高三数学第一次模拟考试试题 理含解析 试题 5

卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学第一次模拟考试试题理〔含解析〕
第I卷(选择题一共60分)
一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．
1.设集合那么()
A.[1，3]
B.(1，3]
C.[2，3]
D.[－l，
+∞)
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出集合A，B，由此能求出A∩B．
【详解】∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，
B＝{x|y＝ln〔x﹣1〕}＝{x|x＞1}，
∴A∩B＝{x|1＜x≤3}＝〔1，3]．
应选：B．
【点睛】此题考察交集的求法，考察交集定义等根底知识，考察运算求解才能，是根底题．
2.假设复数，其中i为虚数单位，那么以下结论正确的选项是()
A.z的虚部为
B.
C.为纯虚数
D.z的一共轭复数为
【答案】AC
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案
【详解】∵z，
∴z的虚部为﹣1，|z|，z2＝〔1﹣i〕2＝﹣2i为纯虚数，z的一共轭复数为1+i．，
应选：AC．
【点睛】此题考察复数代数形式的乘除运算，考察复数的根本概念，是根底题．
3.执行如下列图的程序框图，假设输入a的值是，那么输出的S的值是()
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【详解】模拟程序的运行，可得
a＝﹣1，S＝0，k＝1
满足条件k＜5，执行循环体，S＝﹣1，a＝1，k＝2
满足条件k＜5，执行循环体，S，a＝3，k＝3
满足条件k＜5，执行循环体，S，a＝5，k＝4
满足条件k＜5，执行循环体，S，a＝7，k＝5
此时，不满足条件k＜5，退出循环，输出S的值是．
应选：C．
【点睛】此题考察了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是根底题．
4.假设变量满足那么的最大值是()
A. B.1 C.2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，化目的函数为直线方程的一般式，通过圆心到直线的间隔，求解即可．
【详解】由变量x，y满足作出可行域如图，
化z＝2x+y为2x+y﹣z＝0，
由图可知，当直线y＝﹣2x+z与圆相切于A时，直线在y轴上的截距最大，
z最大，此时．z．
应选：D．
【点睛】此题考察了简单的线性规划，考察了数形结合的解题思想方法，是中档题．
5.函数是定义在R上的奇函数，且假设那么()
A. B.9 C. D.0
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数的奇偶性可知f〔﹣x〕＝﹣f〔x〕，将f〔1+x〕＝f〔1﹣x〕变形可得f〔﹣x〕＝f〔2+x〕，综合分析可得f〔x+4〕＝f〔x〕，即函数f〔x〕是周期为4的周期函数，据此可得f〔2021〕＝﹣f〔1〕，即
可得答案．
【详解】根据题意，函数f〔x〕是定义在R上的奇函数，那么f〔﹣x〕＝﹣f〔x〕，
又由f〔1+x〕＝f〔1﹣x〕，那么f〔﹣x〕＝f〔2+x〕，
那么有f〔x+2〕＝﹣f〔x〕，变形可得f〔x+4〕＝﹣f〔x+2〕＝f〔x〕，即函数f〔x〕是周期为4的周期函数，
那么f〔2021〕＝f〔﹣1+505×4〕＝f〔﹣1〕＝﹣f〔1〕＝﹣9；
应选：A．
【点睛】此题考察抽象函数的应用，涉及函数的周期性，奇偶性，关键是分析函数f〔x〕的周期性，是中档题.
6.平面，直线，满足，那么“〞是“〞的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
根据线面平行的定义和性质以及充分条件和必要条件的定义进展判断即可．
【详解】当m∥n时，假设，那么充分性不成立，
当m∥α时，m∥n不一定成立，即必要性不成立，
那么“m∥n〞是“m∥α〞的既不充分也不必要条件．
应选：D．
【点睛】此题主要考察充分条件和必要条件的判断，根据线面平行的定义和性质是解决此题的关键，是根底题．
7.假设那么()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用三角函数的诱导公式和同角三角函数关系式的应用求出结果．
【详解】sinx＝3sin〔x-〕＝﹣3cosx，
解得：tanx＝﹣3，
所以：cosxcos〔x〕＝﹣sinxcosx==，
应选：A．
【点睛】此题考察的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，诱导公式,同角三角函数关系式的应用，主要考察学生的运算才能和转化才能，属于根底题型．
8.如图为某国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量(单位：套)与成交量(单位：套)作出如下判断：①日成交量的中位数是16；②日成交量超过日平均成交量的有2天；③认购量与日期正相关；④10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅．那么上述判断正确的个数为()
A.0
B.1
C.2
D.3
【答案】B
【解析】
【分析】
结合图形及统计的根底知识逐一断定即可．
【详解】7天假期的楼房认购量为：91、100、105、107、112、223、276；
成交量为：8、13、16、26、32、38、166．
对于①，日成交量的中位数是26，故错；
对于②，日平均成交量为：，有1天日成交量超过日平均成交量，故错；
对于③，根据图形可得认购量与日期不是正相关，故错；
对于④，10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅，正确．
应选：B
【点睛】此题考察了统计的根底知识，解题关键是弄清图形所表达的含义，属于根底题，
9.九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵〞．某“堑堵〞的三视图如下列图，那么该“堑堵〞的外接球的体积为()
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先将几何体的三视图转换为几何体进一步求出几何体的外接球半径，最后求出体积．
【详解】根据几何体的三视图转换为几何体为：下底面为等腰三角形腰长为，
高为2的直三棱柱，故外接球的半径R，
满足，
解得：R=，
所以：V=．
应选：A．
【点睛】此题考察的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算才能和转化才能，属于根底题型．
10.函数的零点构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象．关于函数，以下说法正确的选项是()
A.在上是增函数
B.其图象关于直线对称
C.函数是偶函数
D.在区间上的值域为
【答案】D
【解析】
【分析】
化简f〔x〕=2sin〔ωx〕，由三角函数图象的平移得：g〔x〕＝2sin2x，
由三角函数图象的性质得y＝g〔x〕的单调性，对称性，再由x时，求得函数g〔x〕值域得解.【详解】f〔x〕＝sinωx cosωx＝2sin〔ωx〕，
由函数f〔x〕的零点构成一个公差为的等差数列，
那么周期T＝π，即ω＝2，
即f〔x〕＝2sin〔2x〕，
把函数f〔x〕的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数g〔x〕的图象，
那么g〔x〕＝2sin[2〔x〕]＝2sin2x，
当≤2x≤,即≤x≤,y＝g〔x〕是减函数，故y＝g〔x〕在[，]为减函数，
当2x=即x〔k∈Z〕,y＝g〔x〕其图象关于直线x〔k∈Z〕对称,且为奇函数，
应选项A，B，C错误，
当x时，2x∈[，]，函数g〔x〕的值域为[，2]，
应选项D正确，
应选：D．
【点睛】此题考察了三角函数图象的平移、三角函数图象的性质及三角函数的值域，熟记三角函数根本性质，纯熟计算是关键，属中档题
11.双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为4，渐近线方程为
，点N在圆上，那么的最小值为()
A. B.5 C.6 D.7
【答案】B
【解析】
【分析】
求得双曲线的a，b，可得双曲线方程，求得焦点坐标，运用双曲线的定义和三点一共线获得最小值，连接CF2，交双曲线于M，圆于N，计算可得所求最小值．
【详解】由题意可得2a＝4，即a＝2，
渐近线方程为y＝±x，即有，
即b＝1，可得双曲线方程为y2＝1，
焦点为F1〔，0〕，F2，〔，0〕，
由双曲线的定义可得|MF1|＝2a+|MF2|＝4+|MF2|，
由圆x2+y2﹣4y＝0可得圆心C〔0，2〕，半径r＝2，
|MN|+|MF1|＝4+|MN|+|MF2|，
连接CF2，交双曲线于M，圆于N，
可得|MN|+|MF2|获得最小值，且为|CF2|3，
那么那么|MN|+|MF1|的最小值为4+3﹣2＝5．
应选：B．
【点睛】此题考察双曲线的定义、方程和性质，考察圆的方程的运用，以及三点一共线获得最值，考察数形结合思想和运算才能，属于中档题．
12.当时，关于的方程有唯一实数解，那么所在的区间是()
A.(3，4)
B.(4，5)
C.(5，6)
D.(6．7)【答案】C
【解析】
【分析】
把方程xlnx+〔3﹣a〕x+a＝0有唯一实数解转化为有唯一解，令f〔x〕〔x ＞1〕，利用导数研究其最小值所在区间得答案．
【详解】由xlnx+〔3﹣a〕x+a＝0，得，
令f〔x〕〔x＞1〕，那么f′〔x〕．
令g〔x〕＝x﹣lnx﹣4，那么g′〔x〕＝10，
∴g〔x〕在〔1，+∞〕上为增函数，
∵g〔5〕＝1﹣ln5＜0，g〔6〕＝2﹣ln6＞0，
∴存在唯一x0∈〔5，6〕，使得g〔x0〕＝0，
∴当x∈〔1，x0〕时，f′〔x〕＜0，当x∈〔x0，+∞〕时，f′〔x〕＞0．
那么f〔x〕在〔1，x0〕上单调递减，在〔x0，+∞〕上单调递增．
∴f〔x〕min＝f〔x0〕．
∵﹣4＝0，∴，
那么∈〔5，6〕．
∴a所在的区间是〔5，6〕．
应选：C
【点睛】此题考察利用导数研究函数的单调性，考察函数零点的断定，考察数学转化思想方法，纯熟运用零点存在定理得x0﹣lnx0﹣4＝0并反代入f〔x0〕是此题关键，属中档题．
第二卷(非选择题一共90分)
二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．
13.某从编号依次为01，02，…，90的90个学生中用系统抽样(等间距抽样)的方法抽取一个样本，样本中相邻的两个组的编号分别为14，23，那么该样本中来自第四组的学生的编号为______．
【答案】32
【解析】
【分析】
根据条件求出样本间隔，即可得到结论．
【详解】样本间隔为23﹣14＝9，那么第一个编号为5，第四个编号为14+2×9＝14+18＝32，
故答案为：32
【点睛】此题主要考察系统抽样的应用，熟记系统抽样的原那么与方法，求出样本间隔是解决此题的关键．比较根底．
14.的展开式中，的系数为______．(用数字答题)．
【答案】80
【解析】
【分析】
把〔x﹣2y〕5按照二项式定理展开，可得〔2x+y〕〔x﹣2y〕5的展开式中，x2y4的系数．
【详解】∵〔2x+y〕〔x﹣2y〕5＝〔2x+y〕〔x5﹣10x4y+40x3y2﹣80x2y3+80xy4﹣32y5〕，
∴x2y4的系数为2×80﹣80＝80，
故答案为：80．
【点睛】此题主要考察二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，项的系数的性质，属于根底题．15.如下列图，在正方形OABC内随机取一点，那么此点取自黑色局部的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】
结合定积分计算阴影局部平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解．
【详解】正方形的面积为e2，
由lnxdx＝〔xlnx﹣x〕1，
由函数图像的对称性知黑色区域面积为2lnxdx=2
即S阴影＝2，
故此点取自黑色局部的概率为，
故答案为：
【点睛】此题考察几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影局部的面积．16.在△ABC中，记假设．那么sinA的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
把给定的，用根底向量，来表示，借助余弦定理和根本不等式求出cosA的最小值，从而得sinA
的最大值．
【详解】∵在△ABC中，记334，，⊥，∴5•40
cosA，
当且仅当时取到等号．又因为sin2A+cos2A＝1，
所以sinA的最大值为．
故答案为
【点睛】此题考察向量向量根本定理，余弦定理，根本不等式的应用，纯熟运用向量向量根本定理及余弦定理，合理构造根本不等式是关键，属于中档题．
三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须答题．第22、23题为选考题，考生根据要求答题．
(一)必考题：一共60分．
17.等差数列的公差为正数，，其前项和为；数列为等比数列，，且
．
(I)求数列与的通项公式；
(II)设，求数列的前项和．
【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ).
【解析】
【分析】
〔Ⅰ〕等差数列{a n}的公差d为正数，数列{b n}为等比数列，设公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；〔Ⅱ〕求得c n＝
b n2n2n+2〔〕，数列的分组求和和裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．
【详解】解：(Ⅰ)设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，那么
解得
∴，.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知.
∴，
∴.
【点睛】此题考察等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考察数列的分组求和和裂项相消求和，考察化简整理的运算才能，属于中档题．
18.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，底面ABCD，
．
(I)求证：平面PCA⊥平面PCD；
(II)设E为侧棱PC上的一点，假设直线BE与底面ABCD所成的角为45°，求二面角的余弦值．【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ).
【解析】
【分析】
〔Ⅰ〕推导出CD⊥AC，PA⊥CD，从而CD⊥平面PCA，由此能证明平面PCA⊥平面PCD．
〔Ⅱ〕以A为坐标原点，AB，AC，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣AB﹣D的余弦值．
【详解】解：(Ⅰ)在平行四边形ABCD中，∠ADC=60°，，，由余弦定理得
，
∴，∴∠ACD=90°，即CD⊥AC，
又PA⊥底面ABCD，CD底面ABCD，∴PA⊥CD，
又，∴CD⊥平面PCA.
又CD平面PCD，∴平面PCA⊥平面PCD.
(Ⅱ)如图，以A为坐标原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.
那么，，，，.
设，，
那么
∴x=0，，，即点E的坐标为
∴
又平面ABCD的一个法向量为
∴sin45°
解得
∴点E的坐标为，∴，，
设平面EAB的法向量为
由得
令z=1，得平面EAB的一个法向量为
∴.
又二面角E-AB-D的平面角为锐角，
所以，二面角E-AB-D的余弦值为
【点睛】此题考察面面垂直的证明，考察二面角的余弦值的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算求解才能，考察数形结合思想，是中档题．
19.某为了理解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，结果这100人的体重全部介于45公斤到75公斤之间，现将结果按如下方式分为6组：第一组[45，50)，第二组[50，55)，…，第六组[70，75)，得到如以下列图(1)所示的频率分布直方图，并发现这100人中，其体重低于55公斤的有15人，这15人体重数据的茎叶图如图(2)所示，以样本的频率作为总体的概率．
(I)求频率分布直方图中的值；
(II)从全校学生中随机抽取3名学生，记X为体重在[55，65)的人数，求X的概率分布列和数学期望；(III)由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重近似服从正态分布，其中假设，那么认为该校学生的体重是正常的．试判断该校学生的体重是否正常并说明理由．
【答案】(Ⅰ)a=0.004，b=0.026，c=0007；(Ⅱ)详见解析；(Ⅲ)正常.
【解析】
【分析】
〔Ⅰ〕由茎叶图中的数据，用样本的频率估计总体的频率，求得对应的概率值，再计算a、b、c的值；〔Ⅱ〕用由题意知随机变量X服从二项分布B〔3，0.7〕，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值；〔Ⅲ〕由题意知ξ服从正态分布N〔60，25〕，计算P〔μ﹣2σ≤ξ＜μ+2σ〕的值，再判断学生的体重是否正常．
【详解】解：(Ⅰ)由图〔2〕知，100名样本中体重低于50公斤的有2人，
用样本的频率估计总体的概率，可得体重低于50公斤的概率为，
那么，
在上有13人，该组的频率为0.13，那么，
所以，即c=0.07.
(Ⅱ)用样本的频率估计总体的概率，可知从全体学生中随机抽取一人，体重在的概率为
0.07×10=0.7，随机抽取3人，相当于三次HY重复试验，随机变量X服从二项分布，
那么，
，
，
，
所以，X的概率分布列为：
X 0 1 2 3
P
(Ⅲ)由N(60,25)得
由图〔2〕知.
所以可以认为该校学生的体重是正常的.
【点睛】此题考察了茎叶图与频率分布直方图的应用问题，也考察了概率分布与数学期望的计算问题，熟记频率分布直方图性质，纯熟计算二项分布是关键，是中档题．
20.椭圆的离心率为，且椭圆C过点．
(I)求椭圆C的方程；
(II)设椭圆C的右焦点为F，直线与椭圆C相切于点A，与直线相交于点B，求证：的大小为定值．
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)详见解析.
【解析】
【分析】
〔Ⅰ〕由题意可知，解得a2＝3，b2＝2，即可求出椭圆C的方程，〔Ⅱ〕显然直线l的斜率存在，设l：y＝kx+m，联立，根据直线l与椭圆相切，利用判别式可得m2＝3k2+2，求出点A，B的坐标，根据向量的运算可得可得•0，即∠AFB＝90°，故∠AFB的大小为定值．
【详解】解：(Ⅰ)∵椭圆C过点，∴①
∵离心率为∴②
又∵③
由①②③得，，.
∴椭圆C的方程为C：.
(Ⅱ)显然直线l的斜率存在，设l:y=kx+m.
由消y得
由得.
∴
∴
∴切点A的坐标为
又点B的坐标为，右焦点F的坐标为，
∴，，
∴
∴∠AFB=90°，即∠AFB的大小为定值.
【点睛】此题考察椭圆的HY方程，直线与椭圆的位置关系，准确转化题目，准确计算切点坐标是关键，属于中档题．
21.函数．
(I)讨论的单调性；
(II)假设时，恒成立，务实数的取值范围．
【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ).
【解析】
【分析】
〔Ⅰ〕求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
〔Ⅱ〕通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出函数的最小值，从而确定a的范围即可．【详解】解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为，，
①当时，，f(x)在上为增函数.
②当a>0时，由得；
由得,
所以f(x)在上为减函数，在上为增函数.
综上所述，①当时，函数f(x)在上为增函数
②当a>0时，f(x)在上为减函数，在上为增函数.
(Ⅱ)①当a=0时，因为，所以恒成立，所以a=0符合题意.
②当a<0时，，因为，所以不恒成立，舍去.
③当a>0时，由(Ⅰ)知f(x)在上为减函数，f(x)在上为增函数.
下面先证明：.
设，因为，
所以p(a)在上为增函数.
所以，因此有.
所以f(x)在上为增函数.
所以.
设，那么，.
由得；由得.
所以在上为减函数，在上为增函数.
所以.
所以q(a)在上为增函数，
所以.所以.
所以恒成立.
故a>0符合题意.
综上可知，a的取值范围是.
【点睛】此题考察了函数的单调性，最值问题，考察导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．
(二)选考题：一共10分．请考生在第22、23题中任选一题答题．假设多做，那么按所做的第一题计分．
22.在平面直角坐标系中，点M的直角坐标为(1，0)，直线的参数方程为〔t为参数〕；以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．(I)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(II)直线和曲线C交于A，B两点，求的值．
【答案】(Ⅰ)直线l的普通方程为，曲线C的直角坐标方程为；(Ⅱ)1.
【解析】
【分析】
〔Ⅰ〕直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进展转换．〔Ⅱ〕利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．
【详解】解：(Ⅰ)将中的参数t消去可得：
由得，由可得：
所以直线l的普通方程为，曲线C的直角坐标方程为
(Ⅱ)将代入得：
设A，B两点对应的参数分别为，，那么，
所以
【点睛】此题考察的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考察学生的运算才能和转化才能，属于根底题型．
23.函数．
(1)当时，解不等式；
(2)假设的值域为[2，+∞)，求证：.
【答案】(1)或者；(2〕详见解析.
【解析】
【分析】
〔1〕代入a，b的值，通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；〔2〕求出a+b＝2，根据绝对值不等式的性质证明即可．
【详解】(1)解：当a=b=1时，
i)当时，不等式可化为：，即，所以
ii)当时，不等式可化为：2>x+2，即x<0，所以
iii)当x>1时，不等式可化为：2x>x+2，即x>2，所以x>2
综上所述：不等式的解集为
(2)证明，
∵f(x)的值域为，∴a+b=2，
∴a+1+b+1=4
∴
，
当且仅当，即a=b=1时取“=〞
即.
【点睛】此题考察理解绝对值不等式问题，考察根本不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，纯熟利用绝对值三角不等式得到a,b的关系是关键，是一道中档题．。