关于定积分近似计算中矩形法的误差估计

b
[ f ( x ) - f ( a) ] dx =
a
b
f ∀( ) ( x - a) dx #
a
M
b
( x - a) dx
a
=
M 2
(
b
-
a) 2 .
定理 2 设 f ( x ) 在[ a, b] 上连续, 在[ a, b] 上的
至多有限个点之外有连续导数, 且存在正常数 M 使
| f ∀( x ) | # M . 对区间[ a, b] 进行 n 等分划分:
[ 3] 关治, 陆金甫. 数值 分析基础[ M ] . 北京: 高等教育出 版 社, 1998: 183 188.
[ 4] Ro ss L F inny, M aur ice D Weir, F rank R G ior dano. T homas( Calculus: tenth editio n[ M ] . 影印. 北京: 高等 教育出版社, 2004: 376 378.
算定积分值的算法公式, 该公式来源于文献[ 1] .
设 f ( x) 在[ a, b] 上连续, 在区间[ a, b] 中插入分点
a = x 0 < x 1 < < x n- 1 < x n = b, 将其划分成 n 等分, 并记
f ( x i- 1 ) = y i- 1 , 则复合左矩形公式为
b
f
于复合矩形法, 而复合抛物线法优于复合梯形法. 因
此在实际中, 计算定积分近似值时经常使用复合抛 物线法. 但是复合矩形法作为定积分近似计算的一
种朴素思想, 对理解其它方法具有启发作用, 因此重
要性是不言而喻的.
文[ 5] 给出的误差公式只需用到一阶导数, 计算 量较少, 也方便对三种算法的误差进行比较. 而文[ 4]
梯形法和抛物线法, 但并没有给出这几个算法的误 差估计.
梯形法和抛物线法的误差估计可参考文[ 2 4] ,
而复合左矩形法和复合右矩形法的近似计算的误差
估计却在多数情形下仅以练习题的形式出现. 本文
在这里借用高等数学的方法给出复合左矩形法近似
计算的误差估计, 以供教师和学生参考. 复合右矩形
法的近似计算估计可以同理给出. 为了叙述的方便, 首先给出定积分左矩形法计
3
M
0
,
= 抛物线法
(
b - a) 180n 4
5
M
0
,
其中 M0 为 | f ∋( x ) | 的上界, 计算上述例子中复合
梯形法和复合抛物线法的误差, 分别可得
梯形法 =
8 12 00
=
0. 67 & 10- 2 ,
= 抛物线法
8 1 80
&
10- 5
! 0. 4 & 10- 5 .
这里,
M0 = 8, n = 10.
关键词 复合矩形法; 分部积分法; 拉格朗日中值定 理; 误差估计
中图分类号 O13; O24
文献标识码 A
文章编号 1008 1399( 2011) 01 0005 02
误差估计是数值计算中对算法好坏衡量的一个
基本标准. 文[ 1] 虽给出了定积分的几个近似计算
公式, 包括矩形法( 复合左矩形法和复合右矩形法) 、
矩形法 =
1 20
&
2.
598 08
&
1
=
0. 129904,
梯形法 = 2. 59808 = 0. 064592, 40
= 抛物线法
5
&
2. 59808 36 0
=
0. 0360844.
这个误差上界有些大.
下面利用文[ 4] 中给出的复合梯形法和复合抛
物线法的误差公式
梯形法 =
(
b - a) 1 2n2
[ 5] 刘征, 丁桂 艳. 关 于定积分近 似计算的 误差估 计[ J] . 鞍 山科技大学学报, 2003, 26( 4) : 313 317.
Error Estimation of Approximating Definite Integrals
by Rectangular Rule
ZH EN G L i fei, XIE Xiao li, W ANG Jie
给出的误差公式需要用到二阶导数, 计算量较大, 不
方便对三种算法的误差进行比较. 但是, 文[ 4] 给出的 误差上限小于文[ 5] 给出的误差上限, 因此取文[ 4]
的方法来计算误差上限更好, 而对复合矩形法误差的
计算可以利用本文给出的误差公式.
以下通过实例来说明如何比较复合矩形法、复
合梯形法与复合抛物线法的误差.
从定理 2 可知, 矩形法在使用的时候, 要求有足
够多的分点, 即 n 要足够得大, 否则精度难以保证.
根据文[ 5] , ( 复合) 梯形法的误差为
6
高等数学研究
2011 年 1 月
梯形法 =
M
(b4n
a) 2
,
而( 复合) 抛物线法的误差为
= 抛物线法 356nM ( b - a) 2 . 这里的 M 定义同定理 2. 由此可知, 复合梯形法要优
a = x0 < x1 < 并记
< x n- 1 < x n = b,
f ( x i- 1 ) = y i- 1 ,
h=
x i - x i- 1 =
bn
a,
那么,
% b
n
f ( x ) dx - h yi- 1
a
i= 1
#
M2n( b - a) 2 .
证明 利用定理 1 可得,
xi
f ( x ) dx - hf ( x i- 1 )
V ol. 14, No . 1 Jan. , 2011
关于定积分近似计算中矩形法的误差估计
郑立飞, 解小莉, 王 洁
( 西北农林科技大学 应用数 学系, 陕西 杨凌 712100)
摘 要 利用拉格朗日中值定理给出 复合矩形法的误差估计, 并指出复合矩形法只有在等 分的次数很大的时
候才能比较精确的估计所求定积分的值. 最后, 给出复合矩形法、复合梯形法及复合抛物线法的误差估计实例.
仍然可以看出: 复合矩形法计算的误差较大, 而复合
抛物线法的计算误差最小.
参考文献
[ 1] 同济大学数学系. 高等数学: 上册[ M ] . 北京: 高等教 育 出版社, 2007: 229 231.
[ 2] 华中理工大学数学系. 计算方法[ M ] . 北京: 高等教育出 版社, 1999: 93 94.
( A pplied M at hematical Department, N or thwest A & F U niver sity, Yang ling 712100, PR C)
Abstract: T his paper m ainly used L ag rang e M ean V alue T heo rem to f orm ulat e an erro r est im at ion o f appro ximat ing def init e int eg rals by rect ang ular rule. It indicat es t hat the Composit e Rect ang ular Rule yields bet ter result s if and only if t he interv al is part it ioned int o suf ficient many small intervals. An ex ample is used t o compare t he erro rs g enerated, respectively, by the com posit e rect ang ular, t rapezoidal and parabolic rules.
下面利用文4中给出的复合梯形法和复合抛物线法的误差公式梯形法ba312n2m0抛物线法ba5180n4m0其中m0为f?x的上界计算上述例子中复合梯形法和复合抛物线法的误差分别可得812000
第 14 卷第 1 期 2011 年 1 月
高等数学研究 ST U DIES IN CO LL EGE M A T H EM A T ICS
证明 据拉格朗日中值定理, 任给 x ∃ [ a, b] ,
存在 ∃ ( a, b) , 使得
f ( x ) - f ( a) = f ∀( ) ( x - a) .
收稿日期: 2009 - 12 - 07; 修改日期: 2010 - 08 - 31. 基金项目: 西北农林科技大学教学改革项目资助( JY 0902104) . 作者简介: 郑立飞( 1973 - ) , 男, 陕西临潼人, 硕士, 讲师, 主要从事生
例 1 试给出用复合矩形法、复合梯形法和复
合抛物线法计算定积分
1 0
1
4 +
x
2
dx
的误差.解 不妨令 Nhomakorabeaf ( x) =
1
4 +
x
2
,
那么,
f ∀( x ) =
8x (1+ x2) 2
,
可以求得上式的最大值为
M=
33 2
! 2. 59808.
将积分区间均等分为 10 份, 利用文[ 5] 给出的
误差公式, 上述三种算法进行计算后的误差分别为:
Keywords: Composit e R ect angular R ule, int eg ratio n by part s, L ag rang e Mean V alue T heorem, er ror est im at ion
物数学研究. Email: zhenglif ei@ 126. com . 解小莉( 1973 - ) , 男, 陕西临潼人, 硕士, 讲师, 主要从事生 物数学研究. Email: zhenglif ei@ 126. com .
因此,
b
f ( x ) dx - f ( a) ( b - a) =
a
a
( x)dx
!
bn
a( y0 +
y1 +
+ yn- 1 ) .
定理1 设 f ( x ) 在[ a, b] 上连续, 在[ a, b] 上的 至多有限个点之外有连续导数, 且存在正常数 M 使
f ∀( x ) # M,
那么,
b
f ( x )dx - f ( a)( b- a)
a
#
1 2
M
(
b-
a) 2 .
xi- 1
#
1 2
Mh2.
由此即知
b
n
% f ( x ) dx - h f ( x i- 1 ) #
a
i= 1
n
%
i= 1
xi
f ( x ) dx - hf ( x i- 1 ) #
x i- 1
n 2
Mh2
=
21nM ( b -
a) 2 .
对于复合右矩形法, 可以同样证明, 其误差估计
与复合左矩形法相同.