力法求解超静定结构讲课文档

B F
X1
C
A
B
1X1
C
B 1F
F
1
C
B
11
该体系中多出一个外部约束，为一次超静定梁。
解除多余支座B，并以多余约束X1代替。
以
表示B端沿X1方向的位移
1
1F 是，在F单独作用下引起的位移，
1 X 1 是在X1单独作用在引起的位移，
因此有
＝ 1
1F ＋
1X1
第7页，共43页。
B为支座，因此有
位于对称轴上的截面C的内力 QC=0
第39页，共43页。
力法正则方程：
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1F 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2F 0
31 X 1 32 X 2 33 X 3 3F 0
第40页，共43页。
当对称结构上受对称载荷作用时，在对称面 上，反对称内力等于零。
第35页，共43页。
正对称载荷：绕对称轴对折后，结构在对称轴
两边的载荷的作用点和作用方向将重合，而且
每对力数值相等。
第36页，共43页。
反对称载荷：绕对称轴对折后，结构在对称轴 两边的载荷的数值相等，作用点重合而作用方 向相反。
第37页，共43页。
第38页，共43页。
对称结构在正对称载荷作用下： 结构的内力及变形是对称的
第26页，共43页。
上面我们讲的是只有一个 多余约束的情况
那么多余约束不止一个时 ，力法方程什么样的呢？
第27页，共43页。
第28页，共43页。
变形协调条件：1 2 3 0 i表示Xi作用点沿着Xi方向的位移。
由叠加原理：
同理
第29页，共43页。
1 1X1 1X2 1X3 1P 0
X
0 i
1单独作用时所产生的位
移
i
表示
j
X
作用点沿着
i
X i方向由于
X
0 j
1单独作用时所产生的位
移
iF
表示
X
作用点沿着
i
X i方向由于
实际载荷单独作用所产 生的位移
第32页，共43页。
X
设
X
0 i
0 j
1引起的弯矩为 1引起的弯矩为
M
0 i
M
0 j
实际载荷引起的弯矩为
MP
则：
ii
l
M
11
1 EI
l 1
l EI
M10图
1P
1 EI
Pl2 8
1
Pl2 8EI
由 11 X 1 1P
0得 X1
Pl 8
第17页，共43页。
MP图
vC4P 8lE 3I21P 86lE lI2
Pl3
192EI
第18页，共43页。
求图示刚架的支反力。
第19页，共43页。
M10图
a
qa 4 2 EI
由 11 X 1 1P 0
得
X1
3 qa 8
X B 0,
YB
3 qa 8
X A 0,
YA
11 qa 8
,
M
A
qa 2 8
逆时针
第15页，共43页。
例：两端固定的梁，跨中受集中力Ｐ作用， 设梁的抗弯刚度为EI，不计轴力影响。求梁中 点的挠度。
第16页，共43页。
RC 4m Βιβλιοθήκη amAmB
m 3
逆
时
针
第24页，共43页。
等截面平面框架的受力情况如图所示。试 求最大弯矩及其作用位置。
第25页，共43页。
解 ： 载 荷 关 于 对 角 线 AC 和 BD反 对 称 。
由平衡条件可得：
Q P cos45 2 P 2
M m ax
Pa 2
M m ax 发 生 在 外 载 荷 P 作 用 点 处
等截面梁的受力情况如图所示。试求Ａ、 Ｂ、Ｃ三处的约束力。
第22页，共43页。
M10图
MP图
由反对称性知，B支座约束反力RB 0
11
1 EI
9a2 2
2a
9a3 EI
1P
1 EI
2ma 2a
4ma2 EI
第23页，共43页。
由 11 X 1 1P 0 得
X1
4m 9a
R A
1 11 X 1 12 X 2 13 X 3 1P 0 2 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 P 0 3 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3P 0
力法正则方程：
11X1 12 X 2 1n X n 1F 0
11F1X0
对X1于倍弹，性故结构，也位 移是1 X与1 力成的正X1比11倍，，X1即是有单位力的
1X 11X1
11 X11F0
第8页，共43页。
这里可求得
11
l3 3 EI
Fa 2
1F
(3l a)
6EI
于是可求得
X1
Fa3 2l3
(3l
a)
第9页，共43页。
例 ： 平面刚架受力如图，各杆 EI=常数。试 求C处的约束力、支座反力。
用图乘法可证明
12 21 23 32 0
于是正则方程可化为
11X1 13X3 1F
31X1 33X3 3F
22X2 0
第41页，共43页。
对称结构在反对称载荷作用下：
结构的内力及变形是反对称的
位于对称轴上的截面C的内力 NC=0 ， MC=0
第42页，共43页。
当对称结构上受反对称载荷作用时，在对称 面上，对称内力等于零。
用图乘法可证明
12 21 23 32 0
于是正则方程可化为
11 X 1 13 X 3 0
31 X 1 33 X 3 0
第43页，共43页。
22 X 2 2 F
0 i
M
EI
0 i
d x， i
j
l
M
0 i
M
EI
0
j dx
iF
l
M
0 i
M
EI
F dx
第33页，共43页。
补充-3 对称及反对称性质的利用
• 基本概念：
• 对称结构
• 对称载荷与反对称载荷
• 对称内力与反对称内力
第34页，共43页。
对称性的利用：
对称结构：若将结构绕对称轴对折后，结构在 对称轴两边的部分将完全重合。
力法求解超静定结构
第1页，共43页。
第2页，共43页。
第3页，共43页。
求解静不定系统的基本方法，是解除多余 约束，代之以多余约束反力，根据多余约束处 的变形协调条件建立补充方程进行求解。
解除多余约束后得到的静定结构，称为原 静不定系统的静定基本系统，或相当系统。
（本章主要用力法解超静定结构）
21X1 22 X 2 2n Xn 2F 0
n1 X1 n2 X 2 nn X n nF 0
第30页，共43页。
力法正则方程：
11 12 1n X1 1F
21
n1
22
n2
2n
nn
XXn2
2F
nF
0
第31页，共43页。
ii表示
X
作用点沿着
i
X i方向由于
3qa 16
,
YA
YB
qa 2
M
A (顺时针 )
M B (逆时针 )
qa 2 16
第12页，共43页。
例：试求图示平面刚架的支座反力。已知各杆 EI=常数。
第13页，共43页。
第14页，共43页。
MP图
M10图
11
1 EI
a2 2
2a 3
a2
a
4a 3 3 EI
1P
1 EI
qa 2
3
第10页，共43页。
M10图
11
1 EI
a2 2
2a
3
a3 3EI
1P
1 EI
a2 2
qa
2
8
qa4 16EI
第11页，共43页。
MP图
由 力 法 正 则 方 程 11 X 1 1P 0 得 ：
X1
3qa 16
XC
3qa 16
， YC
0，M C
0
X A ( )
X B ( )
第4页，共43页。
补充-2 力法解超静定结构
在求解静不定结构时，一般先解除多余约 束，代之以多余约束力，得到基本静定系。再 根据变形协调条件得到关于多余约束力的补充 方程。这种以“力”为未知量，由变形协调条
件为基本方程的方法，称为力法。
第5页，共43页。
A A
第6页，共43页。
A
C
B
a
F
l
C
X1 A
MP图
第20页，共43页。
11
2 a2
EI 2
2
a
3
2a 3 3EI
1 2 qa 2 a
qa 4
1P
EI
3
8
a 2 24EI
由 11 X 1 1P 0 得
X1
qa 16
XB
qa
16
,
YB
9qa 16
X
A
qa 16
,
第21页，共43页。
7 q a
YA 16