高二英语数学建模方法练习题30题带答案

高二英语数学建模方法练习题30题带答案
1. The number of apples is twice as many as the number of bananas. If the number of bananas is \(x\), then the number of apples is _.
A. \(x + 2\)
B. \(2x\)
C. \(x - 2\)
D. \(x/2\)
答案：B。

解析：在这个句子中，“twice as many as”是关键的英语表述，表示倍数关系。

根据数学原理，如果香蕉的数量是\(x\)，苹果的数量是香蕉数量的两倍，那么就是\(2\times x = 2x\)。

这里主要涉及到简单的倍数关系的数学概念以及对“twice as many as”这个英语短语的理解。

2. There are \(y\) students in a class. If the number of boys is one - third of the total number of students, then the number of boys is _.
A. \(y/3\)
B. \(3y\)
C. \(y + 3\)
D. \(y - 3\)
答案：A。

解析：“one - third of”这个英语短语表示三分之一。

根据数学原理，总数是\(y\)，男孩数量是总数的三分之一，就是\(y\times\frac{1}{3}=\frac{y}{3}\)。

这里考查了分数关系的数学概念和对这个英语短语的理解。

3. The price of a book is \(p\) dollars. If the price of a pen is \(20\%\) less than
the price of the book, then the price of the pen is _.
A. \(0.8p\)
B. \(1.2p\)
C. \(p - 20\)
D. \(p + 20\)
答案：A。

解析：“\(20\%\) less than”表示比某物少百分之二十。

从数学原理上讲，\(20\%\)就是\(0.2\)，那么笔的价格就是书的价格\(p\)减去\(p\times0.2=p - 0.2p = 0.8p\)。

这里涉及到百分数的计算和对这个英语表述的理解。

4. A rectangle has a length of \(l\) and a width of \(w\). The perimeter of the rectangle is _.
A. \(l + w\)
B. \(2l + 2w\)
C. \(l\times w\)
D. \(l - w\)
答案：B。

解析：在英语中，“perimeter”表示周长。

对于矩形来说，周长的计算公式是\(2\times\)（长+宽），即\(2l+2w\)。

这里考查了矩形周长这个数学概念以及对“perimeter”这个英语单词的理解。

5. The area of a square is \(A\) and its side length is \(s\). Then \(A\) is equal to _.
A. \(2s\)
B. \(4s\)
C. \(s^{2}\)
D. \(s/2\)
答案：C。

解析：“area”在英语中表示面积。

对于正方形来说，面积的计算公式是边长的平方，即\(s\times s = s^{2}\)。

这里考查了正方形面积这个数学概念以及对“area”这个英语单词的理解。

6. If the speed of a car is \(v\) kilometers per hour and it travels for \(t\) hours, then the distance it travels is _.
A. \(v/t\)
B. \(v + t\)
C. \(v - t\)
D. \(vt\)
答案：D。

解析：在英语描述中，根据速度、时间和路程的关系，路程等于速度乘以时间。

这里速度是\(v\)，时间是\(t\)，所以路程就是\(v\times t = vt\)。

考查了路程、速度、时间的关系这个数学概念以及对这种英语描述的理解。

7. A sequence starts with \(a_{1}=3\) and each subsequent term is \(2\) more than the previous term. The third term \(a_{3}\) is _.
A. \(5\)
B. \(7\)
C. \(9\)
D. \(11\)
答案：B。

解析：首先，\(a_{1} = 3\)，根据英语描述“each subsequent term is \(2\) more than the previous term”，那么\(a_{2}=a_{1}+2 = 3 + 2=5\)，\(a_{3}=a_{2}+2=5 + 2 =
7\)。

这里考查了数列的概念以及对这种英语描述数列规律的理解。

8. The sum of two numbers is \(10\). If one number is \(x\), then the other number is _.
A. \(10 - x\)
B. \(10 + x\)
C. \(x - 10\)
D. \(x/10\)
答案：A。

解析：根据英语描述“the sum of two numbers is \(10\)”，也就是两个数相加等于\(10\)，如果一个数是\(x\)，那么另一个数就是总和\(10\)减去这个数\(x\)，即\(10 - x\)。

这里考查了简单的加法逆运算的数学概念以及对这种英语表述的理解。

9. A function \(y = f(x)\) is given. If \(x = 3\) and \(f(x)=x^{2}-1\), then \(y\) is _.
A. \(8\)
B. \(10\)
C. \(12\)
D. \(14\)
答案：A。

解析：首先，根据英语描述的函数关系\(y = f(x)\)，当\(x = 3\)时，\(f(x)=x^{2}-1\)，把\(x = 3\)代入函数中，得到\(y=f(3)=3^{2}-1=9 - 1 = 8\)。

这里考查了函数的概念以及对函数表达式的英语描述的理解。

10. The ratio of boys to girls in a class is \(3:2\). If there are \(30\) students in total, then the number of boys is _.
A. \(18\)
C. \(20\)
D. \(24\)
答案：A。

解析：根据英语描述“the ratio of boys to girls is \(3:2\)”，那么男孩占总人数的比例是\(\frac{3}{3 + 2}=\frac{3}{5}\)。

因为总共有\(30\)个学生，所以男孩的数量是\(30\times\frac{3}{5}=18\)。

这里考查了比例的概念以及对这种英语表述比例关系的理解。

11. In a geometric sequence, the first term is 2 and the common ratio is 3. What is the fifth term?
A. 162
B. 54
C. 486
D. 1458
答案：A。

解析：在等比数列中，通项公式为\(a_{n}=a_{1}r^{n -1}\)，这里\(a_{1}=2\)（首项），\(r = 3\)（公比），\(n = 5\)（求第五项）。

那么\(a_{5}=2\times3^{5 -1}=2\times3^{4}=2\times81 = 162\)。

选项B计算错误，按照公式计算不是54；选项C是计算\(2\times3^{5}\)得到的结果，指数计算错误；选项D是计算\(2\times3^{6}\)得到的结果，指数计算错误。

12. A bag contains 5 red balls and 3 blue balls. What is the probability of randomly drawing a red ball?
A. 3/8
B. 5/8
D. 3/5
答案：B。

解析：概率的计算是符合要求的情况数除以总情况数。

这里总共有\(5 + 3=8\)个球，红球有5个，所以抽到红球的概率是\(5\div8 = 5/8\)。

选项A是抽到蓝球的概率；选项C计算错误；选项D是错误的计算结果，不是3/5。

13. The sum of an arithmetic sequence is given by the formula \(S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}\). If \(a_{1}=3\), \(a_{n}=15\) and \(n = 7\), what is \(S_{n}\)?
A. 63
B. 56
C. 49
D. 70
答案：A。

解析：将\(a_{1}=3\)，\(a_{n}=15\)，\(n = 7\)代入公式\(S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}\)，得到\(S_{7}=\frac{7\times(3 + 15)}{2}=\frac{7\times18}{2}=63\)。

选项B是计算错误的结果；选项C是计算错误结果；选项D也是计算错误结果。

14. There are 10 cards numbered from 1 to 10. What is the probability of drawing a card with a number divisible by 3?
A. 3/10
B. 1/3
C. 7/10
D. 2/5
答案：A。

解析：1到10中能被3整除的数有3、6、9共3个，总共有10个数，所以概率是\(3\div10 = 3/10\)。

选项B计算错误；选项C是计算错误结果；选项D是计算错误结果。

15. In a Fibonacci sequence, \(F_{1}=1\), \(F_{2}=1\), and \(F_{n}=F_{n - 1}+F_{n - 2}\). What is \(F_{6}\)?
A. 8
B. 13
C. 5
D. 21
答案：A。

解析：根据公式\(F_{3}=F_{2}+F_{1}=1 + 1=2\)，\(F_{4}=F_{3}+F_{2}=2 + 1=3\)，\(F_{5}=F_{4}+F_{3}=3 + 2=5\)，\(F_{6}=F_{5}+F_{4}=5 + 3=8\)。

选项B是\(F_{7}\)的值；选项C是\(F_{5}\)的值；选项D是\(F_{8}\)的值。

16. A box contains 4 white balls, 3 black balls and 2 red balls. What is the probability of drawing a white or a red ball?
A. 2/3
B. 1/3
C. 4/9
D. 5/9
答案：D。

解析：总共有\(4+3+2 = 9\)个球，白色球有4个，红色球有2个，抽到白色或者红色球的概率是\((4 + 2)\div9 = 6\div9 = 5/9\)。

选项A计算错误；选项B是计算错误结果；选项C是只计算白色球概率的错误结果。

17. The second term of an arithmetic sequence is 5 and the common difference is 3. What is the tenth term?
A. 29
B. 32
C. 35
D. 26
答案：A。

解析：等差数列通项公式\(a_{n}=a_{1}+(n - 1)d\)，已知\(a_{2}=5\)，\(d = 3\)，则\(a_{1}=a_{2}-d = 5 - 3 = 2\)，那么\(a_{10}=2+(10 - 1)\times3=2 + 27 = 29\)。

选项B计算错误；选项C计算错误；选项D计算错误。

18. There are 8 students in a group. 3 of them are boys. What is the probability that a randomly selected student is a girl?
A. 3/8
B. 5/8
C. 1/2
D. 1/4
答案：B。

解析：总共有8个学生，3个是男孩，那么女孩有\(8 - 3 = 5\)个，抽到女孩的概率是\(5\div8 = 5/8\)。

选项A是抽到男孩的概率；选项C计算错误；选项D 计算错误。

19. In a geometric sequence, if \(a_{3}=12\) and \(a_{5}=48\), what is the common ratio?
A. 2
B. - 2
C. 4
D. - 4
答案：A。

解析：等比数列通项公式\(a_{n}=a_{1}r^{n -1}\)，\(a_{3}=a_{1}r^{2}=12\)，\(a_{5}=a_{1}r^{4}=48\)，\(\frac{a_{5}}{a_{3}}=\frac{a_{1}r^{4}}{a_{1}r^{2}}=r^{2}=\frac{48}{12}=4\)，所以\(r = 2\)或\(r=- 2\)，因为等比数列各项同号（这里\(a_{3}=12\)，\(a_{5}=48\)都是正数），所以\(r = 2\)。

选项B不符合数列各项同号；选项C计算错误；选项D不符合数列各项同号。

20. A die is rolled. What is the probability of getting an odd number?
A. 1/2
B. 1/3
C. 2/3
D. 1/6
答案：A。

解析：骰子有1、2、3、4、5、6这6个面，奇数有1、3、5共3个，所以得到奇数的概率是\(3\div6 = 1/2\)。

选项B计算错误；选项C计算错误；选项D 是得到某个特定数字的概率。

21. The profit function of a company is given by \(P(x) = -x^{2}+100x - 2000\), where \(x\) is the number of units produced. To find the maximum profit, we need to find the vertex of the parabola. Which of the following formulas can be used to find the \(x\)-coordinate of the vertex?
A. \(x = -\frac{b}{2a}\)
B. \(x=\frac{b}{2a}\)
C. \(x = -b^{2}- 4ac\)
D. \(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)
答案：B。

解析：对于二次函数\(y = ax^{2}+bx + c\)，其顶点的\(x\)坐标公式为\(x=\frac{-b}{2a}\)。

在本题中利润函数\(P(x) = -x^{2}+100x - 2000\)，这里\(a=-1\)，\(b = 100\)，要找到最大利润也就是找到函数图象顶点的\(y\)值，首先要找到顶点的\(x\)值，根据公式应该是\(x=\frac{b}{2a}\)，A选项符号错误，C选项是判别式\(\Delta=b^{2}-4ac\)不是求顶点横坐标的公式，D选项是求二次方程根的公式不是求顶点横坐标的公式。

22. In a linear programming problem, the objective function is \(Z = 3x+5y\) and the constraints are \(x\geqslant0\), \(y\geqslant0\), \(2x + 3y\leqslant12\) and \(x + y\leqslant5\). Which of the following points is a corner point of the feasible region?
A. (0, 0)
B. (0, 4)
C. (3, 2)
D. (5, 0)
答案：A、B、D。

解析：可行域是由约束条件所确定的区域。

对于\(x\geqslant0\)，\(y\geqslant0\)，\(2x + 3y\leqslant12\)和\(x + y\leqslant5\)。

\((0,0)\)满足所有约束条件，是可行域的一个角点；当\(x = 0\)时，代入\(2x+3y = 12\)得\(y = 4\)，所以\((0,4)\)是可行域的角点；当\(y = 0\)时，代入\(x + y=5\)得\(x = 5\)，所以\((5,0)\)是可行域的角点；把\((3,2)\)代入\(2x + 3y\leqslant12\)得\(2\times3+3\times2=12\)，代入\(x + y\leqslant5\)得\(3 + 2=5\)，但是对于线性规划的角点一般是坐标轴上或者约束直线的交点，\((3,2)\)不是角点。

23. The derivative of the function \(y=\sin(x)\) is:
A. \(\cos(x)\)
B. \(-\cos(x)\)
C. \(\sin(x)\)
D. \(-\sin(x)\)
答案：A。

解析：根据求导公式，\(y = \sin(x)\)的导数是\(\cos(x)\)。

B选项是\(y = \cos(x)\)求导后的结果，C选项是原函数本身不是导数，D选项不符合\(\sin(x)\)的求导结果。

24. Given the function \(f(x)=e^{x}\), what is the second derivative of \(f(x)\)?
A. \(e^{x}\)
B. \(-e^{x}\)
C. \(e^{-x}\)
D. \(\frac{1}{e^{x}}\)
答案：A。

解析：首先\(f(x)=e^{x}\)的一阶导数\(f^{\prime}(x)=e^{x}\)，然后求二阶导数，也就是对\(e^{x}\)再求导，结果仍然是\(e^{x}\)。

B选项是\(e^{x}\)求导后取负，这是错误的；C选项\(e^{-x}\)是\(y = \frac{1}{e^{x}}\)的形式，与\(e^{x}\)的二阶导数无关；D选项\(\frac{1}{e^{x}}\)也不是\(e^{x}\)的二阶导数。

25. In a calculus problem, we need to find the area under the curve \(y = x^{2}+1\) from \(x = 0\) to \(x = 2\). Which integral expression should we use?
A. \(\int_{0}^{2}(x^{2}+1)dx\)
B. \(\int_{2}^{0}(x^{2}+1)dx\)
C. \(\int_{0}^{- 2}(x^{2}+1)dx\)
D. \(\int_{-2}^{0}(x^{2}+1)dx\)
答案：A。

解析：求曲线\(y = f(x)\)从\(a\)到\(b\)下的面积，使用定积分\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)。

在本题中\(y=x^{2}+1\)，要计算从\(x = 0\)到\(x = 2\)下的面积，所以应该是\(\int_{0}^{2}(x^{2}+1)dx\)。

B选项积分上下限颠倒，C选项下限为\(-2\)不符合题目要求的从\(0\)到\(2\)的区间，D选项也是下限为\(-2\)不符合要求。

26. A factory produces two types of products, \(A\) and \(B\). The profit of product \(A\) is \(3\) dollars per unit and the profit of product \(B\) is \(5\) dollars per unit. The production process is restricted by the resources such that \(x\) units of product \(A\) and \(y\) units of product \(B\) satisfy the constraint \(2x+3y\leqslant12\). How can we express the profit function?
A. \(P = 3x + 5y\)
B. \(P=2x + 3y\)
C. \(P = 5x+3y\)
D. \(P=(2x + 3y)(3x + 5y)\)
答案：A。

解析：因为\(x\)单位的产品\(A\)，每单位利润\(3\)美元，\(y\)单位的产品\(B\)，每单位利润\(5\)美元，总利润\(P\)就是\(A\)产品的利润加上\(B\)产品的利润，即\(P = 3x+5y\)。

B选项\(2x + 3y\)是约束条件中的表达式不是利润函数，C选项系数弄反了，D选项这种相乘的形式不符合利润计算的逻辑。

27. The function \(y = \ln(x)\) is defined for which values of \(x\)?
A. \(x>0\)
B. \(x\geqslant0\)
C. \(x<0\)
D. \(x\leqslant0\)
答案：A。

解析：对数函数\(y=\ln(x)\)的定义域是\(x>0\)。

因为对数函数中真数必须是大于\(0\)的数，B选项包含\(x = 0\)是错误的，C选项\(x<0\)不符合对数函数定义域要求，D选项也包含\(x = 0\)或\(x<0\)是错误的。

28. Consider a function \(y = f(x)\) and its inverse function \(x = f^{-1}(y)\). If \(f(2)=3\), then \(f^{-1}(3)\) is equal to:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：B。

解析：如果\(y = f(x)\)，\(x = f^{-1}(y)\)，那么\(f(a)=b\)时，\(f^{-1}(b)=a\)。

已知\(f(2)=3\)，所以\(f^{-1}(3)=2\)。

A、C、D选项不符合反函数的这种对应关系。

29. In a matrix problem, if we have a \(2\times2\) matrix \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\) and a \(2\times1\) matrix \(B=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\), the product \(AB\) is a \(2\times1\) matrix. Which of the following is the correct form of \(AB\)?
A. \(\begin{pmatrix}x + 2y\\3x+4y\end{pmatrix}\)
B. \(\begin{pmatrix}1\times x+2\times y\\3\times x + 4\times y\end{pmatrix}\)
C. \(\begin{pmatrix}x+2y\\3y + 4x\end{pmatrix}\)
D. \(\begin{pmatrix}1\times y+2\times x\\3\times y+4\times x\end{pmatrix}\)
答案：A。

解析：矩阵相乘，对于\(A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\)和\(B=\begin{pmatrix}b_{11}\\b_{21}\end{pmatrix}\)，\(AB=\begin{pmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}\\a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}\end{p
matrix}\)。

在本题中\(a_{11}=1\)，\(a_{12}=2\)，\(a_{21}=3\)，\(a_{22}=4\)，\(b_{11}=x\)，\(b_{21}=y\)，所以\(AB=\begin{pmatrix}x + 2y\\3x+4y\end{pmatrix}\)。

B选项表述啰嗦，C选项计算错误，D选项计算错误。

30. The slope of the tangent line to the curve \(y = x^{3}\) at the point \((1,1)\) can be found by:
A. Substituting \(x = 1\) into \(y^{\prime}=3x^{2}\)
B. Substituting \(x = 1\) into \(y = x^{3}\)
C. Substituting \(y = 1\) into \(y^{\prime}=3x^{2}\)
D. Substituting \(y = 1\) into \(y = x^{3}\)
答案：A。

解析：首先对\(y = x^{3}\)求导得\(y^{\prime}=3x^{2}\)，曲线在某点处切线的斜率就是函数在该点的导数值。

要求曲线\(y = x^{3}\)在点\((1,1)\)处切线的斜率，就是把\(x = 1\)代入到导函数\(y^{\prime}=3x^{2}\)中。

B选项把\(x = 1\)代入原函数得到的是函数值不是切线斜率，C选项把\(y = 1\)代入导函数是错误的做法，D 选项把\(y = 1\)代入原函数也不是求切线斜率的正确方法。