2024届辽宁省沈阳市第八十二中学中考数学五模试卷含解析

2024届辽宁省沈阳市第八十二中学中考数学五模试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．在同一直角坐标系中，函数y=kx-k与
k
y
x
(k≠0)的图象大致是（）
A．B．
C．D．
2．如图图形中是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
3．下列计算正确的是（）
A．x2x3＝x6B．（m+3）2＝m2+9
C．a10÷a5＝a5D．（xy2）3＝xy6
4．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是（）
A．∠ADC B．∠ABD C．∠BAC D．∠BAD
5．在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的
概率是1
5
，则n的值为（）
A．10 B．8 C．5 D．3
6．一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（）（结果保留小数点后两位）（参考数据：≈1.732，≈1.414）
A．4.64海里B．5.49海里C．6.12海里D．6.21海里
7．在如图的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象大致是（）
A．B．C．D．
8．某单位若干名职工参加普法知识竞赛，将成绩制成如图所示的扇形统计图和条形统计图，根据图中提供的信息，这些职工成绩的中位数和平均数分别是（）
A．94分，96分B．96分，96分
C．94分，96.4分D．96分，96.4分
9．如图，四边形ABCD 中，AC 垂直平分BD ，垂足为E ，下列结论不一定成立的是（ ）
A ．AB=AD
B ．A
C 平分∠BC
D C ．AB=BD D ．△BEC ≌△DEC
10．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片
瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x 匹，小马有y 匹，那么可列方程组为（ ）
A ．10033100x y x y +=⎧⎨+=⎩
B ．1003100x y x y +=⎧⎨+=⎩
C ．100131003x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩
D ．1003100x y x y +=⎧⎨+=⎩ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．轮船沿江从A 港顺流行驶到B 港，比从B 港返回A 港少用3h ，若静水时船速为26km/h ，水速为2km/h ，则A 港和B 港相距_____km ．
12．若关于x 的一元二次方程230x x m -+=有实数根，则m 的取值范围是________．
13．如图，点A 1的坐标为（2，0），过点A 1作x 轴的垂线交直线l ：y=3x 于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1的长为半径画弧交x 轴正半轴于点A 2；再过点A 2作x 轴的垂线交直线l 于点B 2，以原点O 为圆心，以OB 2的长为半径画弧交x 轴正半轴于点A 3；…．按此作法进行下去，则20192018A B 的长是_____．
14．如图，是一个正方体包装盒的表面展开图，若在其中的三个正方形A 、B 、C 内分别填上适当的数，使得将这个表面展开图折成正方体后，相对面上的两个数互为相反数，则填在B 内的数为______．
15．如果梯形的中位线长为6，一条底边长为8，那么另一条底边长等于__________.
16．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y =k
x
的图象上，则k
的值为________.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）问题提出
（1）如图1，在△ABC中，∠A＝75°，∠C＝60°，AC＝62，求△ABC的外接圆半径R的值；
问题探究
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝45°，AC＝86，点D为边BC上的动点，连接AD以AD为直径作⊙O交边AB、AC分别于点E、F，接E、F，求EF的最小值；
问题解决
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝30°，AB＝AD，BC+CD＝123，连接AC，线段AC的长是否存在最小值，若存在，求最小值：若不存在，请说明理由．
18．（8分）解不等式组：
426
1
1
3
x x
x
x
>-
⎧
⎪
+
⎨
-≤
⎪⎩
，并写出它的所有整数解．
19．（8分）如图，△ABC三个定点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）．
请画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；以原点O 为位似中心，将△A 1B 1C 1放大
为原来的2倍，得到△A 2B 2C 2，请在第三象限内画出△A 2B 2C 2，并求出S △A1B1C1：S △A2B2C2的值．
20．（8分）（1）计算：20161033(1)9(cos 60)(20162015)8(0.125)---++-+⨯-； （2）化简2112()111x x x x
+÷+--，然后选一个合适的数代入求值． 21．（8分）小明在热气球A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC ，并测得B 、C 两点的俯角分别为45°、35°．已知
大桥BC 与地面在同一水平面上，其长度为100m ，求热气球离地面的高度．（结果保留整数）（参考数据：sin35°
=0.57，cos35°=0.82，tan35°=0.70）
22．（10分）计算：﹣16+（﹣12
）﹣2﹣3﹣2|+2tan60° 23．（12分）按要求化简：（a ﹣1）÷22
111a a a ab -+⋅+，并选择你喜欢的整数a ，b 代入求值． 小聪计算这一题的过程如下：
解：原式＝（a ﹣1）÷2
(1)(1)a a ab +-…① ＝（a ﹣1）•2
(1)(1)
ab a a +-…② ＝2
1
ab a +…③ 当a ＝1，b ＝1时，原式＝12
…④ 以上过程有两处关键性错误，第一次出错在第_____步（填序号），原因：_____；
还有第_____步出错（填序号），原因：_____．
请你写出此题的正确解答过程．
24．未成年人思想道德建设越来越受到社会的关注，辽阳青少年研究所随机调查了本市一中学100名学生寒假中花零花钱的数量(钱数取整数元)，以便引导学生树立正确的消费观．根据调查数据制成了频
分组频数频率
0.5～50.5 0.1
50.5～20 0.2
100.5～150.5
200.5 30 0.3
200.5～250.5 10 0.1
率分布表和频率分布直方图(如图)．
(1)补全频率分布表；
(2)在频率分布直方图中，长方形ABCD的面积是；这次调查的样本容量是；
(3)研究所认为，应对消费150元以上的学生提出勤俭节约的建议．试估计应对该校1000名学生中约多少名学生提出这项建议．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、D
【解题分析】
根据k值的正负性分别判断一次函数y=kx-k与反比例函数
k
y
x
=(k≠0)所经过象限，即可得出答案.
【题目详解】解：有两种情况，
当k>0是时，一次函数y=kx-k的图象经过一、三、四象限，反比例函数
k
y
x
=(k≠0)的图象经过一、三象限；
当k<0时，一次函数y=kx-k的图象经过一、二、四象限，反比例函数
k
y
x
=(k≠0)的图象经过二、四象限；
根据选项可知，D选项满足条件.
故选D.
【题目点拨】
本题考查了一次函数、反比例函数的图象.正确这两种图象所经过的象限是解题的关键.
2、B
【解题分析】
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形. 【题目详解】
解：根据中心对称图形的定义可知只有B选项是中心对称图形，故选择B.
【题目点拨】
本题考察了中心对称图形的含义.
3、C
【解题分析】
根据乘方的运算法则、完全平方公式、同底数幂的除法和积的乘方进行计算即可得到答案.
【题目详解】
x2•x3＝x5，故选项A不合题意；
（m+3）2＝m2+6m+9，故选项B不合题意；
a10÷a5＝a5，故选项C符合题意；
（xy2）3＝x3y6，故选项D不合题意．
故选：C．
【题目点拨】
本题考查乘方的运算法则、完全平方公式、同底数幂的除法和积的乘方解题的关键是掌握乘方的运算法则、完全平方公式、同底数幂的除法和积的乘方的运算.
4、D
【解题分析】
∵∠ACD对的弧是AD，AD对的另一个圆周角是∠ABD，∴∠ABD=∠ACD（同圆中，同弧所对的圆周角相等），
又∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，
即∠ACD+∠BAD=90°，
∴与∠ACD互余的角是∠BAD.
故选D.
5、B
【解题分析】
∵摸到红球的概率为1
5
，
∴
21 25
n
=
+
，
解得n=8，
故选B．
6、B
【解题分析】
根据题意画出图如图所示：作BD⊥AC，取BE=CE，根据三角形内角和和等腰三角形的性质得出BA=BE，AD=DE，设BD=x，Rt△ABD中，根据勾股定理得AD=DE= x，AB=BE=CE=2x，由AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30，解之即可得出答案.
【题目详解】
根据题意画出图如图所示：作BD⊥AC，取BE=CE，
∵AC=30，∠CAB=30°∠ACB=15°，
∴∠ABC=135°，
又∵BE=CE，
∴∠ACB=∠EBC=15°，
∴∠ABE=120°，
又∵∠CAB=30°
∴BA=BE，AD=DE，
设BD=x，
在Rt△ABD中，
∴AD=DE= x，AB=BE=CE=2x，
∴AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30，
∴x= = ≈5.49，
故答案选：B.
【题目点拨】
本题考查了三角形内角和定理与等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握三角形内角和定理与等腰直角三角形的性质.
7、A
【解题分析】
函数→一次函数的图像及性质
8、D
【解题分析】
解：总人数为6÷10%=60（人），
则91分的有60×20%=12（人），
98分的有60-6-12-15-9=18（人），
第30与31个数据都是96分，这些职工成绩的中位数是（96+96）÷2=96；
这些职工成绩的平均数是（92×6+91×12+96×15+98×18+100×9）÷60
=（552+1128+1110+1761+900）÷60
=5781÷60
=96.1．
故选D．
【题目点拨】
本题考查1.中位数；2.扇形统计图；3.条形统计图；1.算术平均数，掌握概念正确计算是关键．
9、C
【解题分析】
解：∵AC 垂直平分BD ，∴AB=AD ，BC=CD ，
∴AC 平分∠BCD ，平分∠BCD ，BE=DE ．∴∠BCE=∠DCE ．
在Rt △BCE 和Rt △DCE 中，∵BE=DE ，BC=DC ，
∴Rt △BCE ≌Rt △DCE （HL ）．
∴选项ABD 都一定成立．
故选C ．
10、C
【解题分析】
设大马有x 匹，小马有y 匹，根据题意可得等量关系：①大马数＋小马数＝100；②大马拉瓦数＋小马拉瓦数＝100，根据等量关系列出方程组即可．
【题目详解】
解：设大马有x 匹，小马有y 匹，由题意得：100131003x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩
， 故选C ．
【题目点拨】
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、1．
【解题分析】
根据逆流速度=静水速度-水流速度，顺流速度=静水速度+水流速度，表示出逆流速度与顺流速度，根据题意列出方程，求出方程的解问题可解．
【题目详解】
解：设A 港与B 港相距xkm ，
根据题意得：
3262262
x x +=+- ， 解得：x=1，
则A 港与B 港相距1km ．
故答案为：1．
【题目点拨】
此题考查了分式方程的应用题，解答关键是在顺流、逆流过程中找出等量关系构造方程．
12、94
m ≤ 【解题分析】
由题意可得，△=9-4m≥0，由此求得m 的范围．
【题目详解】
∵关于x 的一元二次方程x 2-3x+m=0有实数根，
∴△=9-4m≥0，
求得 m≤.
故答案为：94
m ≤
【题目点拨】
本题考核知识点：一元二次方程根判别式. 解题关键点：理解一元二次方程根判别式的意义. 13、201923
π 【解题分析】
【分析】先根据一次函数方程式求出B 1点的坐标，再根据B 1点的坐标求出A 2点的坐标，得出B 2的坐标，以此类推总结规律便可求出点A 2019的坐标，再根据弧长公式计算即可求解，．
【题目详解】直线3，点A 1坐标为（2，0），过点A 1作x 轴的垂线交直线于点B 1可知B 1点的坐标为（2，3，
以原O 为圆心，OB 1长为半径画弧x 轴于点A 2，OA 2=OB 1，
OA 2()22223+，点A 2的坐标为（4，0）， 这种方法可求得B 2的坐标为（4，3），故点A 3的坐标为（8，0），B 3（8，3）
以此类推便可求出点A 2019的坐标为（22019，0），
则20192018A B 的长是2019201960221803
ππ⨯⨯=， 故答案为：201923
π． 【题目点拨】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，弧长的计算，解题的关键找出点的坐标的变化规律、运用数形结合思想进行解题.
14、1
【解题分析】
试题解析：∵正方体的展开图中对面不存在公共部分，
∴B 与-1所在的面为对面．
∴B 内的数为1．
故答案为1．
15、4.
【解题分析】
只需根据梯形的中位线定理“梯形的中位线等于两底和的一半”，进行计算.
【题目详解】
解：根据梯形的中位线定理“梯形的中位线等于两底和的一半”，则另一条底边长2684⨯＝﹣＝.
故答案为：4
【题目点拨】
本题考查梯形中位线，用到的知识点为：梯形的中位线=12（上底＋下底） 16、-6 【解题分析】
因为四边形OABC 是菱形,所以对角线互相垂直平分,则点A 和点C 关于y 轴对称,点C 在反比例函数上,设点C 的坐标为(x ,k x ),则点A 的坐标为(－x ,k x ),点B 的坐标为(0,2k x ),因此AC=－2x,OB=2K X
,根据菱形的面积等于对角线乘积的一半得:
()OABC 122122k S x x
=⨯-⨯=菱形,解得 6.k =-
三、解答题（共8题，共72分）
17、（1）△ABC 的外接圆的R 为1；（2）EF 的最小值为2；（3）存在，AC 的最小值为92．
【解题分析】
（1）如图1中，作△ABC 的外接圆，连接OA ，OC ．证明∠AOC=90°即可解决问题；
（2）如图2中，作AH ⊥BC 于H ．当直径AD 的值一定时，EF 的值也确定，根据垂线段最短可知当AD 与AH 重合时，AD 的值最短，此时EF 的值也最短；
（3）如图3中，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABE ，连接EC ，作EH ⊥CB 交CB 的延长线于H ，设BE=CD=x ．证明EC=AC ，构建二次函数求出EC 的最小值即可解决问题．
【题目详解】
解：（1）如图1中，作△ABC 的外接圆，连接OA ，OC ．
∵∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣75°﹣10°＝45°，又∵∠AOC＝2∠B，
∴∠AOC＝90°，
∴AC＝12，
∴OA＝OC＝1，
∴△ABC的外接圆的R为1．
（2）如图2中，作AH⊥BC于H．
∵AC＝86，∠C＝45°，
∴AH＝AC•sin45°＝86×
2
2
＝83，
∵∠BAC＝10°，
∴当直径AD的值一定时，EF的值也确定，
根据垂线段最短可知当AD与AH重合时，AD的值最短，此时EF的值也最短，如图2﹣1中，当AD⊥BC时，作OH⊥EF于H，连接OE，OF．
∵∠EOF＝2∠BAC＝20°，OE＝OF，OH⊥EF，∴EH＝HF，∠OEF＝∠OFE＝30°，
∴EH＝OF•cos30°＝43•
3
2
＝1，
∴EF＝2EH＝2，
∴EF的最小值为2．
（3）如图3中，将△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，连接EC，作EH⊥CB交CB的延长线于H，设BE＝CD＝x．
∵∠AE＝AC，∠CAE＝90°，
∴EC2AC，∠AEC＝∠ACE＝45°，
∴EC的值最小时，AC的值最小，
∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝∠ACB+∠AEB＝30°，
∴∠∠BEC+∠BCE＝10°，
∴∠EBC＝20°，
∴∠EBH＝10°，
∴∠BEH＝30°，
∴BH＝1
2
x，EH
3
，
∵CD+BC＝3CD＝x，∴BC＝3x
∴EC2＝EH2+CH2＝（3
x）2+
2
1
123
2
x x
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
＝x2﹣3x+432，
∵a＝1＞0，
∴当x＝EC的长最小，
此时EC＝18，
∴AC＝
2
EC＝，
∴AC的最小值为．
【题目点拨】
本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．
18、﹣2，﹣1，0，1，2；
【解题分析】
首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集；再确定解集中的所有整数解即可．
【题目详解】
解：解不等式（1），得x3
>-
解不等式（2），得x≤2
所以不等式组的解集：－3＜x≤2
它的整数解为：－2，－1，0，1，2
19、（1）见解析；（2）图见解析；1 4 .
【解题分析】
（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可．
（2）连接A1O并延长至A2，使A2O=2A1O，连接B1O并延长至B2，使B2O=2B1O，连接C1O并延长至C2，使C2O=2C1O，然后顺次连接即可，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．
【题目详解】
解：（1）△A1B1C1如图所示．
（2）△A2B2C2如图所示．
∵△A1B1C1放大为原来的2倍得到△A2B2C2，∴△A1B1C1∽△A2B2C2，且相似比为1
2
．
∴S△A1B1C1：S△A2B2C2=（1
2
）2=
1
4
．
20、（1）0；（2）122x -
+，答案不唯一，只要x≠±1，0即可，当x=10时，122
-． 【解题分析】 （1）根据有理数的乘方法则、零次幂的性质、特殊角的三角函数值计算即可；
（2）先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后约分，再根据分式有意义的条件把x=10代入计算即可．
【题目详解】
解：（1）原式=13113()112--++-
=1﹣3+2+1﹣1
=0；
（2）原式=11(1)(1)(1)2x x x x x
-+--⋅+- =122
x -+ 由题意可知，x≠1
∴当x=10时，
原式=12102-
⨯+ =122
-． 【题目点拨】
本题考查实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值；分式的化简求值，掌握计算法则正确计算是本题的解题关键．
21、热气球离地面的高度约为1米．
【解题分析】
作AD ⊥BC 交CB 的延长线于D ，设AD 为x ，表示出DB 和DC ，根据正切的概念求出x 的值即可．
【题目详解】
解：作AD ⊥BC 交CB 的延长线于D ，
设AD 为x ，
由题意得，∠ABD=45°，∠ACD=35°，
在Rt △ADB 中，∠ABD=45°，
∴DB=x ，
在Rt △ADC 中，∠ACD=35°，
∴tan ∠ACD=
AD CD
， ∴ 100x x = 710 ， 解得，x≈1．
答：热气球离地面的高度约为1米．
【题目点拨】
考查的是解直角三角形的应用，理解仰角和俯角的概念、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，解答时，注意正确作出辅助线构造直角三角形．
22、3
【解题分析】
先根据乘方、负指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【题目详解】
﹣16+(﹣12
)﹣2﹣32|+2tan60° =﹣1+4﹣(233
=﹣1+4﹣33 3．
【题目点拨】
本题主要考查了实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算法则．
23、①, 运算顺序错误； ④， a 等于1时，原式无意义．
【解题分析】
由于乘法和除法是同级运算，应当按照从左向右的顺序计算，①运算顺序错误；④当a ＝1时，211
a a -+等于0，原式无意义．
【题目详解】
①运算顺序错误；
故答案为①，运算顺序错误；
④当a=1时，211
a a -+等于0，原式无意义． 故答案为a 等于1时，原式无意义．
()22111,1a a a a ab
-+-÷⋅+ ()()()2111,11a a a a a ab
++=-⋅
⋅-+ 21.a ab += 当2,1a b ==时，原式2213.212
+=
=⨯ 【题目点拨】 本题考查了分式的化简求值，注意运算顺序和分式有意义的条件．
24、⑴表格中依次填10，100.5，25，0.25，150.5，1；
⑵0.25，100；
⑶1000×（0.3+0.1+0.05）=450（名）．
【解题分析】
（1）由频数直方图知组距是50，分组数列中依次填写100.5，150.5； 0.5-50.5的频数=100×
0.1=10，由各组的频率之和等于1可知：100.5-150.5的频率=1-0.1-0.2-0.3-0.1-0.05=0.25，则频数=100×0.25=25，由此填表即可；（2）在频率分
布直方图中，长方形ABCD 的面积为50×0.25=12.5，这次调查的样本容量是100；（3）先求得消费在150元以上的学
生的频率，继而可求得应对该校1000学生中约多少名学生提出该项建议．．
【题目详解】
解：()1填表如下：
（2）长方形ABCD的面积为0.25，样本容量是100；
()3提出这项建议的人数()
=⨯++=人．
10000.30.10.05450
【题目点拨】
本题考查了频数分布表，样本估计总体、样本容量等知识．注意频数分布表中总的频率之和是1．。