甘肃省兰州一中2021届高三数学上学期9月月考试题(1)

甘肃省兰州一中2021届高三数学上学期9月月考试题
一、选择题：（本大题共有12道小题，每题5分，共60分）
1．已知集合{}
{}224120,log (1)0A x x x B x x =--<=-<，那么=⋂B A （ ） A ．{}
6<x x B ．{}12x x << C ．{}
26<<-x x D ．{}
2<x x
2. 以下函数中既是奇函数，又在()0+∞，上单调递增的是 （ ） A ．sin y x = B ．2
1y x x
=-+
C ．3
3y x x =+ D ．x y e
= 3．以下命题中错误的选项是
（ ）
A ．命题“若p 则q ”与命题“若q ⌝则p ⌝”互为逆否命题.
B ．命题[]0,1,1x x e ∀∈ ≥，命题2:,10q x R x x ∃∈++<，p q ∨为真.
C ．假设p q ∨为假命题，那么p 、q 均为假命题.
D ．“若2
2
am bm <”，那么a b <的逆命题为真命题.
4. 函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －1x 的图象是 ( )
5．已知函数y ＝f (x )是概念在R 上的偶函数，且当0x >时，不等式()()0f x x f x '
+⋅<成立，若a ＝30.2⋅f (30.2)，
b ＝ (log π2)⋅f (log π2)，
c ＝2
1log 4⎛
⎫ ⎪⎝⎭⋅f 21log 4⎛⎫
⎪⎝⎭
，那么a ，b ，c 间的大小关系 ( )
A ．c b a >>
B ．c a b >>
C ．b a c >>
D ．a c b >>
6．已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：x ＞a ，且q ⌝的一个充分没必要要条件是p ⌝，那么a 的取值范围是 ( )
A ．(－∞，1]
B ．[1，＋∞)
C ．[－1，＋∞)
D ．(－∞，－3]
7．假设点P 是函数x x x f ln )(2
-=上任意一点，那么点P 到直线02=--y x 的最小距离为
（ ）A ．2 B ．
22 C ．2
1
D ．3 8．已知)(x f 知足1)2()4(=-=f f ，)(x f '为导函数，且导函数)(x f y '=的图象如下图那么1)(<x f 的解集是
（ ）
A ．)0,2(-
B ．)4,2(-
C ．(0,4)
D ．),4()2,(+∞⋃--∞
9. 设f (x )是概念域为R 的偶函
数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋1)＝－f (x )，已知(0,1)x ∈么函数()f x 在（1，2）上 （ ）
时，12
()log (1)f x x =-，那
A ．是增函数，且()0f x <
B ．是增函数，且()0f x >
C ．是减函数，且()0f x <
D ．是减函数，且()0f x >
10. 已知函数2log (5),1
()(1)1,1
x x f x f x x -≤⎧=⎨
-+>⎩，那么(2014)f = （ ）
A ．2021
B ．2021
C ．2021
D ．2021 11. 假设函数()cos 2'(),()()6
33
f x x xf f f ππ
π
=+-
则与的大小关系是 ( ) A ．()()33
f f ππ
-=
B ．()()33
f f π
π
-
>
C ．()()33
f f π
π
-
<
D ．不确信
12. 设函数a x
x x f -+=2
log )(3
在（1,2）内有零点，那么实数a 的取值范围是 （ ）
A ．3(0,log 2)
B ．3(log 2,1)
C ．3(1,log 2) - -
D ．3(1,log ) 4 二、填空题（本大题共有4道小题，每题5分,共20分）
13.（文）过点(1,1)A 与曲线3
:C y x =相切的直线方程是 .
（理）如图，矩形ABCD 内的阴影部份是由曲线f (x )＝2x 2－2x 与直线y ＝2x 围成的，现向矩形ABCD 内随机抛掷一点，那么该点落在阴影部份的概率为________． 14. 设5234
,202
1+⋅-=≤≤-x x y x 则函数的最大值是 .
15. 假设函数()y f x =(R x ∈)知足(2)()f x f x +=且[1,1]x ∈-时，2
()1f x x
=-,函数
7log (0)()1
(0)x x g x x x
>⎧⎪
=⎨-<⎪⎩,那么函数()()()h x f x g x =-在区间[7 , 7]-内零点的个数有___个. 16. 存在区间[,]M a b =（a b <），使得{|(),}y y f x x M M =∈=，
那么称区间M 为函数()f x 的一个“稳固区间”.给出以下4 个函数： ①()
x f x e ；②3()f x x ；③()cos
2
f x x π
= ； ④()ln 1f x x
其中存在“稳固区间”的函数有___ .（把所有正确．．的序号都填上） 三、解答题(本大题共有5道小题，每题12分,共60分) 17. 设()(44)(22)2(x x x x f x a a a --=+-+++为常数） （1）当2a =- 时，求()f x 的最小值； （2）求所有使()f x 的值域为[1,)-+∞的a 的值. 18. 设2()ln(1)f x x x ax =+--.
(1) 当1x =时，()f x 取到极值，求a 的值；
(2) 当a 知足什么条件时，()f x 在区间[－12，－1
3]上有单调递增区间？
19．已知函数22()(23)()x f x x ax a a e x R =+-+ ∈，其中a ∈R.
(1)当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率； (2)当2
3
a ≠
时，求函数()y f x =的单调区间与极值． 20. 某旅行风光区有50辆自行车供游客租赁利用，治理这些自行车的费用是每日115元。

依照体会，假设每辆自行车的日租金不超过6元，那么自行车能够全数租出；假设超出6元，那么每超过1元，租不出的自行车就增加3辆。

为了便于结算，每辆自行车的日租金x （元）只取整数，而且要求出租自行车一日的总收入必需高于这一日的治理费用，用y （元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去治理费用后的所得）.
（1）求函数()y f x =的解析式及其概念域；
（2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 21. 已知函数()ln 3f x a x ax =--（a R ∈）．
(1) 当 1a =-时，证明：在(1,+∞ )上，()20f x +>； (2)求证：
ln 2ln 3ln 4ln 1
(2,)234n n n N n n
+⋅⋅⋅⋅⋅< ≥ ∈． 四、选考题（10分）
请考生在第2二、23、24题任选一题做答，若是多做，那么按所做的第一题记分 22．选修4-1：几何证明选讲
如图，设C 为线段AB 的中点，BCDE 是以BC 为一边的正方形，以B 为圆心，BD 为半径的圆与AB 及其延长线交于点H 及K . （I ）求证： 2
BC CK HC =⋅；
（II ）假设圆B 半径为2，求AK AH ⋅的值. 23．选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，动点(,)P ρθ运动时，ρ与2
sin (
)24
θ
π
+成反比，动点P 的轨迹通过点(2,0) （I ）求动点P 轨迹的极坐标方程；
（II ）以极点为直角坐标系原点，极轴为x 轴正半轴成立直角坐标系，将（I ）中极坐标方程化为直角坐标方程，并说明所得点P 轨迹是何种曲线. 24．选修4-5：不等式选讲 （I ）解不等式422≤-++x x ；
（II ）+
∈R b a ,，证明：)(22b a ab b a +≥
+
兰州一中9月月考数学标准答案
一.选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
B
C
D
B
A
B
A
B
D
D
C
B
二.填空题（本大题每题5分，
共20分）
为⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋12×2＝9，阴影部份的面积为⎠⎜⎛02
(2x －2x 2＋2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－23x 3| 20＝83，因此该点落在阴影部份的概率为8
39＝8
27.
14.
52
15. 12 16. ② ③
二.解答题
17. 解．(1)设22(2)x x t t -=+≥ 2(1)3y t =+-
当2,t =即0x =时，min ()6f x = …………6分
（2）2
2(),224
a a y t a t =--+ ≥
当22
a
≤，即4,2a t ≤=时，min 41,5y a a =-=-=舍去
当22a >，即4,2
a
a t >=2min 1,2224a y a a =-=-=+ …12分
18. 解：(1)由题意知，f (x )的概念域为(－1，＋∞)，
且f ′(x )＝1
1＋x －2ax －1＝－2ax 2－2a ＋1x
1＋x
，
由题意得：f ′(1)＝0，那么－2a －2a －1＝0，得14
a =-. …4分
又当1
4
a =-时，f ′(x )＝
1
2x 2－12
x
1＋x
＝
12
x x －1
1＋x
，
当0<x <1时，f ′(x )<0；当x >1时，f ′(x )>0，
因此f (1)是函数f (x )的极大值，因此1
4
a =- . …6分 (2)解法一：要使f (x )在区间[－12，－1
3]上有单调递增区间，
即要求2ax ＋(2a ＋1)>0在区间[－12，－1
3]上有解，
①当a ＝0时，不等式恒成立；
②当a >0时，得x >－2a ＋12a ，现在只要－2a ＋12a <－1
3， 解得a >0；
③当a <0时，得x <－2a ＋12a ，现在只要－2a ＋12a >－1
2，解得－1<a <0.
综上所述，(1,)a ∈- +∞． …12分 解法二：要使f (x )在区间[－12，－1
3
]上有单调递增区间，
即2
(21)0ax a x -2-+>在区间[－12，－1
3
]上有解
即要求2ax ＋(2a ＋1)>0在区间[－12，－1
3]上有解，
即在区间[－12，－13]上，min
121a x -⎡⎤
>⎢⎥+⎣⎦ 而11x -+在区间[－12，－13]单调递增，因此1a >-
综上所述，(1,)a ∈- +∞．
19.解：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2e x ，f ′(x )＝(x 2＋2x )e x ，故f ′(1)＝3e.
因此曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为3e. …4分 (2)f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x －2a 2＋4a ] e x [](2)(2)x x a x a e =+⋅--
令f ′(x )＝0，解得x ＝－2a ，或x ＝a －2， …6分 由a ≠2
3知，－2a ≠a －2.
以下分两种情形讨论：
①若a >2
3
，那么－2a <a －2，当x 转变时，f ′(x )，f (x )的转变情形如下表：
x (－∞，－2a ) －2a (－2a ，a －2) a －2
(a －2，＋∞) f ′(x ) ＋
0 －
0 ＋
f (x )
极大值
极小值
因此f (x )在(－∞，－2a )，(a －2，＋∞)上是增函数，在(－2a ，a －2)上是减函数． 函数f (x )在x ＝－2a 处取得极大值为f (－2a )，且f (－2a )＝3a e －2a .
函数f (x )在x ＝a －2处取得极小值为f (a －2)，且f (a －2)＝(4－3a )e a －2. …9分 ②若a <2
3
，那么－2a >a －2，当x 转变时，f ′(x )，f (x )的转变情形如下表：
x (－∞，a －2) a －2
(a －2，－2a ) －2a (－2a ，＋∞) f ′(x ) ＋
0 －
0 ＋
f (x )
极大值
极小值
因此f (x )在(－∞，a －2)，(－2a ，＋∞)上是增函数，在(a －2，－2a )上是减函数． 函数f (x )在x ＝a －2处取得极大值f (a －2)，且f (a －2)＝(4－3a )e a －2.
函数f (x )在x ＝－2a 处取得极小值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e －2a . …12分 20解．（1）当6x ≤时，50115,y x =-令501150,x ->解得 2.3x > 当6x >时，[503(6)]115y x x =---
令[503(6)]1150,x x --->有2
3681150x x -+<
上述不等式的整数解为**
220(),620()x x N x x N ≤≤∈∴<≤∈
故*2*
50115(36,)
368115(620,)
x x x N y x x x x N ⎧-≤≤∈=⎨-+-<≤∈⎩ 概念域为*
{|320,}x x x N ≤≤∈ ………6分
21.解：(1) 依照题意知，f ′(x )＝
a 1－x
x
(x >0)，
当a >0时，f (x )的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(1，＋∞)； 当a <0时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]； 当a ＝0时，f (x )不是单调函数．
因此a ＝－1时，f (x )＝－ln x ＋x －3， 在(1，＋∞)上单调递增， 因此f (x )>f (1)，
即f (x )>－2，因此f (x )＋2>0. …………6分 (2) 由(1)得－ln x ＋x －3＋2>0，即－ln x ＋x －1>0，
因此ln x <x －1对一切x ∈(1，＋∞)恒成立．∵n ≥2，n ∈N *， 那么有0<ln n <n －1，∴0<ln n n <n －1
n
，
∴ln 22·ln 33·ln 44·…·ln n n < 12·23·34·…·n －1n ＝1n (n ≥2，n ∈N *)． …12分 22．（I ）证明：连结DH 、DK ，别，DH ⊥DK …………2分
Rt△DHC∽Rt△KDC DC CK HC
DC
= 2DC HC CK =⋅
∵DC=BC ∴2BC HC CK =⋅ …………5分 （II ）连结AD 那么AC=CD=BC ∴AB ⊥BD ，AD=BD=2 …………7分
AD 为圆B 切线 2AD AH HK =⋅
∴
AH HK ⋅= …………10分 23解：（I ）设ρ=
那么2sin ()4
………5分
（II ）21cos()
1212
sin ()
24
π
θρρθπ
-+=
⋅
=+ (1sin )2ρθ⋅+= 2
2
2
x y ρ=+ sin y ρθ= ………7分 ∴2y ρ=- 2
2
2
(2)x y y +=-
P 点轨迹是开口向下，极点为（0,1）的抛物线 ……10分
24.解：（I ）22242x
x x x -⎧⎪
++-=⎨⎪⎩
2222x x x ≤--<≤> …………2分
224x x ≤-⎧⎨-≤⎩ 或2244x -<≤⎧⎨≤⎩ 或2
24
x x >⎧⎨
≤⎩ 得不等式解为22x -≤≤ ………5分
（II ）证明：2222
)a b a b a b +-+=--。