上海怀少学校九年级数学上册第二单元《二次函数》检测(答案解析)

一、选择题
1．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax 2+c 的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．()11,y -()20,y ()34,y 是抛物线2
2y x
x c =-++上三点的坐标，则1y ，2y ，3y 之间
的大小关系为（ ） A ．123y y y << B ．213y y y <<
C ．312y y y <<
D ．321y y y <<
3．将二次函数2
21y x x =+-化为2()y x h k =-+的形式时，结果正确的是（ ）
A ．2(1)2y x =+-
B ．2(1)2y x =--
C ．2(1)2y x =-+
D ．2(1)3y x =++
4．如图是函数y ＝x 2+bx+c 与y ＝x 的图象，有下列结论：
（1）b 2﹣4c ＞0；（2）b+c+1＝0；（3）方程x 2+（b ﹣1）x+c ＝0的解为x 1＝1，x 2＝3；（4）当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0．其中正确结论的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的y 与x 的部分对应值如表：
x ﹣1 0 2 3 4 y
5
﹣4
﹣3
A ．抛物线的开口向下
B ．抛物线的对称轴为直线x ＝2
C ．当0≤x ≤4时，y ≥0
D ．若A （x 1，2），B （x 2，3）是抛物线上两点，则x 1<x 2
6．如图，在ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3cm ，BC ＝6cm ，动点P 从点A 开始沿AB 向点B 以1cm /s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿BC 向点C 以2cm /s 的速度移动，若P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，P 点到达B 点运动停止，则PBQ △的面积S 随出发时间t 的
函数图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．下列各图象中有可能是函数()2
0y ax a a =+≠的图象（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．我校门口道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E ，点P ）以及点A ，点B 落上同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF ）与第2根栏杆未涂色部分（PQ ）长度相等，则EF 的长度是（ ）
A ．
13
米 B ．
12
米 C ．
25
米 D ．
35
米 9．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，则下列结论：①0abc >；②关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的根是-1，3；③2a b c +=；④y 最大值4
3
c =
；其中正确的有（ ）个．
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
10．如图是二次函数2(,,y ax bx c a b c =++是常数，0a ≠）图象的一部分，与x 轴的交点A 在点()2,0和()3,0之间，对称轴是1x =．对于下列说法：①0abc <；②20a b +=；③30a c +>；④()(a b m am b m +≥+为实数）﹔⑤当13x
时，
0y >，其中正确的是（ ）
A ．①②⑤
B ．①②④
C ．②③④
D ．③④⑤
11．已知二次函数2y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9．设该函数图象与 x 轴的一个交点的横坐标为1x ，若15x >则a 的取值范围是（ ） A ．3a 1-<<-
B ．2a 1-<<
C ．1a 0-<<
D ．2a 4<<
12．在平面直角坐标系中，将函数25y x =-的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移
3个单位长度，得到的解析式是（ ）
A ．25(1)3y x =-++
B ．25(1)3y x =--+
C ．25(1)3y x =-+-
D ．25(1)3y x =---
二、填空题
13．一条抛物线与x 轴相交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），若点M ，N 的坐标分别为（－1，－2），（1，－2），抛物线顶点P 在线段MN 上移动．点B 的横坐标的最大值为3，则点A 的横坐标的最小值为__________．
14．已知二次函数y=x 2+x+m ，当x 取任意实数时，都有y ＞0，则m 的取值范围是________．
15．如图，正方形OABC 的边长为2，OA 与x 负半轴的夹角为15°，点B 在抛物线
()20y ax a =<的图象上，则a 的值为_．
16．学校公益伞深受师生欢迎，如图为公益伞骨架结构，点A 为伞开关位置，图1完全收拢状态，图2中间状态，图3完全打开状态，撑伞整个过程中，63AB cm =，
10CE cm =，2EF DE =，5BF DF =+，DF 长度保持不变，滑动环扣C 、D 相对距离会变化．
（1）图1中，A 、G 重合，此时8AC cm =，则DF =______cm ．
（2）图3中，90EDC ∠=︒，因支架、伞布等作用，弹性钢丝BG 近似变形为抛物线
2
164
y x bx c =-
++一部分，则AC =______cm ．
17．如图是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分，有下列4个结论：①0abc >；②240b ac ->；③关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根是12x =-，
23x =；④关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集是2x >-．其中正确的结论是
___________．
18．某种洒杯的轴截面是一条抛物线段，在酒杯中加酒，当酒水深为lcm 时，液面宽为2cm ，将酒杯装满酒后，再倾斜至与水平面成30°，此时酒杯中余下酒深度为2cm ，这个酒杯的杯口直径为______cm ．
19．定义：在平面直角坐标系中，若点A 满足横、纵坐标都为整数，则把点A 叫做“整点”．如：()3,0B 、()1,3C -都是“整点”．抛物线()2
220y ax ax a a =++->与x 轴交
于点M ，N 两点，若该抛物线在M 、N 之间的部分与线段MN 所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a 的取值范围是_______．
20．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列结论：①0ac <；②20b a -=；③0a b c -+=；④当1x >时，y 随x 的增大而减小．其中正确的结论是______．（填序号）
三、解答题
21．已知抛物线 ()2
1y x m x m =-+-+经过点()23，
（1）求m 的值及抛物线的顶点坐标；
（2）当x 取什么值时，y 随着x 的增大而减小？ 22．已知二次函数2(2)1y x =--，
（1）确定抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）如图，观察图象确定，x 取什么值时，①y ＞0，②y ＜0，③y ＝0． 23．阅读下列材料：
我们知道，一次函数y kx b =+的图象是一条直线，而y kx b =+经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式0Ax By C ++=（A 、B 、C 是常数，且A 、B 不同时为0）.如图1，点()P m n ,到直线l ：0Ax By C ++=的距离（d ）计算公式是：
2
2
A m
B n C
d A B
⨯+⨯+=
+．
例：求点()1,2P 到直线51126y x =
-的距离d 时，先将51126
y x =-化为51220x y --=，再由上述距离公式求得()()
()
2
251122221
13
512d ⨯+-⨯+-=
=
+-． 解答下列问题：
如图2，已知直线4
43
y x =-
-与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线245y x x =-+上的一点()3,2M ．
（1）请将直线4
43
y x =-
-化为“0Ax By C ++=”的形式； （2）求点M 到直线AB 的距离；
（3）抛物线上是否存在点P ，使得PAB △的面积最小？若存在，求出点P 的坐标及
PAB △面积的最小值；若不存在，请说明理由． 24．如图，□ABCD 中，AB=c ，AC=b ，BC=a ．
（1）若四边形ABCD 是正方形，求抛物线2
y ax bx c =+-的对称轴； （2）若抛物线2
y ax bx c =+-的对称轴为直线34
x =-
，抛物线2
y ax bx c =+-与x 轴的一个交点为(),0c -．且1b c =+，求四边形ABCD 的面积． 25．已知二次函数y ＝﹣x 2+4x +5，完成下列各题： （1）求出该函数的顶点坐标． （2）求出它的图象与x 轴的交点坐标． （3）直接写出：当x 为何值时，y ＞0．
26．如图，四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 互相垂直，10AC
BD ，当AC 、
BD 的长是多少时，四边形ABCD 的面积最大？
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一、选择题
1．D 解析：D 【分析】
根据二次函数的开口方向，与y 轴的交点；一次函数经过的象限，与y 轴的交点可得相关图象． 【详解】
解：∵一次函数和二次函数都经过y 轴上的（0，c ）， ∴两个函数图象交于y 轴上的同一点，故B 选项错误；
当a ＞0，c ＜0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，故C 选项错误； 当a ＜0，c ＞0时，二次函数开口向下，一次函数经过一、二、四象限，故A 选项错误，D 选项正确； 故选：D ． 【点睛】
本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y 轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．
2．C
解析：C 【分析】
先判断函数的开口向下，对称轴为x=1，从而得出距离对称轴越远，函数值越小，再结合三点坐标即可判断1y ，2y ，3y 之间的大小关系． 【详解】 解：∵在2
2y x
x c =-++中，21,122
b a a =--
=-=-， ∴该函数开口向下，对称轴为x=1，且距离对称轴越远，函数值越小， ∵()11,y -、()20,y 、()34,y 三点距离对称轴的距离为：2,1,3， ∴312y y y <<， 故选：C ． 【点睛】
本题考查比较二次函数值的大小．理解二次函数当a<0时距离对称轴越远的点，函数值越小是解题关键．
3．A
解析：A 【分析】
加上一次项系数的一半的平方凑成完全平方式，把一般式化为顶点式． 【详解】
221
y x x
=+-=22111
x x
++--=2
(1)2
y x
=+-，
故选：A．
【点睛】
此题考查二次函数的一般式转化为顶点式，掌握方法是解题的关键．
4．B
解析：B
【分析】
根据函数图象与x轴交点个数判断（1）；利用待定系数法求出函数解析式，代入计算判断（2）；由二次函数与一次函数的交点求出方程的解，判断（3）即可；利用函数图象比较函数值判断（4）．
【详解】
由图象知，二次函数过（3，3）（0，3），（1，1），
∴
933
1
3
a b c
a b c
c
++=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪=
⎩
，
解得：
1
3
3
a
b
c
=
⎧
⎪
=-
⎨
⎪=
⎩
，
∴b+c+1＝﹣3+3+1＝1，故②错误；
∵a＝1，
∴抛物线为y＝x2-3x+3，
∵函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，
∴b2﹣4c＜0，故①错误；
由图象知，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x的交点坐标为（1，1）和（3，3），
∴方程x2+（b﹣1）x+c＝0的解为x1＝1，x2＝3，故③正确；
∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，
∴x2+bx+c＜x，
∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确；
故选：B．
【点睛】
此题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，图象法比较函数值的大小，是一道较为基础的二次函数题．
5．B
解析：B
【分析】
根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
解：由表格可得，该抛物线的对称轴为直线x ＝
04
2
＝2，故选项B 正确； 当x ＜2 时，y 随x 的增大而减小，当x ＞2时，y 随x 的增大而增大，所以该抛物线的开口向上，故选项A 错误；
当0≤x ≤4时，y ≤0，故选项C 错误；
由二次函数图象具有对称性可知，若A （x 1，2），B （x 2，3）是抛物线上两点，则x 1＜x 2或x 2＜x 1，故选项D 错误； 故选：B ． 【点睛】
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
6．D
解析：D 【分析】
先根据运动速度和AB 、BC 的长可得t 的取值范围，再根据运动速度可得
,2AP tcm BQ tcm ==，然后利用直角三角形的面积公式可得S 与t 之间的函数关系式，
最后根据二次函数的图象特点即可得． 【详解】 设运动时间为ts ，
点P 到达点B 所需时间为31AB s =，点Q 到达点C 所需时间为32
BC
s =， ∴点P 、Q 同时停止运动，且t 的取值范围为03t ≤≤，
由题意，,2AP tcm BQ tcm ==，
3AB cm =，
()3BP AB AP t cm ∴=-=-，
()211
32322
S BP BQ t t t t ∴=
⋅=-⋅=-+， 则S 与t 之间的函数图象是抛物线在03t ≤≤的部分，且开口向下，
观察四个选项可知，只有选项D 符合， 故选：D ． 【点睛】
本题考查了二次函数的图象，正确求出S 与t 之间的函数关系式是解题关键．
7．B
解析：B 【分析】
从0a >和0a <两种情况进行分析图象的开口方向和顶点坐标，选出正确的答案． 【详解】
解：当0a >时，开口向上，顶点在y 轴的正半轴； 当0a <时，开口向下，顶点在y 轴的负半轴，
【点睛】
本题考查的是二次函数系数与图象的关系，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标与系数的关系是解题的关键．
8．C
解析：C
【分析】
根据抛物线形状建立二次函数模型，以AB 中点为原点，建立坐标系xOy ，通过已知线段长度求出A(1，0)B(-1,O)，由二次函数的性质确定y ＝ax 2－a ，利用PQ ＝EF 建立等式，求出二次函数中的参数a ，即可得出EF 的值．
【详解】
解：如图，令P 下方的点为H ，以AB 中点为原点，建立坐标系xOy ，则A(1，0)B(-1,O)， 设抛物线的方程为y=ax 2+bx+c
∴抛物线的对称轴为x=0，则2b a
-
＝0，即b ＝0． ∴y ＝ax 2 +c ．
将A(1，0)代入得a+c ＝0,则c ＝－a ．
∴y ＝ax 2－a ． ∵OH ＝2×
15×12
＝0.2，则点H 的坐标为（-0.2，0） 同理可得：点F 的坐标为（-0.6，0）．
∴PH ＝a×(-0.2)2-a ＝－0.96a
EF ＝a×(-0.6)2-a ＝－0.64a ．
又∵PQ ＝EF ＝1－（－0.96a ）＝－0.64a
∴1＋0.96a ＝－0.64a ．
解得a ＝58-． ∴y ＝5
8-x 2＋58
． ∴EF ＝（5
8
-）×（-0.6）２＋58＝25．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是能在几何图形中建立适当的坐标系并结合图形的特点建立等式求出二次函数表达式．
9．C
解析：C
【分析】
利用抛物线开口方向得到a＜0，利用抛物线的对称轴方程得到b=-2a＞0，利用抛物线与y 轴的交点在x轴上方得到c＞0，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（-1，0），则根据抛物线与x轴的交点问题可对②进行判断；由于x=-1时，a-b+c=0，再利用b=-2a得到c=-3a，则可对③④进行判断．
【详解】
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣b
=1，
2a
∴b=-2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根是-1，3，所以②正确；
∵当x=-1时，y=0，
∴a-b+c=0，
而b=-2a，
∴a+2a+c=0，即c=-3a，
∴a+2b-c=a-4a+3a=0，
即a+2b=c，所以③正确；
a+4b-2c=a-8a+6a=-a，所以④错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
10．B
【分析】
由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断出c 的大小，然后根据对称轴判断b 的大小，然后根据特殊值求出式子的大小即可；
【详解】
∵对称轴在y 轴的右侧，
∴a 、b 异号，
∵开口向下，
∴0a <，0b >，
∵函数图像与y 轴正半轴相交，
∴0c >，
∴0abc <，故①正确；
∵对称轴12b x a
=-=， ∴20a b +=，故②正确；
∵20a b +=，
∴2b a =-，
∵当1x =-时，0y a b c =-+＜，
∴()23＜0a a c a c --+=+，故③错误；
根据图示，当1m =时，有最大值；
当1m ≠时，有2am bm c a b c ++≤++，
∴()(a b m am b m +≥+为实数），故④正确；
根据图示，当13x 时，y 不只是大于0，故⑤错误；
故正确的答案是①②④；
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，准确分析判断是解题的关键．
11．C
解析：C
【分析】
根据二次函数2y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9，可以写出该函数的顶点式，得到0a <，再根据该函数图象与x 轴的一个交点的横坐标为1x ，15x >，可知，当5x =时，0y >，即可得到a 的取值范围，本题得以解决．
【详解】 解：二次函数2
y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9， 0a ∴<，该函数解析式可以写成2(2)9y a x =-+，
设该函数图象与x 轴的一个交点的横坐标为1x ，15x >，
∴当5x =时，0y >，
即2(52)90a -+>，解得，1a >-，
a ∴的取值范围时10a -<<，
故选：C ．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值、抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
12．B
解析：B
【分析】
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】
由“左加右减”的原则可知，
抛物线25y x =-的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：()251y x =--； 由“上加下减”的原则可知，
抛物线()2
51y x =--的图象向上平移3个单位长度所得函数图象的关系式是()2
513y x =--+．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象平移，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 二、填空题
13．-3【分析】根据顶点P 在线段MN 上移动又知点MN 的坐标分别为(-1-2)(1-2)分别求出对称轴过点M 和N 时的情况即可判断出A 点横坐标的最小值【详解】根据题意知点B 的横坐标的最大值为3即可知当对称轴
解析：-3
【分析】
根据顶点P 在线段MN 上移动，又知点M 、N 的坐标分别为(-1，-2)、(1，-2)，分别求出对称轴过点M 和N 时的情况，即可判断出A 点横坐标的最小值．
【详解】
根据题意知，点B 的横坐标的最大值为3，
即可知当对称轴过N 点时，点B 的横坐标最大，
此时的A 点坐标为(-1，0)，
当对称轴过M 点时，点A 的横坐标最小，
此时B 点坐标为(1，0)，
此时A 点的坐标最小为(-3，0)，
故点A 的横坐标的最小值为-3，
故答案为：-3．
【点睛】
本题主要考査二次函数的综合，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图象对称轴的特点．
14．＞【分析】二次函数开口向上当x 取任意实数时都有y ＞0则−4ac ＜0据此即可列不等式求解【详解】解：−4ac ＝1−4m ＜0解得：m ＞故答案为：＞【点睛】本题考查了抛物线与x 轴交点个数个数由−4ac 的符
解析：m ＞
14 【分析】
二次函数开口向上，当x 取任意实数时，都有y ＞0，则2b −4ac ＜0，据此即可列不等式求解．
【详解】
解：2b −4ac ＝1−4m ＜0，
解得：m ＞14
． 故答案为：m ＞
14． 【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴交点个数，个数由2b −4ac 的符号确定，当△＝2b −4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△＝2b −4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；△＝2b −4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．
15．【分析】连接OB 过点B 作BD ⊥x 轴于D 根据正方形的性质求得
∠BOA=45°OB=根据三角函数和勾股定理可得点B 的坐标为（）代入抛物线即可求解【详解】如图连接OB 过点B 作BD ⊥x 轴于D ∵四边形OABC 解析：26-
【分析】
连接OB ，过点B 作BD ⊥x 轴于D ，根据正方形的性质求得∠BOA=45°，OB=22，根据三角函数和勾股定理可得点B 的坐标为（6-2-）,代入抛物线()20y ax a =<即可求
解．
【详解】
如图，连接OB ，过点B 作BD ⊥x 轴于D ，
∵四边形OABC 是边长为2的正方形，
∴∠BOA=45°，OB=22， ∵AC 与x 轴负半轴的夹角为15°， ∴∠AOD=45°﹣15°=30°，
∴BD= 12
OB= 2，OD= 22OB BD -= 82-= 6, ∴点B 的坐标为（6-,2-）, ∵点B 在抛物线()20y ax
a =<的图象上， 则：()262a -=-，
解得：26
a =-， 故答案为26a =-
故答案为：26
-．
【点睛】
本题主要考查根据坐标求解析式，涉及到正方形的性质、勾股定理、三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学知识求得点B 的坐标．
16．【分析】（1）设结合可得：由线段的和差可得：列方程解方程可得答案；（2）如图以为原点建立平面直角坐标系可得函数的解析式为：利用求解的长度再利用勾股定理求解从而可得答案【详解】解：（1）设故答案为：（ 解析：2448
【分析】
（1）设,DE x = 结合2EF DE =，5BF DF =+，可得：
2,3,35,EF x DF x BF x ===+ =55,BE x + 由线段的和差可得：45BE =， 列方程解方程可得答案；
（2）如图，以B 为原点建立平面直角坐标系，可得函数的解析式为：21,64y x =-
利用24DF =，
求解BD 的长度，再利用勾股定理求解,CD 从而可得答案． 【详解】
解：（1）设,DE x =
2EF DE =，5BF DF =+，
2,3,35,EF x DF DE EF x BF x ∴==+==+
35255,BE BF EF x x x ∴=+=++=+
63AB cm =，10CE cm =，8AC cm =
45BE AB AC CE ∴=--=，
5545,x ∴+=
8,x ∴=
324,DF x cm ∴==
故答案为：24.
（2）如图，以B 为原点建立平面直角坐标系，
则函数的解析式为：21,64
y x =-
24DF =， ∴ 当24x =时，21249,64
y =-
⨯=- 9BD ∴=，
108CE DE ==，， 22221086CD CE DE ∴=-=-=，
636948,AC cm ∴=--=
故答案为：48.
【点睛】
本题考查的是线段的和差，一元一次方程的应用，勾股定理的应用，二次函数的图像与性质，掌握以上知识是解题的关键．
17．②③【分析】根据抛物线开口方向对称轴的位置以及与y 轴的交点可对①减小判断；利用抛物线与x 轴的交点个数可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；利用图象则可对④进行判断【详解】解：∵抛物线开口
解析：②③
【分析】
根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y 轴的交点可对①减小判断；利用抛物线与x 轴的交点个数可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；利用图象则可对④进行判断．
【详解】
解：∵抛物线开口向下，交y 轴的正半轴，
∴a ＜0，c ＞0，
∵-
2b a =12
， ∴b =-a ＞0， ∴abc ＜0，所以①错误；
∵抛物线与x 轴有2个交点，
∴△=b 2-4ac ＞0，
即b2＞4ac ，所以②正确；
∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过点（-2，0），
而抛物线的对称轴为直线x=
12， ∴点（-2，0）关于直线x =12
的对称点（3，0）在抛物线上， ∴关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0的两根是x 1=-2，x 2=3，所以③正确．
由图象可知当-2＜x ＜3时，y ＞0，
∴不等式ax 2+bx +c ＞0的解集是-2＜x ＜3，所以④错误；
故答案为②③．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y =ax 2+bx +c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．
18．【分析】建立如下图所示的平面直角坐标系相当于抛物线经过点(00)(11)求
得解析式为y=x²设杯口直径为2d设倒满酒时酒的高度为m相当于抛物线经过(dm)再由倾斜30°时杯中酒深度为2cm时将m用d
解析：319
【分析】
建立如下图所示的平面直角坐标系，相当于抛物线经过点(0,0)，(1,1)求得解析式为y=x²，设杯口直径为2d，设倒满酒时酒的高度为m，相当于抛物线经过(d,m)，再由倾斜30°时杯中酒深度为2cm时将m用d代数式表示，再代入解析式中求出d即可．
【详解】
解：如下图所示以酒杯内最低点为原点建立直角坐标系，
故抛物线的顶点坐标为原点，设抛物线解析式为y=ax²，
当酒水深为lcm时，液面宽为2cm，相当于抛物线且经过点(1,1)，代入解析式中，a=1，故抛物线解析式为：y=x²，
设杯口直径为2d，设倒满酒时酒的高度为m，相当于抛物线经过(d,m)，
由“倾斜至与水平面成30°，此时酒杯中余下酒深度为2cm”，如下图所示：
此时FH=EC=2，∠DEF=30°，DF=d，
在Rt△EDF中，EF=2DF=2d，3d，
在Rt△OEC中，OE=2EC=4，
∴OD=OE+ED=43d，
∴m=OD=43d , ∴将点
(,4
3d d )，代入y=x²， 即：243d d ，解得：3
192d (负值舍去)，
故杯口的直径为：319+．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，读懂题目意思，学会建立直角坐标系并求出对应解析式是解决本题的关键．
19．1＜a≤2【分析】画出图象找到该抛物线在MN 之间的部分与线段MN 所围的区域（包括边界）恰有5个整点的边界利用与y 交点位置可得a 的取值范围
【详解】解：抛物线y ＝ax2＋2ax ＋a−2（a ＞0）化为顶点
解析：1＜a≤2
【分析】
画出图象，找到该抛物线在M 、N 之间的部分与线段MN 所围的区域（包括边界）恰有5个整点的边界，利用与y 交点位置可得a 的取值范围．
【详解】
解：抛物线y ＝ax 2＋2ax ＋a−2（a ＞0）化为顶点式为y ＝a （x ＋1）2−2，
∴函数的对称轴：x ＝−1，顶点坐标为（−1，−2），
∴M 和N 两点关于x ＝−1对称，
根据题意，抛物线在M 、N 之间的部分与线段MN 所围的区域（包括边界）恰有5个整点，这些整点是（0，0），（−1，0），（−1，−1），（−1，−2），（−2，0）， 如图所示：
∵当x ＝0时，y ＝a−2，
∴−1＜a−2≤0，
当x ＝1时，y ＝4a−2＞0，
即：120420a a --≤-⎧⎨⎩
＜＞， 解得1＜a≤2，
故答案为：1＜a ≤2．
【点睛】
本题考查抛物线与x 轴的交点、配方法确定顶点坐标、待定系数法等知识，利用函数图象确定与y 轴交点位置是本题的关键．
20．①③【分析】由抛物线的开口方向判断的符号由抛物线与轴的交点判断的符号然后根据对称轴抛物线的增减性进行推理进而对所得结论进行判断【详解】解：①图象开口向上与轴交于负半轴能得到：故①正确；②对称轴为直线
解析：①③
【分析】
由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴、抛物线的增减性进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：①图象开口向上，与y 轴交于负半轴，能得到：0a >，0c <，
0ac ∴<，故①正确； ②对称轴为直线1x =，
12b a
∴-=， 2b a ∴=-，
20b a ∴+=，故②错误；
③由图象可知，当1x =-时，0y a b c =-+=，故③正确；
④由图象可知，在对称轴的右侧，从左往右图象逐渐上升，所以当1x >时，y 随x 的增大而增大，故④错误．
故答案为：①③．
【点睛】
主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
三、解答题
21．（1）m=3，（1，4）；（2）当x ＞1时，y 随x 的增大而减小.
【分析】
（1）将已知点的坐标代入函数解析式，建立关于m 的方程，解方程求出m 的值，再将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标.
（2）利用函数解析式可知a=-1＜0，结合对称轴可得到y 随x 的增大而减小时自变量x 的取值范围.
【详解】
（1）解：由题意得
-4+2（m-1）+m=3
解之：m=3，
∴抛物线的解析式为y=-x 2+2x+3
∴y= -（x-1）2+4
∴抛物线的顶点坐标为（1，4）；
（2）解：∵a=-1＜0，
∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质以及求二次函数的顶点坐标、二次函数的增减性，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22．（1）开口方向：向上，对称轴：直线x=2，顶点坐标：（2，-1）；（2）①1x <或3x >时y>0，②13x <<时，y<0；③x=1或x=3时，y=0．
【分析】
（1）根据顶点式可直接推出抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）令y=0，求出关于x 的方程的解，结合图象即可解答．
【详解】
解：（1）由于二次项系数为正数，则抛物线开口向上；
根据顶点式可知，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，-1）．
（2）令y=0，则原式可化为（x-2）2-1=0，
移项得，（x-2）2=1，
开方得，x-2=±1，
解得x 1=1，x 2=3．
则与x 轴的交点坐标为（1，0），（3，0）．
如图：①当x ＜1或x ＞3时，y ＞0；
②当x=1或x=3时，y=0；
③当1＜x ＜3时，y ＜0．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，熟悉顶点式及正确画出图象，利用数形结合是解题的关键．
23．（1）43120x y ++=；（2）点M 到直线AB 的距离为6；（3）存在，413,39P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，△PAB 面积最小值为
656
． 【分析】
（1）根据题意可直接进行化简；
（2）根据题中所给公式可直接进行代值求解；
（3）设点()2,45P a a a -+，根据题意可得点P 到直线AB 的距离，然后根据三角形面积计算公式可得2327422
PAB S
a a =-+，最后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】 解：（1）由443y x =-
-可得：43120x y ++=； （2
）由公式d =()3,2M 可得：
点M 到直线AB
的距离为：3065
d ===； （3）存在点P ，使△PAB 的面积最小，理由如下：
设点()2,45P a a a -+，则有：
点P 到直线AB
的距离为：238275a a d -+==，
由图像可得当y>0时，x 的值为全体实数，
∴238270a a -+>，
∵直线443
y x =-
-与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ， ∴当x=0时，y=-4，当y=0时，x=-3， ∴()()3,0,0,4A B --，
∴5AB =， ∴2
2132734654222236PAB S AB d a a a ⎛⎫=⋅=-+=-+ ⎪⎝⎭， ∴当43a =时，△PAB 的面积最小，即为656
PAB S =， ∴此时点P 的坐标为413,39⎛⎫ ⎪⎝⎭
． 【点睛】
本题主要考查二次函数的图像与性质及点到直线的距离公式，关键是根据题中所给点到直线的距离公式进行分析和求解问题即可．
24．
(1)x=2
-
；（2）
ABCD 2S =四边形． 【分析】
（1）由正方形推出
a ，利用对称轴公式求对称轴
（2）对称轴为直线34x =-利用公式得b=32
a ，抛物线与x 轴交点为(),0c -代入得20ac bc c --=，1
b
c =+求出a b c 、、的值，由=a c 推出四边形ABCD 为菱形，利用菱形面积公式求出即可
【详解】
(1)∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=BC ，
，
a
2y ax bx c =+-=a (x 2
对称轴为
x=2b a -==(2) 对称轴为直线34
x =-， ∴利用对称轴公式得b=
32a 抛物线2y ax bx c =+-与x 轴的一个交点为(),0c -代入抛物线20ac bc c --=
由c>0、b>0、a>0，
10ac b --= ∴10132ac b b c b a ⎧⎪--=⎪=+⎨⎪⎪=⎩
，
解得232a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩
（负值已舍去）， ∵ABCD ，=2a c =
∴四边形ABCD 为菱形
连BD 交AC 于O ，BO ⊥AO ，AO=OC=1.5
在RtΔABO
中，由勾股定理OB =
=，
∴ABCD 132S ==四边形
【点睛】
本题考查正方形的性质与菱形的性质，掌握正方形的性质与菱形性质和菱形面积求法，会用正方形的性质推出a b c 、、之间关系，进而求对称轴，会利用对称轴推出a b 、关系，利用点C 在抛物线上，确定a b c 、、之间关系会解方程组解决问题
25．（1）（2，9）；（2）（5，0）、（﹣1，0）；（3）当﹣1＜x ＜5时，y ＞0．
【分析】
（1）由y=-x 2+4x+5=-（x-2）2+9即可求解；
（2）令y=-x 2+4x+5=0，解得x=5或-1，即可求解；
（3）a=-1＜0，则抛物线开口向下，即可求解．
【详解】
解：（1）y ＝﹣x 2+4x +5＝﹣（x ﹣2）2+9，
则抛物线的顶点坐标为（2，9）；
（2）令y ＝﹣x 2+4x +5＝0，
∴()-5(1
=0x x ++） 解得x ＝5或﹣1，
故图象与x 轴的交点坐标为（5，0）、（﹣1，0）；
（3）∵a ＝﹣1＜0，
故抛物线开口向下，
故当﹣1＜x ＜5时，y ＞0．
【点睛】
【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
26．当AC=BD=5时，四边形ABCD 的面积最大．
【分析】 直接利用对角线互相垂直的四边形面积求法得出12S AC BD =
⋅，再利用配方法求出二次函数最值即可．
【详解】
解：设AC=x ，四边形ABCD 面积为S ，则BD=10-x ， 则：211125(10)(5)2222
S AC BD x x x =⋅=-=--+，。