1.6.1 完全平方公式 第1课时 北师大版数学七年级下册精优课堂课件

解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2
＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2，
∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y，
∴m＋1＝±60，
∴m＝59或－61.
方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了
一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
探究新知
2与(-a-b)2相等吗?
(a+b)
B. －3
C. 6
D. －6
4. 下列各式中，与（-a+1）2相等的是（ C ）
A． a2-1
B． a2+1
C． a2-2a+1
D． a2+2பைடு நூலகம்+1
随堂练习
5. 计算：
(1)(3x＋2)2＝ 9x2＋12x＋4
；
(2)(mn－3)2＝ m2n2－6mn＋9 ；
1 2
x －2xy＋4y2
(3)(1 x－2y)2＝ 4
总面积, 并进行比较.你发现了什么？
b
直接求：总面积=(a+b)(a+b)
间接求：总面积=a2+ab+ab+b2
a
(a+b)2=a2+2ab+b2
a
b
探究新知
核心知识点一： 完全平方公式
观察下面算式及其运算结果，你有什么发现呢？
(m+3)2=(m+3)(m+3)
(2+3x)2=(2+3x)(2+3x)
2
.
随堂练习
6.计算：
(1)(3x＋5y)2;
解：原式＝(3x)2＋2·3x·5y＋(5y)2
＝9x2＋30xy＋25y2
2

1
2 2x 2 .


1 1

2 2
解：原式＝(2x)2－2·2x·
＝4x2－2x＋
1
4
2
随堂练习
7. 计算：
(1)(4x－3y)2;
解：原式＝(4x)2－2·4x·3y＋(3y)2
2
= 2 − 2 + 2
完全平方公式 ： ±
2
= 2 ± 2 + 2
语言描述
两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上
（或减去）这两数积的两倍.
探究新知
归纳总结
结构特点
左边是两数和（差）的平方；右边是这两数的平方和
加上（减去）这两数积的两倍.
你能感受到完全平方公式的数学美感吗？
B. a2－2a＋4
C. a2－4
D. a2－4a－4
随堂练习
2. 下列计算正确的是( D )
A. (a＋3)2＝a2＋9
B. (x－1)2＝x2－1
C. (x－2)(x＋3)＝x2－6
D. (x＋1)(x－1)＝x2－1
随堂练习
3. 若(x＋3)2＝x2－ax＋9，则a的值是( D )
A. 3
边是两数的平方差.
情境导入
3.多项式乘多项式的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项
式的每一项，再把所得的结果相加 。
多项式
×
多项式
单项式
×
多项式
单项式
×
单项式
情境导入
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米.形成四
块实验田，以种植不同的新品种(如图).用不同的形式表示实验田的
①简洁美：二次三项式
②对称美：首平方，尾平方，首尾2倍放中央，
符号看前方
探究新知
思考：你能根据下图解释这个公式吗?
(a＋b)2=a2+2ab+b2
b
ab
b2
2
(a＋b)
大正方形的面积是：_________
大正方形由4小块组成，它们的面积分别
a
a2
a
ab
b
b2
为：___、___、___、___
a2 ab ab
=m2+3m+3m+9
=22+2×3x+2·3x+9x2
=m2+2×3m+9
=4+2×2×3x+9x2
=m2+6m+9
=4+12x+9x2
根据上面的规律，你能直接下面式子的写出答案吗？
探究新知
（1） （p+1)2=(p+1)(p+1)=
p2+2p+1
（2）
（m+2)2=(m+2)(m+2)=
（3）
议一议：
(a-b)2与(b-a)2相等吗?
(a-b)2与a2-b2相等吗?
为什么?
(-a-b)2=[-(a+b)]2=(a+b)2
(b-a)2=[-(a-b)]2=(a-b)2
(a-b)2与a2-b2一般不相等.
这是后续学
习中很重要
的转换变形
随堂练习
1. 计算(a－2)2的结果是( A )
A. a2－4a＋4
所以(a＋b)2=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2
探究新知
思考：你能根据下图解释这个公式吗?
(a-b)2=a2-2ab+b2
a−b
（a-b)2
阴影部分的面积是：_________
b
阴影部分的面积也可以用大正方形面
a−b
ab
b
a
b(a-b)
积减去_____和_________
ab
所以（a-b)2=a2-ab-b(a-b)
＝16x2－24xy＋9y2
2
1
1
2 3 m 2 .


2
1 1 1
1
解：原式 3 m 2 3 m 2 2
1 2 1
1
m m
9
3
4
2
随堂练习
7.计算：
(3)(－x＋5)2；
解： 原式＝(－x)2＋2·(－x)·5＋52
＝x2－10x＋25
新课标 北师大版
七年级下册
第一章
整式的乘除
1.6.1完全平方公式（第1课时）
学习目标
1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点.
2.会运用公式进行简单的运算.
情境导入
1. 由下面的两个图形你能得到哪个公式？
平方差公式： (a+b)(a－b)=a 2 －b 2
2.公式的结构特点：
左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；右
符号相反的为另一组”.
探究新知
(2) (a+b－5)2.
解：原式= [(a+b)－5]2
= (a+b)2－10(a+b)+52
= a2+2ab+b2－10a－10b+25
方法总结：把其中两项看成一个整体，再运用
完全平方公式计算.
探究新知
例2 如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平
方式，求m的值．
(a+b)2 = (a+b)(a+b)
=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2.
(a － b)2 = (a － b)(a － b)
=a2 － ab － ab+b2
= a2 － 2ab+b2.
探究新知
归纳总结
两数和的完全平方公式 ： +
2
= 2 + 2 + 2
两数差的完全平方公式 ： −
（p－1)2=(p－1)(p－1)=
m2+4m+4
p2－2p+1
.
.
.
（4） （m－2)2=(m－2)(m－2)= m2－4m+4 .
根据上面的规律，你能直接下面式子的写出答案吗？
(a＋b)2=
a2+2ab+b2
.
(a－b)2= a2－2ab+b2 .
探究新知
我们来计算下列(a+b)2，(a － b)2 .
b(a-b)
a
=a2-2ab+b2
探究新知
例1 运用乘法公式计算:
(1) (x+2y－3)(x－2y+3) ;
解: 原式=[x+(2y－3)][x－(2y－3)]
= x2－(2y－3)2
= x2－(4y2－12y+9)
= x2－4y2+12y－9.
方法总结：需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，
完全平
方公式
公式
(a±b)2= a2 ±2ab+b2
口诀
首平方，尾平方，首尾积的2倍放中央,
符号同前方.
在解题过程中要准确确定a和b，对照公
注意
式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符
号、2ab时不少乘2.
(4)(－2x－y)2.
解：原式＝(－2x)2－2·(－2x)·y＋y2
＝4x2＋4xy＋y2
随堂练习
7. 计算：
(5)(－x－3)2；
解：原式＝(－x)2－2·(－x)·3＋32
＝x2＋6x＋9
(6)(－m＋3n)2.
解：原式＝(－m)2＋2·(－m)·3n＋(3n)2
＝m2－6mn＋9n2
课堂小结