专题二 有关全等三角形的开放题与探究题
初二物理：全等三角形经典模型及例题详解
初二物理：全等三角形经典模型及例题详解全等三角形是初中物理中重要的概念之一，它涉及到三角形的形状和属性。
全等三角形意味着两个三角形在形状和大小上完全相同。
在本文档中，我们将详细讨论全等三角形的经典模型以及解决例题的方法。
1. 全等三角形的定义全等三角形的定义是指两个三角形的对应边长和对应角度完全相等。
当两个三角形的全部对应边长和对应角度分别相等时，我们可以说它们是全等三角形。
2. 全等三角形的经典模型在初二物理中，有一些经典的全等三角形模型，它们是我们解决问题时的基础。
- SSS模型：当两个三角形的三边对应相等时，它们是全等三角形。
我们可以根据给定的三边长，推导出全等三角形的其他属性。
- SAS模型：当两个三角形的一边和两个对应角相等时，它们是全等三角形。
我们可以根据给定的一个边和两个对应角，推导出全等三角形的其他属性。
- ASA模型：当两个三角形的两个对应角和一边相等时，它们是全等三角形。
我们可以根据给定的两个角和一边，推导出全等三角形的其他属性。
3. 全等三角形的例题详解通过解决一些例题，我们可以更好地理解全等三角形的概念和应用。
例题1：已知三角形ABC和三角形DEF，它们满足AB = DE，BC = EF，∠ABC = ∠DEF。
问：是否可以得出三角形ABC和三角形DEF是全等三角形？解析：根据SSS模型，当两个三角形的三边对应相等时，它们是全等三角形。
根据题目条件，AB = DE，BC = EF，∠ABC =∠DEF，我们可以得出三角形ABC和三角形DEF是全等三角形。
例题2：已知三角形ABC和三角形DEF，它们满足AB = DE，∠ABC = ∠DEF，∠ACB = ∠DFE。
问：是否可以得出三角形ABC和三角形DEF是全等三角形？解析：根据ASA模型，当两个三角形的两个对应角和一边相等时，它们是全等三角形。
根据题目条件，AB = DE，∠ABC =∠DEF，∠ACB = ∠DFE，我们可以得出三角形ABC和三角形DEF是全等三角形。
初二数学全等三角形经典例题
初二数学全等三角形经典例题大家好，今天咱们来聊聊初二数学里的一个重要话题——全等三角形。
这一话题可是数学中的“重头戏”哦！那么，全等三角形到底是什么？它们怎么用？如何解决全等三角形的问题？别急，今天咱们一步一步地来搞懂这些问题。
咱们就像在逛市场一样，轻松愉快地把这些知识一一捋清楚。
1. 什么是全等三角形？全等三角形，顾名思义，就是形状和大小都一模一样的三角形。
它们的角度全都相等，边长也是一模一样的。
听起来有点像魔术吧？其实，这可是数学中的一门“绝活”，通过几个简单的条件就能确定两个三角形全等。
1.1 全等三角形的条件全等三角形的条件就像一套“魔法公式”，只要满足其中之一，咱们就能断定两个三角形是全等的。
常见的全等条件有：边边边（SSS）：三边分别对应的三角形相等，那么这两个三角形就是全等的。
边角边（SAS）：两边和它们夹着的角相等，这两个三角形也全等。
角边角（ASA）：两个角和它们夹着的边相等，三角形也是全等的。
角角边（AAS）：两个角和一个边相等，也能确定三角形全等。
直角斜边直角（RHS）：两个直角三角形的斜边和一个直角边相等，它们就是全等的。
1.2 如何证明三角形全等证明三角形全等其实就像在解谜题。
比如，你看到两个三角形，想要证明它们全等，你可以从上面提到的条件入手，找出相等的边或角。
有了这些，你就能像侦探一样，一步一步推理出这两个三角形是否全等。
2. 经典例题讲解说了这么多，光说不练假把式。
咱们来看看几个经典的全等三角形例题，这样理解起来更容易。
2.1 例题一假设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，AC=DF，且∠BAC=∠EDF。
请问这两个三角形全等吗？解答：我们可以用边角边（SAS）条件来解决这个问题。
题目给出了两边和夹角相等，因此，根据边角边条件，三角形ABC和DEF全等！2.2 例题二两个直角三角形MNO和PQR，已知∠MNO和∠PQR都是直角，NO=QR，且MN=PQ。
请问这两个三角形全等吗？解答：由于这是直角三角形，可以用直角斜边直角（RHS）条件。
(完整)全等三角形和角平分线专题讲解和练习题
C EODBA21C EDB A21OA全等三角形专题讲解专题一 全等三角形判别方法的应用专题概说：判定两个三角形全等的方法一般有以下4种： 1．三边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS ”)2．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“SAS"） 3．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA ”）4．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“AAS"）而在判别两个直角三角形全等时，除了可以应用以上4种判别方法外，还可以应用“斜边、直角边”，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL ”）．也就是说“斜边、直角边”是判别两个直角三角形全等的特有的方法，它仅适用于判别两个直角三角形全等．三角形全等是证明线段相等,角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢?(1）条件充足时直接应用在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分．只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．例1 已知:如图1，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，BD 、CE 交于点O,且AO 平分∠BAC ．那么图中全等的三角形有___对．图1（2）条件不足,会增加条件用判别方法此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分,需要补充使三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维,逐步分析，探索结论成立的条件,从而得出答案．例2 如图2，已知AB=AD ，∠1=∠2,要使△ABC ≌△ADE,还需添加的条件是（只需填一个）_____． 图2（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法在证明两个三角形全等时,当边或角的关系不明显时,可通过添加辅助线作为桥梁,沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．例3 已知:如图3，AB=AC,∠1=∠2． 求证：AO 平分∠BAC ．分析：要证AO 平分∠BAC ，即证∠BAO=∠BCO,要证∠BAO=∠BCO,只需证∠BAO 和∠BCO 所在的两个三角形全等．而由已知条件知，只需再证明BO=CO 即可．图3GABF DEC ODA CBFCEDBA（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法有些几何问题中，往往不能直接证明一对三角形全等，一般需要作辅助线来构造全等三角形．例4 已知：如图4，在Rt △ABC 中,∠ACB=90º，AC=BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD 于E ，交AB 于F ，连接DF ．求证：∠ADC=∠BDF ．说明：常见的构造三角形全等的方法有如下三种:①涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形．（5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法新课标强调了数学的应用价值，注意培养同学们应用数学的意识，形成解决简单实际问题的能力﹒在近年中考出现的与全等三角形有关的实际问题,体现了这一数学理念，应当引起同学们的重视．例5 要在湖的两岸A 、B 间建一座观赏桥，由于条件 限制，无法直接度量A ，B 两点间的距离﹒请你用学过的数 学知识按以下要求设计一测量方案﹒（1）画出测量图案﹒（2)写出测量步骤（测量数据用字母表示）﹒ 图5 (3)计算A 、B 的距离(写出求解或推理过程，结果用字母表示)﹒分析：可把此题转化为证两个三角形全等．第(1）题,测量图案如图5所示．第（2）题，测量步骤：先在陆地上找到一点O ，在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC=OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD=OB,这时测得CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．第（3)题易证△AOB ≌△COD ，所以AB=CD ，测得CD 的长即可得AB 的长．解：（1)如图6示．(2)在陆地上找到可以直接到达A 、B 的一点O,在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC ＝OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD ＝OB,这时测出CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．（3)理由：由测法可得OC=OA ，OD=OB ． 又∠COD=∠AOB ，∴△COD ≌△AOB ．∴CD=AB=a ． 图6评注：本题的背景是学生熟悉的,提供了一个学生动手操作的机会，重点考查了学生的操作能力,培养了 学生用数学的意识﹒练习:1．已知：如图7，D 是△ABC 的边AB 上一点,AB ∥FC ，DF 交AC 于点E ，DE=FE ． 求证：AE=CE ．C ED B AAO Q M CPBN A D C PBHF EGAD CBADCFBEA2．如图8，在△ABC 中，点E 在BC 上,点D 在AE 上，已知∠ABD=∠ACD ，∠BDE=∠CDE ．求证：BD=CD ．3．用有刻度的直尺能平分任意角吗？下面是一种方法:如图9所示，先在∠AOB 的两边上取OP=OQ ，再取PM=QN,连接PN 、QM,得交点C ，则射线OC 平分∠AOB ．你能说明道理吗？4．如图10，△ABC 中，AB=AC,过点A 作GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 相交于点H ，它们的延长线分别交GE 于点E 、G ．试在图10中找出3对全等三角形,并对其中一对全等三角形给出证明．5．已知:如图11，点C 、D 在线段AB 上，PC=PD ．请你添加一个条件，使图中存在全等三角形,并给予证明．所添条件为__________,你得到的一对全等三角形是△_____≌△_____．6．如图12，∠1=∠2，BC=EF ，那么需要补充一个直接条件_____（写出一个即可）,才能使△ABC ≌△DEF ．7图13，在△ABD 和△ACD 中，AB=AC,∠B=∠C ．求证：△ABD ≌△ACD ．AODCBAFCGBEAF DCB EOED218．如图14，直线AD与BC相交于点O，且AC=BD，AD=BC．求证：CO=DO．9．已知△ABC，AB=AC，E、F分别为AB和AC延长线上的点，且BE=CF，EF交BC于G．求证:EG=GF．10．已知：如图16，AB=AE，BC=ED，点F是CD的中点，AF⊥CD．求证：∠B=∠E．11．如图17，某同学把一把三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是(）﹒（A）带①和②去 (B）带①去（C)带②去（D）带③去12．有一专用三角形模具，损坏后，只剩下如图18中的阴影部分，你对图中做哪些数据度量后，就可以重新制作一块与原模具完全一样的模具，并说明其中的道理．13．如图19，将两根钢条AA’、BB’的中点O连在一起,使AA’、BB’可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件,则A' B'的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OAB的理由是（ )（A)边角边（B）角边角（C）边边边（D）角角边专题二角的平分线从一个角的顶点出发,把一个角分成相等的两个角的射线,叫做这个角的平分线．角的平分线有着重要的作用，它不仅把角分成相等的两部分,而且角的平分线上的点到角两边的距离相等，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，再加上角的平分线所在的直线是角的对称轴．因此当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证明线段或角相等,或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路．(1)利用角的平分线的性质证明线段或角相等F ED CB A 21A FH DCGBEADCBE AF DC BE C E D例6 如图20，∠1＝∠2，AE ⊥OB 于E ， BD ⊥OA 于D ，交点为C ．求证：AC=BC ．说明：本题若用全等方法证明点C 到OA 、OB 距离相等,浪费时间和笔墨，不如直接应用角平分线性质证明，原因在于同学们已经习惯了用全等的方法,不善于直接应用定理，仍去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次定理，以后再学新定理,应用时要注意全等定势的干扰，注意采用简捷证法． 例7 已知:如图21,△ABC 中, BD=CD ，∠1＝∠2．求证：AD 平分∠BAC ．说明：遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等．（2）利用角的平分线构造全等三角形 ①过角平分线上一点作两边的垂线段例8 如图22，AB ∥CD ，E 为AD 上一点，且BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ． 求证：AE=ED ．分析：由于角平分线上一点到角的两边的距离相等，而点E 是两条角平分线的交点，因此我们自然想到过点E 分别作AB 、BC 、CD 的垂线段．②以角的平分线为对称轴构造对称图形例9 如图23，在△ABC 中,AD 平分∠BAC,∠C=2∠B ．求证：AB=AC+CD ．分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在AB 上截取AE=AC,连接DE ，我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段AB 分成AE 和BE 两段，只需证明BE=CD 就可以了．③延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线 例10 如图24,在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ． 求证：∠ACE=∠B+∠ECD ．分析：注意到AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD ，于是可延长CE 交AB 于点F,即可构造全等三角形．．（3）利用角的平分线构造等腰三角形如图25,在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，过点D 作DE ∥AB ，DE 交AC 于点E ．易证△AED 是等腰三角形． 因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形．CF E BADQPCBACB AD EA例11 如图26，在△ABC 中，AB=AC,BD 平分∠ABC ，DE ⊥BD 于D ，交BC 于点E ．求证：CD=21BE ．分析：要证CD=21BE ，可将BE 分成两条线段，然后再证明CD 与这两条线段都相等．练习：1．如图27，在△ABC 中，∠B=90º,AD 为∠BAC 的平分线，DF ⊥AC 于F,DE=DC ．求证：BE=CF ．2．已知:如图28，AD 是△ABC 的中线,DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且BE=CF ．求证：（1）AD 是∠BAC 的平分线；（2）AB=AC ．3．在△ABC 中,∠BAC=60º，∠C=40º，AP 平分∠BAC 交BC 于P,BQ 平分∠ABC 交AC 于Q ． 求证：AB+BP=BQ+AQ ．4．如图30，在△ABC 中,AD 平分∠BAC ，AB=AC+CD ． 求证：∠C=2∠B ．5．如图31，E 为△ABC 的∠A 的平分线AD 上一点，AB ＞AC ． 求证:AB —AC ＞EB-EC ．CB AD 4321C E BADF CE BAD CEBADCBADACBD6．如图32,在四边形ABCD 中，BC ＞BA ，AD=CD ，BD 平分∠ABC ． 求证：∠A+∠C=180º．7．如图33所示，已知AD ∥BC ，∠1=∠2,∠3=∠4,直线DC 过点E 作交AD 于点D ，交BC 于点C ．求证：AD+BC=AB ．8．已知,如图34，△ABC 中，∠ABC=90º，AB=BC,AE 是∠A 的平分线,CD ⊥AE 于D ．求证:CD=21AE ．9．△ABC 中，AB=AC,∠A=100º，BD 是∠B 的平分线．求证：AD+BD=BC ．10．如图36，∠B 和∠C 的平分线相交于点F ，过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，若BD+CE=9，则线段DE 的长为（ )A ．9B ．8C ．7D ．611．如图37，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AD 交BC 于点D ，且D 是BC 的中点．求证：AB=AC ．A CF E B M D12．已知：如图38，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 是BC 的中点，EF ∥AD ，交AB 于M ，交CA 的延长线于F ．求证：BM=CF ．。
人教八上：专题二--全等三角形的性质与判定(含解析)
专题二全等三角形的性质与判定一、单选题1．下面四个三角形中，与图中的△ABC全等的是（）．．23A．50°B．59°C．69°D．71°4．如图，点E、F在BC上，AB=CD，AF=DE，AF、DE相交于点G，添加下列哪一个条件，可使得△ABF≌△DCE（）A．∠B=∠C B．AG=DG C．∠AFE=∠DEF D．BE=CF5．尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到∠MBN=∠PAQ，在用直尺和圆规作图的过程中，得到△ACD≌△BEF的依据是（）．A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS6．已知，如图所示的两个三角形全等，则∠1=（）A．72°B．60°C．48°D．50°7．用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB．做法中用到证明△OMP与△ONP全等的判定方法是（）A．SAS B．SSS C．ASA D．HL8．如图，点E、F在BC上，AB=DC，∠B=∠C．添加一个条件后，不能证明△ABF≌△DCE，这个条件可能是（）A．∠A=∠D B．BE=CF C．BF=CE D．AF=ED9．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）A．72°B．60°C．58°D．50°10．如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（）A．AC=BD B．∠CAB=∠DBA C．∠C=∠D D．BC=AD11．如图，已知∠CAB=∠DBA，老师要求同学们补充一个条件使△ABC≌△BAD，以下是四个同学补充的条件，其中错误的是（）A．AC=BD B．CB=DA C．∠C=∠D D．∠ABC=∠BAD12．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠AOB=∠A′O′B′的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS13．如图，AB=4厘米，BC=6厘米，∠B=∠C，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C 点运动，同时，点Q从C点出发沿射线CD运动．若经过t秒后，△ABP与△CQP全等，则t的值是（）A．1B．1.5C．1或1.5D．1或214．已知图中的两个三角形全等，则∠1的度数是（）A．50°B．54°C．60°D．76°15．如图，点E、F在BC上，BE=CF，∠B=∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（ ）A．∠A=∠D B．∠AFB=∠DEC C．AB=DC D．AF=DE16．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DE，∠B=∠DEF，要使得△ABC≌△DEF，不能添加的条件是（）A．∠A=∠D B．AC=DF C．BE=CF D．AC∥DF17．已知图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的大小是（）A．64°B．65°C．51°D．55°18．如图，工人师傅设计了一种测量零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′、BB′的中点，只要量出A′B′的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．其依据的数学基本据实是（）A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等C．等角对等边D．两点之间线段最短19．如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点A(0,a)，B(b,0)，C(−4,4)，其中b<a<0，则a，b之间的数量关系是（）A．a+b=−4B．a−b=4C．a+b=−8D．a−b=820．用尺规作图作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．SAS B．ASA C．HL D．SSS21．如图，点E、F在BC上，AB=DC，AF=DE，AF、DE相交于点G，要使得△ABF≌△DCE，添加下列哪一个条件（）A．∠B=∠C B．GE=GF C．∠AFE=∠DEF D．BF=CE 22．阅读以下作图步骤：①在OA和OB上分别截取OC,OD，使OC=OD；②③23A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC 24．如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°25．如图，已知∠CAB=∠DAB，则添加下列一个条件不一定能使△ABC≌△ABD的是（ ）A．BC=BD B．∠C=∠D C．AC=AD D．∠ABC=∠ABD26．已知：如图，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（）A．∠A+∠D=90°B．∠A=∠2C．△ABC≌△CED D．∠1=∠227．如图，已知ΔABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与ΔABC全等的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁二、填空题28．如图，点B、C、E三点在同一直线上，且AB=AD，AC=AE，BC=DE，若∠1+∠2+∠3=96°，则∠3的度数为．29．如图，三角形纸片中，AB=8cm，BC=6cm，AC=5cm．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，△ADE的周长为cm．30313233．已知：如图，∠B＝∠C＝90°，AF=DE，BE=CF．求证：AB=DC．34．如图，OA=OC,OB=OD,∠AOD=∠COB．求证：AB=CD．35．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M是BC边上的一点，且AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,求证：(1)BM=MC；(2)AM⊥MD．36．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过点P作PF⊥AD 交BC的延长线于点F，PF交AC于点H，求证：(1)△ABP≌△FBP；(2)AH=AB−BD．37．如图，B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，BE＝CF，∠B＝∠DEF，求证：AC＝DF．38．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD交于点O，OB=OC．求证：∠1=∠2．39．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，且BD=CE，求证：AD=AE．40．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E为AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F．(1)求证：△CDE≌△FAE．(2)连接BE，当BE⊥CF时，CD=3，AB=2，求BC的长．41．如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE．42．我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.如图，四边形ABCD是一个筝形，AD=CD，AB=CB，对角线AC交BD与点O.(1)请根据你学过的知识直接写出一组全等的三角形______；(2)求证：AC⊥BD.43．如图，AB=CD，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，若CE=BF．(1)求证：AE=DF；(2)求证：AB∥CD．44．如图，BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，AF=DE，∠B=∠C，求证：AB=CD．45．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．(1)求证：△ADC≌△CEB；(2)延长EB至点F，使得BF=DE，连接AF交CE于点G，若AD=5，BE=3，求DG的长．46．如图，AB=AE，∠B=∠AED，∠1=∠2，求证：AC=AD．47．如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F，若AC=BD，AB=ED，BC=BE．求证：∠AFB=2∠ACB．48．（变图形—平移型）如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE．求证：△ACD≌△CBE．49．如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．50．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，过直角顶点A作直线MN,BD⊥MN于点D,CE⊥MN于点E．(1)如图1，当MN与BC边不相交时，判断BD,CE,DE之间的数量关系，并说明理由；(2)当MN与边BC相交时，请在图2中画出图形，并直接写出BD,CE,DE之间的数量关系．51．如图，CA=CD，∠1=∠2，BC=EC．求证：AB=DE．52．如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE．求证：OE垂直平分BD．53．如图，点B，E，C，F在同一直线上，相交于点E，AB=DE，AC=DF，∠A=∠D．求证：BE=CF．54．如图，点A、B、C、D在同一直线上，AE=DF，AB=CD，CE=FB．求证：AE∥DF．55．如图，已知AB=AC，BD=CD，DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，求证：DM=DN56．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，将△ABC绕点C逆时针旋转角α．(0°<α<90°)得到△A1B1C1，连接BB1．设CB1交AB于D，A1B1分别交AB、AC于E、F．(1)在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以说明（△ABC与△A1 B1C全等除外）；(2)当△BB1D是等腰三角形且BB1=BD时，求α的值．参考答案题号12345678910答案C C B D B C D D C A题号11121314151617181920答案B A C A D B A A D D题号21222324252627答案D A B B A D B1．C【分析】根据全等三角形的判定方法即可判断．【详解】解：由题可得∠A=180°−60°−54°=66°，∵A选项属于已知两边和其中一边的对角对应相等的情况，不能判定两个三角形全等，故不符合题意；∵B选项中66°角的对边不相同，不能判定两个三角形全等，故不符合题意；∵C选项中已知两边与其中一边的夹角对应相等，所以能判定全等，故C选项符合题意；∵D选项中两对应角的夹边不相等，不能判定两个三角形全等，故不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，牢记判定方法以及正确找出对应边或对应角是解决本题的关键．2．C【分析】由作图可知直线MN为边AC的垂直平分线，再由BD=DC得到AD=DC=BD，利用等边对等角以及三角形内角和定理，进而得到∠B+∠C=90°．【详解】解：由作图可知，直线MN为边AC的垂直平分线，∴DC=AD，∴∠C=∠CAD，∵BD=DC，∴AD=BD，∴∠B=∠BAD，∵∠C+∠B+∠CAD+∠BAD=180°，∴∠B+∠C=90°．故选：C．3．B【分析】由全等三角形的对应角相等，结合三角形内角和定理即可得到答案．【详解】∵两个三角形全等，由全等三角形的性质可知，两幅图中边长为a、b的夹角对应相等，∴∠α=180°−50°−71°=59°，故选：B4．D【分析】根据全等三角形的判定条件逐一判断即可．【详解】解：A、由∠B=∠C，AB=CD，AF=DE，不能证明△ABF≌△DCE，不符合题意；B、由AG=DG，AB=CD，AF=DE，不能证明△ABF≌△DCE，不符合题意；C、由∠AFE=∠DEF，AB=CD，AF=DE，不能证明△ABF≌△DCE，不符合题意；D、由BE=CF即可证明BF=CE，AB=CD，AF=DE，可以由SSS证明△ABF≌△DCE，符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有SSS，SAS，AAS，ASA，HL．5．B【分析】此题考查了全等三角形的判定定理，三边对应相等的两个三角形全等，以及作一个角等于已知角，根据用尺规画一个角等于已知角的步骤，据此即可求解，正确理解题中的作图是解题的关键．【详解】解：根据做法可知：AC=BE，AD=BF，CD=EF，∴△ACD≌△BEF(SSS)，∴∠MBN=∠PAQ，故选：B．6．C【分析】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．【详解】解：∵DE=AB=a，DF=AC=c，又∵图中两个三角形全等，∴△ABC≌△DEF，∴∠D=∠A=180°−60°−72°=48°，∴∠1=48°，故选：C．7．D【分析】根据直角三角形全等的判定HL定理，可证△OPM≌△OPN．【详解】解：∵OM=ON，OP=OP，∠OMP=∠ONP=90°，∴△OPM≌△OPN所用的判定定理是HL．故选D.【点睛】本题考查学生的观察能力和判定直角三角形全等的HL定理，本题是一操作题，要会转化为数学问题来解决．8．D【分析】本题主要考查三角形全等的判定，根据SSS，ASA，SAS，AAS逐个判断即可得到答案；【详解】解：∵AB=DC，∠B=∠C，当∠A=∠D构成ASA，能得到△ABF≌△DCE，不符合题意，当BE=CF得到BF=CE构成SAS，能得到△ABF≌△DCE，不符合题意，当BF=CE构成SAS，能得到△ABF≌△DCE，不符合题意，当AF=ED不能得到三角形全等的判定，符合题意，故选：D．9．C【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，先根据三角形内角和为180度求出∠2的度数，再根据全等三角形对应角相等即可求出∠1的度数．【详解】解：如图所示，由三角形内角和定理得∠2=180°−50°−72°=58°，由全等三角形的性质可得∠1=∠2=58°，故选：C．10．A【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即得答案．【详解】解：∵∠ABC=∠BAD，AB=BA，AC=BD，条件为边边角，∴不能证明△ABC≌△BAD，故A符合题意；∵∠ABC=∠BAD，AB=BA，∠CAB=∠DBA，条件为边角边，∴能证明△ABC≌△BAD，故B不符合题意；∵∠ABC=∠BAD，AB=BA，∠C=∠D，条件为角角边，能证明△ABC≌△BAD，故C不符合题意；∵∠ABC=∠BAD，AB=BA，BC=AD，条件为边角边，能证明△ABC≌△BAD，故D不符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．11．B【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理，逐项分析判断，即可求解．【详解】解：∵∠CAB=∠DBA，AB=BA，∴添加的条件是：AC=BD，根据SAS可证明△ABC≌△BAD，故选项A不符合题意；添加的条件是：CB=DA，无法判断△ABC≌△BAD，故选项B符合题意；添加的条件是：∠C=∠D，根据AAS可证明△ABC≌△BAD，故选项C不符合题意；添加的条件是：∠ABC=∠BAD，根据ASA可证明△ABC≌△BAD，故选项D不符合题意；故选：B12．A【分析】本题主要考查了基本作图、全等三角形的判定与性质等知识点，明确作图过程成为解答本题的关键．通过分析作图的步骤，发现△OCD与△O′C′D′的三条边分别对应相等，于是利用边边边判定△OCD≌△O′C′D′，根据全等三角形对应角相等得∠AOB=∠A′O′B′．【详解】解：作图的步骤：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；②作射线O′B′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′B′于点D′；③以D′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点C′；④过点C′作射线O′A′．所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角．在△O′C′D′与△OCD中，O′C′=OCO′D′=OD，C′D′=CD∴△OCD≌△O′C′D′(SSS)，∴∠AOB=∠A′O′B′，即运用的判定方法是SSS．故选：A．13．C【分析】本题考查了全等的性质，解一元一次方程的应用．运用分类讨论的思想是解题的关键．由题意知，BP=2t，CP=6−2t，由△ABP与△CQP全等，分△ABP≌△PCQ，△ABP≌△QCP两种情况，列方程求解即可．【详解】解：由题意知，BP=2t，CP=6−2t，∵△ABP与△CQP全等，∴分△ABP≌△PCQ，△ABP≌△QCP两种情况求解；当△ABP≌△PCQ时，PC=AB，即6−2t=4，解得t=1；当△ABP≌△QCP时，BP=CP，即2t=6−2t，解得t=1.5；综上所述，t的值是1或1.5，故选：C．14．A【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等去判定对应关系后计算．熟练掌握对应角的判定方法是解题的关键．【详解】解：∵两个三角形全等，∠1是边a的对角，即边b、c夹角，∴∠1的度数是180°−54°−76°=50°．故选：A．15．D【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．根据BE=CF求出BF=CE，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．【详解】解：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，∵∠B=∠C，∴当∠A=∠D时，利用AAS可得△ABF≌△DCE；当∠AFB=∠DEC时，利用ASA可得△ABF≌△DCE；当AB=DC时，利用SAS可得△ABF≌△DCE；当AF=DE时，无法证明△ABF≌△DCE；故选：D．16．B【分析】本题考查的是添加条件证明三角形全等，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键；本题根据已有的条件AB=DE，∠B=∠DEF，再逐一分析添加的条件结合ASA，SAS，AAS可得答案.【详解】解：∵AB=DE，∠B=∠DEF，∴补充∠A=∠D，可利用ASA证明△ABC≌△DEF，故A不符合题意；补充AC=DF，不能证明△ABC≌△DEF，故B符合题意；补充BE=CF，∴BC=EF，可利用SAS证明△ABC≌△DEF，故C不符合题意；补充AC∥DF，∴∠ACB=∠F，可利用AAS证明△ABC≌△DEF，故D不符合题意；故选B17．A【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．【详解】解：∵两个三角形全等，∴∠1=64°，故选：A．18．A【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．【详解】解：O为AA′、BB′的中点，∴OA=OA′，OB=OB′，∵∠AOB=∠A′OB′（对顶角相等），∴在△AOB与△A′OB′中，OA=OA′，∠AOB=∠A′OB′OB=OB∴△AOB≌△A′OB′(SAS)，∴AB=A′B′，故选：A．19．D【分析】本题考查坐标与图形性质，过点C作坐标轴的垂线，利用AAS证明△BCM≌△ACN，即可求解，解题的关键是构造全等三角形．【详解】解：过点C作x轴和y轴的垂线，垂足分别M和N，∵∠CMO=∠CNO=∠MON=90°，∴四边形CMON是矩形，∴∠MCN=90°，∴∠ACN+∠ACM=90°，∵∠ACB=90°，∠BCM+∠ACM=90°，∴∠BCM=∠ACN,在△BCM和△ACN中，∠BCM=∠ACN∠BMC=∠ANC，BC=AC∴△BCM≌△ACN(AAS)，∴BM=AN，又∵点C坐标为(−4，4)，∴点M坐标为(−4，0)，点N坐标为(0，4)．∴BM=−4−b，AN=4−a∴−4−b=4−a即a−b=8．故选：D．20．D【分析】此题主要考查对尺规作图作一个角等于已知角的理解，利用全等三角形的判定方法判断即【详解】解：由作法得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，在△COD和△C′O′D′中，OD=O′D′OC=O′C′，CD=C′D′∴△COD≌△C′O′D′(SSS)，∴∠A′O′B′=∠AOB（全等三角形的对应角相等）．故选：D．21．D【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定方法依次进行判断即可．【详解】解：A、添加∠B=∠C，不能使得△ABF≌△DCE，不符合题意；B、添加GE=GF，不能使得△ABF≌△DCE，不符合题意；C、添加∠AFE=∠DEF，不能使得△ABF≌△DCE，不符合题意；D、添加BF=CE，利用SSS，可以使得△ABF≌△DCE，符合题意；故选：D．22．A【分析】由作图过程可得：OD=OC,CM=DM，再结合DM=DM可得△COM≌△DOM(SSS)，由全等三角形的性质可得∠1=∠2即可解答．【详解】解：由作图过程可得：OD=OC,CM=DM，∵DM=DM，∴△COM≌△DOM(SSS)．∴∠1=∠2．∴A选项符合题意；不能确定OC=CM,则∠1=∠3不一定成立，故B选项不符合题意；不能确定OD=DM,故C选项不符合题意，OD∥CM不一定成立，则∠2=∠3不一定成立，故D选项不符合题意．故选A．【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是解答本题的关键．【分析】利用全等三角形的判定依次证明即可．【详解】解：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF．∴AF=CE．A．在△ADF和△CBE中，{∠A=∠CAF=CE∠AFD=∠CEB，∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项不符合题意．B．根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项符合题意．C．在△ADF和△CBE中，{AF=CE∠AFD=∠CEBDF=BE，∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项不符合题意．D．∵AD∥BC，∴∠A=∠C．由A选项可知，△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项不符合题意．故选B．【点睛】本题考查了添加条件证明三角形全等，解题的关键是熟练运用判定三角形全等的方法．24．B【分析】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等，找准对应角是解题的关键．根据全等三角形的对应角相等可知∠ACB=∠A′CB′，给等式的两边同时减去∠BCA′，可得到∠ACA′=∠BCB′=30°．【详解】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠A′CB′=∠ACB，∵∠BCA′+∠BCB′=∠BCA′+∠A′CA，∴∠ACA′=∠BCB′，∵∠BCB′=30°，∴∠ACA′=30°．故选：B．25．A【分析】根据题目中的已知条件AB=AB，∠CAB=∠DAB，再结合题目中所给选项中的条件，利用全等三角形的判定定理进行分析即可．【详解】解；由图形可知：AB=AB，∠CAB=∠DAB，A.再加上条件BC=BD，不能证明△ABC≌△ABD，故此选项合题意；B. 再加上条件∠C=∠D，可利用AAS可证明△ABC≌△ABD，故此选项不合题意；C. 再加上条件AC=AD，可利用SAS可证明△ABC≌△ABD，故此选项不符合题意；D. 再加上条件∠ABC=∠ABD，可利用ASA可证明△ABC≌△ABD，故此选项不合题意．故选：A【点睛】本题考查全等三角形的判定定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．26．D【分析】本题主要考查全等三角形的性质．先根据角角边证明△ABC≌△CED，再根据全等三角形对应边相等，全等三角形的对应角相等的性质对各选项判断后，利用排除法求解．【详解】解：∵AC⊥CD，∴∠1+∠2=90°，∵∠B=90°，∴∠1+∠A=90°，∴∠A=∠2，在△ABC和△CED中，∠B=∠E=90°∠A=∠2，AC=CD∴△ABC≌△CED(AAS)，故B、C选项正确，不符合题意；∵∠2+∠D=90°，∴∠A+∠D=90°，故A选项正确，不符合题意；∵AC⊥CD，∴∠ACD=90°，∠1+∠2=90°，但∠1不一定等于∠2，故D选项错误，符合题意．故选：D．27．B【分析】根据三角形全等的判定逐个判定即可得到答案．【详解】解：由题意可得，B选项符合边角边判定，故选B．【点睛】本题考查三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的几个判定．28．48°/48度，∴在∵∴29先长=∴∴【点睛】本题考查了翻折变换的性质，翻折变换保留原有图形的性质，而且可以使得原有的分散条件相对集中，从而有利于问题的解决．30．AB/BA【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，证明△ABC≌△ADC是解题的关键．由AAS判断出△ABC≌△ADC即可得到答案．【详解】解：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B=∠D=90°，在△ABC，△ADC中，∠1=∠2∠B=∠D，AC=AC∴△ABC≌△ADC(AAS)，∴AD=AB．故答案为：AB．31．证明见解析【分析】根据平行得出∠B=∠DEF，然后用“边角边”证明△ABC≌△DEF即可．【详解】证明：∵AB//DE，∴∠B=∠DEF．∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC．∴BC=EF．在△ABC和△DEF中，AB=DE,∠B=∠DEF,BC=EF,∴△ABC≌△DEF．∴∠A=∠D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用已知条件，推导证明出全等三角形判定所需条件，运用全等三角形判定定理证明．32．见解析【分析】利用AAS证明△ACO≌△DBO，即可得到结论．【详解】解：证明：在△ACO和△DBO中∠AOC=∠DOB∠A=∠DAC=DB∴△ACO≌△DBO(AAS)．∴AO=DO,CO=BO．∴AO+BO=DO+CO∴AB=CD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．33．详见解析【分析】运用HL定理证明直角三角形全等即可．【详解】∵BE=CF，∴BF=CE在Rt△ABF与Rt△DCE中：{AF=DE BF=CE∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)∴AB =DC【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握HL定理是解题关键．34．见解析【分析】根据已知条件得出∠AOB=∠COD，进而证明△AOB≌△COD，根据全等三角形的性质即可得证．【详解】证明：∵∠AOD=∠COB，∴∠AOD−∠BOD=∠COB−∠BOD,即∠AOB=∠COD．在△AOB和△COD中，OA=OC,∠AOB=∠COD,OB=OD,∴△AOB≌△COD∴AB=CD．【点睛】本小题考查等式的基本性质、全等三角形的判定与性质等基础知识，考查几何直观、推理能力等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．35．(1)见详解(2)见详解【分析】（1）作NM⊥AD，根据角平分线的性质得到BM=MN,MN=CM，等量代换得到答案．（2）根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC=180°，根据角平分线的定义得到∠MAD+∠ADM=90°，根据垂直的定义得到答案；【详解】（1）作NM⊥AD交AD于N，∵∠B=90°,AB∥CD,∴BM⊥AB,CM⊥CD,∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴BM=MN,MN=CM,∴BM=CM；（2）证明：∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°,∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴2∠MAD+2∠ADM=180°,∴∠MAD+∠ADM=90°,∴∠AMD=90°,即AM⊥DM；【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握平行线的性质和角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．36．(1)见详解(2)见详解【分析】（1）根据三角形内角和以及角平分线定义得出∠APB=135°，易得∠DPB=45°，可得∠BPF=135°，即可证明△ABP≌△FBP；（2）由（1）结论可得∠F=∠BAD,AP=PF，AB=BF，即可求得∠F=∠CAD，即可证明△APH≌△FPD，可得AH=DF，即可解题．【详解】（1）∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∠ACB=90°，∴∠PAB+∠PBA=12(∠ABC+∠BAC)=45°,∴∠APB=135°，∴∠DPB=45°,∵PF⊥AD,∴∠BPF=135°,在△ABP和△FBP中，∠BPF=∠APB=135°BP=BP∠ABP=∠FBP∴△ABP≌△FBP(ASA)；（2）∵△ABP≌△FBP，∴∠F=∠BAD,AP=PF,AB=BF，∵∠BAD=∠CAD，∴∠F=∠CAD，在△APH和△FPD中，∠F=∠CADAP=PF∠APH=∠FPD=90°∴△APH≌△FPD(ASA),∴AH=DF,∵BF=DF+BD,∴AB=AH+BD.∴AH=AB−BD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABP≌△FBP和△APH≌△FPD是解题的关键．37．见解析【分析】由BE＝CF可得BC＝EF，即可判定ΔABC≌ΔDEF(SAS)，再利用全等三角形的性质证明即可．【详解】∵BE＝CF，∴BE+EC＝EC+CF，即BC＝EF，又∵AB＝DE，∠B＝∠DEF，∴在ΔABC与ΔDEF中，AB=DE∠B=∠DEF，BC=EF∴ΔABC≌ΔDEF(SAS)，∴AC＝DF．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解决本题的关键. 38．见解析【分析】先证明ΔBDO≌ΔCEO(AAS)，得到OD=OE，再根据角的平行线性质判定即可．【详解】证明：∵CD⊥AB于D点，BE⊥AC于点E，∴∠BDO =∠CEO =90∘，在ΔBDO 和ΔCEO 中，∠BDO =∠CEO ∠BOD =∠COE OB =OC，ΔBDO≌ΔCEO (AAS)，∴OD =OE ，∵OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴OA 平分∠BAC ，∴∠1=∠2．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，角的平分线的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定和角的平分线的判定是解题的关键．39．见解析【分析】利用等腰三角形的性质可得∠B =∠C ，再由SAS 证明△ABD≌△ACE ，从而得AD =AE ．【详解】证明：∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，在△ABD 和△ACE 中，AB =AC ∠B =∠C BD =CE，∴△ABD≌△ACE (SAS )，∴AD =AE ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．40．(1)证明见解析(2)5【分析】此题主要考查全等三角形的判定和性质，解题关键是根据AAS 证明△CDE 和△FAE 全等．（1）根据 AAS 证明△CDE 和△FAE全等即可；（2）根据全等三角形的性质结合线段垂直平分线性质解答即可．【详解】（1）证明：∵AB ∥CD ，∴∠DCE =∠F ，∵点E 是AD 中点，∴DE =AE ，在△CDE 和△FAE 中，∠DCE =∠F ∠CED =∠FEA DE =AE，∴△CDE≌△FAE (AAS)；（2）由（1）知△CDE≌△FAE ，∴CE =FE ，CD =AF∵BE ⊥GF ，∴BE 垂直平分CF ，∴BC =BF ，∵CD =3，AB =2，∴AF =CD =3，∴BC =BF =AF +AB =3+2=5．41．证明见解析【分析】本题主要考查了三线合一定理，过点A 作AP ⊥B C 于P ，利用三线合一得到P 为DE 及BC 的中点，再根据线段之间的关系即可得证．【详解】证明：如图，过点A 作AP ⊥B C 于P ．∵AB =AC ，∴BP =PC ；∵AD =AE ，∴DP =PE ，∴BP−DP =PC−PE ，∴BD =CE ．42．(1)△ABD≌△CBD(2)证明见解析【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质；熟记等腰三角形的三线合一是解本题的关键.（1）直接利用SSS证明△ABD≌△CBD即可；（2）由△ABD≌△CBD可得∠ADB=∠CDB，再结合等腰三角形的性质可得结论.【详解】（1）解：△ABD≌△CBD，理由如下：在△ABD和△CBD中，AD=CDAB=CB，BD=BD∴△ABD≌△CBD(SSS)；（2）∵△ABD≌△CBD，∴∠ADB=∠CDB，∵DA=DC，∴AD⊥AC.43．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】本题主要考查直角三角形的全等判定和性质，（1）根据题意得∠AEB=∠DFC=90°，由CE=BF得BE=CF，则有Rt△CDF≌Rt△BAE，结合全等的性质即可证明；（2）利用Rt△CDF≌Rt△BAE得到对应的角度相等，结合内错角相等两直线平行的判定即可证明；【详解】（1）证明：∵AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，∴∠AEB=∠DFC=90°，∵CE=BF，∴CE−EF=BF−EF，∴BE=CF，在Rt△CDF与Rt△BAE中，CD=ABCF=BE，∴Rt△CDF≌Rt△BAE(HL)∴AE=DF，（2）由（1）可知Rt△CDF≌Rt△BAE(HL)，∴∠C=∠B，∴AB∥CD．44．证明见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识，证△AEB≌△DFC(AAS)，即可得出结论．∴∵∴∴在∴∴45(2)（（∴∴∠ACD+∠DAC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∴∠DAC=∠ECB．在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB,∠DAC=∠ECB, AC=CB,∴△ADC≌△CEB (AAS)（2）由（1）得△ADC≌△CEB∴CE =AD =5，CD =BE =3，∴BF =DE =CE−CD =5−3=2，∴EF =BF +BE =2+3=5，∴EF =AD ．∵AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，∴∠FEG =∠ADG =90°在△FEG 和△ADG 中，∠FEG =∠ADG,∠FGE =∠AGD,FE =AD,∴△FEG≌△ADG (AAS)，∴DG =EG =12DE =1．46．证明见解析【分析】本题考查三角形全等的判定，先证明∠BAC =∠EAD ，在用ASA 证明△ABC≌△AED 即可，掌握判定三角形全等是解题的关键．【详解】证明∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAC =∠2+∠EAC∴∠BAC =∠EAD ，在△ABC 和△AED 中，∠B =∠AED AB =AE ∠BAC =∠EAD，∴△ABC≌△AED ．∴AC =AD 47．见解析【分析】先根据SSS 定理得出△ABC≌△DEB （SSS ），故∠ACB =∠EBD ，再根据∠AFB 是△BFC 的外角，可知∠AFB =∠ACB +∠EBD ，可得出∠AFB =2∠ACB，故可得出答案．【详解】解：在△ABC和△BDE中，AC=BDAB=EDBC=BE∴△ABC≌△DEB（SSS）∴∠ACB=∠EBD；∵∠AFB=∠ACB+∠EBD，∴∠AFB=2∠ACB【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，同时涉及三角形外角和定理，掌握相关定理知识是解题的关键．48．见解析【分析】根据中点的定义得出AC=CB，即可根据SSS证明△ACD≌△CBE．【详解】证明：∵点C是AB的中点，∴AC=CB．在△ACD和△CBE中，AD=CECD=BE，AC=CB∴△ACD≌△CBE(SSS)．【点睛】本题主要考查了的三角形全等的判定，解题的关键是掌握三边都相等的两个三角形全等．49．见解析【分析】由BE＝CF可得BF＝CE，再结合AB＝DC，∠B＝∠C可证得△ABF≌△DCE，问题得证．【详解】解∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE．在△ABF和△DCE中，AB=DC∠B=∠CBF=CE∴△ABF≌△DCE，∴∠A＝∠D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握全等三角形的判定和性质．50．(1)DE=BD+CE，见解析(2)见解析，CE−BD=DE或BD−CE=DE【分析】（1）由BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E，得∠BDA=∠AEC=∠BAC=90°，则∠DAB=∠ECA=90°−∠EAC，而AB=CA，即可证明△DAB≌△ECA，得BD=AE，AD=CE，则BD+CE=AE+AD=DE；（2）分两种情况讨论，一是MN与边BC相交且∠BAD<45°，同理可证△DAB≌△ECA，得BD=AE，AD=CE，则CE−BD=AD−AE=DE；二是MN与边BC相交且∠BAD>45°，同理可证△DAB≌△ECA，得BD=AE，AD=CE，则BD−CE=AE−AD=DE．【详解】（1）证明：∵BD⊥MN,CE⊥MN，∴∠ADB=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠CAE+∠ACE=90°，∴∠BAD=∠ACE，在△ABD和△CAE中，∠ADB=∠CEA∠BAD=∠ACEAB=CA,∴△ABD≅△CAE(AAS)；∴AD=CE,BD=AE，∵DE=AD+AE，∴DE=BD+CE；（2）解：CE−BD=DE或BD−CE=DE，理由：如图2，MN与边BC相交且∠BAD<45°，∵BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E，∴∠BDA=∠AEC=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAB=∠ECA=90°−∠EAC，在△DAB和△ECA中，∠DAB=∠ECA∠BDA=∠AEC，AB=CA∴△DAB≌△ECA(AAS)，∴BD=AE，AD=CE，∴CE−BD=AD−AE=DE．如图3，MN与边BC相交且∠BAD>45°，∵BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E，∴∠BDA=∠AEC=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAB=∠ECA=90°−∠EAC，在△DAB和△ECA中，∠DAB=∠ECA∠BDA=∠AEC，AB=CA∴△DAB≌△ECA(AAS)，∴BD=AE，AD=CE，∴BD−CE=AE−AD=DE．【点睛】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明△DAB≌△ECA是解题的关键．51．见解析【分析】根据∠1=∠2，可得出∠ACB=∠DCE，然后利用SAS证明△ABC≌△DEC，继而可得出AB=DE．本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握SAS证三角形全等是解题的关键．【详解】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA，即∠ACB=∠DCE，在△ABC和△DEC中，CA=CD∠ACB=∠DCE，BC=EC∴△ABC≌△DEC(SAS)，∴AB=DE．52．证明见解析【分析】先利用A S A证明△AOB≌△COD，得出OB=OD，根据线段垂直平分线的判定可知点O在线段BD的垂直平分线上，再由BE=DE，得出点E在线段BD的垂直平分线上，即O，E两点都在线段BD的垂直平分线上，从而可证明OE垂直平分BD．【详解】在△AOB与△COD中，∠A＝∠C，OA＝OC，∠AOB＝∠COD，∴△AOB≌△COD（ASA），∴OB=OD，∴点O在线段BD的垂直平分线上，∵BE=DE，∴点E在线段BD的垂直平分线上，∴OE垂直平分BD．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定：到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，同时考查了全等三角形的判定与性质．53．见解析【分析】根据题意可以证得△ABC≅△DEF，所以BC=EF，即可得到结论．【详解】根据题意，在△ABC和△DEF中，AB=DE∠A=∠D，AC=DF∴△ABC≅△DEF，∴BC=EF，∴BC−CE=EF−CE，∴BE=CF．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．54．见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理和平行线的判定定理即可得到结论．【详解】证明：∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即：AC=BD，。
初中数学全等三角形解答题二专题训练含答案详情
初中数学全等三角形解答题二专题训练含答案详情初中数学全等三角形解答题二专题训练含答案详情姓名：__________班级：__________考号：__________一、解答题（共9题）1、如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．（1）求证：AE=EF；（2）如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？；（填“成立”或“不成立”）；（3）如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请证明，若不成立说明理由．2、如图，已知AE⊥FE，垂足为E，且E是DC的中点．(1)如图①，如果FC⊥DC，AD⊥DC，垂足分别为C，D，且AD＝DC，判断AE是∠FAD的角平分线吗？(不必说明理由)(2)如图②，如果(1)中的条件“AD＝DC”去掉，其余条件不变，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由；(3)如图③，如果(1)中的条件改为“AD∥FC”，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由．3、如图1，A（，0），B（0，），、，OC∶OA=1∶3．（1）A、B、C；（2）D（1，0），D的直线分别交AB、BCE、F，E、F．当BD平分△BEF的面积时，的值；（3）2，M（2，4），P是轴上A点右侧一动点，AH⊥PMH，HM上取点G，HG=HA，CG，P在点A右侧运动时，∠CGM，；，．4、（1）如图①，△是等边三角形，点是边下方一点，连结，且，探索线段之间的数量关系．解题思路：延长到点，使，连接，根据，则，因为可证，易证得△≌△，得出△是等边三角形，所以，从而探寻线段之间的数量关系．根据上述解题思路，请直接写出之间的数量关系是；（拓展延伸）（2）如图②，在Rt△中，，．若点是边下方一点，，探索线段之间的数量关系，并说明理由；（知识应用）（3）如图③，两块斜边长都为2cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，已知所对直角边等于斜边一半，则的长为_____________cm．（结果无需化简）5、1，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，D为△ABC内部的一动点（不在边上），连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，BF，EF．（1）求证：△BDA≌△BFE；（2）①CD+DF+FE的最小值为；②当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD∥BF．（3）如图2，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的过程中，请判断∠MPN的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．6、1)在图28－1中，已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN．∠ABC＝∠ADC＝90°，则能得如下两个结论：①DC=BC;②AD+AB=AC.请你证明结论②；(2)在图28－2中，把（1）中的条件“∠ABC＝∠ADC＝90°”改为∠ABC＋∠ADC＝180°其他条件不变，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由．7、已知∠MON，用三角尺按下列方法画图：在∠MON的两边OM，ON上，分别取OA=OB，再分别过点A，B作ON，OM的垂线AD，BE，交ON，OM于点D，E，两条垂线相交于点C，作射线OC，则射线OC平分∠MON．问：（1）△AOD与△BOE全等吗？（不需证明）（2）请利用（1）的结论证明射线OC平分∠MON．8、如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点．(1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母(保留作图痕迹，不写作法)．①作∠DAC的平分线AM．?②连接BE并延长交AM于点F．(2)猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的关系，并说明理由．9、:如图一，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DE⊥BC交BC于点E：(1)根据阅读材料可得AD与DC的数量关系为__________.(2)如图二，△ABC中，∠A=120°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC的数量关系，并证明你的猜想.(3)如图三，△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与BD、BC的数量关系，并证明你的猜想.============参考答案============一、解答题1、（1）证明见解析；（2）成立；（3）成立，证明见解析.【解析】试题分析：（1）取AB中点M，连接EM，求出BM=BE，得出∠BME=45°，求出∠AME=∠ECF=135°，求出∠MAE=∠FEC，根据ASA推出△AME和△ECF全等即可；（2）截取BE=BM，连接EM，求出AM=EC，得出∠BME=45°，求出∠AME=∠ECF=135°，求出∠MAE=∠FEC，根据ASA推出△AME和△ECF全等即可；（3）在BA的延长线上取一点N，使AN=CE，连接NE，根据已知利用ASA判定△ANE≌△ECF，因为全等三角形的对应边相等，所以AE=EF．试题解析：（1）证明：取AB中点M，连接EM，∵AB=BC，E为BC中点，M为AB中点，∴AM=CE=BE，∴∠BME=∠BME=45°，∴∠AME=135°=∠ECF，∵∠B=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∵∠AEF=90°，∴∠AEB+∠FEC=90°，∴∠BAE=∠FEC，在△AME和△ECF中，∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE=EF；（2）成立，理由是：如图，在AB上截取BM=BE，连接ME，∵∠B=90°，∴∠BME=∠BEM=45°，∴∠AME=135°=∠ECF，∵AB=BC，BM=BE，∴AM=EC，在△AME和△ECF中，∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE=EF；（3）成立．证明：如图，在BA的延长线上取一点N．使AN=CE，连接NE，∴BN=BE，∴∠N=∠NEC=45°，∵CF平分∠DCG，∴∠FCE=45°，∴∠N=∠ECF，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BE，∴∠DAE=∠BEA，即∠DAE+90°=∠BEA+90°，∴∠NAE=∠CEF，∴△ANE≌△ECF（ASA），∴AE=EF．点睛：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，阅读材料，理清解题的关键是去AM=EC，然后构造出△AME和△ECF全等是解题的关键.2、（1）AE是∠FAD的角平分线（2）成立（3）成立【解析】见详解【详解】（1）AE是∠FAD的角平分线；（2）成立，如图，延长FE交AD于点B，∵E是DC的中点，∴EC=ED，∵FC⊥DC，AD⊥DC，∴∠FCE=∠EDB=90°，在△FCE和△BDE中，,∴△FCE≌△BDE，∴EF=EB，∵AE⊥FE，∴AF=AB，∴AE是∠FAD的角平分线；（3）成立，如图，延长FE交AD于点B，∵AD=DC，∴∠FCE=∠EDB，在△FCE和△BDE中，,∴△FCE≌△BDE，∴EF=EB，∵AE⊥FE，∴AF=AB，∴AE是∠FAD的角平分线.【点睛】本题主要考察了全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质以及等腰三角形三线合一的性质，延长FE交AD于点B，发现△FCE与△BDE一定全等是解决问题的关键.3、1）A6，0），B（0，6），C（－2，0）；（2）3）不改变．试题分析：（1a和b的值，得出点A、BOC，即可得出点C的坐标；（2EG⊥x轴于G，FH⊥xH，由三角形的面积关系得出DF=DE，由AAS证明△FDH≌△EDG，得出DH=DG，即可得出结果；（3MQ⊥x轴于Q，连接CM、AG、M△MCQ是等腰直角三角形，得出∠MCQ=45°，同理：△MPQ是等腰直角三角形，∠MAQ=45°，△AHG∠AGH=45°=∠MCQ，证出A、G、M、C试题解析：（1）∵，∴a-b=0，b-6=0，∴a=b=6，∴A（6，0），B（0，6），∴OA==OB=6，∵OC：OA=1：3，∴OC=2，∴C（－2，0）．(2)EG⊥x轴于G，FH⊥xH，如图1所示：则∠FHD=∠EGD=90°，∵BD△BEF的面积，∴DF=DE，△FDH和△EDG中，，∴△FDH≌△EDG(AAS)，∴DH=DG，?xE+1=xF?1，∴xE+xF=2；（3）∠CGM，∠CGM=45°；MQ⊥x轴于Q，连接CM、AG、M2所示：则MQ=4，OQ=2，∴CQ=2+2=4，∴△MCQ∴∠MCQ=45°，△MQA是等腰直角三角形，∴∠MAQ=45°，∵AH⊥PM，HG=HA，∴△AHG∴∠AGH=45°=∠MCQ，∴A、G、M、C∴∠CGM=∠MAQ=45°.点睛：本题是三角形综合题目，、、、、.熟练掌握全等三角形的判定与性质、证明三角形是等腰直角三角形和四点共圆是解决问题的关键.4、1）；（2）猜想：证明见解析；（3）．【分析】（1）由等边三角形知AB=AC，∠BAC=60°，结合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再证△ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB．（2）延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，先证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，据此可得∠DAE=∠BAC=90°，由勾股定理知DA2+AE2=DE2，继而可得2DA2=（DB+DC）2；（3）由直角三角形的性质知QN=MN=1，MQ=，利用（2）中的结论知PQ=QN+QM=1+，据此可得答案．【详解】解：（1）DA=DC+DB，理由：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵∠BDC=120°，∴∠ABD+∠ACD=180°，又∵∠ACE+∠ACD=180°，∴∠ABD=∠ACE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，∵∠ABC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°，∴∠DAC+∠CAE=60°，即∠DAE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB，故答案为：DA=DC+DB；（2）DA=DB+DC如图2，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，∵∠BAC=90°，∠BDC=90°∴∠ABD+∠ACD=180°，∵∠ACE+∠ACD=180°，∴∠ABD=∠ACE，∵AB=AC，CE=BD，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，∴∠DAE=∠BAC=90°，∴DA2+AE2=DE2，∴2DA2=（DB+DC）2，∴DA=DB+DC；（3）如图3，连接PQ，∵MN=2，∠QMN=30°，∴QN=MN=1，∴MQ=，由（2）知PQ=QN+QM=1+，∴PQ=，故答案为：．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5、1）见解答；（2）①；②见解答；（3）是，∠MPN=30°．【分析】（1）由旋转60°知，∠ABD=∠EBF、AB=AE、BD=BF，故由SAS证出全等即可；（2）①由两点之间，线段最短知C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，且CD+DF+FE最小值为CE，再由∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1求出BC和AB，再由旋转知AB=BE，∠CBE=90°，最后根据勾股定理求出CE即可；②先由△BDF为等边三角形得∠BFD=60°，再由C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，∠BFE=120°=∠BDA，最后ADF=∠ADB-∠BDF=120°-60°=60°，即证；（3）由中位线定理知道MN∥AD且PN∥EF，再设∠BEF=∠BAD=α，∠PAN=β，则∠PNF=60°-α+β，∠FNM=∠FAD=60°+α-β，得∠PNM=120°．【详解】解：（1）证明：∵∠DBF=∠ABE=60°，∴∠DBF-∠ABF=∠ABE-∠ABF，∴∠ABD=∠EBF，在△BDA与△BFE中，，∴△BDA≌△BFE（SAS）；（2）①∵两点之间，线段最短，即C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，∴CD+DF+FE最小值为CE，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，∴BE=AB=2，BC=，∵∠CBE=∠ABC+∠ABE=90°，∴CE=，故答案为：；②证明：∵BD=BF，∠DBF=60°，∴△BDF为等边三角形，即∠BFD=60°，∵C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，∴∠BFE=120°，∵△BDA≌△BFE，∴∠BDA=120°，∴∠ADF=∠ADB-∠BDF=120°-60°=60°，∴∠ADF=∠BFD，∴AD∥BF；（3）∠MPN的大小是为定值，理由如下：如图，连接MN，∵M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，∴MN∥AD且PN∥EF，∵AB=BE且∠ABE=60°，∴△ABE为等边三角形，设∠BEF=∠BAD=α，∠PAN=β，则∠AEF=∠APN=60°-α，∠EAD=60°+α，∴∠PNF=60°-α+β，∠FNM=∠FAD=60°+α-β，∴∠PNM=∠PNF+∠FNM=60°-α+β+60°+α-β=120°，∵△BDA≌△BFE，∴MN=AD=FE=PN，∴∠MPN=(180°-∠PNM)=30°．【点睛】本题是三角形与旋转变换的综合应用，熟练掌握旋转的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的判定、勾股定理的应用、中位线的性质及等腰、等边三角形的判定与性质是解题关键．6、7、【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．【分析】（1）根据全等三角形的判定判断即可；（2）根据AAS证△AOD≌△BOE，根据全等三角形的性质推出OE=OD，证Rt△CEO≌Rt△CDO，根据全等三角形的性质推出∠EOC=∠DOC即可．【解答】（1）解：△AOD与△BOE全等；（2）证明：∵过点A，B作ON，OM的垂线AD，BE，∴∠ADO=∠BEO=90°，在△AOD和△BOE中∴△AOD≌△BOE（AAS），∴OE=OD，∵过点A，B作ON，OM的垂线AD，BE，∴∠CDO=∠CEO=90°，在Rt△CEO和Rt△CDO中∴Rt△CEO≌Rt△CDO（HL），∴∠EOC=∠DOC，即射线OC平分∠MON．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能正确运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，难度适中．8、9、1）CD=AD；（2）CD=AD；（3）BC=AD+BD.【解析】（1）由角平分线的性质可得AD=DE，根据∠A=90°，AB=AC，可得∠C=45°，由DE⊥BC可得△DEC是等腰直角三角形，可得CD=DE，进而可得答案；（2）在BC上截取BE=AB，连接DE，利用SAS可证明△ABD≌△EBD，可得AD=DE，∠BED=∠A=120°，由等腰三角形的性质可得∠C=30°，利用三角形外角性质可得∠CDE=90°，利用含30°角的直角三角形的性质即可得答案；（3）在BC上取一点E，使BE=BD，作DF⊥BA于F，DG⊥BC于G，由角平分线的性质就可以得出DF=DG，利用AAS可证明△DAF≌△DEG，可得DA=DE，利用外角性质可求出∠EDC=40°，进而可得DE=CE，即可得出结论．【详解】（1）∵∠A=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，∴DE=AD，∵∠A=90°，AB=AC，∴∠C=45°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD=DE=AD，故答案为：CD=AD（2）如图，在BC上截取BE=AB，连接DE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBE，在△ABD和△EBD中，，∴△ABD≌△EBD，∴DE=AD，∠BED=∠A=120°，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=30°，∴∠CDE=∠BED-∠C=90°，∴CD=DE=AD.（3）如图，在BC上取一点E，是BE=BD，作DF⊥BA于F，DG⊥BC于G，∴∠DFA=∠DGE=90°．∵BD平分∠ABC，DF⊥BA，DG⊥BC，∴DF=DG．∵∠BAC=100°，AB=AC，∴∠FAD=80°，∠ABC=∠C=40°，∴∠DBC=20°，∵BE=BD，∴∠BED=∠BDE=80°，∴∠FAD=∠BED．在△DAF和△DEG中，，∴△DAF≌△DEG（AAS），∴AD=ED．∵∠BED=∠C+∠EDC，∴80°=40+∠EDC，∴∠EDC=40°，∴∠EDC=∠C，∴DE=CE，∴AD=CE．∵BC=BE+CE，∴BC=BD+AD．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时合理添加辅助线是解答本题的关键．…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………。
全等三角形探究题及答案
B A EC FD 图2全等三角形探究题1、已知Rt △ABC 中，AC =BC ，∠C =90°，D 为AB 边的中点，∠EDF =90°，∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．当∠EDF 绕D 点旋转到DE ⊥AC 于E 时（如图1），易证12DEF CEF ABC S S S +=△△△．当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，DEF S △，CEF S △，ABC S △又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．2、如图（1），Rt ABC △中，90ACB = ∠，CD AB ⊥，垂足为D ，AF 平分CAB ∠，交CD 于点E ，交CB 于点F ． （1）求证：CE CF =．将图（1）中的ADE △沿AB 向右平移到A D E '''△的位置，使点E '落在BC 边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE '与CF 有怎样的数量关系？请证明你的结论．F B C E D A 图1 图3 E B ADF C全等三角形探究题1、解： 图2成立；图3不成立证明图2：过点D 作DM ⊥AC ，DN ⊥BC则∠DME =∠DNF =∠MDN =90°再证∠MDE =∠NDF ，DM =DN有△DME ≌△DNF∴S △DME = S △DNF∴S 四边形DMCN =S 四边形DECF =S △DEF + S △CEF由信息可知S 四边形DMCN =21S △ABC ∴S △DEF + S △CEF =21S △ABC 图3不成立，S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 的关系是： S △DEF -S △CEF =21S △ ABC2、（1）证明：∵AF 平分CAB ∠，∴.CAF EAD ∠=∠ ∵90ACB ∠=°，∴90.CAF CFA ∠+∠=°又∵CD AB ⊥于D ，∴90EAD AED ∠+∠=°. ∴.CFA AED ∠=∠∵AED CEF ∠=∠，∴.CFA CEF ∠=∠ ∴.CE CF =（2）证明：如图，过点E 作EG AC ⊥于G ． 又∵AF 平分CAB ∠，.ED AB ⊥∴.ED EG =由平移的性质可知：D E DE =′′，∴.D E GE =′′ ∵90ACB ∠=°，∴90.ACD DCB ∠+∠=° ∵CD AB ⊥于D ，∴90.B DCB ∠+∠=° ∴.ACD B ∠=∠ 在Rt CEG △与Rt BE D △′′中，GCE B CGE BD E GE D E ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩′′′′ E F C D A M N 图2。
全等三角形开放探索型问题例析
口湖北董迎新开放探索型试题重在开发思维，促进创新，提高数学素养，是近几年中考试题的热点．中考数学试题中关于全等三角形的探索型问题更是倍受关注．现举例分类说明．‘。
一一、探索条件犁、此类题给出了结论．要求探索使该结论成立所具备的条件．解这类题时。
一般应依据三角形全等的判定方法，补充所缺少的条件．例1如图1。
△A B C 中，点D 在B C 上，点E 在A 曰上，B D =B E ，要使△A D B 錾△C E B ．还需添加一个条件．；f 1)给出下列四个条件：①A D =C E ；②A E =C D ；③厶B A C =￡B C A ：④￡A D B =￡C EB ．请你从中选出一个能使△A D B 鲨△C EB的条件．并给出证明．(2)在(1)中所给出的条件中，能使△A D B 錾△蚀B 的还有哪些?B DC 图1直接在题后横线上写出满足题意的条件序号：．暖珏■这是一道探索条件、补充条件的开放型试题．根据“探索三角形全等的条件”，添加条件②，利用SA S 可以判定A A D B 兰A C E B ．若添加条件③．利用SA S 可以判定．若添加条件④，可以用A SA 判定．(1)添加条件②，③，④中任一个即可，以添加②为例证明．证明：．A E=C D ，B E =B D ，．‘．A B =C &又Z A B D =￡C B E ，B E =B D ，．‘．△A D B 錾△C 胎(SA S)．(2)可填③④．△—●=、结论齐放墅’+i此类题给出了限定条件，但结论并不唯，呈现多样性，要求根据所给条件探索可能得到的结论．例2如图2，A 、E 、B 、D 在同一直线上，在A A B C 和△D EF 中，A B =D E ，A C =D F ，A c ／／D F 、(1)求证：△A B C 錾△D E F ．(2)你还可以得到的结论是’(写出一个即可，不再添加其他线段。
不再标注或使用其他字母)．，，一暖囫(1)证明：。
专题02 全等三角形的性质与判定压轴题八种模型全攻略(解析版)
专题02全等三角形的性质与判定压轴题八种模型全攻略考点一全等三角形的概念考点二利用全等图形求正方形网格中角度之和考点三全等三角形的性质考点四用SSS证明三角形全等考点五用SAS证明三角形全等考点六用ASA证明三角形全等考点七用AAS证明三角形全等考点八用HL证明三角形全等考点一全等三角形的概念例题：（2021·福建·福州三牧中学八年级期中）有下面的说法：①全等三角形的形状相同；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等．其中正确的说法有() A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】【分析】先分别验证①②③④的正确性，并数出正确的个数，即可得到答案.【详解】①全等三角形的形状相同，根据图形全等的定义，正确；②全等三角形的对应边相等，根据全等三角形的性质，正确；③全等三角形的对应角相等，根据全等三角形的性质，正确；④全等三角形的周长、面积分别相等，正确；故四个命题都正确，故D为答案.【点睛】本题主要考查了全等的定义、全等三角形图形的性质，即全等三角形对应边相等、对应角相等、面积周长均相等.【变式训练】1．（2022·上海·七年级专题练习）如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′．说理过程如下：把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于＝，所以可以使点B与点B′重合．又因为＝，所以射线能落在射线上，这时因为＝，所以点与重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．【答案】AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'【解析】【分析】直接利用已知结合全等的定义得出答案．【详解】解：把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于AB＝A'B'，所以可以使点B与点B′重合．又因为∠A＝∠A′，所以射线AC能落在射线A'C'上，这时因为AC＝A'C'，所以点C与C'重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．故答案为：AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是仔细读题，理解填空．考点二利用全等图形求正方形网格中角度之和例题：（2021·全国·八年级专题练习）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【解析】【分析】首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3=∠ACB，再由∠ACB+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠3-∠2．【详解】∵在△ABC 和△DBE 中AB BD A D AC ED ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABC ≌△DBE （SAS ），∴∠3=∠ACB ，∵∠ACB +∠1=90°，∴∠1+∠3=90°，∵∠2=45°∴∠1+∠3-∠2=90°-45°=45°，故选B ．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等．【变式训练】1．（2022·山东·济南市槐荫区教育教学研究中心二模）如图，在44⨯的正方形网格中，求αβ+=______度．【答案】45【解析】【分析】连接AB ，根据正方形网格的特征即可求解．【详解】解：如图所示，连接AB∵图中是44⨯的正方形网格∴AD CE =，ADB AEC ∠=∠，DB AE =∴()ADB CEA SAS △≌△∴EAC ABD α∠=∠=，AB AC =∵90ABD BAD ∠+∠=︒∴90EAC BAD ∠+∠=︒，即90CAB ∠=︒∴45ACB ABC ∠=∠=︒∵BD CE ∥∴BCE DBC β==∠∠∵ABC ABD DBC αβ=+=+∠∠∠∴45αβ+=︒故答案为：45．【点睛】本题考查了正方形网格中求角的度数，利用了平行线的性质、同角的余角相等、等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是能够掌握正方形网格的特征．2．（2020·江苏省灌云高级中学城西分校八年级阶段练习）如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度．【答案】135【解析】【分析】首先利用全等三角形的判定和性质求出13∠+∠的值，即可得出答案；【详解】 如图所示，在△ACB 和△DCE 中，AB DE A D AC DC ⎧=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()△△ACB DCE SAS ≅，∴3ABE ∠=∠，∴()12313459045135∠+∠+∠=∠+∠+︒=︒+︒=︒；故答案是：135︒．【点睛】本题主要考查了全等图形的应用，准确分析计算是解题的关键．考点三 全等三角形的性质例题：（2021·重庆大足·八年级期末）如图，ABC 和DEF 全等，且A D ∠=∠，AC 对应DE ．若6AC =，5BC =，4AB =，则DF 的长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．无法确定【答案】A【解析】【分析】 全等三角形对应边相等，对应角相等，根据题中信息得出对应关系即可．【详解】∵ABC 和DEF 全等，A D ∠=∠，AC 对应DE∴ABC DFE ≅∴AB =DF =4故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的概念及性质，应注意①对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的关系，而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系②可以进一步推广到全等三角形对应边上的高相等，对应角的平分线相等，对应边上的中线相等，周长及面积相等③全等三角形有传递性．【变式训练】1．（2022·云南昆明·三模）如图，ABC DEF △≌△，若80,30A F ∠=︒∠=︒，则B 的度数是（ ）A ．80°B ．70°C ．65°D ．60°【答案】B【解析】【分析】 由ABC DEF △≌△根据全等三角形的性质可得30C F ∠=∠=︒，再利用三角形内角和进行求解即可．【详解】ABC DEF ≌，C F ∠=∠∴，30F ∠=︒，30C ∴∠=︒，80,180A A B C ∠=︒∠+∠+∠=︒，18070B A C ∴∠=︒-∠-∠=︒，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．2．（2022·上海·七年级专题练习）如图所示，D ，A ，E 在同一条直线上，BD ⊥DE 于D ，CE ⊥DE 于E ，且△ABD ≌△CAE ，AD ＝2cm ，BD ＝4cm ，求(1)DE 的长；(2)∠BAC 的度数．【答案】(1)6cm DE =；(2)90BAC ︒∠=【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据垂直的定义得到∠D ＝90°，求得∠DBA +∠BAD ＝90°，根据全等三角形的性质得到∠DBA ＝∠CAE 等量代换即可得到结论．(1)解：∵△ABD ≌△CAE ，AD ＝2cm ，BD ＝4cm ，∴AE ＝BD ＝4cm ，∴DE ＝AD +AE ＝6cm ．(2)∵BD ⊥DE ，∴∠D ＝90°，∴∠DBA +∠BAD ＝90°，∵△ABD ≌△CAE ，∴∠DBA ＝∠CAE∴∠BAD +∠CAE ＝90°，∴∠BAC ＝90°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．考点四 用SSS 证明三角形全等例题：（2022·河北·平泉市教育局教研室二模）如图，BD BC =，点E 在BC 上，且BE AC =，DE AB =．(1)求证：ABC EDB ≌；(2)判断AC 和BD 的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)AC BD ，理由见解析【解析】【分析】（1）运用SSS 证明即可；（2）由（1）得DBE BCA ∠=∠，根据内错角相等，两直线平行可得结论．(1)在ABC ∆和EDB ∆中，BD BC BE AC DE AB =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴ABC EDB ∆≅∆(SSS )；(2)AC 和BD 的位置关系是AC BD ，理由如下：∵ABC EDB ∆≅∆∴DBE BCA ∠=∠，∴AC BD ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．【变式训练】1．（2021·河南省实验中学七年级期中）如图，在线段BC 上有两点E ，F ，在线段CB 的异侧有两点A ，D ，且满足AB CD =，AE DF =，CE BF =，连接AF；(1)B 与C ∠相等吗？请说明理由．(2)若40B ∠=︒，20∠=DFC °，AF 平分BAE ∠时，求BAF ∠的度数．【答案】(1)B C ∠=∠，理由见解析(2)60︒【解析】【分析】（1）由“SSS ”可证△AEB ≌△DFC ，可得结论；（2）由全等三角形的性质可得∠AEB ＝∠DFC ＝20°，可求∠EAB ＝120°，由角平分线的性质可求解．(1)解：B C ∠=∠，理由如下：∵CE BF =∴BE CF =在AEB △和DFC △中AB CD AE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴()SSS AEB DFC ≌△△∴B C ∠=∠(2)解：∵AEB DFC ≌∴20AEB DFC ∠=∠=︒∴180120EAB B AEB ∠=︒-∠-∠=︒∵AF 平分BAE ∠ ∴1602BAF BAE ∠=∠=︒ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．2．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形ABCD 中，CB AB ⊥于点B ，CD AD ⊥于点D ，点E ，F 分别在AB ，AD 上，AE AF =，CE CF =．(1)若8AE =，6CD =，求四边形AECF 的面积；(2)猜想∠DAB ，∠ECF ，∠DFC 三者之间的数量关系，并证明你的猜想．【答案】(1)48(2)∠DAB ＋∠ECF ＝2∠DFC ，证明见解析【解析】【分析】（1）连接AC ，证明△ACE ≌△ACF ，则S △ACE ＝S △ACF ，根据三角形面积公式求得S △ACF 与S △ACE ，根据S 四边形AECF ＝S △ACF ＋S △ACE 求解即可；（2）由△ACE ≌△ACF 可得∠FCA ＝∠ECA ，∠F AC ＝∠EAC ，∠AFC ＝∠AEC ，根据垂直关系，以及三角形的外角性质可得∠DFC ＋∠BEC ＝∠FCA ＋∠F AC ＋∠ECA ＋∠EAC ＝∠DAB ＋∠ECF ．可得∠DAB ＋∠ECF ＝2∠DFC(1)解：连接AC ，如图，在△ACE 和△ACF 中AE AF CE CF AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△ACF （SSS ）．∴S △ACE ＝S △ACF ，∠F AC ＝∠EAC ．∵CB ⊥AB ，CD ⊥AD ，∴CD ＝CB ＝6．∴S △ACF ＝S △ACE ＝12AE ·CB ＝12×8×6＝24．∴S 四边形AECF ＝S △ACF ＋S △ACE ＝24＋24＝48．(2)∠DAB ＋∠ECF ＝2∠DFC证明：∵△ACE ≌△ACF ，∴∠FCA ＝∠ECA ，∠F AC ＝∠EAC ，∠AFC ＝∠AEC ．∵∠DFC 与∠AFC 互补，∠BEC 与∠AEC 互补，∴∠DFC ＝∠BEC ．∵∠DFC ＝∠FCA ＋∠F AC ，∠BEC ＝∠ECA ＋∠EAC ，∴∠DFC ＋∠BEC ＝∠FCA ＋∠F AC ＋∠ECA ＋∠EAC＝∠DAB ＋∠ECF ．∴∠DAB ＋∠ECF ＝2∠DFC【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．考点五 用SAS 证明三角形全等例题：（2022·福建省福州第十九中学模拟预测）如图，点O 是线段AB 的中点，∥OD BC 且OD BC =．求证：AOD OBC ≌．【答案】见解析【解析】【分析】根据线段中点的定义得到AO BO =，根据平行线的性质得到AOD OBC ∠=∠，根据全等三角形的判定定理即可得到结论.【详解】证明：∵点O 是线段AB 的中点，∴AO BO =，∵∥OD BC ，∴AOD OBC ∠=∠，在△AOD 与△OBC 中，AO BO AOD OBC OD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AOD OBC SAS ≌．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．【变式训练】1．（2022·云南普洱·二模）如图，ABC 和EFD 分别在线段AE 的两侧，点C ，D 在线段AE 上，AC DE =，//AB EF ，.AB EF =求证：BC FD =．【答案】见解析【解析】【分析】利用//AB EF ，得到A E ∠=∠，再用AC DE =，AB EF =，得到ABC ≌EFD △（SAS ），然后用三角形全等的性质得到结论即可．【详解】证明：//AB EF ，A E ∴∠=∠，在ABC 和EFD △中AC DE A E AB EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABC ∴≌EFD △（SAS ），BC FD ∴=．【点睛】本题考查三角形全等的判定，平行线的性质，找到三角形全等的条件是解答本题的关键．2．（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，点B 、C 、E 、F 共线，AB =DC ，∠B =∠C ，BF =CE ． 求证：△ABE ≌△DCF．【答案】证明见解析；【解析】【分析】根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）；即可证明；【详解】证明：∵点B、C、E、F共线，BF=CE，∴BF+EF=CE+EF，∴BE=CF，△ABE和△DCF中：BA=CD，∠ABE=∠DCF，BE=CF，∴△ABE≌△DCF（SAS）；【点睛】本题考查了全等三角形的判定；掌握（SAS）的判定条件是解题关键．考点六用ASA证明三角形全等例题：（2022·上海·七年级专题练习）已知：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一点，AC⊥CE，AB ＝CD，求证：BC＝DE．【答案】见解析【解析】【分析】根据直角三角形全等的判定方法，ASA即可判定三角形全等．【详解】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE（已知）∴∠ACE＝∠B＝∠D＝90°（垂直的意义）∵∠BCA+∠DCE+∠ACE＝180°（平角的意义）∠ACE＝90°（已证）∴∠BCA +∠DCE ＝90°（等式性质）∵∠BCA +∠A +∠B ＝180°（三角形内角和等于180°）∠B ＝90°（已证）∴∠BCA +∠A ＝90°（等式性质）∴∠DCE ＝∠A （同角的余角相等）在△ABC 和△CDE 中，A DCE AB CD B D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC ≌△CDE （ASA ）∴BC ＝DE （全等三角形对应边相等）【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．【变式训练】1．（2022·广西百色·二模）如图，在△ABC 和△DCB 中，∠A ＝∠D ，AC 和DB 相交于点O ，OA ＝OD ．(1)AB ＝DC ；(2)△ABC ≌△DCB ．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】【分析】（1）证明△ABO ≌△DCO （ASA ），即可得到结论；（2）由△ABO ≌△DCO ，得到OB ＝OC ，又OA ＝OD ，得到BD ＝AC ，又由∠A ＝∠D ，即可证得结论．(1)证明：在△ABO 与△DCO 中，A D OA ODAOB DOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABO ≌△DCO （ASA ）∴AB ＝DC ；(2)证明：∵△ABO ≌△DCO ，∴OB ＝OC ，∵OA ＝OD ，∴OB ＋OD ＝OC ＋OA ，∴BD ＝AC ，在△ABC 与△DCB 中，AC BD A D AB DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DCB （SAS ）．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握并灵活选择全等三角形的判定方法是解题的关键． 2．（2022·贵州遵义·八年级期末）如图，已知AB DE ∥，ACB D ∠=∠，AC DE =．(1)求证：ABC EAD ≅．(2)若60BCE ∠=︒，求BAD ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)60︒【解析】【分析】（1）利用平行线的性质得CAB E ∠=∠，利用“角边角”即可证明ABC EAD ≅；（2）由邻补角的定义求出180120ACB BCE ∠=︒-∠=︒，进而得到120D ∠=︒，再利用两直线平行同旁内角互补求出BAD ∠．由两直线平行得(1)证明：AB DE ，CAB E ∴∠=∠，在ABC 和EAD中，CAB E AC DEACB D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ABC EAD ∴≅．(2)解：60BCE ∠=︒，180ACB BCE ∠+∠=︒，180120ACB BCE ∴∠=︒-∠=︒，120D ACB ∴∠=∠=︒，AB DE ，180∴∠+∠=︒D BAD ，180********BAD D ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．【点睛】本题考查平行线的性质、邻补角的定义、全等三角形的判定等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．考点七 用AAS 证明三角形全等例题：（2022·上海·七年级专题练习）如图，已知BE 与CD 相交于点O ，且BO ＝CO ，∠ADC ＝∠AEB ，那么△BDO 与△CEO 全等吗？为什么？【答案】△BDO ≌△CEO （AAS ）；原因见解析【解析】【分析】根据AAS 证明△BDO 与△CEO 全等即可．【详解】解：△BDO 与△CEO 全等；∵∠BDO ＝180°﹣∠ADC ，∠CEO ＝180°﹣∠AEB ，又∵∠ADC ＝∠AEB ，∴∠BDO ＝∠CEO，∵在△BDO 与△CEO 中，BDO CEO BOD COE BO CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDO ≌△CEO （AAS ）．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式训练】1．（2022·福建省福州第一中学模拟预测）如图，已知A ，F ，E ，C 在同一直线上，AB ∥CD ，∠ABE =∠CDF ，AF =CE ．求证：AB =CD ．【答案】见详解【解析】【分析】根据全等三角形证明△ABE ≌△CDF ，再根据全等三角形的性质解答即可．【详解】证明：∵AB ∥CD ，∴∠ACD =∠CAB ，∵AF=CE ，∴AF+EF=CE+EF ，即AE =FC ，在△ABE 和△CDF 中，ACD CAB ABE CDF AE CF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ABE ≌△CDF （AAS ）．∴AB =CD ．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定及性质，一般证明线段相等先大致判断两个线段所在三角形是否全等，然后再看证明全等的条件有哪些．2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，CF //AB ，DF 交AC 于E 点，DE＝EF ．(1)求证：△ADE ≌△CFE ；(2)若AB ＝5，CF ＝4，求BD 的长．【答案】(1)证明见解析(2)BD ＝1【解析】【分析】（1）利用角角边定理判定即可；（2）利用全等三角形对应边相等可得AD 的长，用AB ﹣AD 即可得出结论．(1)证明：∵CF ∥AB ，∴∠ADF ＝∠F ，∠A ＝∠ECF ．在△ADE 和△CFE 中，A ECF ADE F DE FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△CFE （AAS ）．(2)∵△ADE ≌△CFE ，∴AD ＝CF ＝4．∴BD ＝AB ﹣AD ＝5﹣4＝1．【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．考点八 用HL 证明三角形全等例题：（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，AB =CD ，AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F ，且BF =CE．(1)求证AE=DF；(2)判定AB和CD的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见解析∥，理由见解析(2)AB CD【解析】【分析】（1）只需要利用HL证明Rt△ABE≌Rt△DCF即可证明结论；∥．（2）根据Rt△ABE≌Rt△DCF即可得到∠B=∠C，即可证明AB CD(1)解：∵BF=CE，∴BF-EF=CE-EF，即BE=CF，∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠AEB=∠DFC=90°，又∵AB=DC，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），∴AE=DF；(2)∥，理由如下：解：AB CD∵Rt△ABE≌Rt△DCF，∴∠B=∠C，∥．∴AB CD【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．【变式训练】1．（2022·安徽安庆·八年级期末）如图，AD，BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°．(1)求证：△ACB ≌△BDA ；(2)若∠CAB =54°，求∠CAO 的度数．【答案】(1)见解析(2)18°【解析】【分析】（1）根据HL 证明Rt △ABC ≌Rt △BAD ；（2）先求出∠ABC 的度数，即可利用全等三角形的性质求出∠BAD 的度数，由此即可得到答案．(1)证明：∵∠D =∠C =90°，∴△ABC 和△BAD 都是直角三角形，在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，BC AD AB BA ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △ABC ≌Rt △BAD （HL ）；(2)解：在Rt △ABC 中，∠CAB =54°，∠ACB =90°，∴∠ABC =36°，∵Rt △ABC ≌Rt △BAD ，∴∠ABC =∠BAD =36°，∴∠CAO =∠CAB -∠BAD =54°-36°=18°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，熟练掌握全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．2．（2022·江西·永丰县恩江中学八年级阶段练习）如图，在△ABC 中，BC =AB ，∠ABC =90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE =CF ．(1)求证：Rt △ABE ≌Rt △CBF ；(2)若∠CAB =30°，求∠ACF 的度数．【答案】(1)证明见解析(2)60︒【解析】【分析】（1）由“HL ”可证Rt △ABE ≌Rt △CBF ；（2）由AB =CB ，∠ABC =90°，即可求得∠CAB 与∠ACB 的度数，即可得∠BAE 的度数，又由Rt △ABE ≌Rt △CBF ，即可求得∠BCF 的度数，则由∠ACF =∠BCF +∠ACB 即可求得答案．(1)∵∠ABC =90°，∴∠CBF =∠ABE =90°，在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，AE CF AB BC=⎧⎨=⎩ ∴Rt △ABE ≌Rt △CBF （HL ）；(2)∵AB =BC ，∠ABC =90°，∴∠CAB =∠ACB =45°，∴∠BAE =∠CAB -∠CAE =45°-30°=15°。
全等三角形考题精选(带答案)
全等三角形考题精选(带答案)全等三角形考题精选全等三角形是初中数学中的重要概念之一，也是很多考试中常见的题型。
通过解答全等三角形的问题，可以帮助学生加深对几何图形的理解和应用能力。
以下是一些常见的全等三角形考题以及详细的解析。
希望对你的学习和备考有所帮助。
题目一：已知△ABC和△DEF中，∠A=∠D，AB=DE，AC=DF。
若∠B=60°，证明△ABC≌△DEF。
解析：首先，已知AB=DE，AC=DF，根据SSS（边边边）全等条件，我们可以得出△ABC≌△DEF的结论。
另外，根据∠B=60°，我们还可以使用SAS（边角边）全等条件来证明。
设△ABC与△DEF的对应边分别为BC和EF。
由于AB=DE，AC=DF，我们可以得知△ABC与△DEF的对应边也相等，即BC=EF。
又因为∠B=60°，∠D=∠A，根据三角形内角和的性质可知∠C=∠F=180°-(∠A+∠B) = 120°。
综上所述，我们在△ABC和△DEF中分别找到了两组对应边和对应角相等，因此可以得出△ABC≌△DEF。
题目二：在平面直角坐标系中，已知点A(-3,2)、B(1,4)、C(4,1)和D是线段AC的中点，证明△ABC≌△BDC。
解析：首先，我们可以计算出线段AC的中点坐标为M(((-3+4)/2),(2+1)/2) = (0.5, 1.5)。
然后，我们可以计算出线段AB和CD的斜率分别为：k1 = (4-2)/(1-(-3)) = 2/4 = 1/2k2 = (1.5-4)/(0.5-4) = -2.5/-3.5 = 5/7由于AB和CD的斜率相等且AM=DM，根据SAS（边角边）全等条件，我们可以得出△ABC≌△BDC的结论。
题目三：在△ABC中，AB=BC，<ABC=40°，<ACB=140°。
点D在线段BC 上，且AD=BC，求∠BAC的度数。
全等三角形开放性问题
给定一个三角形，通过添加辅助线或 调整边长、角度等条件，构造出一个 等边三角形来证明题目的结论。
构造等腰三角形
给定一个三角形，通过添加辅助线或 调整边长、角度等条件，构造出一个 等腰三角形来证明题目的结论。
探索性问题
探索全等三角形的性质
01
通过观察和证明全等三角形的性质，如SAS、SSS、ASA、AAS
鼓励创新
鼓励学生敢于挑战传统观 念，尝试新的解题思路和 方法，培养创新精神。
培养数学表达能力
引导学生用数学语言清晰 地表达自己的观点和思路， 提高数学表达能力。
拓展数学知识面
引导学生了解全等三角形 在数学领域的应用和相关 数学知识，拓宽知识视野。
05
开放性问题的教学案例分 析
案例一：全等三角形中的构造性问题
全等三角形的性质
全等三角形的对应边 相等，对应角相等。
全等三角形的周长和 面积也相等。
全等三角形的对应高、 中线、角平分线等也 相等。
全等三角形的判定方法
边边边（SSS）判定
如果两个三角形的三边分别相等，则这两个 三角形全等。
角边角（ASA）判定
如果两个三角形的两角和它们之间的夹边相 等，则这两个三角形全等。
解题路径多样
开放性问题通常有多种解题路径和 方法，学生可以从不同的角度和思 路入手，寻找解决问题的方法。
知识综合运用
开放性问题需要学生综合运用所学 知识，进行多角度思考和推理，能 够提高学生的知识整合能力和思维 灵活性。
开放性问题在数学教育中的意义
01
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培养创新思维
开放性问题能够引导学生 进行探索和创新，培养学 生的创新思维和解决问题 的能力。
构造等腰三角形
三角形的数学探索全等题目与答案
三角形的数学探索全等题目与答案三角形的数学探索：全等题目与答案在数学中，三角形是一个经常出现的几何形状。
而全等三角形则是其中一个重要的概念。
本文将探索全等三角形的相关题目以及答案，通过数学的分析和推理，揭示其中的奥秘。
一、全等三角形的定义和性质在开始探讨全等三角形的题目之前，我们先来了解一下全等三角形的定义和性质。
两个三角形若形状完全相同，对应边长、对应角度完全相等，则称它们为全等三角形。
全等三角形的性质包括：1. 对应边长相等性质：如果两个三角形全等，则它们的对应边长相等。
2. 对应角度相等性质：如果两个三角形全等，则它们的对应角度相等。
3. 边－角－边相等性质：如果两个三角形的两边和夹角相等，则它们全等。
二、全等三角形的题目及答案1. 题目：已知三角形ABC和DEF，若∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DF，证明三角形ABC与DEF全等。
答案：根据全等三角形的性质，我们可以得出结论。
∠A=∠D,∠B=∠E，AC=DF。
由于∠A 和∠D的关系为对应角度相等，所以∠A和∠D必定相等。
同理，∠B和∠E也相等。
另外，由于AC=DF，边－角－边相等性质成立。
因此，根据全等三角形的定义和性质，可以得出三角形ABC与DEF全等的结论。
2. 题目：已知三角形ABC和三角形DEF全等，已知AC=6 cm，BF=3 cm，找出BC的长度。
答案：根据已知条件，三角形ABC与DEF全等。
根据全等三角形的对应边长相等性质，AC=DF，即6 cm=DF。
同样地，根据对应边长相等性质，BC与EF的长度相等。
因此，BC的长度也为6 cm。
3. 题目：已知∠A=60°，AD是三角形ABC的角平分线，且AD=BD，证明三角形ABC是等边三角形。
答案：通过观察题目中的角平分线和已知条件，我们可以推断出三角形ABC应该是等边三角形。
首先，根据题目已知条件，AD=BD，即角平分线AD与边BD的长度相等。
而根据角平分线的性质，角平分线会将角分为两个相等的角度。
中考数学复习专题《全等三角形的开放与探究》课件
专题解读
与全等三角形有关的开放与探究题没有明 确的结论或条件，需要通过观察、联想、分析、 比较、归纳、概括、猜想等来发现解题的条件或 结论．
典型例题 1 在△ABC 中，AB＝AC，点 E，F 分别在 AB，AC 上，AE＝AF，BF 与 CE 相交 于点 P.求证：PB＝PC，并直接写出图中其他相 等的线段．
提供的三个条件是：①AB＝DE；②AC＝ DF；③AC∥DF.
解：不能； 选择条件：①AB＝DE. ∵BF＝CE， ∴BF＋BE＝CE＋BE， 即 EF＝BC，
在△ABC 和△DFE 中，
AB DE, ∵ABC DEF ,
EF BC , ∴△ABC≌△DEF(SAS)．
6.(选做题)如图，P 为定角∠AOB 的平分 线上的一个定点，且∠MPN 与∠AOB 互补．
A. CE＝DF B. ∠CEA＝∠DFB C. ∠OCE＝∠ODF D. OE＝OF
5.如图，点 F，B，E，C 在同一直线上， 并且 BF＝CE，∠ABC＝∠DEF.能否由上面的 已知条件证明△ABC≌△DEF？如果能，请给出 证明；
如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的 条件，添加到已知条件中，使△ABC≌△DEF， 并给出证明．
证明：在△ABF 和△ACE 中，
AB AC, ∵BAF CAE,
AF AE, ∴△ABF≌△ACE(SAS)，
∴∠ABF＝∠ACE(全等三角形的对应角相
等)，BF＝CE(全等三角形的对应边相等)，
∵AB＝AC，AE＝AF，
∴BE＝CF，
在△BEP 和△CFP 中，
BPE CPF , ∵PBE PCF ,
∵OP 平分∠AOB，PE⊥OA 于点 E，PF⊥ OB 于点 F，
全等三角形中的开放探究型问题
全等三角形中的开放探究型问题学习目标：1、通过复习归纳，让学生进一步掌握全等三角形的判定与性质。
2、通过对不同开放性题型的探究，让学生熟练掌握利用全等三角形解题的技能，培养创新能力。
重点：熟练掌握全等三角形的判定与性质。
难点：全等三角形的判定与性质的灵活运用。
一、导入：探究型问题是近年中考的热点之一，它的最大特征是条件或结论具有一定的开放性．这类题目既考查了“双基”水平，以及对原有知识的掌握程度，又培养了创新能力．与全等三角形有关的探究题型没有明确的结论或条件，需要通过观察、联想、分析、比较、归纳、概括、猜想等来发现解题条件或结论．二、阅读《中考总动员》P36知识点，P37例3.三、自主学习与小组探究：1、条件开放型例1、如图所示，AD=BC，请你添加一个条件：，使OC=OD．例2、如图所示，AB//CD．（1）用尺规作图法作∠ACD的平分线CP，CP交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）中作出的线段CE上取一点F，连接AF．要使△ACF ≌△AEF，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件.2、方法开放型例3、已知，如图所示，AB与CD相交于点O，∠CAD=∠BDA，AO=BO．求证：（1）∠C=∠B；（2）△AOC≌△DOB．3、结论开放型例4、如图所示，在△AFD和△BEC中，点A、E、F、C在同一直线上，有下面四个论断：①AD=BC；②AE=CF；③∠B=∠D；④AD∥BC．请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道数学题，并写出解答过程．四、综合提升：4、探究规律型例5、如图，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP．（1）在图（1）中，请你通过观察、测量、猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将△EFP沿直线l向左平移到图（2）的位置时，EP交AC于点Q，连接AP、BQ，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请你证明你的猜想；（3）将△EFP沿直线l向左平移到图（3）的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP、BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．练习：1．如图，已知：AB=AD，∠BAE=∠DAC，要使△ABC≌△ADE，可补充的条件是（写出一个即可）．2．如图，点P在∠AOB的平分线上，若使△AOP≌△BOP，则需要添加的一个条件是．（只写一个即可，不添加辅助线）3．如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°4．如图，∠C=∠D=90°，若要依据“HL”证明△ABC≌△BAD，应添加条件，若要依据“AAS”证明△ABC≌△BAD，应添加条件．5．如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点，①AD平分∠BAC；②DE⊥AB，DF ⊥AC；③AD⊥EF，以其中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：①②→③；①③→②；②③→①．（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；（2）请证明你认为正确的命题．6．CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CF A=α．如图所示．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：（ⅰ）如图①所示，若∠BCA=90°，α=90°，则BE CF；EF |BE-AF|（填“>”“<”或“=”）；（ⅱ）如图②所示，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于α与∠BCA关系的条件，使（ⅰ）中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论成立；（2）如图③所示，若直线CD经过∠BCA的外部，α=∠BCA，请提出EF、BE、AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．。
有关三角形全等的开放题展示.doc
有关三角形全等的开放题展示开放性试题以其综合性强、富有思考价值，注重考察探索精神和创新意识等特征逐渐成为中考热点。
本文对近几年中考有关全等三角形的开放性试题进行归类，并分别探讨它们的解题策略。
一、探索开放题例1．已知：如图1，△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB= A1B1 ，BC= B1C1，∠C=∠C1。
求证：△ABC≌△A1B1C1。
（请你将下列证明过程补充完整。
）证明：分别过点B、B1作BD⊥CA于D，B1D1⊥C1A1于D1，∵BC= B1C1，∠C=∠C1，∴△BCD≌△B1C1D1，∴ BD=B1D1，。
解析：本题有多种解法。
方法一：CD= C1D1，又∵AB= A1B1 ，∠ADB=∠A1D1B1=900，∴△ADB≌△A1D1B1，∴AD= A1D1，∴CA= C1 A1，又∵AB= A1B1 ，BC= B1C1，∴△ABC≌△A1B1C1（SSS）。
方法二：∠CBD=∠C1B1D1，又∵AB= A1B1 ，∠ADB=∠A1D1B1=900，∴△ADB≌△A1D1B1，∴∠ABD=∠A1 B1D1，∴∠CBA=∠C1B1A1，又∵AB= A1B1 ，BC= B1C1，∴△ABC≌△A1B1C1（SAS）。
方法三：∠CBD=∠C1B1D1，又∵AB= A1B1 ，∠ADB=∠A1D1B1=900，∴△ADB≌△A1D1B1，∴∠ABD=∠A1 B1D1，∴∠CBA=∠C1B1A1，又∵BC= B1C1，∠C=∠C1 ，∴△ABC≌△A1B1C1（ASA）。
方法四：又∵AB= A1B1 ，∠ADB=∠A1D1B1=900，∴△ADB ≌△A 1D 1B 1，∴∠A=∠A 1 ，又∵∠C=∠C 1 ，BC= B 1C 1，∴△ABC ≌△A 1B 1C 1（AAS ）。
评注：本题属于策略开放型问题，求解时应运用所学的知识，根据问题的条件去分析、推理、判断得到的途径、手段可能是多种的，而这些不同的途径、手段就是不同的解题策略。
全等三角形中的“开放性”试题例析
全等三角形中的“开放性”试题例析在近几年的中考试题中，各省市经常以此考点出开放性试题，这类试题有些还有点难度，要求大家学会处理这类试题的思路，为此本文精选几题供大家赏析：一、补充条件型例1 (广东省深圳市)如图1，已知，在△ABC 和△DCB 中，AC ＝DB ，若不增加任何字母与辅助线，要使△ABC ≌△DCB ，则还需增加一个条件是_ ．【分析】要使△ABC ≌△DCB ，题中已具备两个条件AC ＝BD （已知），BC ＝CB （公共边），所以从全等三角形的判定上考虑增加边与夹角．解：根据三角形全等的判定方法SAS 可填∠ACB ＝∠DBC ，根据SSS 可填AB ＝DC ．评析：①本题探求使结论成立的条件不止一个，解答时要注意将添加的条件和题目中已知条件一起推导出结论成立；②但此题部分同学易填∠A ＝∠D ，这是错误的，没有．．这个“两边和一边的对角对应相等的两个三角形全等”的判定．二、判断或写出结论型例2 (广州市)如图2，CB ，CD 分别是钝角△AEC 和锐角△ABC 的中线，且AC ＝AB ，给出下列结论：①AE ＝2AC ；②CE ＝2CD ；③∠ACD ＝∠BCE ；④CB 平分∠DCE ，请写出正确结论的序号 ．（注：将你认为正确的结论序号都填上）【分析】本题成立的结论不止一个，必须一个一个进行筛选．解：∵ CB 为△AEC 的中线，∴ AE ＝2AB ，∵ AB ＝AC ，∴AE ＝2AC ，故①正确；延长CD 到F ，使DF ＝CD ,∵ CD 为△ABC 的中线，∴ AD ＝BD ，∵ ∠ADC ＝∠BDF ，∴△ACD ≌△BFD （S A S ）∴ AC ＝BF ，∠A ＝∠ABF ；∵ AC ＝AB ＝BE ，∴ BF ＝BE ，∠ACB ＝∠ABC ，∵ ∠CBE ＝∠A ＋∠ACB ＝∠ABF ＋∠ABC ，∴ ∠CBE ＝∠CBF ，∵ BC ＝BC ，∴ △BCF ≌△BCE ，∴ CE ＝CF ＝2CD ，∠ECB ＝∠FCB ，即CB 平分∠DCE ．故②④也正确．所以填①②④．评析：本题属于结论开放题，这对学生的能力要求也较高，必须将正确的结论找对、找全．另外在解与三角形的中线有关问题时，如果不能直接求解（证），则常将中线延长一倍，借助全等三角形等知识来求解（证），这也是一种常作的辅助线．三、条件、结论组合型例3 （漳州市）如图3，给出五个等量关系：①AD ＝BC ，②AC＝BD ，③CE ＝DE ，④∠D ＝∠C ，⑤∠DAB ＝∠CBA ．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，写出一个正确命题(只需写出一种情况)，并加以证明． A DB C 图1 图2 图3【分析】本题应从三角形全等方面来考虑，要证三角形全等，应有三角形全等的三个．．条件，而题目要求只能用所给等量关系中的两个．．，因此就要找出图形隐含的等量关系．（AB 可作公共边；∠DEA ＝∠CDB ， 是对顶角）．解：以AB 为公共边来考虑以下几种有：（1）①AD ＝BC ，⑤∠DAB ＝∠CBA ，AB ＝BA ，可证得△DAB ≌△CBA ；从而证得②，③，④的结论．（2）①AD ＝BC ，②AC ＝BD ，AB ＝BA ，可证得△DAB ≌△CBA ；从而证得③，④，⑤的结论．（3）②AC ＝BD ，AB ＝BA ，⑤∠DAB ＝∠CBA ，可证得△DAB ≌△CBA ；从而证得①，③，④的结论．以∠DEA ＝∠CDB ，是对顶角来考虑有：（1）③CE ＝DE ，④∠D ＝∠C ，∠DEA ＝∠CDB ，可证得△DAE ≌△CBE ；从而证得①，②，⑤的结论．（2）①AD ＝BC ，④∠D ＝∠C ，∠DEA ＝∠CDB ，可证得△DAE ≌△CBE ；从而证得②，③，⑤的结论．评析：本题集开放性和设计于一体，其设计背景是利用三角形的全等变换，结合所给出的制约条件，编制真命题．这类问题灵活性高，思路开阔，充分体现同中求异的思维，也是近几年各类考试中常出现的新题型．练习：1、(长沙市)如图4，AB ＝AC ，要使ABE ACD △≌△，应添加的条件是____________ (添加一个条件即可)2、（长沙市）如图5，已知MB ＝ND ，∠MBA ＝NDC ，下列哪个条件不能．．判定△ABM ≌△CDN ．（ ）Ａ．∠M ＝∠N ； Ｂ. AB ＝CD ， Ｃ. AM ＝CN ； Ｄ. AM ∥CN ．3、（海南省）如图6，△ABC ≌AEF ，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，则对于结论：①AC ＝AF ，②∠FAB ＝∠EAB ，③EF ＝BC ，④∠EAB ＝∠FAC ，其中正确结论的个数是（ ）Ａ．1个；Ｂ． 2个；Ｃ． 3个；Ｄ． 4个． 图3D C B A E 图4 N M D B C A 图4图5图5 图64、（扬州市）如图7，在△ABC 和△DEF 中，B ，E ，C ，F 在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明． ① AB ＝DE ，②AC ＝ DF ，③∠ABC ＝∠DEF ，④BE ＝CF ． 已知：求证：证明：【参考答案】：1、 AD ＝AE 或∠B ＝∠C 或∠ADC ＝∠AEB ，2、Ｃ3、Ｃ4、命题一：在△ABC 和△DEF 中，B ，E ，C ，F 在同一直线上， AB ＝DE ，AC ＝ DF ，∠ABC ＝∠DEF ．求证：BE ＝CF ．命题二：在△ABC 和△DEF 中，B ，E ，C ，F 在同一直线上，AB ＝DE ，AC ＝ DF ，BE ＝CF ．求证：∠ABC ＝∠DEF ．命题三：在△ABC 和△DEF 中，B ，E ，C ，F 在同一直线上，AB ＝DE ，∠ABC ＝∠DEF ，BE ＝CF ．求证：AC ＝DF ．命题四：在△ABC 和△DEF 中，B ，E ，C ，F 在同一直线上，AC ＝DF ，∠ABC ＝∠DEF ，BE ＝CF ．求证：AB ＝DE ．下面证明命题二：已知：如图，在△ABC 和△DEF 中，B ，E ，C ，F 在同一直线上，AB ＝DE ，AC ＝ DF ， BE ＝CF ．求证：∠ABC ＝∠DEF ．证明：在△ABC 和△DEF 中，因为BE ＝CF ，所以BC ＝EF ；又因为AB ＝DE ，AC ＝DF ，所以△ABC ≌△DEF （SSS ）．所以∠ABC ＝∠DCB ．A B C D E F 图7。
中考中全等三角形的开放题
中考中全等三角形的开放题全等三角形是初中数学的重要内容，在各地中考试卷中都占有一定的分量，近年来有关全等三角形的开放题倍受命题者的关注，它对培养同学们的数学思维能力大有裨益.现例举部分中考题加以归纳浅析，以期对同学们的学习有所帮助.一、条件开放型例1（双柏）如图1，点P在∠AOB的平分线上，若使△AOP≌△BOP，则需添加的一个条件是（只写一个即可，不添加辅助线）.分析：因为点P在∠AOB的平分线上，所以∠AOP＝∠BOP.要使△ABC≌△DEF，已经具备的条件是∠AOP＝∠BOP（A）和公共边OP＝OP（S），需再添加一个角或一条边.略解：若添加OA＝OB，则可根据SAS说明△AOP≌△BOP；若添加∠APO＝∠BPOD，则可根据ASA说明△AOP≌△BOP；若添加∠OAP＝∠OBP，则可根据AAS说明△AOP≌△BOP.点评：本题考查了全等三角形的识别，要由已知条件结合图形通过逆向思维找出合适的条件，有一定的开放性和思考性.二、结论开放型例2（金华）如图2，A、E、B、D在同一直线上，在△ABC与△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，AC∥DF.（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）你还可以得到的结论是（写出一个即可，不再添加其它线段，不再标注或使用其它字母）．分析：（1）要说明△ABC≌△DEF，已经具备AB＝DE，AC＝DF，只需说明它们的夹角相等即可；（2）由全等三角形的性质可以得到一些结论.解：（1）因为AC∥DF，所以∠A＝∠D，又因为AB＝DE，AC＝DF，所以△ABC≌△DEF，理由是：SAS.（2）因为△ABC≌△DEF，所以BC＝EF，∠C＝∠F，∠ABC＝∠DEF.点评：本题考查了全等三角形的识别和性质，利用全等三角形的性质可以说明角和线段相等，具有一定的发散性.三、全面开放型例3（河池）如图3，PC＝PD，AD＝BC，请添加一个条件，使图中存在全等三角形并说明理由.你所添加的条件为：；得到的一对全等三角形是△______≌△______.分析：由已知条件PC＝PD，AD＝BC，容易想到△APD≌△BPC，只需添加它们的夹角相等或第三边对应相等即可；由AD＝BC可知AC＝BD，又PC＝PD，容易想到△APC≌△BPD，只需添加它们的夹角相等或第三边对应相等即可.解：本题答案不唯一，现列举其中一种情况予以解答.添加AP＝BP，得到的一对全等三角形是△APD≌△BPC.因为PC＝PD，AD＝BC，AP＝BP，所以△APD≌△BPC，理由是：SSS.点评：本题属于条件和结论同时开放的一道好题，题目本身并不复杂，但开放程度较高，能激起学生的探索热情，值得重视.。
2019秋浙教版八年级上册数学同步测试试题：对点专题提升1——有关全等三角形的开放题与探究题
对点专题提升1——有关全等三角形的开放题与探究题(教材P35探究活动)如图，在△ABC 和△DEF 中，B ，E ，C ，F 在同一条直线上．下面给出四个论断：①AB ＝DE ；②AC ＝DF ；③∠ABC ＝∠DEF ；④BE ＝CF .任选三个作为已知条件，余下一个作为结论，可得到几个命题？其中真命题有几个？分别给出证明．(教材母题图)解：(1)①③④为条件，②为结论；∵BE ＝CF ，∴BE ＋CE ＝CF ＋CE ，即BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ，∠ABC ＝∠DEF ，BC ＝EF ，∴△ABC ≌△DEF (SAS )，∴AC ＝DF .故本命题为真命题；(2)①②④为条件，③为结论；∵BE ＝CF ，∴BE ＋CE ＝CF ＋CE ，即BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∴△ABC ≌△DEF (SSS )，∴∠ABC ＝∠DEF .故本命题为真命题；(3)①②③为条件，④为结论；无法证明△ABC ≌△DEF ，故本命题不是真命题．(4)②③④为条件，①为结论；无法证明△ABC ≌△DEF ，故本命题不是真命题．综上所述，可得到4个命题，其中真命题有2个．【思想方法】 判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL .添加时注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．条件探索型问题1．[余姚期中]如图，下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是(D)A．BD＝DC，AB＝ACB．∠ADB＝∠ADC，BD＝DCC．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CADD．∠B＝∠C，BD＝DC【解析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．(第1题图) (第2题图)2．[台州校级期中]如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是(D)A．∠A＝∠D B．BC＝EFC．∠ACB＝∠F D．AC＝DF【解析】∵∠B＝∠DEF，AB＝DE，∴添加∠A＝∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF；∴添加BC＝EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；∴添加∠ACB＝∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF.故选D.3．[杭州临安区期末]如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件：__AC＝AD__等(答案不唯一)__(写出一个条件即可)，可使Rt△ABC与Rt△ABD全等．(第3题图) (第4题图)4．[金华校级期中]已知：如图，D，E是△ABC中BC边上的两点，AD＝AE，要证明△ABE≌△ACD，应该再增加一个什么条件？请你增加这个条件后再给予证明．解：本题答案不唯一，增加一个条件可以是：EC＝BD或AB＝AC或BE＝CD或∠B＝∠C或∠BAD＝∠CAE或∠BAE＝∠CAD等．证明：∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∵EC＝BD，∴CD＝BD，∴△ABE≌△ACD(SAS)．结论探索型问题5．[杭州上城区期末]如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC 于点D，DE⊥AB于点E，有下列说法：①CD＝BE；②∠ADB＝112.5°；③AC＋CD＝AB；④若△DEB的面积为1，点P是边AB上的中点，则△ADP的面积为2＋ 2.其中正确的是(A)A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④【解析】∵△ABC为等腰直角三角形，∠B＝45°，∴DE＝BE，∵CD＝DE，∴CD＝BE，故①正确．∵AD平分∠CAB，∴∠DAB＝12∠CAB＝22.5°，又∵∠B＝45°，∴在△ADB中，∠ADB＝180°－∠DAB－∠B＝112.5°.故②正确．∵△ACD≌△AED(AAS)，∴AC＝AE.又∵CD＝BE，∴AC＋CD＝AE＋BE＝AB.故③正确．∵△DEB为等腰直角三角形，∴DE＝BE＝2，BD＝2，∴BC＝2＋2，AB＝2＋22，∵P为AB中点，∴AP＝12AB＝1＋ 2.∴S△ADP ＝12AP·DE＝12×(1＋2)×2＝1＋22，故④错误．(第5题图) (第6题图)6．[台州校级期中]如图，在Rt△ABC中，∠B＝45°，AB＝AC，点D为BC中点，直角∠MDN绕点D旋转，DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，下列结论：①△DEF 是等腰直角三角形；②AE＝CF；③BE＋CF＝EF；④△BDE≌△ADF，其中正确结论是(C)A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④【解析】∵∠B＝45°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵点D为BC中点，∴AD＝CD＝BD，AD⊥BC，∠CAD＝45°，∴∠CAD＝∠B，∵∠MDN是直角，∴∠ADF＋∠ADE＝90°，∵∠BDE＋∠ADE＝∠ADB＝90°，∴∠ADF＝∠BDE，在△BDE和△ADF中，∠CAD＝∠B，AD＝BD，∠ADF＝∠BDE，∴△BDE≌△ADF(ASA)，故④正确；∴DE＝DF，BE＝AF，∴△DEF是等腰直角三角形，故①正确；∵AE＝AB－BE，CF＝AC－AF，∴AE＝CF，故②正确；∵BE＋CF＝AF＋AE，∴BE＋CF＞EF，故③错误．故选C.7．[绍兴柯桥区校级期中]如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.则下面结论中：①DA平分∠EDF；②AE＝AF，DE＝DF；③AD上的点到B，C两点的距离相等；④图中共有3对全等三角形，正确的有__①②③④__．(第7题图)【解析】已知DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，∴∠EDA＝∠FDA，①正确；可证△ADE≌△ADF，故有AE＝AF，DE＝DF，②正确；AD是△ABC的平分线，AB＝AC，根据“三线合一”可知AD是BC的垂直平分线，∴AD上的点到B，C两点距离相等，③正确；根据图形的对称性可知，图中共有3对全等三角形，④正确．8．[台州校级期中]如图，△ABC是等边三角形，D，E分别为BC，AC的中点，P是AD 上一动点，当EP＋PC最短时，PE，PC满足的数量关系是__PC＝2PE__．(第8题图) 第8题答图【解析】∵△ABC是等边三角形，D为BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴B，C关于直线AD对称，∴如答图，连结BE，交AD于点P′，则此时EP＋PC最短，∵E为AC的中点，∴BE⊥AC，∠ABE＝∠CBE＝30°，∴∠P′CB＝30°，∴∠P′CE＝30°，∴P′C＝2P′E.9．[宁波校级期中]如图，已知点P为∠AOB的角平分线上的一点，点D在边OA上．爱动脑筋的小刚经过仔细观察后，进行如下操作：在边OB上取一点E，使得PE＝PD，这时他发现∠OEP与∠ODP之间有一定的数量关系，请你写出∠OEP与∠ODP所有可能的数量关系．(第9题图) 第9题答图解：数量关系是∠OEP＝∠ODP或∠OEP＋∠ODP＝180°.理由：如答图，以O为圆心，以OD为半径作弧，交OB于E2，连结PE2，根据SAS证△E2OP≌△DOP，推出E2P＝PD，得出此时点E2符合条件，此时∠OE2P＝∠ODP；以P为圆心，以PD为半径作弧，交OB于另一点E1，连结PE1，根据等腰三角形性质推出∠PE2E1＝∠PE1E2，求出∠OE1P ＋∠ODP＝180°.10．[乐清校级期中]如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，沿BD对折恰使点A落在BC边上的E点，EC上有一点F，且DF＝CF.(1)求证：DF＝AD；(2)猜想：BC与BD＋AD的关系，并说明理由．(第10题图) 解：(1)∵∠A＝100°，AB＝AC，∴∠C＝40°，又∵DF＝CF，∴∠DFE＝80°，∵∠BED＝∠A＝100°，∴∠DEF＝80°，∴DE＝DF，∵DE＝AD，∴DF＝AD.(2)BC＝BD＋AD.理由：∵∠DEF＝∠DFE＝80°，∴∠EDF＝20°，∴∠BDF＝80°，∴BD＝BF，∵CF＝DF＝AD，∴BC＝BF＋FC＝BD＋AD.11．[金华校级期中]如图，AD是△ABC的高线，E为AC上一点，BE交AD于F，且有DC＝FD，AC＝BF.(1)证明：△BFD≌△ACD；(2)若AB＝10，求AD的长；(3)请猜想BF和AC的位置关系并说明理由．(第11题图)解：(1)证明：∵AD是△ABC的高线，∴△ACD与△BFD都是直角三角形，∵DC＝FD，AC＝BF，∴Rt△BFD≌Rt△ACD.(2)∵Rt△ACD≌Rt△BFD，∴AD＝BD.在Rt△ABD中，∵AD2＋BD2＝AB2，∴2AD2＝AB2，∴AD＝5；(3)BF⊥AC.理由：∵△ADC≌△BDF，∴∠EBC＝∠DAC.又∵∠DAC＋∠ACD＝90°，∴∠EBC＋∠ACD＝90°，∴∠BEC＝90°，∴BF⊥AC.12．[台州校级期中](1)阅读理解：如图1，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化到△ADF中即可判断．请将上述方法补充完整；(2)问题探究：如图2，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E 是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．(第12题图)解：(1)∵AB∥DC，∴∠BAF＝∠F，∵E是BC的中点，∴CE＝BE，在△AEB和△FEC中，∵∠BAF＝∠F，∠AEB＝∠FEC，BE＝CE，∴△AEB≌△FEC，∴AB＝FC，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAF＝∠BAF，∴∠DAF＝∠F，∴DF＝AD，∴AD＝DC＋CF＝DC＋AB；(2)AB＝AF＋CF.证明：如答图，延长AE交DF的延长线于点G，第12题答图∵E是BC的中点，∴CE＝BE，∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠G，在△AEB和△GEC中，∵∠BAE＝∠G，∠AEB＝∠GEC，BE＝CE，∴△AEB≌△GEC，∴AB＝GC，∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG ＝∠F AG ，∴∠F AG ＝∠G ，∴F A ＝FG ，∴AB ＝CG ＝AF ＋CF .13．[杭州上城区校级期中]如图，在△ABC 中，BE ⊥AC 于E ，且∠ABE ＝∠CBE .(1)求证：AB ＝CB ；(2)若∠ABC ＝45°，CD ⊥AB 于D ，F 为BC 中点，BE 与DF ，DC 分别交于点G ，H ； ①判断线段BH 与AC 相等吗？请说明理由；②求证：BG 2－GE 2＝EA 2.(第13题图)第13题答图解：(1)证明：在△ABE 与△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABE ＝∠CBE ，BE ＝BE ，∠BEA ＝∠BEC ，∴△ABE ≌△CBE (SAS )，∴AB ＝CB .(2)①BH ＝AC.理由：∵∠BDC ＝∠BEC ＝∠CDA ＝90°，∠ABC ＝45°，∴∠BCD ＝∠ABC ＝45°，∠A ＋∠DCA ＝90°，∠A ＋∠ABE ＝90°，∴DB ＝DC ，∠ABE ＝∠DCA ，在△DBH 与△DCA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DBH ＝∠DCA ，BD ＝CD ，∠BDH ＝∠CDA ，∴△DBH ≌△DCA (ASA )，∴BH ＝AC .②证明：如答图，连结CG ，AG ，∵AB ＝BC ，BE ⊥AC ，∴BE 垂直平分AC ，∴AG ＝CG ，∵F 点是BC 的中点，DB ＝DC ，∴DF 垂直平分BC ，∴BG ＝CG ，∴AG ＝BG ，在Rt △AEG 中，AG 2－GE 2＝EA 2，∴BG 2－GE 2＝EA 2.14．[金华校级期中]如图，等腰直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，点P 在AC 上，将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ.(第14题图)(1)求∠PCQ的度数；(2)当AB＝4，AP∶CP＝1∶3时，求PQ的长；(3)当点P在线段AC上运动时(P不与A，C重合)，请写出一个反映P A2，PC2，PB2之间关系的等式，并加以证明．解：由题意知，△ABP≌△CBQ，∴∠A＝∠ACB＝∠BCQ＝45°，∴∠PCQ＝∠ACB＋∠BCQ＝90°；(2)当AB＝4，AP∶PC＝1∶3时，有AC＝42，AP＝2，PC＝32，∴PQ＝PC2＋CQ2＝25；(3)存在2PB2＝P A2＋PC2.易证△BPQ是等腰直角三角形，∴PQ＝2PB，∵AP＝CQ，∴PQ2＝PC2＋CQ2＝P A2＋PC2，故有2PB2＝P A2＋PC2.条件、结论都探索的问题15．[绍兴柯桥区校级期中]学完“等腰三角形”一章后，老师布置了一道思考题：如图1，点M ，N 分别在正三角形ABC 的BC ，CA 边上，且BM ＝CN ，AM ，BN 交于点Q .求证：∠BQM ＝60°.(1)请你完成这道思考题；(2)做完(1)后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：①若将题中“BM ＝CN ”与“∠BQM ＝60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？②如图2，若将题中的点M ，N 分别移动到BC ，CA 的延长线上，是否仍能得到∠BQM ＝60°？(第15题图)请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①__是__；②__是__．选择一个给出证明．解：(1)证明：∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝BC ，∠ABC ＝∠C ＝60°，在△ABM 和△BCN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABM ＝∠C ，BM ＝CN ，∴△ABM ≌△BCN (SAS )，∴∠BAM ＝∠CBN ，∴∠BQM ＝∠BAM ＋∠ABQ ＝∠CBN ＋∠ABQ ＝∠ABM ＝60°；(2)①是，证明如下：∵∠BQM ＝60°，∴∠BQM ＝∠ABM ，∴∠BAM ＋∠ABQ ＝∠CBN ＋∠ABQ ，∴∠BAM ＝∠CBN ，在△ABM 和△BCN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAM ＝∠CBN ，AB ＝BC ，∠ABM ＝∠C ，∴△ABM ≌△BCN (ASA )，∴BM ＝CN ；②是，证明方法同(1)．16．[海宁校级期末]探究题：(1)如图1，△ABC 为等边三角形，动点D 在边CA 上，动点P 在边BC 上，若这两点分别从C ，B 点同时出发，以相同的速度由C 向A 和由B 向C 运动，连结AP ，BD 交于点Q ，两点运动过程中AP ＝BD 成立吗？请证明你的结论；(2)如果把原题中：“动点D 在边CA 上，动点P 在边BC 上”改为“动点D ，P 在射线CA 和射线BC 上运动”，其他条件不变，如图2所示，两点运动过程中∠BQP 的大小保持不变．求证：∠BQP ＝60°；(3)如果把原题中“动点P在边BC上”改为“动点P在AB的延长线上运动，连结PD 交BC于E”，其他条件不变，如图3，则动点D，P在运动过程中，DE始终等于PE 吗？写出证明过程．(第16题图)解：(1)成立．证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝∠ABP＝60°，AB＝BC，根据题意得CD＝BP，∴△ABP≌△BCD(SAS)，∴AP＝BD；(2)证明：根据题意CP＝AD，∴CP＋BC＝AD＋AC，即BP＝CD，∴△ABP≌△BCD(SAS)，∴∠APB＝∠BDC，∵∠APB＋∠P AC＝∠ACB＝60°，∠DAQ＝∠P AC，∴∠BDC＋∠DAQ＝∠BQP＝60°；(3)DE＝PE.证明：如答图，过点D作DG∥AB交BC于点G，第16题答图∴∠CDG＝∠C＝∠CGD＝60°，∠GDE＝∠BPE，∴△DCG为等边三角形，∴DG＝CD＝BP，∵∠DEG＝∠PEB，∴△DGE≌PBE(AAS)，∴DE＝PE.图形变化型问题17．[杭州临安区期末]在直线上顺次取A，B，C三点，分别以AB，BC为边长在直线的同侧作正三角形，作得两个正三角形的另一顶点分别为D，E.(1)如图1，连结CD，AE，求证：CD＝AE；(2)如图2，若AB＝1，BC＝2，求DE的长；(3)如图3，将图2中的正三角形BCE绕B点作适当的旋转，连结AE，若有DE2＋BE2＝AE2，试求∠DEB的度数．(第17题图)解：(1)证明：∵△ABD 和△ECB 都是等边三角形，∴AD ＝AB ＝BD ，BC ＝BE ＝EC ，∠ABD ＝∠EBC ＝60°，∴∠ABE ＝∠DBC ，在△ABE 和△DBC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DB ，∠ABE ＝∠DBC ，BE ＝BC ，∴△ABE ≌△DBC ，∴AE ＝DC ；(2)如答图①，取BE 中点F ，连结DF ，∵BD ＝AB ＝1，BE ＝BC ＝2，∠ABD ＝∠EBC ＝60°，∴BF ＝EF ＝1＝BD ，∠DBF ＝60°，∴△DBF 是等边三角形，∴DF ＝BF ＝EF ，∠DFB ＝60°，∵∠BFD ＝∠FED ＋∠FDE ，∴∠FDE ＝∠FED ＝30°，∴∠EDB ＝180°－∠DBE －∠DEB ＝90°，∴DE ＝BE 2－BD 2＝22－12＝3；①②第17题答图(3)如答图②，连结DC ，∵△ABD 和△ECB 都是等边三角形，∴AD ＝AB ＝BD ，BC ＝BE ＝EC ，∠ABD ＝∠EBC ＝60°，∴∠ABE ＝∠DBC ，在△ABE 和△DBC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DB ，∠ABE ＝∠DBC ，BE ＝BC ，∴△ABE ≌△DBC ，∴AE ＝DC.∵DE2＋BE2＝AE2，BE＝CE，∴DE2＋CE2＝CD2，∴∠DEC＝90°，∵∠BEC＝60°，∴∠DEB＝∠DEC－∠BEC＝30°.18．[湖州校级期中]已知点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A，B重合)，分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．(1)如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是__AE∥BF__，QE与QF的数量关系为__QE＝QF__；(2)如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；(提示：延长FQ与AE交于点D)(3)如图3，当点P在线段BA(或AB)的延长线上时，此时(2)中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．(第18题图)解：(1)AE∥BF，QE＝QF.∵Q为AB中点，∴AQ＝BQ，∵BF⊥CP，AE⊥CP，∴BF ∥AE ，∠BFQ ＝∠AEQ ＝90°，在△BFQ 和△AEQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BFQ ＝∠AEQ ，∠BQF ＝∠AQE ，BQ ＝AQ ，∴△BFQ ≌△AEQ (AAS )，∴QE ＝QF .(2)QE ＝QF .证明：如答图①，延长FQ 交AE 于D ，∵Q 为AB 中点，∴AQ ＝BQ ，∵BF ⊥CP ，AE ⊥CP ，∴BF ∥AE ，∴∠QAD ＝∠FBQ ，在△FBQ 和△DAQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠FBQ ＝∠DAQ ，BQ ＝AQ ，∠BQF ＝∠AQD ，∴△FBQ ≌△DAQ (ASA )，∴QF ＝QD ，∵AE ⊥CP ，∴EQ 是Rt △DEF 斜边上的中线，∴QE ＝QF ＝QD ，即QE ＝QF .第18题答图(3)(2)中的结论仍然成立．证明：如答图②，延长EQ ，FB 交于D ，∵Q 为AB 中点，∴AQ ＝BQ ，∵BF ⊥CP ，AE ⊥CP ，∴BF ∥AE ，∴∠1＝∠D ，在△AQE 和△BQD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠D ，∠2＝∠3，AQ ＝BQ ，∴△AQE ≌△BQD (AAS )，∴QE ＝QD ，∵BF ⊥CP ，∴FQ 是斜边DE 上的中线，∴QE ＝QF .19．[义乌校级期中]定义：四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形．我校“快乐走班”数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图1，正方形ABCD 中，AB ＝6，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB 于点P ，另一边交BC 的延长线于点Q .(第19题图)(1)求证：DP ＝DQ ；(2)如图2，小明在图1的基础上作∠PDQ 的平分线DE 交BC 于点E ，连结PE ，他发现PE 和QE 存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；(3)如图3，固定三角板直角顶点在D 点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB 的延长线于点P ，另一边交BC 的延长线于点Q ，仍作∠PDQ 的平分线DE 交BC 延长线于点E ，连结PE ，若AB ∶AP ＝3∶4，请帮小明算出△DEP 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴DA ＝DC ，∠DAP ＝∠DCQ ＝90°，∵∠PDQ ＝90°，∴∠ADP ＋∠PDC ＝90°，∠CDQ ＋∠PDC ＝90°，∴∠ADP ＝∠CDQ ，在△ADP 与△CDQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DAP ＝∠DCQ ，DA ＝DC ，∠ADP ＝∠CDQ ，∴△ADP ≌△CDQ (ASA )，∴DP ＝DQ ；(2)PE ＝QE .证明如下：∵DE 是∠PDQ 的平分线，∴∠PDE ＝∠QDE ，在△PDE 与△QDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧DP ＝DQ ，∠PDE ＝∠QDE ，DE ＝DE ，∴△PDE ≌△QDE (SAS )，∴PE ＝QE ；(3)∵AB ∶AP ＝3∶4，AB ＝6，∴AP ＝8，BP ＝2，由(1)知：△ADP ≌△CDQ ，则AP ＝CQ ＝8， 由(2)知：△PDE ≌△QDE ，PE ＝QE ， 设CE ＝x ，则PE ＝QE ＝CQ －CE ＝8－x ，在Rt △PEB 中，BP ＝2，BE ＝6＋x ，PE ＝8－x ，由勾股定理得22＋(6＋x )2＝(8－x )2，解得x ＝67，∴QE ＝8－67＝507，∴S △DEP ＝S △DEQ ＝12QE ·DC ＝12×507×6＝1507.。
专题训练(三) 有关全等三角形的开放、探究题
(三)已知一边及其相邻的一个内角对应相等
7．如图 3－ZT－7，点 A，E，F，C 在同一条直线，已知 AE＝CF，
∠AFD ＝ ∠CEB ， 那 么 添 加 下 列 一 个 条 件 后 ， 仍 无 法 判 定
△ADF≌△CBE 的是( B )
A．∠A＝∠C
B．AD＝CB C．BE＝DF D．AD∥BC
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新课标（BS）
第四章 三角形
专题训练(三) 有关全等三角形的开放、 探究题
第四章 三角形
专题训练(三) 有关全等三角 形的开放、探究题
专题训练(三) 有关全等三角形的开放、探究题
► 类型之一 补充一个条件
(一)已知两边对应相等
专题训练(三) 有关全等三角形的开放、探究题
► 类型之三 命题式开放问题
16．如图 3－ZT－15，点 P 在∠AOB 的平分线上，若使△AOP≌△BOP，
则需添加的一个条件是_____________________________________． (1)小明添加的条件是 AP＝BP.你认为小明添加的条件正确吗？ (2) 你 添 加 的 条 件 是 ________ ， 请 用 你 添 加 的 条 件 说 明 △AOP≌△BOP.
图 3－ZT－13
专题训练(三) 有关全等三角形的开放、探究题
► 类型之二 补充两个条件
14．如图 3－ZT－14，在△ABC 和△DEC 中，已知 AB＝DE，还需添
加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是( C )
A．BC＝EC，∠B＝∠E
B．BC＝EC，AC＝DC
C．BC＝DC，∠A＝∠D
全等三角形中考开放题用
版 别：人教版 适用年级：初二年级全等三角形—— 开放型中考题例析由全等三角形的性质，可知两个三角形的6组相等量，（三边对应相等，三角对应相等）。
判定三角形全等的方法，有5种判定三角形全等的方法。
由于全等三角形的性质，及判定方法的多样性，中考中，对全等三角形的考察形式就更具开放性。
依据开放的程度和形式的不同分类，常有下面几种形式。
一， 全开放型这类题，给出少量的已知条件，指明成立的全等三角形，完全开放使其成立的条件，请同学们自行选择。
解这类题，要求同学们要非常熟悉判定三角形全等的所有基本定理，先根据已知条件，选择判定定理，再根据定理补充缺少的条件，即可得结论。
一般这类题的答案不唯一。
如： 1，（2003茂名）如图1，点C 、D 在BE 上，∠1＝∠2，BD ＝EC ，请补充一个条件： ， 使△ABC ≌△FED点拨：根据已知条件，∠1＝∠2，BD=EC （由BD=EC 可推出BC=DE 。
）选择判定定理，AAS ，ASA ，SAS 再根据定理补充缺少的条件，选择定理AAS ，补充的条件是∠A=∠F 。
选择定理ASA ，补充的条件是∠B=∠E 。
选择定理SAS ，补充的条件是AC=FD 。
答案∠B=∠E （或AC=DF 或∠A=∠F ）21，（泰州2003）如图2所示，在△ABC 和△DCB 中 ,AB ＝DC ， 要使△ABO ≌△DCO ，请你补充一个条件________________ ________________________（只要填写一个你认为合适的条件）.点拨：题中给了条件AB ＝DC ，结合隐含条件——对顶角∠AOB ＝∠DOC ，有使△ABO ≌△DCO ，可选择定理AAS （补充的条件∠A ＝∠D 或∠ABO ＝∠DCO ），结合隐含条件——公共边BC ，可选择定理SAS ，（补充条件∠ABC ＝∠DCB ）先推出△ABC ≌△DCB ，继而推出∠A ＝∠D 即可推出结论。
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如图5所示，已知AC⊥BD于点P，AP＝CP，请增加
一个条件，使△ABP≌△CDP(不能添加辅助线)，你增加的条件是 BP＝DP或AB＝CD或∠A＝∠C或∠B＝∠D或AB∥CD ． ____________________________________________________
图3
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[2012· 雅安]如图4，在△ADB和△ADC中，下列条 件：①BD＝DC，AB＝AC；②∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD；③
∠B＝∠C，BD＝DC；④∠ADB＝∠ADC，BD＝DC，能得出
①②④ ． △ADB≌△ADC的序号是__________
图4
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【思想方法】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、
SAS、ASA、AAS、HL.添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三 角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边 一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
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[2012· 青海]如图2所示，点D，E分别在线段AB，AC 上，BE，CD相交于点O，AE＝AD，要使△ABE≌△ACD，则需 答案不唯一，如∠B＝∠C或∠AEB＝∠ADC或 要添加的条件是___________________________________________ AB＝AC (只需一个即可，图中不能再添加其他点或线)． __________
(教材P45习题12.2第12题)
如图1，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，
FC∥AB.AE与CE有什么关系？证明你的结论．
图1
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解：∵FC∥AB， ∴∠DAE＝∠ECF. 在△EAD和△ECF中， ∵∠AED＝∠CEF，∠DAE＝∠ECF，DE＝FE， ∴△EAD≌△ECF. ∴AE＝CE.
图10
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解：(1)补全图形如图所示；
变形9答图
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(2)由题意，得△ ABC≌△AED， ∴AB＝AE，∠ABC＝∠E. 在△ AFB 和△ AGE 中， ∠ABC＝∠E， AB＝AE， ∠α＝∠α， ∴△AFB≌△AGE(ASA)．
∴BC＝EF，
∴BC－FC＝EF－FC， 即BF＝EC；
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情形三：题设：②③④；结论：①.
证明：∵BF＝EC， ∴BF＋CF＝EC＋CF， 即 BC＝EF. ∠B＝∠E， 在△ABC 和△DEF 中，BC＝EF， ∠1＝∠2， ∴△ABC≌△DEF(ASA)， ∴AB＝DE.
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证明：
图9 解：情形一：题设：①②③；结论：④. 证明：∵BF＝EC，
∴BF＋CF＝EC＋CF，
即BC＝EF.
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AB＝ DE， 在△ABC 和△DEF 中，∠B＝∠E， BC＝ EF， ∴△ABC≌△DEF(SAS)， ∴∠1＝∠2； 情形二：题设：①③④；结论：②. 证明：在△ABC 和△DEF 中， AB＝ DE， ∵∠B＝∠E， ∠1＝∠2， ∴△ABC≌△DEF(AAS)，
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[2012· 荆门]如图10，Rt△ABC中，∠C＝90°，将 △ABC沿AB向下翻折后，再绕点A按顺时针方向旋转α度(α＜ ∠BAC)，得到Rt△ADE，其中斜边AE交BC于点F，直角边DE分
别交AB，BC于点G，H.
(1)请根据题意用实线补全图形； (2)求证：△AFB≌△AGE.
AB＝AC或BO＝CO或∠BAO＝∠CAO或∠BOA ∠ACO＝90°，___________________________________________ ＝ ∠COA ___________ ，则△AOB≌△AOC.
图6
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[2012· 义乌]如图7，在△ABC中，点D是BC的中点， 作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E，F，连接CE， BF.添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明．你添加的
DE＝DF(或CE∥BF或∠ECD＝∠DBF或∠DEC＝ 条件是_______________________________________________ ∠ DFB等) ____________( 不添加辅助线)．
图7
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证明：在△BDF 和△CDE 中， BD＝ CD， ∵∠EDC＝∠FDB， DE＝DF， ∴△BDF≌△CDE.
图2 【解析】 若补充条件为∠ADC＝∠AEB， 则∠A＝∠A，AE＝AD，∠ADC＝∠AEB，
∴△ABE≌△ACD.
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[2012· 绵阳]如图3，BC＝EC，∠1＝∠2，要使 AC＝DC或∠A＝∠D △ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为_____________________ 或 ∠B＝∠E等 _______________( 答案不唯一，只需填一个)．
∴∠EFD＝∠ACB.
又∵∠A＝∠D， ∴△ABC≌△DEF(ASA)．
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[2012· 漳州]在数学课上，林老师在黑板上画出如图9 所示的图形(其中点B，F，C，E在同一直线上)，并写出四个条
件：①AB＝DE，②BF＝EC，③∠B＝∠E，④∠1＝∠2.
请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论， 组成一个真命题，并给予证明． 题设：______________， 结论：______________．(均填写序号)
图5
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【解析】 当增加BP＝DP时，由SAS得△ABP≌△CDP；当
增加AB＝CD时，由HL得△ABP≌△CDP；当增加∠A＝∠C时， 由ASA得△ABP≌△CDP；当增加∠B＝∠D时，由AAS得 △ABP≌△CDP.
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页如图Leabharlann 所示，在△ABO和△ACO中，∠ABO＝
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[2012· 衡阳]如图8所示，AF＝DC，BC∥EF，请只补
充一个条件，使得△ABC≌△DEF，并说明理由．
图8
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解：补充条件：∠A＝∠D(或∠B＝∠E或BC＝EF等)． 证明：∵AF＝DC，
∴AF＋FC＝DC＋FC，
即AC＝FD. ∵BC∥EF，