广东省佛山市顺德区容山中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(文)试题附答案

容山中学2018-2019学年第二学期期中考试高二
文科数学试卷
(考试时间：120分钟 满分150分)
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和班级、考号、 座位号等填写在
答题卷的侧面相应的空格内。

2． 必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如 需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作
答的答案无效。

务必在答题卷作答，只收答题卷！ 参考公式：
()(
)()
2
1
2
1
1
2
1
ˆx
n x y
x n y
x x
x
y
y x x
b
n
i i n
i i
i
n
i i
n i i i
--=
---=∑∑∑∑====,a ˆ＝y -－b ˆx -．2
2
()()()()()
n ad bc k a b c d a c b d -=++++
一．选择题（本题共12个小题，
每小题5分，共60分，每小题的四个选项中，只有 一个是正确的）
1. 若复数i a a )2()4(2-+-（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a =（ ） A ．0
B ．2
C ．﹣2
D ．±2
2. 在复平面内复数(3＋2i)i 的共轭复数所对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 3. 由数列1,10,100,1000,
，猜想该数列的第n 项可能是（ ）.
A. 10n
B. 110n -
C. 110n +
D. 11n
4．演绎推理“因为指数函数=x
y a (0,1)a a >≠是增函数，而函数1()2
=x y 是指数函数，
所以1()2
=x y 是增函数”所得结论错误的原因是（ ）
A. 大前提错误；
B. 小前提错误；
C. 推理形式错误 ；
D. 大前提和小前提都是错误。

5．下列推理过程属于演绎推理的为（ ）
A. 老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后 再用于人体试验；
B. 由1=12，1+3=22，1+3+5=32，……得出1+3+5+…+（2n -1）=n 2 ；
C. 由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线（四面体每一个顶点与对面重心的连 线）交于一点；
D. 通项公式形如a n =cq n （cq ≠0）的数列{a n }为等比数列，则数列{2}n
-为等比数列。

6．用反证法证明命题“若0,0≤≥++abc c b a 且，则c b a ,,三个实数中最多有一个小于零”的第 一步的反设内容为（ ）
A. ,,a b c 三个实数中最多有一个不大于零； B ．,,a b c 三个实数中最多有两个小于零； C ．,,a b c 三个实数中至少有两个小于零； D ．,,a b c 三个实数中至少有一个不大于零。

7. 阅读如右图所示的程序框图，则输出的S =( )
A ．45
B ．35
C ．21
D ．15 8. 下列说法错误的是（ ） A. 在残差图中，纵坐标表示残差；
B. 若残差平方和越小，则相关指数2
R 越大； C. 在回归分析中，2
R 为0.98的模型比2R 为0.80的模型拟合的效果好； D. 因为由任何一组观测值都可以求得一个回归直线方程，所以没有必要 进行相关性检验。

第7题图
9．椭圆22
194
x y +=上一动点P 到定点()1,0M 的距离的最小值为（ ） A ．2 B ．
455 C ．1 D ．55
2 第11题图
10．直线
（t 为参数）和圆x 2+y 2=16交于A ，B 两点， 则线段AB 的中点坐标为（ ）
A ．)3,3(-
B ．)3,3(-
C ．)3,3(-
D ．)3,3(-
11. 如右上图，圆周上按顺时针方向标有1，2，3，4，5五个点，一只青蛙按顺时针方向绕圆周从 一
312
4
个点跳到另一点．若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则下一次跳 两个点．该青蛙从5这个点跳起，经2019次跳后它将停在的点是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
12. 设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b= ， a ∨b= ,若正数a 、b 、c 、d 满足
ab ≥4，c+d ≤4，则（ ） A ．a ∨b ≥2，c ∧d ≤2 B ．a ∨b ≥2，c ∨d ≥2 C ．a ∧b ≥2，c ∧d ≤2
D ．a ∧b ≥2，c ∨d ≥2
二、 填空题(本大题共4小题；每小题5分，共20分)
13. 已知i 是虚数单位，复数z 满足1)1(=+i z ，则|z |= .
14. 某单位为了制定节能减排目标，先调查了用电量y （单位：度）与气温x （单位：C O ）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
64
由表中数据，得线性回归直线方程2y x a =-+，当气温不低于3C O -时，预测用电量最多为 度.
15. 有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是 乙
或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的 话只有两句是对的，则获奖的歌手是
16. 类比平面内 “垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间下列结论：
①垂直于同一条直线的两条直线互相平行; ②垂直于同一个平面的两条直线互相平行 ; ③垂直于同一条直线的两个平面互相平行 ; ④垂直于同一个平面的两个平面互相平行.
其中结论正确的序号为 .（写出你认为正确的所有结论的序号）
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为10cos 10sin x y θ
θ=⎧⎨
=⎩
（θ为参数）以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极
轴，建立极坐标系,已知直线l 的极坐标方程为sin()63
π
ρθ-=.
（1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）求直线l 被圆截得的弦长．
18.(本小题满分12分)
某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率作用”的试验，其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示：
现规定平均成绩在80分以上(不含80分)的为优秀． （1）试分别估计两个班级的优秀率；
（2）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并问是否有95%的把握认为“加强‘语文阅读理解’ 训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助.
优秀人数 非优秀人数 合计 甲班 乙班 合计
19.(本小题满分12分)
一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：
（（2）如果y 对x 有线性相关关系，求回归直线方程；
（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为89个，那么机器的运转速度应控制 在什么范围内？(参考数值：13805
=∑i
i
i y
x ，1452
5
=∑i
i x )
20. (本小题满分12分)
在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧+==α
αsin 33cos 3y x (α为参数)，M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →
，
P 点的轨迹为曲线C 2. （1）求C 2的普通方程；
（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝4
π
与C 1的异于极点的交点 为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.
21.(本小题满分12分)
如图，高为1的等腰梯形ABCD ，1
13
AM CD AB ==
=，M 为AB 的三等分点．现将AMD ∆沿MD 折起，使平面AMD ⊥平面MBCD ，连接AB 、AC ．
（1）在AB 边上是否存在点P ，使//AD 平面MPC ？ （2）当点P 为AB 边中点时，求点B 到平面MPC 的距离．
22. (本小题满分12分)
已知函数()ln f x ax x =+()a ∈R .
(1)若2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的方程； (2)求()f x 的单调区间；
（3）设2
()22g x x x =-+，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，
求a 的取值范围.
容山中学2018-2019学年第二学期中考试
高二年级文科数学参考答案
13．
2
2
14. 66 15．丙 16. ②③ 17.解：（1）根据圆的参数方程易得其普通方程为1002
2
=+y x ………2分 直线l 的方程可化为
6cos 2
3
sin 21=-θρθρ ………3分 化为直角坐标为
62
321=-x y ………4分 所以直线l 的直角坐标方程为0123=+-y x ………5分 （2）圆心C 到直线l 的距离62
12
==
d ………7分 所以直线l 被圆C 所截得的弦长为1636100222
2
=-=-d r ……10分
18. .解：(1)甲班优秀人数为21+14=35人，优秀率约为70％；
乙班优秀人数为15+10=25人，优秀率约为50％. ………3分 （2）根据题意填写2×2列联表得
优秀人数 非优秀人数 合计 甲班 35 15 50 乙班 25 25 50 合计
60
40
100
5分 设:0H 加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”无关 ………6分
167.46
2540605050)15252535(1002≈=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=k >3.841 ……………10分
（用公式代数正确2分，计算K 值正确1分，不等式比较1分） 05.0)841.3(=≥k P
…………………………11分
所以有95%的把握认为“加强‘语文阅读理解 训练对
提高‘数学应用题’得分率”有帮助. ………………12分 19.解( 1）散点图略 ……………3分 （2）x =)86542(51
++++ =5 y =50)7050604030(5
1=++++ ……5分
13805
=∑i i
i y x
1452
5
=∑i
i x ∴5.65
5514550
551380ˆ=⨯⨯-⨯⨯-=
b
， ………7分
∴ 5.17ˆˆ=-=x b y a ……………8分 ∴回归直线方程为：5.175.6ˆ+=x y
……………9分 （3）由895.175.6≤+x ， ……………10分 解得11≤x ……………11分 所以机器的运转速度应控制在11转/秒内。

……………12分 20. 解法一： (1)设P (x ，y )，则由条件知M )2
,2(y
x . …………2分
由于M 点在C 1上，所以⎪⎩⎪⎨⎧+==αα
sin 332
cos 32y
x
…………4分
得⎩⎨
⎧+==ααsin 66cos 6y x 即C 2的参数方程为⎩⎨⎧+==α
α
sin 66cos 6y x (α为参数) …………5分
从而，化为普通方程：x 2+(y -6)2=36 …… ……6分 解法二：由题意易得曲线C 1普通方程为9)3(2
2
=-+y x …………2分 设P (x ，y )，),(00y x M 有9)3(202
0=-+y x …………3分 由OP →＝2OM →
，得02x x =，02y y = …………4分 所以,20x x =
,20y y =代入得9)32
()2(22=-+y
x …………5分 化简得C 2的方程为x 2+(y -6)2=36 …………6分 (2)因为曲线C 1的极坐标方程为ρ＝6sin θ， …………7分 曲线C 2的极坐标方程为ρ＝12sin θ …………8分
射线θ＝4π
与C 1的交点A 的极径为ρ1＝6sin 4π
=23 …………89分 射线θ＝4
π
与C 2的交点B 的极径为ρ2＝12sin
4
π
.=26 …………10分 所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝26-23=23 …………12分 21.解：（1）当1
3
AP AB =
时，有//AD 平面MPC ．理由如下： …………2分 连接BD 交MC 于N ，连接NP ． 梯形MBCD 中，//DC MB ， ∴
12DN DC NB MB ==， ∵ADB ∆中，1
2
AP PB =，∴//AD PN ． …………5分
∵AD ⊄平面MPN ，PN ⊂平面MPN ， ∴//AD 平面MPC ． …………6分 （Ⅱ）∵平面AMD ⊥平面MBCD ，平面AMD
平面MBCD DM =，
平面AMD 中，AM DM ⊥，∴AM ⊥平面MBCD ． …………7分 ∴1111121323226
P MBC MBC AM V S -∆=
⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=． …………8分 MPC ∆中，15
2MP AB =
=，2MC =，2215()12PC =+=，
∴221526
2()()2224
MPC S ∆=
-=
， ∴点B 到平面MPC 的距离1
33666
4
P MBC MPC V d S -∆⨯
===． …………12分 22.解（1）当2a =时，)0(ln 2)( x x x x f +=得x
x f 1
2)(+='
312)1(=+='f ，所以切线的斜率3=k …………1分 又21ln 2)1(=+=x f ，所以切线方程为)1(32-=-x y
整理得013=--y x …………2分 （2）)(x f 的定义域为),0(+∞，x
ax x a x f 11)(+=+
=' …………3分 当0≥a 时，0)( x f '恒成立，所以)(x f 的单调增区间为),0(+∞ …………4分 当0 a 时 ，
由01)( x ax x f +=
'，解得a x 1- ，所以单调增区间为)1
,0(a - …………5分 由01)( x ax x f +='，解得a x 1- ，所以单调增区间为),1
(+∞-a
…………6分
（3）由题意，有max max )()(x g x f …………7分
又[]1,0,1)1()(2
∈+-=x x x g ，所以2)(max =x g …………8分
由（2）可知，当0≥a 时，)(x f 在),0(+∞单调递增),0(+∞，
当+∞→x 时，)(x f +∞→，)(x f 没有最大值，不符合题意。

…………9分 当0 a 时，)(x f 在)1,0(a -上单调递增， 在),1
(+∞-a 上单调递减，
所以)(x f 在),0(+∞上有唯一的极大值，就是最大值，
所以)ln(1)1
ln(1)1()(max a a
a f x f ---=-+-=-= …………11分 由题意有2)ln(1 a ---，解得31
e
a - 所以 a 的取值范围为)1
,(3e
-
-∞ …………12分。