扶沟县第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

扶沟县第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．设函数f（x）在R上的导函数为f′（x），且2f（x）+xf′（x）＞x2，下面的不等式在R内恒成立的是（）
A．f（x）＞0B．f（x）＜0C．f（x）＞x D．f（x）＜x
2．已知函数f（x）=e x+x，g（x）=lnx+x，h（x）=x﹣的零点依次为a，b，c，则（）
A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜a＜c
3．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．设函数f（x）=，则f（1）=（）
A．0B．1C．2D．3
5．函数y=x+cosx的大致图象是（）
A．B．
C．D．
6．已知函数f（x）=2x，则f′（x）=（）
A．2x B．2x ln2C．2x+ln2D．
7．已知函数f（x）=log2（x2+1）的值域为{0，1，2}，则满足这样条件的函数的个数为（）
A ．8
B ．5
C ．9
D ．27
8． 设F 1，F 2是双曲线的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|=4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于
（ ）A ．
B ．
C ．24
D ．48
9． 已知一三棱锥的三视图如图所示，那么它的体积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．13
2
3
1
2
10．双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于
()22
2210,0x y a b a b
-=>>12F F 、2F 两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则（ ）
A B 、1F AB ∆A 2e =
A ．
B ．
C ．
D ．1+4-5-3+
11．如图，四面体D ﹣ABC 的体积为，且满足∠ACB=60°，BC=1，AD+=2，则四面体D ﹣ABC 中最长棱的
长度为（
）
A ．
B ．2
C ．
D ．3
12．已知在数轴上0和3之间任取一实数，则使“”的概率为（ ）
2log 1x <A ．
B ．
C ．
D ．
1
4
1
8
2
3112
二、填空题
13．已知函数，是函数的一个极值点，则实数
．
3
2
()39f x x ax x =++-3x =-()f x a =14．对于映射f ：A →B ，若A 中的不同元素有不同的象，且B 中的每一个元素都有原象，则称f ：A →B 为一一映射，若存在对应关系Φ，使A 到B 成为一一映射，则称A 到B 具有相同的势，给出下列命题：①A 是奇数集，B 是偶数集，则A 和B 具有相同的势；
②A 是平面直角坐标系内所有点形成的集合，B 是复数集，则A 和B 不具有相同的势；③若区间A=（﹣1，1），B=R ，则A 和B 具有相同的势．
其中正确命题的序号是 ．　
15．若正数m 、n 满足mn ﹣m ﹣n=3，则点（m ，0）到直线x ﹣y+n=0的距离最小值是 ．　
16．设函数f （x ）=
，则f （f （﹣2））的值为 ．
17．若展开式中的系数为，则__________．
6
()mx y +3
3
x y 160-m =【命题意图】本题考查二项式定理的应用，意在考查逆向思维能力、方程思想．
18．已知点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，M ，N 是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，M ，N ，F 三点不共线，则△MNF 的重心到准线距离为 ．　
三、解答题
19．如图，⊙O 的半径为6，线段AB 与⊙相交于点C 、D ，AC=4，∠BOD=∠A ，OB 与⊙O 相交于点．（1）求BD 长；
（2）当CE ⊥OD 时，求证：AO=AD ．
20．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数．
()|21|f x x =-（1）若不等式的解集为，求实数的值；1(21(0)2
f x m m +≤+>(][),22,-∞-+∞ m （2）若不等式，对任意的实数恒成立，求实数的最小值．()2|23|2y
y
a
f x x ≤+
++,x y R ∈a 【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、三角不等式、基本不等式等基础知识，以及考查等价转化的
能力、逻辑思维能力、运算能力．
21．已知函数f（x）=alnx+x2+bx+1在点（1，f（1））处的切线方程为4x﹣y﹣12=0．（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调区间和极值．
22．已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．　
23．现有5名男生和3名女生．
（1）若3名女生必须相邻排在一起，则这8人站成一排，共有多少种不同的排法？（2）若从中选5人，且要求女生只有2名，站成一排，共有多少种不同的排法？
24．（本小题满分10分）直线l 的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R ，ρ≠0），其中α∈[0，π），曲线C 1的参数方
程为（t 为参数），圆C 2的普通方程为x 2＋y 2＋2x ＝0.
{x ＝
cos t y ＝1＋sin t
)
3（1）求C 1，C 2的极坐标方程；
（2）若l 与C 1交于点A ，l 与C 2交于点B ，当|AB |＝2时，求△ABC 2的面积．
扶沟县第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：∵2f（x）+xf′（x）＞x2，
令x=0，则f（x）＞0，故可排除B，D．
如果f（x）=x2+0.1，时已知条件2f（x）+xf′（x）＞x2成立，
但f（x）＞x 未必成立，所以C也是错的，故选A
故选A．
2．【答案】B
【解析】解：由f（x）=0得e x=﹣x，由g（x）=0得lnx=﹣x．由h（x）=0得x=1，即c=1．
在坐标系中，分别作出函数y=e x ，y=﹣x，y=lnx的图象，由图象可知
a＜0，0＜b＜1，
所以a＜b＜c．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决本题的关键．
3．【答案】B
【解析】解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，
若a⊥b，则α⊥β不一定成立，
故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的性质是解决本题的关键．
4．【答案】D
【解析】解：∵f（x）=，
f（1）=f[f（7）]=f（5）=3．
故选：D．
5．【答案】B
【解析】解：由于f（x）=x+cosx，
∴f（﹣x）=﹣x+cosx，
∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），
故此函数是非奇非偶函数，排除A、C；
又当x=时，x+cosx=x，
即f（x）的图象与直线y=x的交点中有一个点的横坐标为，排除D．
故选：B．
【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，属于中档题．
6．【答案】B
【解析】解：f（x）=2x，则f'（x）=2x ln2，
故选：B．
【点评】本题考查了导数运算法则，属于基础题．
7．【答案】C
【解析】解：令log2（x2+1）=0，得x=0，
令log2（x2+1）=1，得x2+1=2，x=±1，
令log2（x2+1）=2，得x2+1=4，x=．
则满足值域为{0，1，2}的定义域有：
{0，﹣1，﹣}，{0，﹣1，}，{0，1，﹣}，
{0，1，}，{0，﹣1，1，﹣}，{0，﹣1，1，}，
{0，﹣1，﹣，}，{0，1，﹣，}，{0，﹣1，1，﹣，}．
则满足这样条件的函数的个数为9．
故选：C．
【点评】本题考查了对数的运算性质，考查了学生对函数概念的理解，是中档题．
8． 【答案】C
【解析】解：F 1（﹣5，0），F 2（5，0），|F 1F 2|=10，∵3|PF 1|=4|PF 2|，∴设|PF 2|=x ，则，
由双曲线的性质知，解得x=6．
∴|PF 1|=8，|PF 2|=6，∴∠F 1PF 2=90°，∴△PF 1F 2的面积=．故选C ．
【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．　
9． 【答案】 B
【解析】解析：本题考查三视图与几何体的体积的计算．如图该三棱锥是边长为的正方体21111ABCD A B C D -中的一个四面体,其中，∴该三棱锥的体积为，选B ．1ACED 11ED =1
12
(12)2323
⨯⨯⨯⨯=10．【答案】C 【解析】
试题分析：设
，则，因为
1AF AB m ==122,2,2BF m AF m a BF a ==-=-
，所以，解得，所以，在直角22AB AF BF m =+=22m a a m -+-=4a =21AF m ⎛=- ⎝
三角形中，由勾股定理得，因为，所以，所以
12AF F 22542c m ⎛= ⎝4a =22
5482c a ⎛=⨯ ⎝
.
25e =-考点：直线与圆锥曲线位置关系．
【思路点晴】本题考查直线与圆锥曲线位置关系，考查双曲线的定义，考查解三角形.由于题目给定的条件是等腰直角三角形，就可以利用等腰直角三角形的几何性质来解题.对于圆锥曲线的小题，往往要考查圆锥曲线的定义，本题考查双曲线的定义：动点到两个定点距离之差的绝对值为常数.利用定义和解直角三角形建立方程，从而求出离心率的平方]11．【答案】 B
【解析】解：因为AD •（BC •AC •sin60°）≥V D ﹣ABC =，BC=1，
即AD •
≥1，
因为2=AD+≥2=2，
当且仅当AD==1时，等号成立，
这时AC=，AD=1，且AD ⊥面ABC ，所以CD=2，AB=
，
得BD=，故最长棱的长为2．
故选B ．
【点评】本题考查四面体中最长的棱长，考查棱锥的体积公式的运用，同时考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，属于中档题．　
12．【答案】C 【解析】
试题分析：由得,由几何概型可得所求概率为.故本题答案选C.2log 1x <02x <<202
303
-=-考点：几何概型．
二、填空题
13．【答案】5【解析】
试题分析：．'
2
'
()323,(3)0,5f x x ax f a =++∴-=∴=考点：导数与极值．14．【答案】　①③　．
【解析】解：根据一一映射的定义，集合A={奇数}→B={偶数}，不妨给出对应法则加1．则A →B 是一一映射，故①正确；
对②设Z 点的坐标（a ，b ），则Z 点对应复数a+bi ，a 、b ∈R ，复合一一映射的定义，故②不正确；对③，给出对应法则y=tan x ，对于A ，B 两集合可形成f ：A →B 的一一映射，则A 、B 具有相同的势；∴
③正确．故选：①③
【点评】本题借助考查命题的真假判断，考查一一映射的定义，属于基础题型，考查考生对新定义题的理解与应用能力．　
15．【答案】 ．
【解析】解：点（m ，0）到直线x ﹣y+n=0的距离为d=
，
∵mn ﹣m ﹣n=3，
∴（m ﹣1）（n ﹣1）=4，（m ﹣1＞0，n ﹣1＞0），∴（m ﹣1）+（n ﹣1）≥2，
∴m+n ≥6，则d=≥3
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了的到直线的距离公式，考查了利用基本不等式求最值，是基础题．　
16．【答案】　﹣4　．
【解析】解：∵函数f （x ）=，
∴f （﹣2）=4﹣2=，f （f （﹣2））=f （）=
=﹣4．
故答案为：﹣4．　
17．【答案】2
-【解析】由题意，得，即，所以．3
3
6160C m =-3
8m =-2m =-18．【答案】 ．
【解析】解：∵F 是抛物线y 2=4x 的焦点，∴F （1，0），准线方程x=﹣1，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），∴|MF|+|NF|=x 1+1+x 2+1=6，解得x 1+x 2=4，
∴△MNF 的重心的横坐标为，∴△MNF 的重心到准线距离为．故答案为：．
【点评】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．　
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）∵OC=OD ，∴∠OCD=∠ODC ，∴∠OAC=∠ODB ．
∵∠BOD=∠A ，∴△OBD ∽△AOC ．∴
，
∵OC=OD=6，AC=4，∴，∴BD=9．…（2）证明：∵OC=OE ，CE ⊥OD ．∴∠COD=∠BOD=∠A ．
∴∠AOD=180°﹣∠A ﹣∠ODC=180°﹣∠COD ﹣∠OCD=∠ADO ．
∴AD=AO …
【点评】本题考查三角形相似，角的求法，考查推理与证明，距离的求法．
20．【答案】
【解析】（1）由题意，知不等式解集为．
|2|21(0)x m m ≤+>(][),22,-∞-+∞ 由，得，……………………2分|2|21x m ≤+1122m x m --
≤≤+所以，由，解得．……………………4分122m +=32
m =（2）不等式等价于，()2|23|2y y a f x x ≤+++|21||23|22
y y a x x --+≤+由题意知．……………………6分max (|21||23|)22y y a x x --+≤+
21．【答案】
【解析】解：（1）求导f ′（x ）=+2x+b ，由题意得：
f ′（1）=4，f （1）=﹣8，
则，解得，
所以f（x）=12lnx+x2﹣10x+1；
（2）f（x）定义域为（0，+∞），
f′（x）=，
令f′（x）＞0，解得：x＜2或x＞3，
所以f（x）在（0，2）递增，在（2，3）递减，在（3，+∞）递增，
故f（x）极大值=f（2）=12ln2﹣15，
f（x）极小值=f（3）=12ln3﹣20．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，
即⇒b=1，
∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
设x1＜x2则f（x1）﹣f（x2）=﹣=
因为函数y=2x在R上是增函数且x1＜x2∴f（x1）﹣f（x2）=＞0
即f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数
（III）f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数，又因为f（x）是奇函数，
所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0
等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），
因为f（x）为减函数，由上式可得：t2﹣2t＞k﹣2t2．
即对一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，
从而判别式．
所以k的取值范围是k＜﹣．
【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略，是一道综合题．
23．【答案】
【解析】解：（1）先排3个女生作为一个整体，与其余的5个元素做全排列有 A 33A 66=4320种．
（2）从中选5人，且要求女生只有2名，则男生有3人，先选再排，故有C 32C 53A 55=3600种
【点评】本题主要考查排列与组合及两个基本原理，排列数公式、组合数公式的应用，注意特殊元素和特殊位置要优先排．
24．【答案】
【解析】解：（1）由C 1：（t 为参数）得{x ＝cos t y ＝1＋sin t
)x 2＋（y －1）2＝1，
即x 2＋y 2－2y ＝0，
∴ρ2－2ρsin θ＝0，即ρ＝2sin θ为C 1的极坐标方程，
由圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＝0得
3ρ2＋2ρcos θ＝0，即ρ＝－2cos θ为C 2的极坐标方程．
33（2）由题意得A ，B 的极坐标分别为
A （2sin α，α），
B （－2cos α，α）．
3∴|AB |＝|2sin α＋2cos α|
3＝4|sin （α＋）|，α∈[0，π），π3由|AB |＝2得|sin （α＋）|＝，π312
∴α＝或α＝.π25π6
当α＝时，B 点极坐标（0，）与ρ≠0矛盾，∴α＝，π2π25π6
此时l 的方程为y ＝x ·tan （x ＜0），5π6即x ＋3y ＝0，由圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＝0知圆心C 2的直角坐标为（－，0），
333∴C 2到l 的距离d ＝＝，|3×（－3）|（3）2＋3232
∴△ABC 2的面积为S ＝|AB |·d 12＝×2×＝.12
3232即△ABC 2的面积为.32。