百所百年名校2018届高三押题卷(四)理数试题

百所百年名校2018届高三押题卷（四）
理数试题
本试题卷共10页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若
i
mi
-+11为纯虚数，则m 的值为（ ） A.1-=m B.1=m C.2=m D.2-=m 【答案】B 【解析】法一：，若其为纯虚数，则，解得
.
法二：因为为纯虚数，设为纯虚数，设（为实数），
则
则
，且
，则
.选B.
2.已知全集R U =，集合⎭
⎬⎫⎩⎨
⎧+==1)21(x y y A ，集合{}R b b y y B ∈==,，若Φ=B A ，则的取值范围是（ ）
A.0<b
B.0≤b
C.1<b
D.1≤b 【答案】D 【解析】
，若
，则
. 选D.
3.甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩（环数）如下面的频数条形统计图所示.则甲、乙、
丙三人训练成绩方差2
22丙乙甲
，，s s s 的大小关系是（ ） A.2
2
2
甲乙丙s s s << B.2
2
2
乙甲丙s s s << C.2
2
2
甲丙乙s s s << D.2
2
2
丙甲乙s s s << 【答案】A
4.已知双曲线方程为)0(122
22>>=-b a b
y a x ，它的一条渐近线与圆4)2(22=+-y x 相切，
则双曲线的离心率为（ ）
A.2
B.
C.3
D.22 【答案】A
【解析】方法一：双曲线的渐近线方程为
，则
，圆的方程
，圆心为，所以，化简可得，则离心率
.
方法二：因为焦点到渐近线的距离为，则有平行线的对应成比例可得
知，即则离心率为. 选A.
5.已知8,,,221--a a 成等差数列，8,,,,2321--b b b 成等比数列，则2
1
2b a a -等于（ ） A.
41 B.21 C.21- D.21或2
1- 【答案】B
考点：1、等差数列的性质；2、等比数列的性质.
6.执行如图所示的框图，若输出的sum 的值为2047，则条件框中应填写的是（ ）
A ．9<i
B ．10<i C.11<i D ．12<i
【答案】C 【解析】
，故选.
点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 7.已知
()
6
3
32z y x ++
的展开式中，系数为有理数的项的个数为（ ）
A ．
B ． C. D ． 【答案】D
点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第
项，再由特定项的特点求出值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由
特定项得出值，最后求出其参数.
8.如图，网格上小正方形的边长为，粗线画出的是某个多面体的三视图，若该多面体的所有顶点都在球O 表面上，则球O 的表面积是（ ）
A ．π36
B ．π48 C.π56 D ．π64 【答案】
C 【解析】
根据三视图知几何体是：三棱锥为棱长为的正方体一部分，直观图如图所示：该多
面体的所有顶点都在球，且球心是正方体的中心，由正方体的性质得，球心到平面
的距
离，由正方体的性质可得，,设的外
接圆的半径为，在中，由余弦定理得，
,，则，由正弦定
理可得，，则，则球的半径，
球的表面积. 选C.
点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 9.已知锐角βα、满足2cos sin cos sin <+α
β
βα，设()x x f a a log ,tan tan =⋅=βα，则下列判断正确的是（ ）
A ．()()βαcos sin f f >
B ．()()βαsin cos f f > C.()()βαsin sin f f > D ．()()βαcos cos f f > 【答案】A 【解析】解：若锐角
满足
，则
，
即
；同理可得这与矛盾，故锐角满足，即
且，
，单调递减，
故选：.
10.以抛物线2x y =的一点()1,1M 为直角顶点作抛物线的两个内接MCD Rt MAB Rt ∆∆,，则线段
AB 与线段CD 的交点E 的坐标为（ ）
A ．()2,1-
B ．()1,2- C.()4,2- D ．()4,1- 【答案】B 【解析】设
，则
，的方程为
因为，所以带入上式可得
于是
在直线
上，同理点
也在
上，因为交点为
.故选：.
11.将单位正方体放置在水平桌面上（一面与桌面完全接触），沿其一条棱翻动一次后，使得正方体的另一面与桌面完全接触，称一次翻转。

如图，正方体的顶点A ，经任意翻转三次后，点A 与其终结位置的直线距离不可能为（ ）
A ．
B ． C. D ． 【答案】B
考点：几何体翻转
12.已知()x f '为函数()x f 的导函数，且()()()1'2
102
1-+-=
x e f x f x x f ，若()()x x x f x g +-=2
21，则方程02=-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-x x a x g 有且仅有一个根时，的取值范围是（ ）
A ．()0,∞-
B ．(]1,∞- C.(){}
10,⋃∞- D ．()1,0 【答案】C
点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.如图，DE BC 、是半径为的圆O 的两条直径，FO BF 2=,则⋅的值是 ．
【答案】
【解析】,
且.
14.在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为“格点”，如果函数()x f 的图象恰好通过()
*∈N k k 个格点，则称函数()x f 为“阶格点函数”，下列函数中是“一阶格点函数”的有 ．
①()x x f = ②()()3122
+-=x x f ③()2
21-⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=x x f ④
()()
1log 2
1+=x x f ⑤()1
1-=
x x f 【答案】②
15.已知实数x,y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-+≥--≤--022*******y x y x y x ，在这两个实数y x ,之间插入三个实数，使这五个数构成
等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为 ． 【答案】9 【解析】
设五个数分别为,则等差数列的公差 ,则
,可设 ,由约
束条件画出可行域,令 ,得 ,结合图像可知当经过点 时,目标函数有
最大值 ,此时 有最大值.故本题填.
点睛:本题为线性规划问题.掌握常见的几种目标函数的最值的求法:①
利用截距的几何意义;②利用斜率的几何意
义;③
利用距离的几何意义.往往是根据题中给出的不等式,求出
的可行域,利用
的条件约束,做出图形.数形结合求得目标函数的最值.
16.各项均为正数的数列{}n a 首项为，且满足()012
112
=+----n n n n a n n a a a ，公差不为零的等差数列{}n b 的前项和为n S ，155=S ，且931,,b b b 成等比数列设n
n
n a b c =，求数列{}n c 的前项和=n T ．
【答案】
.
点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如
(其中
是各项均不为零的等差数列，c 为
常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如
或
.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC ∆中，3
π
=
B ,点D 在边AB 上，1=BD ，且D
C DA = .
（1）若BCD ∆的面积为3，求CD ； （2）若3=AC ，求DCA ∠.
【答案】（1）（2）或.
试题解析：解：（1）因为，即，又，所
以.
在中，由余弦定理得，，解得.
（2）在中，，可设，则，又，
由正弦定理，有，所以.在中，
，由正弦定理得，，即，
化简得，于是，
因为，所以，
所以或，
解得或，故或.
18.如图所示，五面体A B CD E 中，正A B C ∆的边长为，⊥AE 平面ABC ,AE CD ∥,且
AE CD 2
1
=
（1）设CE 与平面ABE 所成的角为α，()0>=k k AE ，若⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈4,6ππα，求k 的取值范围；
（2）在（1）和条件下，当取得最大值时，求平面BDE 与平面ABC 所成角的余弦值.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）先根据线面垂直确定线面角：取中点，则由正三角形性质得，又由面，得，因此面，所以为与平面
所成角，再根据，由，求k的取值范围；（2）先作二面角平面角：延长交与点，计算易得，根据三垂线定理可知，即
为平面与平面所成的角；最后利用直角三角形求余弦值为.
试题解析：解：方法一：
（Ⅱ）延长交与点，连，可知平面.
由，且，又因为从而，
又面,由三垂线定理可知，即为平面与平面所成的角；则.
方法二：（Ⅰ）如图以为坐标原点，为轴，垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系（如图），则设，取的中点，
则，易知，的一个法向量为
，由题意
,由，则
，得（Ⅱ）由（Ⅰ）知，最大值为，则当时，设平面法向量为，则
，取，又平面
法向量为
，，平面与平面所成角余弦值为.
19.中石化集团获得了某地深海油田块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料，进入全面勘探时期后，集团按网络点米布置井位进行全面勘探，由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口断井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见下表：
（1）～号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为a x y +=5.6，求，并估计的预报值；
（2）现准备勘探新井()25,17，若通过7531、、、
号并计算出的a b ,的值（a b ,精确到01.0）与（1）中a b ,的值差不超过％10，则使用位置最接近的已有旧井()y ,16，否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？
（参考公式和计算结果：945,
94,ˆˆ,ˆ4
1
1
21224
1
1
21
2
2
1
==-=-⋅-=∑∑∑∑=--=-=-=i i i i i n
i i
n
i i i y x
x
x b y a
nx y
x n y
x b
x
）
（3）设出油量与勘探深度的比值不低于20的勘探井称为优质井，那么在原有口井中任意勘探口井，求勘探优质井数X 的分布列与数学期望. 【答案】（1）24（2）使用位置最接近的已有旧井
.（3）
【解析】试题分析：（1）先求平均值，再根据求，再求当时对应函
数值为的预
报值；（2）先求平均值
，再根据
求，利用求，最后计算比值
差，根据结果确定选择.（3）根据定义确定这口井是优质井，因此随机变量取值
为，再利用组合求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.
（Ⅱ），
，即
，均不超过
，使用位置最接近的已有旧井.
（Ⅲ）由题意，这口井是优质井，这两口井是非优质井，勘察优质井数的可能取值为，，可得
的分布列为：
.
点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；
第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；
第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布)，
则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.
2=，点()4,4为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，曲线在一20. 已知抛物线C的方程为py
x2
点的法线即与该点切线垂直的直线。

（1）若点P的法线被抛物线所截的线段最短，求点P坐标；
（2）任意一条和轴平行的直线交曲线C于点Q，关于在点Q的法线对称的直线为，直线通过一个定点M，求定点M坐标.
【答案】（1）见解析（2）
试题解析：解：（1）把代入抛物线方程，解得，
抛物线方程为，设切点为，
显然点不为原点，在点处的法线方程为，
即，
消元得
，
法线被抛物线截得的线段的长度为
，
（2）设直线：
，其关于法线对称的直线为，
设与抛物线的交点交轴的点为，切线交轴的点为，
由于平行于轴，且与关于法线对称， 由此可以推出
，因此
为等腰三角形，
于是，从而，化简得，
所以，对称直线都过定点.
21.已知函数()()()
1ln ,2
+=+
=x x g e a x x f x
. （1）若在0=x 处，()x f y =和()x g y =图象的切线平行，求的值； （2）设函数()()()⎩
⎨
⎧>-≤-=a x a x g a x a x f x h ,,，讨论函数()x h 零点的个数. 【答案】（1）
（2）见解析
【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义得解得，（2）按正负讨论函数单调性及值域：当时，在单增，, 没有零点; 当时，有唯一的零点; 当时，在上单调递减，在
上单调递增，;在单增，，所以时有个零点；时有个零点.
（2）当时，显然有唯一的零点
（3）当时，设，
令有，故在上单调递增，在上单调递减，
所以，，即在
上单调递减，在上单调递增，
（当且仅当等号成立）
有两个根（当时只有一个根）
在单增，令
为减函数，
故只有一个根.
时
有个零点；
时有个零点；时有个零点；
时
有个零点；
时，
有个零点.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩
⎨⎧==t b y t
a x sin cos （为参数，0≠a ），曲线1C 的上点
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,1M 对应的参数4π=t ，将曲线1C 经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y x x 2''后得到曲线2C ，直线的参数方程为10cos sin 2=+θρθρ
（1）说明曲线2C 是哪种曲线，并将曲线2C 转化为极坐标方程； （2）求曲线2C 上的点M 到直线的距离的最小值.
【答案】（1），（2）
【解析】试题分析：（1）先由对应的参数得，解得，再代
入得，根据三角函数同角关系：消参数得普通方程
，最后利用 将曲线的直角坐标方程化
为极坐标方程；（2）根据 将直线的极坐标方程化为
直角坐标方程，再利用参数方程表示点到直线距离公式得，最后利用
三角函数有界性求最值.
（2）直线的普通方程为
，点到直线的方程距离为
所以最小值为
23.选修4-5：不等式选讲已知函数()()a x x x g x x x f -++=--+=1,3212 （1）求()1≥x f 的解集；
（2）若对任意的R t ∈，都存在一个使得()()t f s g ≥，求的取值范围.
【答案】（1）（2）或.
（2）依题意可得
所以
，解之得或.
- 21 -。