【试题】河南湿封市2020届高三数学第一次模拟考试12月试题文

【关键字】试题
河南省开封市2017届高三数学第一次模拟考试（12月）试题文
一、选择题
1.已知集合，，则=（）
A. B. C. D.
2.设i是虚数单位，复数（a∈R）的实部与虚部相等，则a=（）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
3.若满足，则的最大值为（）
A．-5 B．1 C．2 D．3
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=54，则a2+a4+a9=（）
A.9
B.15
C.18
D.36
5.如图，ABCD为矩形，C、D两点在函数的图象上，点A、B在轴上，且，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（）
A．B．C．D．
6.右图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的值分别为8，10，，则输出和的值分别为（）
A. B. C. D.
7.已知a=log35，b=logπ3，c=50.5，则a，b，c的大小关系是（）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜a＜c D．b＜c＜a
8.为保障春节期间的食品安全，某市质量监督局对超市进行食品检查，如图所示是某品牌食品中微量元素含量数据的茎叶图，已知该组数据的平均数为11.75，则的最小值为（）
A．9 B．C．3 D．
9.函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，如果，且f（x1）=f （x2），则f（x1+x2）=（）
A．B．C．D．1
10.将正三棱柱截去三个角（如图1所示，分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（）
11.已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），过F且垂直于x轴的直线在第一象限内与双曲线、双曲线的渐近线的交点依次为A，B，若A为BF的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．3
12. 已知数列{an}满足：a1=2，，记bn=，则数列{bn}的前n项和Sn=D
A．B．C．D．
二、填空题
13.已知向量=（1，2），=10，|+|=，则||= .
14.已知点P是抛物线y2＝8x上一动点，设点P到此抛物线准线的距离为，到直线x+y－12＝0
的距离为，则的最小值是.
15.已知矩形的周长为18，把它沿图中的虚线折成正四棱柱，则这个正四棱柱的外接球表面积的最小值为.
16.函数图象上关于坐标原点O对称的点有n对，则n= .
三、解答题
17.（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos －3cos(B＋C)=1. (I)求角A的大小；
(II)若AB=3，AC边上的中线BD的长为，求△ABC的面积.
18.（本小题满分12分）
已知在四棱锥中， AB⊥AD，AB∥CD，CD＝2AB＝2，平面SAD⊥平面ABCD，0是线段AD的中点，AD＝2，SE⊥AD.
(1)证明：平面SBE⊥平面SEC；
(2)若OP=1，求三棱锥P-OCD的高．
19.（本小题满分12分）
某市公共电汽车和地铁按照里程分段计价，具体如下表．（不考虑公交卡折扣情况）
已知在地铁一号Array线上，任意一站
到市中心站的票
价不超过5元，现
从那些只乘坐一
号线地铁，且在
市中心站出站的
乘客中随机选出
120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．
（I）如果从那些只乘坐一号线地铁，且在市中心站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地
铁的票价小于5元的概率；
（II）已知选出的120人中有6名学生，且这6人乘坐地铁的票价情形恰好与按票价从这120人中
分层抽样所选的结果相同，现从这6人中随机选出2人，求这2人的票价和恰好为8元的概率；
（Ⅲ）小李乘坐地铁从A地到市中心站的票价是5元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花
交通费也是5元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s公里，试写出s的取
值范围．(只需写出结论)
20．（本小题满分12分）
已知椭圆(a＞b＞0)的一个焦点与抛物线的焦点F重合，且椭圆短轴的两个端点与F构成正三角
形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点作圆的两条切线分别与椭圆相交于点(不同于点).当变化时,试问直线是否过某个
定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.
21.（本小题满分12分）
已知函数f（x）=（x3﹣6x2+3x+t）ex，t∈R．
（Ⅰ）当t=1时，求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数y=f（x）只有一个极值点，求t的取值范围；
（Ⅲ）若存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式f（x）≤x恒成立，求正整数m
的最大值．
22.（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1cos sin x r C y r θθ
=⎧⎨=⎩： （θ为参数）,（0<θ<4）.
曲线2C ： 222cos 222sin x y θθ
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩ （θ为参数）
，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线θα=(0)2π
α<<与曲线1C 交于,N O 两点，与曲线2C 交于,P O 两点，且
||PN 最大值为22.
（Ⅰ）将曲线1C 与曲线2C 化成极坐标方程，并求r 的值；
（Ⅱ）射线4πθα=+
与曲线1C 交于,O Q 两点，与曲线2C 交于,O M 两点，求四边形MNPQ 面积的最大值．
23. （本小题满分10分）
设函数f （x ）=|x ﹣a|，a ＜0．
（Ⅰ）若-2a = 求不等式()()22f x f x +> 的解集；
（Ⅱ）若不等式f （x ）+f （2x ）＜的解集非空，求a 的取值范围．
2016年一模数学试题答案（文科）
一、选择题
DBDCB BCCCA AD
二、填空题
13. 5 14. 29π 16. 4
三、解答题
17.（本小题满分12分）
解：(I)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1，得
2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0．.
解得cos A ＝12
或cos A ＝－2(舍去)． 因为0<A <π，所以A ＝π3
． (II)在ABD ∆中，3=AB ，13=BD ，3π=A ，
利用余弦定理，222cos 2BD A AD AB AD AB =⋅⋅⋅-+，解得4=AD ，
又∵D 是AC 的中点， 8=∴AC ，
36sin 21=⋅⋅⋅=∆A AC AB S ABC ．
18.（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明： PA=PB ，O 为AB 的中点，∴AB PO ⊥.
⊥CD 平面POC , ⊂PO 平面POC ，∴⊥PO CD .
又 AB 与CD 是相交直线，∴⊥PO 底面ABCD .
又 ⊂PO 平面PAB ，∴平面⊥PAB 面ABCD . （Ⅱ）
19.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）记事件A 为“此人乘坐地铁的票价小于5元”， …………………1分
由统计图可知，得120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为60，40，20（人）．
所以票价小于5元的有6040100+=（人）． …………………2分
故120人中票价小于5元的频率是
10051206=． 所以估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率
5()=6P A ． …………………4分
（Ⅱ）记事件B 为“这2人的票价和恰好为8元”， …………………5分
由统计图，得120人中票价为3元、4元、5元的人数比为60:40:203:2:1=，
则6名学生中票价为3元、4元、5元的人数分别为3，2，1（人）． ………6分
记票价为3元的同学为,,a b c ，票价为4元的同学为,d e ，票价为5元的同学为f ，从这6人中
随机选出2人，所有可能的选出结果共有15种，它们是：
(,),(,)c a b a ， (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)d e f c d e f d e f e a a a b b b b c c c d ,
(,),(,)f f d e . …………………8分
其中事件B 的结果有4种，它们是：(,),(,),(,),(,)f f f e a b c d ． …………9分
所以这2人的票价和恰好为8元的概率为
4()15P B =． ………………… 10分 （Ⅲ）(20,22]s ∈ …………………12分
20．（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）由已知可得1,2,c b a ===所求椭圆的方程为2
21
4x y +=.
（Ⅱ）
21.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）函数f （x ）=（x 3﹣6x 2+3x+t ）e x ，
则f′（x ）=（x 3﹣3x 2﹣9x+3+t ）e x ，
函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线斜率为f′（0）=3+t ，
由题意可得，t=1时，（0，f （0））处的切线方程为4x ﹣y+1=0.
（Ⅱ） f′（x ）=（x 3﹣3x 2﹣9x+3+t ）e x ，
令g （x ）=x 3﹣3x 2﹣9x+3+t ，
g′（x ）=3x 2﹣6x ﹣9=3（x 2﹣2x ﹣3）=3（x+1）（x ﹣3）
令g′（x ）=0得x=﹣1或3
∴g （x ）在区间（﹣∞，﹣1），（3，+∞）递增，在区间（﹣1，3）递减，
函数y=f （x ）只有一个极值点，问题等价于g(-1)≤0或g(3)≥0，
解得t≤﹣8或t≥24.
（Ⅲ）不等式f （x ）≤x，即（x 3﹣6x 2+3x+t ）e x ≤x，即t≤xe ﹣x ﹣x 3+6x 2﹣3x ．
转化为存在实数t ∈[0，2]，使对任意的x ∈[1，m]，
不等式t≤xe ﹣x ﹣x 3+6x 2﹣3x 恒成立．
即不等式0≤xe ﹣x ﹣x 3+6x 2﹣3x 在x ∈[1，m]上恒成立．
即不等式0≤e ﹣x ﹣x 2+6x ﹣3在x ∈[1，m]上恒成立．
设φ（x ）=e ﹣x ﹣x 2+6x ﹣3，则φ'（x ）=﹣e ﹣x ﹣2x+6．
设r （x ）=φ'（x ）=﹣e ﹣x ﹣2x+6，则r'（x ）=e ﹣x ﹣2.
因为1≤x≤m，有r'（x ）＜0，故r （x ）在区间[1，m]上是减函数．
又r （1）=4﹣e ﹣1＞0，r （2）=2﹣e ﹣2＞0，r （3）=﹣e ﹣3＜0
故存在x 0∈（2，3），使得r （x 0）=φ'（x 0）=0．
当1≤x＜x 0时，有φ'（x ）＞0，当x ＞x 0时，有φ'（x ）＜0．
从而y=φ（x ）在区间[1，x 0]上递增，在区间[x 0，+∞）上递减．
又φ（1）=e ﹣1+4＞0，φ（2）=e ﹣2+5＞0，φ（3）=e ﹣3+6＞0，φ（4）=e ﹣4+5＞0，
φ（5）=e ﹣5+2＞0，φ（6）=e ﹣6﹣3＜0．
所以当1≤x≤5时，恒有φ（x ）＞0；当x≥6时，恒有φ（x ）＜0.
故使命题成立的正整数m 的最大值为5．
22．（本小题满分10分） （Ⅰ）1:42sin()4C πρθ=+， 2:C r ρ=
max |||||42sin()|4
P N PN r πρρα=-=+-=22，22r ∴= ， 2:22C ρ∴= ……4分
（Ⅱ）11sin sin 2424OPQ OMN S S S OP OQ OM ON ππ∆∆=-=
⋅-⋅四边形 当8π
α=时，面积的最大值为422+
23.（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）223x x x ⎧
⎫<->-⎨⎬⎩⎭
或 ……………5分 （Ⅱ）解：f （x ）+f （2x ）=|x ﹣a|+|2x ﹣a|，a ＜0．
当x≤a 时，f （x ）=a ﹣x+a ﹣2x=2a ﹣3x ，则f （x ）≥﹣a ；
当a ＜x ＜时，f （x ）=x ﹣a+a ﹣2x=﹣x ，则﹣＜f （x ）＜﹣a ；
当x 时，f （x ）=x ﹣a+2x ﹣a=3x ﹣2a ，则f （x ）≥﹣．
则f （x ）的值域为[﹣，+∞），
不等式f （x ）+f （2x ）＜的解集非空，即为
＞﹣，解得，a ＞﹣1，由于a ＜0，
则a的取值范围是（﹣1，0）．……………10分
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