事件驱动Markov型网络系统的输出反馈H∞控制

事件驱动Markov型网络系统的输出反馈H∞控制
周学德; 张艳
【期刊名称】《《计算机工程与应用》》
【年(卷),期】2019(055)006
【总页数】7页(P231-236,243)
【关键词】事件驱动; 马尔可夫型网络控制系统; 时滞; Wirtinger's不等式; H∞输出反馈控制
【作者】周学德; 张艳
【作者单位】安徽工程大学电气工程学院安徽芜湖 241000; 安徽检测技术与技能装置省级实验室安徽芜湖 241000
【正文语种】中文
【中图分类】TP13
1 引言
近年来，马尔可夫切换系统作为一类特殊的随机混杂系统，在工业控制系统、网络控制系统、故障检测系等领域被广泛应用[1-7]，吸引着广大学者致力于马尔可夫切换系统稳定性分析和控制器的研究。

另一方面，随着互联网技术的发展，将网络引入到传统的控制系统中——网络控制系统，并广泛地应用于航空航天、国防工业、远程医疗等方面。

尽管网络技术日趋成熟，由于受网络带宽的限制，网络控制系统不可避免的存在网
络时延、丢包、时序错乱等问题[8-10]。

为了克服通信网络时延，解决网络资源受限问题，近年来，信号量化技术[11-13]和事件驱动方法[14-15]越来越受到学者的关注。

本文针对事件驱动马尔可夫型网络系统的输出反馈H∞控制问题展开研究，基于李雅普诺夫稳定性理论，通过构造包含事件驱动和量化输出信息的李雅普诺夫函数，采用Wirtinger's不等式估计李雅普诺夫函数的弱无穷小算子的上界，从而获得低保守性的事件驱动马尔可夫型网络闭环系统稳定性判据，并进一步给出满足H∞扰动抑制水平的输出反馈控制器设计方法，有效地克服了扰动给系统带来的影响。

符号说明：Rn 和Rn×m 分别表示n 维欧几里得空间和n×m 的实矩阵集合；上
标“T”表示矩阵的转置；I表示适当维数的单位矩阵；X ＞0(X ≥0)表示X
∈Rn×n的对称正定实矩阵（正半定矩阵）；sym{X}表示矩阵X和它的转置X T
的和；diag{·}表示对角矩阵；矩阵中∗表示对称矩阵中对称元素。

2 系统的描述
2.1 马尔可夫切换模型
考虑如下的马尔可夫切换系统
其中，x(t)∈Rn,y(t)∈Rm,u(t)∈Rw,z(t)∈Rp，分别为系统的状态向量、测量输出、控制输入、控制输出ω(t)∈L2[0,∞)为有限能量外部扰动输入；
A(rt),B(rt),Bω(rt),C1(rt),C2(rt)和D(rt)是已知适当维数的常值矩阵；且C1(rt)是行满秩矩阵；{ }rt,t ≥0 为有限集合S={1,2,…,r}上的右连续马尔可夫过程，其转移速率矩阵为：Π=(πij)∈(Rr×r)，矩阵元素πij 描述为：
其中，表示从模态i 在经过t+Δ 时间后切换到模态j 的转移速率，当i ≠j 时，有
πij ≥0，且成立。

2.2 事件驱动和量化器引入
假设1 传感器采用时钟驱动，以恒定采样周期h 对传感器输出进行采样，采样数据集由S1={jh|j=1,2,…}表示。

假设2 控制器和执行器采用事件驱动，当没有新的控制信号时，逻辑ZOH 来用来保持执行器控制输入。

传输时刻集由S2={tkh|tk ∈N}⊆S1 表示。

τtk 表示采样信号从事件发生器输出到信号达控制器瞬时的网络诱导时延，τˉ是τtk 上限。

基于假设条件1 和2，在图1 中，引入事件驱动和输出信号量化，即采样数据
y(kh)直接传输到位于传感器和量化器之间的事件发生器，经过事件发生器、量化器处理之后的采样信号为f(y(tkh))。

控制信息是否需传输到网络控制器取决与下面事件驱动阈值条件[16]
其中，σ(rtkh+lh)∈[0,1),Ω(r tkh+lh)是实对称矩阵，l=1,2,…,y(tkh+lh)表示当前输出的采样数据，y(tkh)表示需要传输的最新数据。

图1 事件驱动的网络控制系统的结构图
定义网络允许的等效时延为η(t)=t-tkh-lh，满足0 ≤τtk ≤η(t)≤h+τˉ≡ηM。

为了在系统稳定性分析和推导稳定性判据中包括事件驱动阈值条件（3），将状态误差表示为：
其中t ∈[tkh+τtk,tk+1h+τtk+l+1)，事件驱动阈值条件（3）重新写成下面的形式：
注1 参数σ(rtkh+lh)用于确定信号释放的频率。

在事件驱动阈值条件下，假设采样数据释放的时刻是t1h,t2h,…，网络时变时延是τk，则量化测量数据将在时刻t1h+τt1,t2h+τt2,…到达执行器。

为了减少受通信带宽的限制，采用的量化器定义为：
其中fs(ys(tkh))(s=1,2,…,m)的表达式为：
式中的，量化密度ρfs 是给定的常量，量化级别的定义见文献[17]。

综上所述，基于扇形边界法[18]，考虑在网络中事件驱动、量化、网络诱导时延等，控制器接收到测量输出可以表示为：
其中，Δf=diag{Δf1,Δf2,…,Δfm},Δfs ∈[-δfs,δfs],s=1,2,…,m。

输出反馈控制律为：
其中，K(rt)为控制器增益矩阵。

将公式（7）代入到公式（1）中，得到如下闭环网络控制系统：
2.3 相关的定义和引理
定义1[19]（弱无穷小算子）作用于李雅普诺夫函数V(x(t),rt,t)的马尔可夫过程弱
无穷小算子定义为：
定义2（连续系统的有界实引理）给定标量γ ＞0，如果系统（1）满足；
（1）系统（1）是内部稳定的；
（2）在零初始条件下，系统（1）具有给定的H∞扰动抑制水平γ，即，在零初始条件下，对任意ω(t)∈L2[0,∞),，有：
则系统（1）是内部稳定的且满足H∞性能γ。

引理1[20]（Wirtinger's 不等式）任意适当维数的矩阵R ＞0，实数a、b(b ＞a)及连续可微函数ω(r):[a,b]↦Rn，下面不等式成立：
其中，U1=w(b)-w(a)
引理2[21]假设D,E 和F 为适当维数的实矩阵，且FT(t)F(t)≤I，则对任意实数ε ＞0 下述不等式成立：
3 主要结果
针对事件驱动马尔可夫型网络系统的输出反馈H∞控制问题展开研究，首先给出马尔可夫型网络系统的稳定性条件。

定理1 给定正实数γ,ηM,σi 和控制器Ki，如果存在适当维数的矩阵Pi ＞0,Qi ＞0,Q,R 对任意i ∈S，使得下列线性矩阵不等式（LMIs）成立，则在事件驱动阈值条件（4）下，则闭环系统（8）是具有H∞性能指数γ 渐近稳定的。

其中
证明构造如下的Lyapunov-Krasovskii函数：
其中，P(rt)＞0,Q(rt)＞0,Q ＞0,R ＞0 为了描述方便，对于∀rt=i,i ∈S，记
P(rt)=Pi,Q(rt)=Qi，其他参数矩阵表述类似。

沿系统（8）的轨迹对V(x(t),rt,t)求其弱无穷小算子，得：
将事件驱动的阈值条件（4）代入公式（15）中，得：
公式（16）中的项可以写成下面的形式
考虑到时变时滞对系统稳定性的影响，应用引理1估计单积分项的上界，得：
其中
定义
则
由Schur 补引理知，若矩阵不等式（12）、（13）成立，则J ＜0 成立，由定义2知，系统（8）在H∞性能指数γ 下是渐近稳定的。

证毕。

接下来，基于定理1，给出H∞输出反馈控制器的设计方法。

定理2 给定常数γ,σi,ηM,ε1,ε2 和足够小的正标量si，如果存在正定矩阵和Zi是非奇异矩阵，使得如下LMIs成立，在事件驱动阈值条件（4）下，闭环系统（8）是内部稳定的且满足H∞性能γ，并且输出反馈控制器增益矩阵为：
其中
证明对于∀ε1，由
定义
则式（24）可以表示为：
其中，其他符号在定理1中已定义。

运用引理2处理式（25），对于∀ε2 ＞0，则有：
运用Schur补引理，得：
其中，
引入如下新的矩阵变量：
分别用Ψi 和左乘、右乘矩阵不等式（27），得：
其中：
由于式（28）中存在非线性项BiKiC1iXi,DiKiC1iXi和KiC1iXi，无法用LMI 工具箱求解，受文献[22]的启发，定义，YiC1i=C1iXi，通过变换，非线性项转化为线性项，得到公式（20）。

对于等式YiC1i=C1iXi，引入从右趋近于零的值si,通过求解也就是公式（21），获得满足等式约束的次优解。

用Xi 和左乘、右乘矩阵不等式（13），得：
由Schur补引理可以得到公式（22）的形式。

故，矩阵不等式（20）～（22）成立，则系统（8）在H∞性能指数γ 下是渐近稳定的。

证毕。

4 数值例子
例1 考虑如下2模态马尔可夫切换型网络系统（8），系统矩阵参数为：
马尔可夫过程转移速率矩阵为：
在以下参数：σ1=0.2,σ2=0.1,γ=2,ε1=ε2=1,s1=s2=0.001，量化密度δf=0.5 的条件下。

利用文献[23]的定理2和本文的定理2分别获得最大允许时滞上界和变量个数见表1，对应的控制器增益矩阵为K1=-0.088 5,K2=2.587 0×10-4。

表1 最大允许时滞上界和变量个数方法ηM 变量个数文献[23]中定理20.830 211.5n2+5.5n本文中定理21.019 09.5n2+5.5n
表1的时滞上界对比结果表明：本文所提出的方法具有较低的保守性；而变量的个数对比表明，与文献[23]相比，定理2大大降低了LMIs求解的复杂度。

例2 如图2 所示的微电网风光发电监控系统网络结构图。

该监控系统基于实时的供耗电情况，通过网络下发控制开关K1、K2，决定微电网的运行模式，其中，Z1、Z2、Z3 为线路的阻抗，Z4 为负载的阻抗，异步风电机并网时采用补偿电容进行无功补偿。

根据发电情况，该监控系统可以建模为N=4 的Markov 型网络控制系统（1），其中，模态1：纯光伏单元发电；模态2：纯风电机单元发电；模态3：光伏单元和风电机单元混合发电；模态4：光伏单元和风电机单元均不发电。

系统的状态向量x(t)=[x1(t),x2(t)]T,x1(t)为发电电流，x2(t)为电路流经负载的电流；y(t)、z(t)分别表示电路中的可测输出功率和控制输出功率，网络控制系统的矩阵参数为：
图2 微电网风光发电监控系统网络结构图
马尔可夫过程转移速率矩阵为：
考虑时延对该监控系统的稳定性的影响，应用定理2，得到保证整个系统稳顺运行的最大允许时滞上界为1.091 5 m，相应的控制增益矩阵为：K1=-0.115
7,K2=0.007 7,K3=0.079 2,K4=0.006 3。

5 结束语
考虑到信号量化和事件驱动的特点，本文针对事件驱动马尔可夫型网络系统的输出反馈H∞控制问题展开了研究，提出了具有更低保守性的稳定性判据，并给出满足H∞扰动抑制水平的输出反馈控制器设计方法，而数值例子验证所提出方法的有效性。

同时本文也为研究H∞输出反馈控制器提供了一种有效的分析方法。

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