北京高三高中数学期中考试带答案解析

北京高三高中数学期中考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.若集合，集合, 则
A．B．C．D．
2.命题“”的否定是
A．B．
C．D．
3.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是
A．B．C．D．
4.已知数列满足，则
A．B．C．D．
5.在平面直角坐标系中，点的纵坐标为，点在轴的正半轴上. 在△中，若，则
点的横坐标为
A．B．C．D．
6.已知向量是两个单位向量，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7.已知函数（）的部分图象如图所示，则的值分别为
A．B．C．D．
8.若函数的值域为，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
二、填空题
1.已知等差数列满足，则公差=_____.
2.已知向量，，若与平行，则的值为______.
3.已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时, ，则.
4.如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在秒时相对于平衡位置的高度（厘米）由如下关系式确定：
，则小球在开始振动（即）时的值为_________，小球振动过程中最大的高度差为__________厘米.
5.能够说明“设是实数.若，则” 是假命题的一个实数的______.
6.已知非空集合满足以下两个条件：（ⅰ）；（ⅱ）集合的元素个数不是
中的元素，集合的元素个数不是中的元素.那么用列举法表示集合为_______ .
三、解答题
1.已知函数.
（1）求的值；
（2）求函数的单调递增区间.
2.已知等比数列满足，.
（1）求的通项公式及前项和；
（2）设，求数列的前项和.
3.如图，△为正三角形，，，.
（1）求的值；
（2）求，的长.
4.已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在上的最大值；
（3）求证：存在唯一的，使得.
5.已知数列满足，，（N*）.
（1）写出的值；
（2）设，求的通项公式；
（3）记数列的前项和为，求数列的前项和的最小值.
6.已知函数.
（1）求证：1是函数的极值点;
（2）设是函数的导函数，求证：.
北京高三高中数学期中考试答案及解析
一、选择题
1.若集合，集合, 则
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，由交集的定义得到：
故答案选择C.
2.命题“”的否定是
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】命题“”的否定是:;根据换量词否结论，不变条件的原则得到结论即可。

故答案为D。

3.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】A：是偶函数，在上是减函数。

故不正确。

B：是非奇非偶函数，在上是减函数。

故不正确。

C：函数是偶函数，在上是增函数，故正确。

D：是奇函数，在R上是增函数。

故不正确。

故答案为C。

4.已知数列满足，则
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据条件得到：可设，，故两式做差得到：，故数列的每一项都为0，故D是正确的。

A，B，C，都是不正确的。

故答案为D。

5.在平面直角坐标系中，点的纵坐标为，点在轴的正半轴上. 在△中，若，则
点的横坐标为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设点C的坐标为，点A的坐标为，则，由，以及，得到故得到
故答案选A。

6.已知向量是两个单位向量，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由条件得到，即两边平方得到：
得到即两个向量的夹角是0，又因为长度相等，故；反之也能推得结论。

故答案为C。

7.已知函数（）的部分图象如图所示，则的值分别为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由条件知道：均是函数的对称中心，故这两个值应该是原式子分母的根，故得到
，由图像知道周期是，故，故
，再根据三角函数的对称中心得到，故如果，根据，得到
故答案为B。

点睛：根据函数的图像求解析式，一般要考虑的是图像中的特殊点，代入原式子；再就是一些常见的规律，分式型的图像一般是有渐近线的，且渐近线是分母没有意义的点；还有常用的是函数的极限值等等方法。

8.若函数的值域为，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，，故函数在上单调递减，在上单调递增，且过原点，
最小值为；当时，若a<0，则原函数开口向下，值域小到负无穷，故一定有a>0,此时图像是开口向上的
二次函数图像，最小值在对称轴处取得，故最小值为
故答案为：D。

点睛：这是分段函数的值域问题，先确定没有未知量的一支的图像和单调性，从而得到函数的值域，再解决含参数的一支的值域问题。

分段函数的值域一般是两段的值域的并集；二次函数的值域问题和函数的对称轴有密切关系，研究轴处的函数值，就是函数的最值。

二、填空题
1.已知等差数列满足，则公差=_____.
【答案】2.
【解析】由等差数列的通项公式得到：
化为基本量a和公差d。

故答案为2 。

2.已知向量，，若与平行，则的值为______.
【答案】0.
【解析】因为与平行，故根据向量平行的公式，坐标表示方法，得到：
故答案为.
3.已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时, ，则.
【答案】-2.
【解析】因为函数是定义在R上的周期为2的奇函数，根据奇函数的定义得到
故结果为-2 。

4.如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在秒时相对于平衡位置的高度（厘米）由如下关系式确定：
，则小球在开始振动（即）时的值为_________，小球振动过程中最大的高
度差为__________厘米.
【答案】 4
【解析】化简可得h=sint+cost
=2（sint+cost）
=2sin（t+），
令t=0可得h=，
由振幅为2，可得小球振动时最高时离平衡位置为2 ，最低离平衡位置向下为2，故最大的高度差为4
故答案为：；4
点睛：这个题目是实际应用题目。

根据题干条件得到高度的函数表达式，转化为求函数的最值即可；而接下来就是振幅的概念了；实际应用题目首先要弄清楚数学模型，比如这个题中的函数模型，再根据条件转化为数学中的知识。

5.能够说明“设是实数.若，则” 是假命题的一个实数的______.
【答案】2.
【解析】因为，故，等号成立的条件为，故当
时函数值等于3.此时不满足题干。

故答案为2 。

点睛：这个题目是考查的均值不等式的条件，首先均值不等式的条件是一正，二定，三相等，积是定值时，和有最小值，和是定值时，积有最大值；故首先要构造出乘积的定值，最终确定等号能否取到。

6.已知非空集合满足以下两个条件：（ⅰ）；（ⅱ）集合的元素个数不是
中的元素，集合的元素个数不是中的元素.那么用列举法表示集合为_______ .
【答案】或
【解析】根据题意可以分情况讨论，当集合A中有一个元素时，若，则，不符合集合的元素
个数不是中的元素，这一条件；若A符合条件。

，此时不符合条件。

当集合A中有两个元素时，2这个数字不能属于A集合，也不能属于B集合。

不满足条件。

当集合A中有3个元素时，符合条件。

故结果为集合为：或。

三、解答题
1.已知函数.
（1）求的值；
（2）求函数的单调递增区间.
【答案】(1)1;(2) 的单调递增区间为.
【解析】（1）直接将要求的函数值带入表达式，求得函数值即可；（2）先根据三角函数化一公式，和二倍角公
式得到，再根据三角函数的单调性质，得到单调区间即可。

（I）
（II）
.
令
得
所以函数的单调递增区间为
2.已知等比数列满足，.
（1）求的通项公式及前项和；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】(1);(2) .
【解析】（1）根据等比数列的概念和通项的性质得到，，进而得到通项公式；（2）由第一问得到，，故，再根据裂项求和的方法求得数列的和即可。

（1）设等比数列的公比为.因为，且
所以，得，又因为，所以，得，.
所以（N
），所以
+
（2）因为，所以，
所以. 所以数列的前项和
.
3.如图，△为正三角形，，，.
（1）求的值；
（2）求，的长.
【答案】(1) ;(2) 的长为.
【解析】（1）根据平行线的性质得到)，再根据两角和差公式得到
= ，代入已知角的三角函数值即可；（2）由三角形中正弦定理得到，进而得到，再根据余弦定理得到的长为。

（1）因为△为正三角形，，所以在△中，，所以.所以 =
因为在△中，，
所以.
所以.
（2）在△中，，由正弦定理得：，
所以
又在正△中，，，
所以在△中，，
由余弦定理得：
所以的长为.
4.已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在上的最大值；
（3）求证：存在唯一的，使得.
【答案】(1) ;(2) 函数在区间上的最大值为6;(3)见解析.
【解析】（1）根据切线的几何意义得到，，代入已知的斜率和点得到方程；（2）对函数求导，研究函数的单调性，和极值，最终求得函数的最值；（3）设=，转化为此函数有唯
一的零点。

（1）由，得 ,
所以，又
所以曲线在点处的切线方程为：，
即： .
（2）令，得 . 与在区间的情况如下：
因为所以函数在区间上的最大值为6.
（3）证明：设=，则，
令，得.与随x的变化情况如下：
则的增区间为，，减区间为.
又，，所以函数在没有零点，
又，
所以函数在上有唯一零点.
综上，在上存在唯一的，使得.
点睛：本题考查了函数的切线问题，根据导数的几何意义，求得函数的切线；对于研究函数最值问题，一般先研究函数的单调性，根据单调性求函数的值域；而方程有解问题，可以转化为函数有零点问题，也可以转化为图像有交点问题。

5.已知数列满足，，（N*）.
（1）写出的值；
（2）设，求的通项公式；
（3）记数列的前项和为，求数列的前项和的最小值.
【答案】(1) ;(2) ；（3）的最小值为.
【解析】（1）根据递推关系，直接带入表达式求值即可；（2）将2n代入题干中的表达式得到
，从而得到等差数列，根据等差数列的通项公式求得；（3）根据题
干中的表达式可以知道求数列的和要先分奇偶求和，，故得到，按照等差数列的求和公
式求和即可。

（1），；
（2）设，则，
所以是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以.
（3），，所以是以1为首项，为公差的等差数列，所以数列
的前n个奇数项之和为
由（2）可知，，所以数列的前n个偶数项之和为
所以，所以. 因为，且
所以数列是以为首项，为公差的等差数列. 由可得，所以当或时，数列的前项和的最小值为.
6.已知函数.
（1）求证：1是函数的极值点;
（2）设是函数的导函数，求证：.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】（1）根据极值点的定义知道，要研究函数值左右两侧的函数值都比小即可；（2）
，转化为求证这个函数的最小值大于-1即可，对这个函数再求导，研究导函数的正负，最终得到，对这个式子求最小值即可。

（1）的定义域为，
当时，，即；
当时，，即；
根据极值的定义， 1是的极值点.
（2）由题意可知，
，
令，
，故在上单调递增.
又，又在上连续，
使得，即，
.（*）
随x的变化情况如下：
.
由（*）式得，代入上式得
.
令，
，故在上单调递减.
，又，.
即.
点睛：本题是考查了函数的极值点的问题。

一种方法是直接研究导函数的变号零点，还有就是直接按照极值点的概念，在极值点附近，函数值都比极值点处的函数值大或者小。

还考查了函数的最值问题，直接构造函数，使得函数的最小值大于零即可。