高考数学总复习13.1.2参数方程练习文新人教B版

13.1.2 参数方程
A 组 专项基础训练
(时间：50分钟)
1．(2017·吉林实验中学)已知椭圆C ：x 24＋y 2
3＝1，直线l ：⎩⎨
⎧x ＝－3＋3t ，
y ＝23＋t
(t 为参数)． (1)写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；
(2)设A (1，0)，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其直线l 的距离相等，求点P 的坐标．
【解析】 (1)椭圆C 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，
y ＝3sin θ
(θ为参数)，
直线l 的普通方程为x －3y ＋9＝0. (2)设P (2cos θ，3sin θ)，
则|AP |＝（2cos θ－1）2
＋（3sin θ）2
＝2－cos θ，
P 到直线l 的距离 d ＝
|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋9
2
.
由|AP |＝d ，得3sin θ－4cos θ＝5，又sin 2
θ＋cos 2
θ＝1， 得sin θ＝35，cos θ＝－4
5
.
故P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－85，335.
2．(2015·陕西高考)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝3＋12t ，y ＝3
2t (t 为参
数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.
(1)写出⊙C 的直角坐标方程；
(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 【解析】 (1)由ρ＝23sin θ， 得ρ2
＝23ρsin θ， 从而有x 2
＋y 2
＝23y ， 所以x 2
＋(y －3)2
＝3.
(2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1
2t ，32t ，又C (0，3)，
则|PC |＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫3
2t －32 ＝t 2
＋12，
故当t ＝0时，|PC |取得最小值， 此时，点P 的直角坐标为(3，0)．
3．(2017·辽宁五校联考)倾斜角为α的直线l 过点P (8，2)，直线l 和曲线C ：
⎩⎨
⎧x ＝42cos θ，
y ＝2sin θ
(θ为参数)交于不同的两点M 1，M 2. (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，并写出直线l 的参数方程； (2)求|PM 1|·|PM 2|的取值范围．
【解析】 (1)曲线C 的普通方程为x 232＋y 2
4＝1，
直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＝8＋t cos α，y ＝2＋t sin α
(t 为参数)．
(2)将l 的参数方程代入曲线C 的方程得： (8＋t cos α)2
＋8(2＋t sin α)2
＝32，
整理得(8sin 2
α＋cos 2
α)t 2
＋(16cos α＋32sin α)t ＋64＝0， 由Δ＝(16cos α＋32sin α)2
－4×64(8sin 2
α＋cos 2
α)＞0，
得cos α＞sin α，故α∈⎣
⎢⎡⎭⎪⎫0，π4，
∴|PM 1||PM 2|＝|t 1t 2| ＝641＋7sin 2
α∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤1289，64. 4．(2017·山西模拟)在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.现
以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝－2＋1
2t ，y ＝－3＋3
2
t (t 为参数)． (1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
(2)设直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，定点P (－2，－3)，求|PA |·|PB |的值． 【解析】 (1)ρ＝42sin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝4sin θ＋4cos θ，
所以ρ2
＝4ρsin θ＋4ρcos θ， 所以x 2
＋y 2
－4x －4y ＝0， 即(x －2)2
＋(y －2)2
＝8；
直线l 的普通方程为3x －y ＋23－3＝0. (2)把直线l 的参数方程代入到圆C ：
x 2＋y 2－4x －4y ＝0中，
得t 2
－(4＋53)t ＋33＝0， 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1t 2＝33.
点P (－2，－3)显然在直线l 上， 由直线标准参数方程下t 的几何意义知 |PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝33， 所以|PA |·|PB |＝33.
5．(2017·长春模拟)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，已知点P 的直角坐标为(1，－5)，点C 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，若直线l 过点P ，且倾斜角为π3，圆C
的半径为4.
(1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； (2)试判断直线l 与圆C 的位置关系．
【解析】 (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝1＋t cos π
3
，
y ＝－5＋t sin π
3
(t 为参数)，
即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋1
2t ，y ＝－5＋3
2
t (t 为参数)．
由题知C 点的直角坐标为(0，4)，圆C 的半径为4， ∴圆C 的方程为x 2
＋(y －4)2
＝16，
将⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得， 圆C 的极坐标方程为ρ＝8sin θ.
(2)由题意得，直线l 的普通方程为3x －y －5－3＝0， 圆心C 到l 的距离为d ＝|－4－5－3|2＝9＋3
2＞4，
∴直线l 与圆C 相离．
6．(2017·沈阳模拟)已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2
cos 2θ＝8，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π
6
，曲线C 1，C 2相交于A ，B 两点．
(1)求A ，B 两点的极坐标；
(2)曲线C 1
与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3
2
t ，y ＝12
t (t 为参数)分别相交于M ，N 两点，求线段MN 的长度．
【解析】 (1)由⎩
⎪⎨⎪⎧ρ2
cos 2θ＝8，θ＝π
6得ρ2
cos π3＝8， 所以ρ2
＝16，即ρ＝±4.
所以A ，B 两点的极坐标为：A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，π6或B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，7π6.
(2)由曲线C 1的极坐标方程得其直角坐标方程为x 2
－y 2
＝8， 将直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3
2t ，y ＝12t
代入x 2
－y 2
＝8，
整理得t 2
＋23t －14＝0， 即t 1＋t 2＝－23，t 1·t 2＝－14，
所以|MN |＝（－23）2
－4×（－14）＝217.
B 组 专项能力提升 (时间：40分钟)
7．已知曲线C ：x 24＋y 2
9＝1，直线l ：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．
(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．
【解析】 (1)曲线C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，
y ＝3sin θ(θ为参数)．
直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.
(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝5
5
|4cos θ＋3sin θ－6|.
则|PA |＝d
sin 30°
＝
255|5sin(θ＋α)－6|⎝
⎛⎭⎪⎫其中α为锐角，且tan α＝43， 当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为
225
5
. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为25
5
.
8．(2017·洛阳模拟)极坐标系与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，以原点O 为极点，
以x 轴正半轴为极轴．已知直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)．曲线C 的极
坐标方程为ρsin 2
θ＝8cos θ.
(1)求曲线C 的直角坐标方程；
(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与x 轴的交点为F ，求
1
|AF |＋1
|BF |
的值． 【解析】 (1)由ρsin 2
θ＝8cos θ得，ρ2
sin 2
θ＝8ρcos θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为y 2
＝8x . (2)易得直线l 与x 轴的交点为F (2，0)， 将直线l 的方程代入y 2
＝8x ， 得(t sin α)2
＝8(2＋t cos α)， 整理得sin 2
α·t 2
－8cos α·t －16＝0. 由已知sin α≠0，
Δ＝(－8cos α)2－4×(－16)sin 2α＝64＞0，
∴t 1＋t 2＝8cos αsin 2
α，t 1t 2＝－16
sin 2α＜0， 故
1
|AF |＋1|BF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1t 1－1t 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1－t 2t 1t 2 ＝（t 1＋t 2）2
－4t 1t 2
|t 1t 2|
＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫8cos αsin 2α2
＋64sin 2α16
sin 2α
＝1
2
. 9．(2016·课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2
＋y 2
＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
(2)直线l 的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，
y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，
求l 的斜率．
【解析】 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2
＋12ρcos θ＋11＝0.
(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．
设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2
＋12ρcos α＋11＝0.
于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.
|AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2
－4ρ1ρ2＝144cos 2
α－44. 由|AB |＝10得cos 2
α＝38，tan α＝±153.
所以l 的斜率为
153或－153
. 10．(2016·课标全国Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨
⎧x ＝3cos α，
y ＝sin α
(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；
(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 【解析】 (1)C 1的普通方程为x 2
3
＋y 2
＝1.
C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.
(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，
d (α)＝
|3cos α＋sin α－4|
2
＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π3－2. 当且仅当α＝2k π＋π
6
(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐
标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，12.。