河北省沧州市2021届新高考第四次大联考数学试卷含解析

河北省沧州市2021届新高考第四次大联考数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）
A ．甲的数据分析素养优于乙
B ．乙的数据分析素养优于数学建模素养
C ．甲的六大素养整体水平优于乙
D ．甲的六大素养中数学运算最强
【答案】D 【解析】 【分析】
根据所给的雷达图逐个选项分析即可. 【详解】
对于A ，甲的数据分析素养为100分，乙的数据分析素养为80分， 故甲的数据分析素养优于乙，故A 正确；
对于B ，乙的数据分析素养为80分，数学建模素养为60分， 故乙的数据分析素养优于数学建模素养，故B 正确； 对于C ，甲的六大素养整体水平平均得分为
100801008010080310
63
+++++=，
乙的六大素养整体水平均得分为8060806060100250
63
+++++=，故C 正确；
对于D ，甲的六大素养中数学运算为80分，不是最强的，故D 错误； 故选：D 【点睛】
本题考查了样本数据的特征、平均数的计算，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.
2．正方体1111ABCD A B C D -，()1
,2,,12i P i =L 是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面11A C B 平行的直线有几条（ ）
A ．36
B ．21
C ．12
D ．6
【答案】B 【解析】 【分析】
先找到与平面11A C B 平行的平面，利用面面平行的定义即可得到. 【详解】
考虑与平面11A C B 平行的平面148PP P ，平面10116P P P ，平面9523712P P P P P P ， 共有2
2
62
3321C C C ++=， 故选：B. 【点睛】
本题考查线面平行的判定定理以及面面平行的定义，涉及到了简单的组合问题，是一中档题. 3．如图，ABC ∆内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，
,//,,,DC BE DC BE DC CB DC CA =⊥⊥22AB EB ==，则三棱锥E ABC -体积的最大值为（ ）
A ．
1
4
B ．
13
C ．
12
D ．
23
【答案】B 【解析】 【分析】
根据已知证明BE ⊥平面ABC ，只要设AC x =，则)2402BC x x =
-<<，从而可得体积
()222114466
E ABC V x x x x -=
-=-
【详解】
因为,//DC BE DC BE =，所以四边形DCBE 为平行四边形.又因为
,,,DC CB DC CA CB CA C CB ⊥⊥⋂=⊂平面ABC ，CA ⊂平面ABC ，
所以DC ⊥平面ABC ，所以BE ⊥平面ABC .在直角三角形ABE 中，22AB EB ==，
设AC x =，则)02BC x =<<，
所以11
22
ABC S AC BC x ∆=⋅=
以16E ABC
V x -==又因为()2
2222442x x x x ⎛⎫+--≤ ⎪⎝⎭
，当且仅当()2
2222
44
2x x x x ⎛⎫+--≤ ⎪⎝⎭
，即x 时等号成立，
所以()max 13
E ABC V -=. 故选：B ． 【点睛】
本题考查求棱锥体积的最大值．解题方法是：首先证明线面垂直同，得棱锥的高，然后设出底面三角形一边长为x ，用建立体积V 与边长x 的函数关系，由基本不等式得最值，或由函数的性质得最值． 4．已知P 与Q 分别为函数260x y --=与函数2
1y x =+的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为( )
A ．
65
B ．
C
D ．6
【答案】C 【解析】 【分析】
利用导数法和两直线平行性质，将线段||PQ 的最小值转化成切点到直线距离. 【详解】
已知P 与Q 分别为函数260x y --=与函数2
1y x =+的图象上一点， 可知抛物线2
1y x =+存在某条切线与直线260x y --=平行，则2k =，
设抛物线2
1y x =+的切点为()
200,1x x +，则由2y x '=可得022x =，
01x ∴=，所以切点为(1,2)，
则切点(1,2)到直线260x y --=的距离为线段||PQ 的最小值，
则min 65
||55
PQ ==. 故选：C. 【点睛】
本题考查导数的几何意义的应用，以及点到直线的距离公式的应用，考查转化思想和计算能力.
5．等腰直角三角形BCD 与等边三角形ABD 中，90C ∠=︒，6BD =，现将ABD △沿BD 折起，则当直线AD 与平面BCD 所成角为45︒时，直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值为（ ）
A 3
B ．
2 C 3D 23
【答案】A 【解析】 【分析】
设E 为BD 中点，连接AE 、CE ，过A 作AO CE ⊥于点O ，连接DO ，得到ADO ∠即为直线AD 与平面BCD 所成角的平面角，根据题中条件求得相应的量，分析得到CAE ∠即为直线AC 与平面ABD 所成角，进而求得其正弦值，得到结果. 【详解】
设E 为BD 中点，连接AE 、CE ，
由题可知AE BD ⊥，CE BD ⊥，所以BD ⊥平面AEC ， 过A 作AO CE ⊥于点O ，连接DO ，则AO ⊥平面BDC ， 所以ADO ∠即为直线AD 与平面BCD 所成角的平面角， 所以2sin 2AO
ADO AD
∠=
=
，可得32AO = 在AOE △中可得3OE =， 又1
32
OC BD =
=，即点O 与点C 重合，此时有AC ⊥平面BCD ， 过C 作CF AE ⊥与点F ，
又BD AEC ⊥平面，所以BD CF ⊥，所以CF ⊥平面ABD ，
从而角CAE ∠即为直线AC 与平面ABD 所成角，3
sin 3
33CE CAE AE ∠=
==
，
故选：A. 【点睛】
该题考查的是有关平面图形翻折问题，涉及到的知识点有线面角的正弦值的求解，在解题的过程中，注意空间角的平面角的定义，属于中档题目. 6．已知函数()2ln 2x
x f x ex a x
=-+-（其中e 为自然对数的底数）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．2
1,e e
⎛⎤-∞+ ⎥⎝
⎦
B ．2
1,e e ⎛⎫-∞+
⎪⎝⎭ C ．2
1,e e
⎡⎫-+∞⎪⎢⎣
⎭
D ．2
1,e e
⎛⎫-+∞ ⎪⎝
⎭
【答案】B 【解析】 【分析】
求出导函数()f x '
，确定函数的单调性，确定函数的最值，根据零点存在定理可确定参数范围． 【详解】
2
1ln ()2()x
f x x e x
-'=
--，当(0,)x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，∴在(0,)+∞上()f x 只有一个极大值也是最大值2
1()f e e a e
=
+-，显然0x →时，()f x →-∞，x →+∞时，()f x →-∞，
因此要使函数有两个零点，则21()0f e e a e =+->，∴21a e e
<+． 故选：B ． 【点睛】
本题考查函数的零点，考查用导数研究函数的最值，根据零点存在定理确定参数范围．
7．已知,a b r r 为非零向量，“2
2a b b a =r r r r ”为“a a b b =r r r r ”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．充分必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
由数量积的定义可得220a a =>r r ,为实数,则由22a b b a =r r r r 可得22a b b a =r r r r ,根据共线的性质,可判断
a b =r r ；再根据a a b b =r r r r 判断a b
=r r ,由等价法即可判断两命题的关系. 【详解】
若22a b b a =r r r r 成立,则22a b b a =r r r r ,则向量a r 与b r 的方向相同,且22a b b a =r r r r ,从而
a b =r r ,所以a b =r r ； 若a a b b =r r r r ,则向量a r 与b r 的方向相同,且22a b =r r ,从而a b =r r ,所以a b =r r .
所以“22a b b a =r r r r ”为“a a b b =r r r r ”的充分必要条件.
故选:B 【点睛】
本题考查充分条件和必要条件的判定,考查相等向量的判定,考查向量的模、数量积的应用. 8．如图所示，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F 且EF=2
，则下列结论中错误的是（ ）
A ．AC ⊥BE
B ．EF //平面ABCD
C ．三棱锥A-BEF 的体积为定值
D ．异面直线AE,BF 所成的角为定值
【答案】D 【解析】 【分析】
A ．通过线面的垂直关系可证真假；
B ．根据线面平行可证真假；
C ．根据三棱锥的体积计算的公式可证真假；
D ．根据列举特殊情况可证真假. 【详解】
A ．因为11,,AC BD AC DD DD BD D ⊥⊥=I ，所以AC ⊥平面11BDD
B ， 又因为BE ⊂平面11BDD B ，所以A
C BE ⊥，故正确；
B ．因为11//D B DB ，所以//EF DB ，且EF ⊂/平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ， 所以//EF 平面ABCD ，故正确；
C ．因为11224BEF S EF BB =
⨯⨯=
V A 到平面11BDD B 的距离为12
22
h AC ==，
所以
11
312 A BEF BEF
V S h
-
=⋅⋅=
V
为定值，故正确；
D．当1111
AC B D E
=
I，AC BD G
⋂=，取F为1B，如下图所示：
因为//
BF EG，所以异面直线,
AE BF所成角为AEG
∠，
且
2
2
2
tan
12
AG
AEG
GE
∠===，
当1111
AC B D F
=
I，AC BD G
⋂=，取E为1D，如下图所示：
因为11
//,
D F GB D F GB
=，所以四边形
1
D GBF是平行四边形，所以
1
//
BF D G，
所以异面直线,
AE BF所成角为AEG
∠，且2
2
3
2
tan
2
1
2
AG
AEG
GE
∠===
⎛⎫
+ ⎪
⎝⎭
由此可知：异面直线,
AE BF所成角不是定值，故错误.
故选：D.
【点睛】
本题考查立体几何中的综合应用，涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及三棱锥体积的计算，难度较难.注意求解异面直线所成角时，将直线平移至同一平面内.
9．对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：()
0.675,0.989
-，()
1.102,0.010
-，()
2.899,1.024，()
9.101,2.978，下列函数模型中拟合较好的是（）
A．3
y x
=B．3x
y=C．()21
y x
=--D．3
log
y x
=
【答案】D 【解析】 【分析】
作出四个函数的图象及给出的四个点，观察这四个点在靠近哪个曲线． 【详解】
如图，作出A ，B ，C ，D 中四个函数图象，同时描出题中的四个点，它们在曲线3log y x =的两侧，与其他三个曲线都离得很远，因此D 是正确选项， 故选：D ． 【点睛】
本题考查回归分析，拟合曲线包含或靠近样本数据的点越多，说明拟合效果好．
10．已知函数()()0x
e f x x a a
=->，若函数()y f x =的图象恒在x 轴的上方，则实数a 的取值范围为
（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
B ．()0,e
C ．(),e +∞
D ．1,1e ⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】B 【解析】 【分析】
函数()y f x =的图象恒在x 轴的上方，0x e x a ->在()0,∞+上恒成立.即x e x a >，即函数x e
y a =的图象
在直线y x =上方，先求出两者相切时a 的值，然后根据a 变化时，函数x
e
y a
=的变化趋势，从而得a 的
范围． 【详解】
由题0x e x a ->在()0,∞+上恒成立.即x
e x a
>，
x
e y a
=的图象永远在y x =的上方，
设x e y a =与y x =的切点()00,x y ，则0
1x x e a
e x
a
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得a e =，
易知a 越小，x
e
y a
=图象越靠上，所以0a e <<.
故选：B ． 【点睛】
本题考查函数图象与不等式恒成立的关系，考查转化与化归思想，首先函数图象转化为不等式恒成立，然后不等式恒成立再转化为函数图象，最后由极限位置直线与函数图象相切得出参数的值，然后得出参数范围．
11．函数()2
ln x
f x x x =-
的图象大致为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
根据函数()f x 的奇偶性和单调性，排除错误选项，从而得出正确选项. 【详解】
因为()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，排除C 和D.
当0x >时，()2ln x x f x x =-，()33
2ln 1
'x x f x x
=+-， 令()'0f x <，得01x <<，即()f x 在()0,1上递减；令()'0f x >，得1x >，即()f x 在()1,+∞上递增.所以()f x 在1x =处取得极小值，排除B.
故选：A 【点睛】
本小题主要考查函数图像的识别，考查利用导数研究函数的单调区间和极值，属于中档题. 12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，410S =，则6S =（ ） A ．21 B ．22 C ．11 D ．12
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意知24264,,S S S S S --成等差数列，结合等差中项，列出方程，即可求出6S 的值. 【详解】
解：由{}n a 为等差数列，可知24264,,S S S S S --也成等差数列，
所以()422642S S S S S -=+- ，即()62103310S ⨯-=+-，解得621S =. 故选:A. 【点睛】
本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项.对于等差数列，一般用首项和公差将已知量表示出来，继而求出首项和公差.但是这种基本量法计算量相对比较大，如果能结合等差数列性质，可使得计算量大大减少.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”.中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧，可排成______种不同的音序. 【答案】1 【解析】 【分析】
按照“角”的位置分类,分“角”在两端,在中间,以及在第二个或第四个位置上,即可求出. 【详解】
①若“角”在两端,则宫、羽两音阶一定在角音阶同侧，此时有22
222324A A ⨯⨯⨯=种；
②若“角”在中间,则不可能出现宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧；
③若“角”在第二个或第四个位置上,则有22
2228A A =种；
综上，共有24832+=种. 故答案为：1． 【点睛】
本题主要考查利用排列知识解决实际问题,涉及分步计数乘法原理和分类计数加法原理的应用,意在考查学生分类讨论思想的应用和综合运用知识的能力,属于基础题.
14．各项均为正数的等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若31a =，且522S S =+，则公比q 的值为_____. 【答案】51
2
- 【解析】 【分析】
将已知由前n 项和定义整理为3452a a a ++=，再由等比数列性质求得公比，最后由数列{}n a 各项均为正数，舍根得解. 【详解】
因为521234512345222S S a a a a a a a a a a =+⇒++++=++⇒++= 即2233315
210a a q a q q q q -±+⋅+⋅=⇒+-=⇒=
又等比数列{}n a 各项均为正数，故51
q -=
故答案为：51
- 【点睛】
本题考查在等比数列中由前n 项和关系求公比，属于基础题.
15．如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为2的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为_____．
43
【解析】 【分析】
画图直观图可得该几何体为棱锥,再计算高求解体积即可. 【详解】
解：如图,是一个四棱锥的平面展开图,其中间是边长为2的正方形,
上面三角形是等边三角形,左、右三角形是等腰直角三角形,
∴此四棱锥S ABCD ﹣中,ABCD 是边长为2的正方形,
SAD V 是边长为2的等边三角形,
故CD AD ⊥,又CD SD ⊥,AD SD D ⋂= 故平面SAD ⊥平面ABCD ,
∴SAD V 的高SE 是四棱锥S ABCD ﹣的高, ∴此四棱锥的体积为:
1143
2241333
ABCD V S SE ⨯=⨯⨯⨯-=
正方形＝． 故答案为：43
3
． 【点睛】
本题主要考查了四棱锥中的长度计算以及垂直的判定和体积计算等,需要根据题意 16．根据如图的算法，输出的结果是_________.
【答案】55 【解析】 【分析】
根据该For 语句的功能，可得123...10S =++++，可得结果
【详解】
根据该For 语句的功能，可得123...10S =++++ 则()11010552
S +⨯=
=
故答案为：55 【点睛】
本题考查For 语句的功能，属基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．设0()(1)n
k k
n
k m P n m C m k
==-+∑，，()n
n m Q n m C +=，，其中*m n ∈N ，． （1）当1m =时，求(1)(1)P n Q n ⋅，
，的值； （2）对m +∀∈N ，证明：()()P n m Q n m ⋅，，恒为定值． 【答案】（1）1（2）1 【解析】
分析：（1）当1m =时可得()()1
,1,?,111
P n Q n n n =
=++，可得()(),1,11P n Q n ⋅=.（2）先得到关系式()(),1,n P n m P n m m n =-+，累乘可得()()()!!1,0,!n
n m
n m P n m P m n m C +==+，从而可得()(),,1P n m Q n m ⋅=，即为定值．
详解：（1）当1m =时，()()()1
1
00
111,111111n
n k
k k k n
n k k P n C C k n n ++===-=-=+++∑∑， 又()1
111n Q n C n +==+，
， 所以()(),1,11P n Q n ⋅=. （2）()()
,1n
k
k
n
k m
P n m C m k
==
-+∑ ()()1
1
111
11()
1n k
n
k k n n k m m C C m k m k
----==+-++-++∑ ()()1
1
1
1
1
1111n n
k
k k
k n n k k m m C
C m k m k
----===+-+-++∑∑ ()()1
1
1
1,1n
k
k n k m
P n m C m k
--==-+-+∑ ()()01,1n k k
n k m m P n m C n m k
==-+-+∑
()()1,,m
P n m P n m n =-+
即()(),1,n
P n m P n m m n =
-+， 由累乘可得()()()!!1
,0,!
n n m n m P n m P m n m C +==+，
又(),n
n m Q n m C +=，
所以()(),,1P n m Q n m ⋅=． 即()()P n m Q n m ⋅，，恒为定值1．
点睛：本题考查组合数的有关运算，解题时要注意所给出的()(),,P n m Q n m 和的定义，并结合组合数公式求解．由于运算量较大，解题时要注意运算的准确性，避免出现错误． 18．已知函数()|1||1|2f x x x =-++-.
（1）求不等式()1f x …
的解集； （2）若关于x 的不等式2
()2f x a a --…
在R 上恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）3{|2x x ?或3
}2
x ≥； （2）12a -≤≤. 【解析】 【分析】
（1）利用绝对值的几何意义，将不等式()1f x …，转化为不等式1
221x x ≤-⎧⎨--≥⎩
或1101x -<≤⎧⎨≥⎩或1221x x >⎧⎨
-≥⎩求解.
（2）根据2
()f x a a ≥--2在R 上恒成立，由绝对值三角不等式求得()f x 的最小值即可.
【详解】
（1）原不等式等价于
1
221x x ≤-⎧⎨
--≥⎩
或1101x -<≤⎧⎨≥⎩或1221x x >⎧⎨-≥⎩， 解得：32
x ≤-
或32x ≥，
∴不等式的解集为3{|2x x ?
或3
}2
x ≥. （2）因为2
()f x a a ≥--2在R 上恒成立，
而()|1||1|2|(1)(1)|20f x x x x x =-++-≥--+-=，
所以220a a --≤，解得12a -≤≤， 所以实数a 的取值范围是12a -≤≤. 【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 19．在某外国语学校举行的HIMCM (高中生数学建模大赛)中,参与大赛的女生与男生人数之比为1:3,且成绩分布在[40,100],分数在80以上(含80)的同学获奖．按女生、男生用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示．
(Ⅰ)求a 的值,并计算所抽取样本的平均值x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(Ⅱ)填写下面的22⨯列联表,并判断在犯错误的概率不超过0.05的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”． 女生
男生 总计 获奖 5
不获奖
总计 200
附表及公式：
()20P K k ≥ 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879 10.828
其中2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++,n a b c d =+++． 【答案】（Ⅰ）0.025a =，69x =；（Ⅱ）详见解析. 【解析】 【分析】
(Ⅰ)根据概率的性质知所有矩形的面积之和等于1列式可解得；
(Ⅱ)由频率分布直方图知样本中获奖的人数为40,不获奖的人数为160,从而可得22⨯列联表,再计算出2K ,与临界值比较可得． 【详解】 解：(Ⅰ)1
10
a =
⨯[1(0.010.0150.03-+++0.0150.005)10]0.025+⨯=, 450.1550.1565x =⨯+⨯+0.25750.3850.15950.0569⨯+⨯+⨯+⨯=．
(Ⅱ)由频率分布直方图知样本中获奖的人数为40,不获奖的人数为160,
22⨯列联表如下：
因为2
2
200(51153545)40160150
K ⨯⨯-⨯=⨯⨯ 4.167 3.841≈>,
所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下能认为“获奖与女生,男生有关．” 【点睛】
本题主要考查独立性检验，以及由频率分布直方图求平均数的问题，熟记独立性检验的思想，以及平均数的计算方法即可，属于常考题型.
20．某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次NCP 普查，为此需要抽验1000人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次.方案②：按k 个人一组进行随机分组，把从每组k 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k 个人的血只需检验一次（这时认为每个人的血化验．．．．．．．．．．．1
k 次．）；否则，若呈阳性，则需对这k 个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组k 个人的血总共需要化验1k +次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p ，且这些人之间的试验反应相互独立.
（1）设方案②中，某组k 个人的每个人的血化验次数为X ，求X 的分布列；
（2）设0.1p =，试比较方案②中，分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数） 【答案】（1）分布列见解析；（2）406. 【解析】
【分析】
（1）计算k 个人的血混合后呈阴性反应的概率为k q ，呈阳性反应的概率为1k
q -，得到分布列. （2）计算1
()1k E X q k
=-+，代入数据计算比较大小得到答案. 【详解】
（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q ，则1q p =-.
所以k 个人的血混合后呈阴性反应的概率为k
q ，呈阳性反应的概率为1k q -.
依题意可知1X k =
，1
1k
+，所以X 的分布列为： X
1k 11k
+
P
k q
1k q -
（2）方案②中.
结合（1）知每个人的平均化验次数为：()111
()111k k k E X q q q k k k ⎛⎫=
⋅++⋅-=-+ ⎪⎝⎭
2k =时，21
()0.910.692E X =
-+=，此时1000人需要化验的总次数为690次， 3k =时，31
()0.910.60433E X =-+≈，此时1000人需要化验的总次数为604次，
4k =时，41
()0.910.59394
E X =-+=，此时1000人需要化验的次数总为594次，
即2k =时化验次数最多，3k =时次数居中，4k =时化验次数最少，而采用方案①则需化验1000次， 故在这三种分组情况下，相比方案①，
当4k =时化验次数最多可以平均减少1000594406-=次. 【点睛】
本题考查了分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.
21．在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，CF ⊥平面ABCD ，CF DE P ，
22AB CF DE ===，G 为BF 的中点.
（1）求证：CG AF ⊥；
（2）求平面BCF 与平面AEF 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）30
6
【解析】 【分析】
（1）首先证明CG AB ⊥，CG BF ⊥，AB BF B =I ，
∴CG ⊥平面ABF .即可得到AF ⊂平面ABF ，CG AF ⊥.
（2）以D 为坐标原点，DA ，DC ，DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面AEF 和平面BCF 的法向量，带入公式求解即可. 【详解】
（1）∵CF ⊥平面ABCD ，AB Ì平面ABCD ，∴CF AB ⊥. 又∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ∵BC CF C =I ，∴AB ⊥平面BCF . ∵CG ⊂平面BCF ，∴CG AB ⊥.
又∵2BC CF ==，G 为BF 的中点，∴CG BF ⊥. ∵AB BF B =I ，∴CG ⊥平面ABF . ∵AF ⊂平面ABF ，∴CG AF ⊥.
（2）∵CF ⊥平面ABCD ，CF DE P ，∴DE ⊥平面ABCD .
以D 为坐标原点，DA ，DC ，DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.
如图所示：
则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()0,2,0C ，()0,0,1E ()0,2,2F .
∴()2,0,1AE =-u u u r ，()0,2,1EF =u u u r ，()0,2,0DC =u u u r
. 设(),,n x y z =r
为平面AEF 的法向量， 则·0·
0n AE n EF ⎧=⎨=⎩u u u v v u u u v v ，得2020x z y z -+=⎧⎨+=⎩，
令1x =，则()1,1,2n =-r
.
由题意知()0,2,0DC =u u u r
为平面BCF 的一个法向量，
∴(
)
cos ,||||n DC n DC n DC ===r u u u r
r u u u r g r u u u r
∴平面BCF 与平面AEF
=.
【点睛】
本题第一问考查线线垂直，先证线面垂直时解题关键，第二问考查二面角，建立空间直角坐标系是解题关键，属于中档题.
22．某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”，现已得知100人中同意父母生“二孩”占60%，统计情况如下表：
（1）求 a ，d 的值，根据以上数据，能否有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关?请说明理由；
（2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有学生中，采用随机抽样的方法抽取4 位学生进行长期跟踪调查，记被抽取的4位学生中持“同意”态度的人数为 X ，求 X 的分布列及数学期望.
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a
c b
d -=
++++ 【答案】（1）20,35a d ==, 有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关；（2）详见解析. 【解析】 【分析】
（1）根据表格及同意父母生“二孩”占60%可求出a , d ,根据公式计算结果即可确定有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关（2）由题意可知X 服从二项分布，利用公式计算概率及期望即可. 【详解】
（1）因为100人中同意父母生“二孩”占60%， 所以=6040=20a -，40535d =-=
文（2）由列联表可得
而
所以有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关 （2）①由题知持“同意”态度的学生的频率为
，
即从学生中任意抽取到一名持“同意”态度的学生的概率为.由于总体容量很大， 故X 服从二项分布， 即
从而X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
X 的数学期望为
【点睛】
本题主要考查了相关性检验、二项分布，属于中档题.
23．已知动圆M 经过点(2,0)N ，且动圆M 被y 轴截得的弦长为4，记圆心M 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的标准方程；
（2）设点M 的横坐标为0x ，A ，B 为圆M 与曲线C 的公共点，若直线AB 的斜率1k =，且0[0,4]x ∈，求0x 的值． 【答案】见解析 【解析】 【分析】 【详解】
（1）设(,)M x y ，则点M 到y 轴的距离为||x ， 因为圆M 被y 轴截得的弦长为4，所以22|||4|MN x =+， 又222|2|()MN x y =-+，所以2224|2|()x x y +=-+， 化简可得2
4y x =，所以曲线C 的标准方程为2
4y x =．
（2）设211(,)4y A y ，2
2
2(,)4
y B y ，
因为直线AB 的斜率1k =，所以可设直线AB 的方程为y x m =+，
由y x m =+及24y x =，消去x 可得2
440y y m -+=，所以124y y +=，124y y m =，
所以||AB =
设线段AB 的中点为T ，点M 的纵坐标为0y ，则,(2)2T m -，MT AB ⊥，
所以直线MT 的斜率为1-，所以0021(2)y x m -=---，所以00200
4
44m x y y y ==----，
所以||AB = 易得圆心M
到直线AB
的距离0200||2|4d y m y y =
-+=-， 由圆M 经过点(2,0)N
，可得||AB =
所以20004
2032()4[]342(2)416
y y y y +--=+-，整理可得42
0643200y y -+=，
解得20
32y =+
或2032y =-
，所以08x =+
08x =- 又0[0,4]x ∈
，所以08x =-。