第3章 流体的运动 华南理工大学

图3-3 流体微元速度分解
3.2 流体微元运动分析
对ux'在点M(x, y, z)相对ux进行泰勒级数展开，有 将它改写成
平移速度
依次对应简记各有关项，则上式成为 同理
3.2 流体微元运动分析
以上即为速度分解公式的三个分式，将其写成矢量 形式，就是
式中u为流速；R为矢径；w为瞬时旋转角速度；d为应变 率张量(线变形和角变形)；在直角坐标系它们的表示为
第 3 章 流体的运动
3.1 流体运动描述方法 3.1.1 拉各朗日法 3.1.2 欧拉法 3.1.3 拉各朗日描述和欧拉描述的变换 3.1.4 系统和控制体 3.2 流体微元运动分析 3.3 流体运动的边界条件和物理约束 3.4 流体运动若干形式
3.1 流体运动描述方法
3.1.1 拉格朗日法
拉格朗日法将流动的流体视为质点的集合，通过 “跟随”每一个流体质点并观察其在不同时刻的运动 变化来了解整个流动的情况。 流体参数的表示 拉格朗日法采用随体坐标a, b, c 和时间t作为独立自变量来区别并确定不同的流体质点 及其参数，即将流体任一参数B表示为 B = B(a, b, c, t) a, b, c为拉各朗日变量，即随体坐标系的坐标。 对于流体的运动参数，就有 R = R(a, b, c, t)，u = dR/dt，du/dt = d2R/dt2
3.3 流体运动的边界条件和物理约束
mI(t) + mIII(t) 和 mII(t+dt) + mIII(t+dt) 由于系统的质量不随时间变化，即 连 mI(t) + mIII(t) = mII(t+dt) + mIII(t+dt) 续 方 其中 程
所以
当dt→ 0时，VIII →V；上式左端为控制体的质量对 时间的偏微分，右端为流体通量在封闭控制面的积分。
3.3 流体运动的边界条件和物理约束
3.3.2 物理约束——连续方程
由连续介质模型和质量守恒定律可推知，对于流场 中控制体，在一段时间内通过封闭控制面流入与流出的 流体质量之差应等于控制体内流体质量的增加，该结果 用数学式表达就是连续性方程，简称连续方程。
3.3 流体运动的边界条件和物理约束
3.3.2 物理约束——连续方程
3.1 流体运动描述方法
3.1.3 拉各朗日描述和欧拉描述的变换 欧拉描述变换为拉各朗日描述 设流体流动的某参数 B及流速u在时刻t的欧拉法描述分别为 B = B(x, y, z, t)，u = u(x, y, z, t) 然后对dxi /dt = ui (x, y, z, t)积分求解，设解得 x=x(c1, t)，y=y(c2, t)，z=z(c3, t) 应用初始条件t = t0：R0 = R(x0, y0, z0) = (a, b, c) 确定出上 面三式中积分常数，即 c1=c1(a, b, c)，c2=c2(a, b, c)， c3=c3(a, b, c)进而得流体质点的位置坐标：x=x(a, b, c, t)， y=y(a, b, c, t)，z=z(a, b, c, t) 最后将以上三式代入流体参数B的欧拉表述就得相应的 拉各朗日表述。
积分方程 于时刻t，在流场中取体积为V、封 闭面面积为S的控制体，并将控制体中的流体取为 系统，如图3-7中实线所示；经过一微小时间dt， 系统移动到图3-7中虚线所示的新位置。t时刻和 t+dt时刻的系统边界面将dt时间内与系统有关的流 场分为：t时刻部分I和III以及t+dt时刻部分II和III。 系统的质量在时刻t、时刻t+dt分别为
3.1 流体运动描述方法
控制体是指流场中相对于选定的坐标系固定并且体 积保持不变的一个区域空间。控制体的封闭周界称为控 制面，控制面将流场分为控制体及其周围流场。流体质 点随时间不断地通过控制面流入和流出控制体。 系统的边界上和控制体的控制面上一般都与外界和 周围流场进行能量和动量交换，同时发生表面力作用。 在流体力学分析中，拉各朗日描述采用的是质点系 方法，欧拉描述采用的则是场的方法；它们的研究对象 分别是系统和控制体。
3.1 流体运动描述方法
质点导数 表示跟随流体质点运动时所观测到的流体参 数的时间变化率。 设流体流动某参数的拉各朗日描述和欧拉描述分 别为B = B(a, b, c, t)和B = B(x1, x2, x3, t)，则对应于拉各 朗日描述，B的质点导数为
对应于欧拉描述，B的质点导数则为
3.1 流体运动描述方法
加速度 在直角坐标系，加速度的欧拉法表述为
将上式展开为三个分量式，就是
3.1 流体运动描述方法
3.1. 4 系统和控制体 反映流体运动规律的基本方程，其最初形式都是针 对质点或质点系建立的，这些拉格朗日型的基本方程有 时难以直接应用于解决流体流动问题。因此在流体力学 中经常是应用拉格朗日的观点而采用欧拉的方法。引入 系统和控制体概念，二者之间就可以方便地进行变换。 系统是指流体质点始终保持不变的部分或全部流场。 系统以外的全部称为外界，系统与外界之间的封闭界面 称为系统的边界。系统的边界一般随流体的流动而变化， 系统的体积和形状也随之改变，但系统所包含的流体质 点始终不变。
流线的几点性质： 1) 定常流动的流线不变化，且与迹线重合。 2) 除在个别点外，流线即不相交也不转折。 3) 流线相交的点，流速必定为零(称为驻点)或无穷 大(称为奇点)。 流线微分方程 根据流线的定义，在直角坐标系，有
欧 拉 法
整合以上三式，即得流线的微分方程为
3.1 流体运动描述方法
3.1.3 拉各朗日描述和欧拉描述的变换 设流体流动的某参数用拉各朗日法和欧拉法可分别表 示为B = B(a, b, c, t)和B = B(x, y, z, t)，因该参数不应随描述 方法的不同而相异，而有 B(a, b, c, t) = B(x, y, z, t)
速 度 分 解 公 式
3.2 流体微元运动分析
3.2.2 速度分解公式中各项的物理意义 线应变率 如图3-4所示, 在时刻t，xOy平面上长方体流体微元 顶点A、B的速度分别为
经dt时间后，dx增长了(∂ux /∂x)dxdt，其单位长度单位时 间的增长即x方向的线应变率为∂ux /∂x。 同理∂uy /∂y、∂uz /∂z为y、z方向的线应变率。 流体微元在x, y, z三个方向的线应变率之和就反映该 微元的体积变化率，对应于物理学场论中速度的散度， 记为divu或∙u。
由以上讨论可见，流体微元速度分解公式(矢量式) 右端的第一项为平移运动；第二项为旋转运动；第三项 为变形运动，其中又包括线变形运动和角变形运动。这 一结果称为流体微元运动的亥姆霍兹速度分解定理。
P38 例3-4
第 3 章 流体的运动
3.1 流体运动描述方法 3.2 流体微元运动分析 3.3 流体运动的边界条件和物理约束 3.3.1 边界条件 3.3.2 物理约束——连续方程 3.4 流体运动若干形式
3.3 流体运动的边界条件和物理约束
流体的运动虽然复杂多变，但也不是完 全“无拘无束”，还是要受到一定的空间限 制和物理制约，即满足一定的边界条件和物 理约束。
3.3 流体运动的边界条件和物理约束
3.3.1 边界条件
物面条件 粘性流体在运动过程中，与物体表面 直接接触的流体质点要粘附在物面上，并具有与物面 相同的运动速度，此为无滑动条件。理想流体运动时， 与物体表面直接接触的流体质点可以沿着物面滑动， 但不能脱离物面，此为无脱离条件。 自由表面条件 忽略粘性影响时，该条件简化为 自由面上的流体质点永远在自由面上运动。
第 3 章 流体的运动
3.1 流体运动描述方法 3.2 流体微元运动分析 3.2.1 速度分解公式 3.2.2 速度分解公式中各项的物理意义 3.3 流体运动的边界条件和物理约束 3.4 流体运动若干形式
3.2 流体微元运动分析
3.2.1 速度分解公式 如图3-3所示。设在时刻t，流体质点在毗邻位置M(x, y, z)和M'(x+dx, y+dy, z+dz)的速度为
3.1 流体运动描述方法
3.1.3 拉各朗日描述和欧拉描述的变换 拉各朗日描述变换为欧拉描述 设流体流动的某参数 在时刻t的拉各朗日描述为B=B(a, b, c, t)，且随体坐标为(a, b, c)的流体质点因运动恰好与空间坐标点(x, y, z)重合；则 显然有x=x(a, b, c, t)，y=y(a, b, c, t)，z=z(a, b, c, t) 对以上三式联立求反解，设解得 a=a(x, y, z, t)，b=b(x, y, z, t)，c=c(x, y, z, t) 又设在所有时刻整个流场都存在上述一一对应变换关 系，则将此变换代入流体参数B的拉各朗日表述就得相应 的欧拉表述和压强的欧拉法表示为 u = u(x, y, z, t)， p = p(x, y, z, t) 流线是流场中这样的曲线：在任意时刻，曲线上任 何一点的切线方向都与占据该点的流体质点的速度方向 相同，如图3-2所示的s线。
欧 拉 法
图3-2 流线示意图
3.1 流体运动描述方法
图3-8 一维定常流动
3.3 流体运动的边界条件和物理约束
3.2 流体微元运动分析
速度的散度的数学定义式为
显然，不可压流体的体积不变，即div u=∙u≡0。
图3-4 流体微元的线应变
3.2 流体微元运动分析
切应变率 如图3-5所示, 在时刻t，xOy平面上长方体流体微 元顶点A、B的速度分别为 经dt时间后，以A点为顶的原直角因直角边的切向运动而 变化了dg = dg1 + dg2,其中
3.3 流体运动的边界条件和物理约束
由此得积分形式的连续方程为 对于定常流动，上式因第一项为零而简化为
连 续 方 程
图3-7 流体流入和流出控制体
3.3 流体运动的边界条件和物理约束
定常一维流动连续方程 连 续 方 程 对照图3-8，有
易得定常一维流动积分和微分形式的连续方程： r1u1A1 = r2u2A2 或 r uA = const. dr/r + du/u + dA/A = 0
3.1 流体运动描述方法
迹线即轨迹线，是某一流体质点在一个时间序列占 据空间位置的连线，如图3-1所示的s线。迹线直观地反 映质点所经历的空间位置和路程。
拉 格 朗 日 法 图3-1 迹线示意图
3.1 流体运动描述方法
迹线方程是描述迹线上流体质点位置与时间关系 的式子，例如质点位置的矢矩式： R = R(a, b, c, t) 若给出质点的速度(实际中质点的速度有时比位置 更易测量)，则容易根据迹线定义得到迹线微分方程。 在直角坐标系，迹线微分方程为
所以
3.2 流体微元运动分析
可见gxy为流体微元在xOy平面上角变形率的一半，称为 切应变率。同理可类推gyz和gzx，即
速 度 公 式 中 各 项 的 意 义
图3-5 流体微元的切应变
3.2 流体微元运动分析
旋转角速度 wx，wy，wz 如图3-6所示，平面流体微元在t时刻产生切应变的 同时，一般地也发生旋转，即其对角线AB经dt时间后转 动了一个小角度dq，显然对角线AB的旋转角速度为
速 度 公 式 中 各 项 的 意 义
上式表示流体微元转动的平均角速度在z方 向的分量。同理可类推平均角速度在x和y方向的 分量，即
rot u = ×u = 2w称为速度的旋度；w ≡ 0的 流体运动称为无旋流动。
3.2 流体微元运动分析
速 度 公 式 中 各 项 的 意 义
图3-6 流体微元的旋转
注意拉各朗日变量对于选定的流体质点为不变量， 因此因变量的时间变化率只对时间t进行求导数。
3.1 流体运动描述方法
3.1. 2 欧拉法 欧拉法通过研究流体参数在不同时刻、在流体运动 空间所有点的变化来得到整个流动的情况。连续介质的 流动一般用欧拉法描述。 场在物理学中是指量的空间分布，其状态由场参数 (空间位置上质点的宏观参数)来确定。 流体流动的空间称为流场，其状态参数包括压强、 密度、温度、速度。 流体参数的表示 欧拉法采用空间坐标x1, x2, x3和时 间t作为独立自变量来确定流场参数，即将流场的任一参 数B表示为 B = B(x1, x2, x3, t)