福建省泉州市惠安县2020届高三数学上学期第四次月考试题文

福建省泉州市惠安县2017届高三数学上学期第四次月考试题 文
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（必考题和选考题两部分）。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）
（1）已知集合{1,1,2}A =-，2
{|,}B y y x x A ==∈，则=B A
（A ）{1} （B ）{1,2}
（C ）{0,4}
（D ）{1,1,2}-
（2）在复平面内，复数
21i
i
-对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限
（C ）第三象限 （D ）第四象限
（3）已知等比数列{}n a 中，32a =，4616a a =，则
1210
86
a a a a -=-
（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16
（4）若命题错误！未找到引用源。

：x x R x cos sin ,>∈∃；命题q ：2,10x R x ∀∈+<，则下列结论正确的是
（A ）错误！未找到引用源。

为假命题 （B ）错误！未找到引用源。

为假命题 （C ）错误！未找到引用源。

为假命题 （D ）错误！未找到引用源。

为真命题 （5）下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是
(A)3
y x = (B)y x =
( C)1y x =
(D)1()2
x y = （6）函数
3||()2x y x x =-图象大致是
（A ） （B ） （C ） （D ）
（7）已知1F ，2F 分别是椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的左, 右焦点, 点3(1,)A 在椭圆C 上, 124AF AF +=, 则椭圆C 的离心率是
(A)
12 (B)54 (C)2
3
(D)32
（8）《算数书》是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令
相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积
V 的近似公式2
136
V L h ≈
．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．那么，近似公式2
275
V L h ≈
相当于将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为 （A ）
227 （B ）258 （C ）15750 （D ）355113
（9）已知角ϕ的终边经过点(5,12)P -，函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>）满足对于任意x ，存在12,x x 使得12()()()f x f x f x ≤≤成立，且12||x x -的最小值为
4
π
，则()4
f π
= （A ）513 （B ）513- （C ）1213 （D ）1213
-
（10）在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，60A ∠=，点M 在AB 边上，且1
3
AM AB =，则DM DB ⋅= （A ）3-
（B ）3 （C ）1- （D ）1 （11）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为
（A ）88246++ （B ）88226++ （C ）2226++ （D ）
126
2++ （12）已知定义在R 上的函数()f x ，其导函数为'
()f x 满足'
()()20f x f x -->，(0)1f =-，则不等式()2x
f x e >-（其中e 是自然对数的底数）的解集为 （A ）(,1)
(0,)-∞-+∞ （B ）(,0)(0,)-∞+∞ （C ）(1,)-+∞ （D ）(0,)+∞
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

）
（13）实数,x y 满足10
30330x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪+-≥⎩
，则2z x y =+的最大值为 .
（14）已知双曲线22
21(0)3
x y a a -=>的离心率为2，则=a __________
（15）三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，1AC BC ==
，PA =
锥外接球的体积为 ．
（16）若数列{}n a 满足142n n a a n ++=+（*n ∈N ），且{}n a 单调递增，则1a 的取值范围是 ． 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） （17）（本小题满分12分）
如图所示，在四边形ABCD 中， 2D B ∠=∠，且1AD =，3CD =
，cos 3
B =． （Ⅰ）求△ACD 的面积；
（Ⅱ）若BC =AB 的长． （18）（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 满足138a a +=，2412a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （Ⅱ）若
12311119991000
n S S S S +++⋅⋅⋅+=，求n 的值． （19）（本小题满分12分）
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，且侧面11BB C C 是菱形，160B BC ∠=． （1）求证：1AB BC ⊥；
（2）若AB AC ⊥，11AB BB =
，且该三棱柱的体积为，求AB 的长． （20）（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E 的中心在原点，经过点(0,1)A
，其左、右焦点分别为12,F F ，
且120AF AF ⋅=． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）过点(的直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与圆222
:(0)O x y r r +=>相切
于点Q ，求r 的值及OPQ ∆的面积． （21）（本小题满分12分）
A
B
C
D
A 1
C 1
B 1
C
B
A
已知函数1
()ln f x x a x x
=-
-（a ∈R ）． （Ⅰ）当3a =时，求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）设()()2ln g x f x a x =+，且()g x 有两个极值点12,x x ，其中1(0,]x e ∈，求12()()g x g x -的最小值．
（23）（本题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2+cos 2+sin =⎧⎨=⎩
x y ϕ
ϕ（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线1l
的极坐标方程为sin(+)4
=π
ρθ，
直线2l 的极坐标方程为4
=
π
θ（ρ∈R ），1l 与2l 的交点为M .
（Ⅰ）求点M 的直角坐标；
（Ⅱ）在曲线C 上求一点P ，使PM 最大．
答案
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分。

二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分。

（13）6； （14）1 （15）
6
； （16）(1,3) 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、解：（Ⅰ）因为2D B ∠=∠，cos 3
B =
， 所以3
11cos 22cos cos 2
-=-==B B D ．………………………2分
因为(0,)D π∠∈，所以sin 3
D =， ………………………4分 所以△ACD 的面积1
sin 2
S AD CD D =
⋅⋅⋅= …………………………………6分 （Ⅱ）在△ACD 中，由余弦定理得2
2
2
2cos 12AC AD CD AD CD D =+-⋅⋅=， 所以AC = ……………………………………………………8分
在△ABC 中，由余弦定理得12cos 22
2
2
=⋅⋅-+=B BC AB BC AB AC ． ……………………10分 把已知条件代入并化简得：042
=-AB AB ，0AB >，所以4AB =．…………………………12分
18【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵138a a +=，2412a a +=， ∴11
2282412a d a d +=⎧⎨
+=⎩，解得12
2a d =⎧⎨=⎩．
∴21(1)2
n n n d
S na n n -=+
=+． A
B
C
D
（2）由（1）知
211111
n S n n n n ==-++， ∴
1231111n
S S S S +++⋅⋅⋅+ 1999
111000
n =-
=
+， ∴999n =．
19、【解析】（1）取BC 的中点M ，连结1,AM B M ， ∵AB AC =，M 是BC 中点，∴AM BC ⊥．
∵侧面11BB C C 是菱形，且160B BC ∠=，∴1B M BC ⊥． ∵1AM
B M M =，AM ⊂平面1AB M ，1B M ⊂平面1AB M ，
∴BC ⊥平面1AB M ．
∵1AB ⊂平面1AB M ，∴1AB BC ⊥． （2）设AB x =，依题意可得,2AC x BC x ==
，
∵M 是BC 中点，∴1126
,2,22
AM x BB x B M x ===． ∵11AB BB =，∴12AB x =，
∴222
11AB B M AM =+，即1B M AM ⊥．
由（1）知1B M BC ⊥，且AM
BC M =，
∴1B M ⊥平面ABC ，,即1B M 为三棱柱111ABC A B C - 的高， ∴三棱柱111ABC A B C -的体积
3
166()262V Sh x x x x ==⋅⋅==
解得2x =，即 2AB =．
20【解析】（Ⅰ）设椭圆E 方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>,
M
A
B
C
B 1
C 1
A 1
∵椭圆E 经过点(0,1)A ，∴1b =． ∵120AF AF ⋅=，且12AF AF =， ∴1c b ==，2
2
2
2a b c =+=，
∴椭圆E 的方程为2
212
x y +=． （2）设直线l
的方程为(y k x =+，
由22
(12
y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩
，得2222(21)620k x x k +++-=，①
∴22222
)4(21)(62)8(1)k k k ∆=-+-=-，
∵直线l 与椭圆相切，∴0∆=，解得1k =±．
代入①中得2340x ++=
，解得3
x =-
， 代入直线l
的方程得3
y =±
，即(,33P -±． ∵直线l 与圆22
2
x y r +=
相切，∴2r =
=
=，
∵OP ==
6
PQ ==
， ∴1124
OPQ S PQ r ∆=
⨯⨯=． 21、解：（Ⅰ）)(x f 的定义域),0(+∞，222
1331
()1x x f x x x x
-+'=+-=，……………1分 由()0f x '>得2
310x x -+>
，0x <<
x >；
由()0f x '<得2
310x x -+<
x <<． )(x f 的单调递增区间为3(0,
)2-，
3(,)2+∞；
单调递减区间为33()22
+．……5分
（Ⅱ）x a x
x x g ln 1
)(+-
=，定义域为),0(+∞， 2
22111)(x
ax x x a x x g ++=++='，令0)(='x g 得012
=++ax x ，其两根为21,x x ，则 12121
x x a x x +=-⎧⎨
⋅=⎩，所以，)1
(,11112x x a x x +-==，…………………………………………8分 设x x
x x x x h ln )1(2)1
(2)(+--=，(0,]x e ∈， …………………………………10分
222
11112(1)(1)ln ()2(1)2[(1)ln ()]x x x
h x x x x x x x x
+-'=+
--++=， 当(0,]x e ∈时，恒有()0h x '≤， ∴()h x 在(0,]e 上单调递减；
∴min 4()()h x h e e
==-，∴12()()g x g x -的最小值为4
e -. …………………………12分
23、解（Ⅰ）法一：由sin(+)244
⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩πρθπθ，得2=ρ． …………3分
所以1l 与2l 的交点M 的极坐标方程为(2)4
π
，，
所以点M 的直角坐标为(11)
，． …………5分 法二：直线1l 的直角坐标方程为2+=x y ，
直线2l 的直角坐标方程为=y x ． …………3分 由2
+=⎧⎨
=⎩x y y x
，解得11=⎧⎨=⎩x y ，
所以点M 的直角坐标为(11)
， ． …………5分 （Ⅱ）设点P 的直角坐标为(2cos ,2sin )ϕϕ++，…………6分
22(sin +cos )222sin(+)4
π
ϕϕϕ=+=+． …………9分
当=
4
π
ϕ时，PM 取最大值，此时点P 的直角坐标为22(2+
2+)22
，． …………10分。