒ l⊂ α
A,B,C 三点不共线⇒ 存在 惟一的平面α ,使 A,B,C ∈α
P∈α ,P∈β ⇒ α ∩β =l,且 P∈l
自我检测
1.(符号表示)下列符号表述中,错误的是( C )
(A)A∈b
(B)A∈α (C)a∈α
(D)P∈(α ∩β )
解: (1)①A∈α,A∉β.②M∈a,M∉α.③α∩β=l. (2)①
②
题后反思
实现三种语言转换要注意
(1)用文字语言、符号语言表Βιβλιοθήκη 一个图形时,首先仔细观察图形有几个平
面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号
语言表示.
(2)符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”,直线与
【备用例 1】 已知在正方体 ABCD A1B1C1D1 中. (1)AA1 与 CC1 是否在同一平面内? (2)点 B,C1,D 是否在同一平面内? (3)画出平面 ACC1A1 与平面 BC1D 的交线,平面 ACD1 与平面 BDC1 的交线.
解:(1)如图所示,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中, 因为 AA1∥CC1,所以 AA1 与 CC1 可确定平面 ACC1A1, 所以 AA1 与 CC1 在同一平面内.
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/7/11
直线AB与平面α 的交点是P,则点P与直线DE的位置关系是
.
答案:点P在直线DE上
课堂探究
题型一 文字语言、图形语言、符号语言的转换
【例1】 完成下列各题: (1)将下列文字语言转换为符号语言. ①点A在平面α 内,但不在平面β 内. ②直线a经过平面α 外一点M. ③直线l在平面α 内,又在平面β 内(即平面α 和平面β 相交于直线l). (2)将下列符号语言转换为图形语言. ①a⊂α ,b∩α =A,A∉a. ②α ∩β =c,a⊂α ,b⊂β ,a∥c,b∩c=P.
题型三 多点共线、多线共点问题
【例 3】 如图所示,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,E 为 AB 的中点,F 为 AA1 的中 点.求证:CE、D1F、DA 三线交于一点.
证明:连接 EF、D1C、A1B,因为 E 为 AB 的中点,F 为 AA1 的中点,
所以 EF 1 A1B.又因为 A1B D1C,所以 EF 1 D1C,
【备用例 2】 如图,空间四边形 ABCD 中,E、H 分别是 AB、AD 中点,F、G 分别是 BC、 CD 上的点,且 CF = CG = 2 .
CB CD 3 求证:三条直线 EF、GH、AC 交于一点.
证明:因为 E、H 分别是 AB、AD 中点,所以 EH 1 BD, 2
因为 CF = CG = 2 ,所以 GF∥BD,GF= 2 BD,
CB CD 3
3
所以 EH∥GF 且 EH≠GF,所以四边形 EFGH 为梯形,
所以两腰 EF、GH 交于一点,记为 P. 因为 EF⊂ 平面 ABC,所以 P∈平面 ABC, 同理 P∈平面 ADC,所以 P 在平面 ADC 和平面 ABC 的交线 AC 上, 所以三条直线 EF、GH、AC 交于一点.
题后反思 (1)证明三线共点常用的方法: 先证明两条直线相交于一点,然后证明这个点在两个平面内,第三条线是这两 个平面的交线,于是该点在第三条直线上,从而得到三线共点.也可以先证明a、 b相交于一点A,b与c相交于一点B,再证明A、B是同一点,从而得到a、b、c 三线共点. (2)类比线共点的证明方法,可得到三点共线的证明方法: ①首先找出两个平面的交线,然后证明这三点都是这两个平面的公共点,根据 公理3,可推知这些点都在交线上,即三点共线. ②选择其中两点确定一条直线,然后证明第三个点也在这条直线上.
2.(公理2)(2015蚌埠市五河高中高二(上)期中)三条两两平行的直线可以 确定平面的个数为( D )
(A)0 (B)1
(C)0或1
(D)1或3
3.(符号表示)如图所示,用符号语言可表达为( A )
(A)α ∩β =m,n⊂α ,m∩n=A
(B)α ∩β =m,n∈α ,m∩n=A
(C)α ∩β =m,n⊂α ,A⊂m,A⊂n
所以P为平面BED1F与平面ABCD的公共点.
又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点,
所以连接PB(如图),PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线.
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
题型二 点线共面
【教师备用】 1.过直线与直线外一点能否惟一确定一平面? 2.两条相交直线能否惟一确定一平面?两条平行直线呢? 提示:由公理2,易证明上述三个问题中,均能惟一确定一平面.
【例2】 如图,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C,求证直线l1、l2、l3在同一 平面内.
证明:法一 (纳入法) 因为l1∩l2=A,所以l1和l2在同一平面α 内. 因为l2∩l3=B,所以B∈l2.又因为l2⊂α ,所以B∈α .同理可证C∈α . 又因为B∈l3,C∈l3,所以l3⊂α .所以直线l1、l2、l3在同一平面内. 法二 (重合法) 因为l1∩l2=A,所以l1、l2确定一个平面α . 因为l2∩l3=B,所以l2、l3确定一个平面β. 因为A∈l2,l2⊂α ,所以A∈α .因为A∈l2,l2⊂β ,所以A∈β . 同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β. 所以不共线的三个点A、B、C既在平面α内,又在平面β内. 所以平面α 和β 重合,即直线l1、l2、l3在同一平面内.
即时训练 3 1:在长方体 ABCD A1B1C1D1中,O1是 A1C1与 B1D1的交点,长方体体对 角线 A1C 交截面 AB1D1 于点 P.求证:O1,P,A 三点在同一条直线上.
证明:因为O1∈平面AB1D1,O1∈平面AA1C1C,A∈平面AB1D1,A∈平面 AA1C1C,又因为A1C∩平面AB1D1=P.所以P∈直线A1C,P∈平面AB1D1,所 以P∈平面AA1C1C,所以P∈直线AO1,即O1、P、A三点在同一条直线上.
直线 l 在平面α 外
平面α ,β 相交于 l
符号语言表达 A∈l A∉l A∈α A∉α l⊂ α
l⊄α
α ∩β =l
3.平面的基本性质
文字语言
公 如果一条直线上的 两点 在一
理 个平面内,那么这条直线在此平
1 面内
公 理 2
过 不在一条直线上 有且只有一个平面
的三点,
公 如果两个不重合的平面有 一个 理 公共点,那么它们有且只有一条 3 过该点 的公共直线
共面.
证明:如图所示. 因为a∥b, 所以a,b可确定一个平面α. 又因为l∩a=A,l∩b=B, 所以A∈a,B∈b,A∈α,B∈α,所以AB⊂α, 又A∈l,B∈l,所以l⊂α. 又因为b∥c,所以b,c可确定一个平面β.同理l⊂β. 因为平面α,β均经过直线b,l,且b和l是两条相交直线, 所以l与b确定的平面是惟一的, 所以a,b,c,l四线共面.
(D)α ∩β =m,n∈α ,A∈m,A∈n
4.(平面的概念)(2015运城市康杰中学高二(上)期中)三个平面将空间最
多能分成( C )
(A)6部分 (B)7部分 (C)8部分 (D)9部分
5.(公理1)点M在直线l上,M不在平面α 内,则l与平面α 的公共点的个数为
个.
答案:0或1
6.(公理3)如图,已知D,E是△ABC的边AC,BC上的点,平面α 经过D,E两点,若